排列与排列数+高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

5.2.1排列与排列数“计数”就是数事物的个数，这是数学学科发展的起点，也是我们从小学开始就在学习的，可以说，随着大家掌握的内容越来越多，我们计数的能力也变得越来越强大。1.通过实例分析，理解排列、排列数的意义.2.能利用列举法和分步乘法计数原理求排列数.分析：设3名同学分别为A,B,C.将3名同学排成一行，可以看作将字母A,B,C放入如图的方格中.ABC位置1位置2位置3BCACABCBACAB第1步，位置1，选法：3种；第2步，位置2，选法：2种；第3步，位置3，选法：1种.∴根据分步乘法计数原理，共有N=3×2×1=6种排法.情境1：3名同学排成一行照相，共有多少种排法？完成下列情境问题，这些问题有什么共同特征？北京广州南京武汉分析：北京、广州、南京、武汉4个城市间有多少种机票，是指起点和终点不同的机票共有多少种.起点终点第1步，起点城市，选法：4种；第2步：终点城市，选法：3种.∴根据分步乘法计数原理，4个城市间共有4×3=12种机票.情境2：北京、广州、南京、武汉4个城市相互通航，请列举出所有机票的情况，并指出共有多少种机票？广州南京武汉北京南京武汉北京广州武汉北京广州南京分析：本题相当于从4面不同颜色(红、黄、蓝、绿)的旗子中取出3面旗子放入如图的3个方格中.∴根据分步乘法计数原理,4面不同颜色的旗子,共能组成4×3×2=24种信号.情境3：从4面不同颜色(红、黄、蓝、绿)的旗子中，选出3面排成排作为一种信号，共能组成多少种信号？黄蓝绿蓝绿黄绿黄绿红红蓝绿蓝绿红绿红蓝黄红黄绿蓝黄绿红绿红黄绿红黄蓝黄蓝红蓝红黄第1步，位置1，选法：4种；第2步，位置2，选法：3种；第3步，位置3，选法：2种.如下图.位置1位置2位置3情境元素共同特征3名同学排成一行同学4个城市相互通航的机票情况城市从4面不同颜色的旗子中，选出3面排成排作为一种信号颜色把取出的元素按照一定的顺序排成一列概念讲解

一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.例如，问题2中，北京、广州就是从4个不同元素中取出2个元素的一个排列.有关求排列的个数的问题叫作排列问题.

从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素的所有不同排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作.

注：(1)要求m≤n.(2)按照一定顺序排列，顺序不同，排列不同.(3)m＝n时，即

叫全排列.例1:判断下列问题是否是排列问题：(1)从2，3，4，5，6，7，8，9中任取两数相乘可得多少个不同的积？乘法交换律与顺序无关，不是排列问题．(2)一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法？各取一盘菜，跟顺序有关，是排列问题．(3)学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种菜，共有多少种不同的选法？各选一种菜，每人都有5种选法，不是排列问题．(4)一位老师要给4个班轮流做讲座，每个班讲一场，有多少种轮流次序？讲座分先后，是排列问题．（1）“取”检验取出的m个元素是否重复；（2）“排”检验取出的m个元素是否有顺序性，其关键方法是交换两个位置看其结果是否发生变化，有变化就是有顺序，没有变化就是是没有顺序。

判断一个问题是否是排列问题方法归纳问题2中，北京、广州、南京、武汉4个城市相互通航，其机票种类数就是从4个不同元素中取出2个元素的排列数，记为.根据上面的分析，知道=12.那么，如何计算呢？分析：可将上述问题模拟为：从n个不同元素中选出2个元素放入如图的方格中，有多少种不同的排列方法？第1步：位置1，选法：n种；第2步：位置2，选法：(n-1)种.位置1位置2n种n-1种∴根据分步乘法计数原理，.解：如图，a2a1a3ana4...a2a3a3ana4...a2a2a3ana4...a2an-1a3ana4......a2ana3ana4...

画出树形图.由“树形图”可知，所有坐法为ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA.

方法归纳(1)适用范围：“树状图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式.(2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树状图写出排列.利用“树状图”法解决简单排列问题的适用范围及策略

BD2.从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为(

)A.甲乙、乙甲、甲丙、丙甲B.甲乙丙、乙丙甲C.甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙D.甲乙、甲丙、乙丙3.沪宁高铁线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁