专题08 矩形的判定和性质 带解析

2022-2023学年人教版八年级数学下册精选压轴题培优卷专题08矩形的判定和性质一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022春•江夏区校级月考）如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，点O是MN的中点，若AB＝9，BC＝12，当点P在AC上运动时，则BO的最小值是（）A．3 B．3.6 C．3.75 D．4解：连接BP，如图所示：∵∠ABC＝90°，PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，∴四边形BMPN是矩形，AC＝＝＝15，∴BP＝MN，BP与MN互相平分，∵点O是MN的中点，∴BO＝MN，当BP⊥AC时，BP最小＝＝＝7.2，∴MN＝7.2，∴BO＝MN＝3.6，故选：B．2．（2分）（2022春•拱墅区期末）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O．点M、N分别是边AD，BC的中点，连接AN，CM．下列结论：①若四边形ANCM是菱形，则AB⊥AC；②若四边形ANCM是矩形，则AB＝AC；③若AB⊥AC，则四边形ANCM是矩形；④若AB＝AC，则四边形ANCM是菱形．其中正确的是（）A．①② B．③④ C．①③ D．①②③④解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BD，∵点M、N分别是边AD，BC的中点，∴AM＝CN，AM＝BN，∴四边形ABNM与四边形ANCM都是平行四边形，①∵四边形ABNM是平行四边形，∴AB∥MN，若平行四边形ANCM是菱形，则MN⊥AC，∴AB⊥AC，故①正确；②若平行四边形ANCM是矩形，则AC＝MN，∵四边形ANCM是平行四边形，∴AB＝MN，∴AB＝AC，故②正确；③由①知，若AB⊥AC，则平行四边形ANCM是菱形，故③不正确；④由②知，若AB＝AC，平行四边形ANCM是矩形，故④不正确；综上所述，正确的是①②，故选：A．3．（2分）（2022春•鼓楼区校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝60°，∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝1，CD＝10，过D作DH⊥AB于H，则DH的长是（）A．5 B．6 C．7 D．8解：如图，过C作CE⊥DH于E，则∠CEH＝∠CED＝90°，∵DH⊥AB，∴∠AHD＝∠BHE＝90°，∵∠ABC＝90°，∴四边形BCEH是矩形．∴HE＝BC＝1，在Rt△AHD中，∠A＝60°，∴∠ADH＝90°﹣∠A＝30°，又∵∠ADC＝90°，∴∠CDE＝90°﹣∠ADH＝60°，∴∠DCE＝90°﹣∠CDE＝30°，∴DE＝CD＝5，∴DH＝HE+DE＝1+5＝6．故选：B．4．（2分）（2022春•市中区期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，AE∥BD，OE与AB交于点F．若OE＝5，AC＝8，求菱形ABCD的面积为（）A．20 B．22 C．24 D．40解：∵BE∥AC，AE∥BD∴四边形AEBO是平行四边形．又∵菱形ABCD对角线交于点O∴AC⊥BD，即∠AOB＝90°．∴四边形AEBO是矩形；∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝AC＝4，OB＝OD，AC⊥BD，∵四边形AEBO是矩形，∴AB＝OE＝5，∴OB＝＝＝3，∴BD＝2OB＝6，∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×8×6＝24．故选：C．5．（2分）（2022春•确山县期末）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，P为AB上一动点（不与A、B重合），作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值是（）A．2.5 B．5 C．2.4 D．1.2解：如图，连接CP．∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C＝90°，∴四边形CFPE是矩形，∴EF＝CP，由垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，此时，S△ABC＝BC•AC＝AB•CP，即×4×3＝×5•CP，解得CP＝2.4．故选：C．6．（2分）（2022•罗山县校级模拟）如图，在矩形ABCD中，为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值为（）A． B． C． D．解：如图，连接CM，∵MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，∴∠CPM＝∠CQM＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝1，CD＝AB＝2，∠BCD＝90°，∴四边形PCQM是矩形，∴PQ＝CM，由勾股定理得：BD＝＝＝3，当CM⊥BD时，CM最小，则PQ最小，此时，S△BCD＝BD•CM＝BC•CD，∴CM＝＝＝，∴PQ的最小值为，故选：B．7．（2分）（2022•馆陶县模拟）求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点O是AC的中点．求证：OB＝AC．证明：延长BO到D，使OD＝OB，连接AD、CD，中间的证明过程排乱了：①∵∠ABC＝90°，②∵OB＝OD，OA＝OC，③∴四边形ABCD是平行四边形，④∴四边形ABCD是矩形．∴AC＝BD，∴OB＝BD＝AC．则中间证明过程正确的顺序是（）A．①④②③ B．①③②④ C．②④①③ D．②③①④解：延长BO到D，使OD＝OB，连接AD、CD，∵OB＝OD，OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形．∴AC＝BD，∴OB＝BD＝AC．则中间证明过程正确的顺序是②③①④，故选：D．8．（2分）（2022春•关岭县期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是（）A．2.4 B．2 C．1.5 D．1.2解：由题意知，四边形AFPE是矩形，∵点M是矩形对角线EF的中点，则延长AM应过点P，∴当AP为直角三角形ABC的斜边上的高时，即AP⊥BC时，AM有最小值，此时AM＝AP，由勾股定理知BC＝＝5，∵S△ABC＝AB•AC＝BC•AP，∴AP＝，∴AM＝AP＝＝1.2，故选：D．9．（2分）（2021•灞桥区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，P是CD边上一点，M、N、E分别是PA、PB、AB的中点，以下四种情况，哪一种四边形PMEN不可能为矩形（）A．AD＝3 B．AD＝4 C．AD＝5 D．AD＝6解：方法1：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD＝10，∠C＝∠D＝90°，∵M、N、E分别是PA、PB、AB的中点，∴ME、NE是△ABP的中位线，∴ME∥BP，NE∥AP，∴四边形PMEN是平行四边形，当∠APB＝90°时，四边形PMEN是矩形，设DP＝x，CP＝10﹣x，由勾股定理得：AP2＝AD2+x2，BP2＝BC2+（10﹣x）2，AP2+BP2＝AB2，∴AD2+x2+AD2+（10﹣x）2＝102，AD2+x2﹣10x＝0，①当AD＝3时，x2﹣10x+9＝0，x＝1或x＝9，符合题意；②当AD＝4时，x2﹣10x+16＝0，x＝2或x＝8，符合题意；③当AD＝5时，x2﹣10x+25＝0，x＝5，符合题意；④当AD＝6时，x2﹣10x+36＝0，无解；故选：D．方法2：连接MN，PE，如图所示：由方法1得：四边形PMEN是平行四边形，∵M、N分别是PA、PB的中点，∴MN是△PAB的中位线，∴MN＝AB＝5，若四边形PMEN是矩形，则PE＝MN＝5，而当AD＝6时，PE不可能等于5，∴当AD＝6时，四边形PMEN不可能为矩形，故选：D．10．（2分）（2021春•武安市期末）如图，四边形ABCD中，以对角线AC为斜边作Rt△ACE，连接BE、DE，BE⊥DE，AC，BD互相平分．若2AB＝BC＝4，则BD的值为（）A．2 B． C．3 D．4解：连接OE，如图所示：∵2AB＝BC＝4，∴AB＝2，∵AC，BD互相平分，∴OA＝OC，OB＝OD，四边形ABCD是平行四边形，∵以AC为斜边作Rt△ACE，∴OE＝OA＝OC＝AC，∵BE⊥DE，∴OE＝OB＝OD＝BD，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝4，∠BAD＝90°，∴BD＝＝＝2，故选：A．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022秋•朝阳区校级期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，．点D为边AB上一个动点，作DE⊥BC、DF⊥AC，垂足为E、F，连结EF．则EF长度的最小值为．解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，，∴AC＝＝2，AB＝2AC＝4，连接CD，∵DF⊥AC，∠ACB＝90°，DE⊥BC，∴∠DFC＝∠FCE＝∠DEC＝90°，∴四边形CFDE是矩形，∴EF＝CD，当CD⊥AB时，CD长最小，此时EF有最小值，∵S△ACB＝＝，∴＝CD，∴CD＝，∴EF长度的最小值是，故答案为：．12．（2分）（2022春•香坊区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝，点P是AB边上的一动点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别为E、F，当EF最短时，则四边形PECF的面积为．解：如图，连接CP，∵∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝，∴BC＝＝＝2，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴四边形PECF是矩形，∴EF＝CP，∴当EF最短时，CP也最短，此时CP⊥AB，则AB•CP＝AC•BC，∴CP＝＝＝，∴AP＝＝＝，∵PE⊥AC，∴AC•PE＝AP•CP，∴PE＝＝＝，∴AE＝＝＝，∴CE＝AC﹣AE＝，∴S矩形PECF＝PE•CE＝×＝，故答案为：．13．（2分）（2022春•广安期末）如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，E是CD边上一动点．过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为．解：如图，连接OE，∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，∴AC⊥BD，AD＝DC，OC＝OA＝4，OB＝OD＝3，∴∠COD＝90°，∴CD＝＝＝5，∵EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，∴∠EFO＝∠EGO＝90°，∴四边形OGEF是矩形，∴OE＝GF，当OE⊥DC时，GF的值最小，此时，S△ODC＝OD•OC＝DC•OE，∴OD•OC＝DC•OE，∴OE＝＝＝，∴FG的最小值为，故答案为：．14．（2分）（2022•青山区二模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AC＝20，BD＝10，则EF的最小值为2．解：连接OP，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝AC＝10，BO＝BD＝5，∴AB＝＝5，∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，∴∠EOF＝∠OEP＝∠OFP＝90°，∴四边形OEPF是矩形，∴EF＝OP，∵当OP取最小值时，EF的值最小，∴当OP⊥AB时，OP最小，∴S△ABO＝OA•OB＝AB•OP，∴OP＝＝2，∴EF的最小值为2，故答案为：2．15．（2分）（2022春•百色期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，P为边BC上的一个动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF最小值为．解：如图，连接PA．∵∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，∴BC＝＝13，又∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F．∴∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四边形PEAF是矩形．∴AP＝EF．∴当PA最小时，EF也最小，当AP⊥CB时，PA最小，∵AB•AC＝BC•AP，∴AP＝＝＝，∴线段EF的最小值为，故答案为：．16．（2分）（2022春•新余期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm，点P从点A向点D以每秒1cm的速度运动，Q以每秒4cm的速度从点C出发，在B、C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D为止（同时点Q也停止），这段时间内，当运动时间为2.4s或4s或7.2s时，P、Q、C、D四点组成矩形．解：根据已知可知：当点P到达点D时，点Q将由C﹣B﹣C﹣B﹣C运动，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠D＝90°，∴PD∥CQ，若PD＝CQ，则四边形APQB是矩形，由题意得DP＝12﹣t，当0≤t≤3时，CQ＝4t，12﹣t＝4t，∴t＝2.4（s），当3＜t≤6时，CQ＝24﹣4t，12﹣t＝24﹣4t，∴t＝4（s），当6＜t≤9时，CQ＝4t﹣24，12﹣t＝4t﹣24，∴t＝7.2（s）；当9＜t≤12时，CQ＝48﹣4t，12﹣t＝48﹣4t，∴t＝12（s），此时PQ与DC重合，无法构成矩形，故舍去，故答案为：2.4s或4s或7.2s．17．（2分）（2020•顺义区一模）如图，将一矩形纸片ABCD沿着虚线EF剪成两个全等的四边形纸片．根据图中标示的长度与角度，求出剪得的四边形纸片中较短的边AE的长是3．解：过F作FQ⊥AD于Q，则∠FQE＝90°，∵四边形ABCD是长方形，∴∠A＝∠B＝90°，AB＝DC＝4，AD∥BC，∴四边形ABFQ是矩形，∴AB＝FQ＝DC＝4，∵AD∥BC，∴∠QEF＝∠BFE＝45°，∴EQ＝FQ＝4，∴AE＝CF＝×（10﹣4）＝3，故答案为：3．18．（2分）（2019春•宁陵县期中）如图，在矩形ABCD中，BC＝40cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和Q的速度分别为5cm/s和3cm/s，则最快5s后，四边形ABPQ成为矩形．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，AD＝BC＝40cm，设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，∵四边形ABPQ是矩形，∴AQ＝BP，即40﹣3x＝5x，解得：x＝5，故答案为：5．19．（2分）（2022春•虎林市期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝12，AC＝16，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为．解：连接AD、EF，∵∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，∴BC＝＝＝20，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEA＝∠DFA＝∠BAC＝90°，∴四边形DEAF是矩形，∴EF＝AD，∴当AD⊥BC时，AD的值最小，此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，∴12×16＝20AD，∴AD＝∴EF的最小值为，∵点G为四边形DEAF对角线交点，∴GF＝EF＝；故答案为：．20．（2分）（2022春•平阴县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在AB边上，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为点E、F，连接EF，则线段EF的最小值等于4.8．解：如图，连接CD．∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10，∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形CFDE是矩形，∴EF＝CD，由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，∵S△ABC＝BC•AC＝AB•CD，∴×8×6＝×10×CD，解得CD＝4.8，∴EF＝4.8．故答案为：4.8．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2022春•聊城期中）已知：如图，BE，BF分别是∠ABC与它的邻补角∠ABD的平分线，AE⊥BE，垂足为点E，AF⊥BF，垂足为点F，EF分别交边AB，AC于点M和N．求证：（1）四边形AFBE是矩形；（2）MN∥BC．证明：（1）∵BE，BF分别是∠ABC与它的邻补角∠ABD的平分线，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．∵∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，∴∠2+∠3＝90°．∵AE⊥BE，E为垂足，AF⊥BF，F为垂足，∴∠AFB＝∠AEB＝90°，∴四边形AEBF为矩形；（2）∵四边形AEBF为矩形，∴BM＝MA＝ME，∴∠2＝∠5，∵∠2＝∠1，∴∠1＝∠5∴ME∥BC，∴△AMN∽△ABC，∵M是AB的中点，∴MN为△ABC的中位线，∴MN∥BC．22．（6分）（2022春•江夏区校级月考）如图1，已知AD∥BC，AB∥DC，∠B＝∠C．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）如图2，M为AD的中点，N为AB的中点，BN＝2．若∠BNC＝2∠DCM，求BC的长．（1）证明：∵AD∥BC，AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∠B+∠C＝180°，∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠C＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形；（2）解：如图2，延长BA、CM交于点E，∵M为AD的中点，N为AB的中点，BN＝2．∴AM＝DM，AN＝BN＝2，∴AB＝2BN＝4，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝4，∵AB∥CD，∴∠E＝∠DCM，又∵∠AME＝∠DMC，∴△AEM≌△DCM（AAS），∴AE＝DC＝4，∵∠BNC＝∠E+∠NCE＝2∠DCM，∴∠NCE＝∠E，∴CN＝EN＝AE+AN＝4+2＝6，∴BC＝＝＝4．23．（8分）（2022春•昆山市校级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE＝AC，连接AE、CE．（1）求证：四边形OCED为矩形；（2）若菱形ABCD的边长为3，∠BCD＝60°，求AE的长．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝OC＝AC，∴∠DOC＝90°，∵DE∥AC，DE＝AC，∴DE＝OC，DE∥OC，∴四边形OCED是平行四边形，又∵∠DOC＝90°，∴平行四边形OCED是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC＝CD＝8，OB＝OD，AO＝OC＝AC，∵∠BCD＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴BD＝BC＝3，∴OD＝OB＝，∴OC＝，∴AC＝2OC＝3，由（1）得：四边形OCED为矩形，∴CE＝OD＝1，∠OCE＝90°，在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE＝＝，故AE的长为：．24．（8分）（2022春•绵阳期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OE⊥CD于点E，F是BC的中点，FG⊥CD于点G．（1）求证：四边形OEGF是矩形；（2）若OE＝3，EG＝4，求AC•BD的值．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，∵F是BC的中点，∴OF是△DBC的中位线，∴OF∥CD，∵OE⊥CD，FG⊥CD，∴∠OEG＝90°，OE∥FG，∴四边形OEGF是平行四边形，又∵∠OEG＝90°，∴平行四边形OEGF是矩形；（2）解：由（1）可知，四边形OEGF是矩形，OF是△DBC的中位线，∴OF＝EG＝4，CD＝2OF＝8，∵OE⊥CD，∴S△OCD＝CD•OE＝×8×3＝12，∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∴S菱形ABCD＝4S△OCD＝4×12＝48，又∵S菱形ABCD＝AC•BD＝48，∴AC•BD＝96．25．（8分）（2022春•濮阳期末）在菱形DEFH中，对角线HE，DF相交于点C，GF∥HE，GH∥DF．（1）求证：四边形HCFG是矩形．（2）当DH＝2，∠DEF＝120°，连接GE，求GE的长．（1）证明：∵GF∥HE，GH∥DF，∴四边形HCFG是平行四边形，∵四边形DEFH是菱形，∴DF⊥HE，∴∠HCF＝90°，∴四边形HCFG是矩形．（2）∵∠DEF＝120°，四边形DEFH是菱形，∴∠DEH＝∠HEF＝60°，DH＝DE，∴△DEH为等边三角形，∴DH＝EH＝2，HC＝EC＝，∵四边形HCFG是矩形，∴∠GHC＝90°，GH＝CF，∴GH＝DC＝，在Rt△GHE中，由勾股定理GE＝＝．26．（8分）（2022春•海口期末）如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠A＝60°，点E是DC边的中点，P是边BC上的动点，PE的延长线与AD的延长线交于点F，连接PD，CF．（1）求证：四边形PCFD是平行四边形；（2）当BP等于何值时，四边形PCFD是矩形？请说明理由；（3）当BP等于何值时，四边形PCFD是菱形？请说明理由．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DFE＝∠CPE，∵E是CD的中点，∴CE＝DE，在△DFE和△CPE中，，∴△DFE≌△CPE（ASA），∴FE＝PE，∴四边形PCFD是平行四边形；（2）解：当BP＝3.5时，平行四边形CEDF是矩形，理由如下：如图，过B作BM⊥AD于M，∵∠A＝60°，AB＝3，∴AM＝AB＝1.5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD＝∠A＝60°，DC＝AB＝3，BC＝AD＝5，∵AE＝3.5，∴CP＝1.5＝AM，在△MBA和△PDC中，，∴△MBA≌△PDC（SAS），∴∠DPC＝∠BMA＝90°，∵四边形PCFD是平行四边形，∴平行四边形PCFD是矩形，故答案为：3.5；（3）解：当BP＝2时，四边形PCFD是菱形，理由如下：∵BC＝5，BP＝2，∴CP＝3，∵CD＝3，∠DCP＝∠A＝60°，∴△DCP是等边三角形，∴DP＝CP，∵四边形PCFD是平行四边形，∴平行四边形PCFD是菱形．27．（8分）（2021秋•赫章县期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1c