压轴题02 反比例函数的综合问题（3题型+解题模板+技巧精讲）

压轴题解题模板02反比例函数的综合问题题型解读题型解读：反比例函数的综合问题在中考中常常以解答题和填空题的形式出现，解答题考查居多.此类题型多是反比例函数与一次函数及几何图形的综合考查，一般要用到解不等式、图形面积、特殊三角形、特殊四边形、相似三角形等相关知识，以及数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想.此类题型常涉及以下问题：①求反比例函数的解析式；②求交点坐标、图形面积；③利用函数图象比较一次函数与反比例函数值的大小；④反比例函数与几何图形综合.下图为反比例函数综合问题中各题型的考查热度.下图为二次函数图象性质与几何问题中各题型的考查热度.题型一反比例函数与一次函数交点问题解题模板：技巧精讲：利用函数图象确定不等式的解集：【例1】（2023·四川攀枝花·统考中考真题）如图，点An,6和B3,2是一次函数y1

(1)求一次函数与反比例函数的表达式；(2)当x为何值时，y1【变式1-1】（2023·湖南常德·统考中考真题）如图所示，一次函数y1=-x+m与反比例函数y2=kx

(1)求m的值和反比例函数解析式；(2)当y1>y【变式1-2】（2023·山东滨州·统考中考真题）如图，直线y=kx+b(k,b为常数)与双曲线y=mx（m为常数）相交于A2,a，

(1)求直线的解析式；(2)在双曲线y=mx上任取两点Mx1,y1和N(3)请直接写出关于x的不等式kx+b>m题型二反比例函数与一次函数图像面积问题解题模板：【例2】（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+ba<0与反比例函数y=kxk≠0交于A-m,3m，B4,-3两点，与y轴交于点C

(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)求△AOB(3)请根据图象直接写出不等式kx【变式2-1】（2023·湖北黄冈·统考中考真题）如图，一次函数y1=kx+b(k≠0)与函数为y2

(1)求这两个函数的解析式；(2)根据图象，直接写出满足y1-y(3)点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数y2的图象于点Q，若△POQ面积为3，求点【变式2-2】（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数y=4x的图象交于点Am,4，与x轴交于点B，与y轴交于点

(1)求m的值和一次函数的表达式；(2)已知P为反比例函数y=4x图象上的一点，S△【变式2-3】（2023·四川巴中·统考中考真题）如图，正比例函数y=kx(k≠0)与反比例函数y=mx(m≠0)的图象交于A、B两点，A的横坐标为-4，B

(1)求反比例函数的表达式．(2)观察图象，直接写出不等式kx<m(3)将直线AB向上平移n个单位，交双曲线于C、D两点，交坐标轴于点E、F，连接OD、BD，若△OBD的面积为20，求直线CD的表达式．【变式2-4】（2023·四川·统考中考真题）如图，已知一次函数y=kx+6的图象与反比例函数y=mxm>0的图象交于A3，4，B两点，与x轴交于点C，将直线AB沿y轴向上平移3

(1)求k，m的值及C点坐标；(2)连接AD，CD，求△ACD题型三反比例函数与几何图形结合解题模板：【例3】（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l:y=kx+2与x，y轴分别相交于点A，B，与反比例函数y=mxx>0的图象相交于点C，已知OA=1，点C(1)求k，m的值；(2)平行于y轴的动直线与l和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标．【变式3-1】（2023·四川广安·统考中考真题）如图，一次函数y=kx+94（k为常数，k≠0）的图象与反比例函数y=mx(m为常数，m≠0)的图象在第一象限交于点A

(1)求一次函数和反比例函数的解析式．(2)点P在x轴上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标．【变式3-2】（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴交于点A4,0，与y轴交于点B0,2，与反比例函数y=mx

(1)求反比例函数的表达式：(2)当kx+b>mx时，直接写出(3)在双曲线y=mx上是否存在点P，使△ABP是以点A【变式3-3】（2023·四川成都·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+5与y轴交于点A，与反比例函数y=kx的图象的一个交点为，过点B作AB的垂线l

(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式；(2)若点C在直线l上，且△ABC的面积为5，求点C(3)P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画△PDE，使它与△PAB位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m强化训练一、解答题1．（2023·四川甘孜·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与反比例函数y=kxk>0的图象相交于A3(1)求反比例函数的解析式；(2)若点C为x轴正半轴上一点，且满足AC⊥BC，求点2．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=4x的图象交于

(1)求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象；(2)观察图象，直接写出不等式kx+b<4(3)设直线AB与x轴交于点C，若P(0,a)为y轴上的一动点，连接AP,CP，当的面积为52时，求点P的坐标．3．（2023·四川遂宁·统考中考真题）如图，一次函数y=k1x+b的图像与反比例函数y=k2x的图像交于A-4，1

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)根据图像直接写出不等式k1(3)P为y轴上一点，若△PAB的面积为3，求P点的坐标．4．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形ABC的直角顶点C3，0，顶点A、B

(1)分别求反比例函数的表达式和直线AB所对应的一次函数的表达式；(2)在x轴上是否存在一点P，使△ABP5．（2023·山东·统考中考真题）如图，正比例函数y1=12x

(1)求反比例函数的解析式；(2)将直线OA向上平移3个单位后，与y轴交于点B，与y2=kx(x>0)的图像交于点C6．（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图，点A在反比例函数y=kxx>0的图象上，AB⊥y轴于点B，tan

(1)求反比例函数的解析式；(2)点C在这个反比例函数图象上，连接AC并延长交x轴于点D，且∠ADO=45°，求点7．（2023·四川德阳·统考中考真题）如图，点A在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，点C是点A关于y轴的对称点，△

(1)求反比例函数的解析式；(2)当点A的横坐标为2时，过点C的直线y=2x+b与反比例函数的图象相交于点P，求交点P的坐标．8．（2023·西藏·统考中考真题）如图，一次函数y=x+2与反比例函数y=ax的图象相交于A，B两点，且点A的坐标为1,m，点B的坐标为

(1)求m,n的值和反比例函数的解析式；(2)点A关于原点O的对称点为A'，在x轴上找一点P，使PA'9．（2023·山东淄博·统考中考真题）如图，直线与双曲线y=mx相交于点A2,3，

(1)求双曲线及直线对应的函数表达式；(2)将直线AB向下平移至CD处，其中点C-2,0，点D在y轴上．连接AD，BD，求△(3)请直接写出关于x的不等式kx+b>m10．（2023·江苏镇江·统考中考真题）如图，正比例函数y=-3x与反比例函数y=kxk≠0的图象交于A，B1,m两点，点C在

(1)m=______，k=______，点C的坐标为______．(2)点P在x轴上，若以B，O，P为顶点的三角形与△AOC相似，求点P

压轴题解题模板02（解析版）反比例函数的综合问题题型一反比例函数与一次函数交点问题【例1】（2023·四川攀枝花·统考中考真题）如图，点An,6和B3,2是一次函数y1

(1)求一次函数与反比例函数的表达式；(2)当x为何值时，y1【答案】(1)y1=-2x+8(2)1<x<3【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）根据函数图象进行观察，写出一次函数图象在反比例函数图象上方时所有点的横坐标的集合即可．【详解】（1）解：将点B(3,2)代入，∴m=6∴y将代入y2=∴n=1，将A(1,6)和B(3,2)代入y1k+b=63k+b=2，解得：k=-∴y（2）解：根据图象可得，当y1>y2时，【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式．求x的取值范围，从函数图象的角度看，是确定直线在双曲线上方（或下方）部分所有的点的横坐标所构成的集合．【变式1-1】（2023·湖南常德·统考中考真题）如图所示，一次函数y1=-x+m与反比例函数y2=k

(1)求m的值和反比例函数解析式；(2)当y1>y【答案】(1)m=2，y(2)x<-1或0<x<3【分析】（1）根据一次函数y1=-x+m的图象与反比例函数y2=kx的图象交于（2）观察函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．【详解】（1）将点B3,-1代入y1解得：m=2将B3,-1代入y2∴y（2）由y1=y2所以A,B的坐标分别为A由图形可得：当x<-1或0<x<3时，y【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解决本题的关键是掌握反比例函数与一次函数的性质．【变式1-2】（2023·山东滨州·统考中考真题）如图，直线y=kx+b(k,b为常数)与双曲线y=mx（m为常数）相交于A2,a

(1)求直线的解析式；(2)在双曲线y=mx上任取两点Mx1,y1和N(3)请直接写出关于x的不等式kx+b>m【答案】(1)(2)当x1<x2<0或0<x(3)x<-1或0<x<2【分析】（1）将点B代入反比例函数y=mx，求得m=-2，将点A代入y=-2（2）根据反比例函数的性质，反比例函数在第二四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，进而分类讨论即可求解；（3）根据函数图象即可求解．【详解】（1）解：将点B-1,2代入反比例函数y=∴m=-∴y=将点A2,a代入∴A2,将A2,-1，B-1,22k+b=解得：k=-∴（2）∵y=-2x，∴反比例函数在第二四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，∴当x1<x2<0当x1<0<x综上所述，当x1<x2<0或0<x1（3）根据图象可知，A2,-1，B-1,2，当kx+b>mx时，【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与反比例函数交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数图象的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．题型二反比例函数与一次函数图像面积问题【例2】（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+ba<0与反比例函数y=kxk≠0交于A-m,3m，B4,-3两点，与y轴交于点C

(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)求△AOB(3)请根据图象直接写出不等式kx【答案】(1)y=-12x，(2)9；(3)x<-2或【分析】（1）把点B代入反比例函数y=kxk≠0，即可得到反比例函数的解析式；把点A代入反比例函数，即可求得点A的坐标；把点A、B的坐标代入一次函数一次函数y=ax+ba<0（2）△AOB的面积是△AOC和△BOC（3）利用图象，找到反比例函数图象在一次函数图象下方所对应的x的范围，直接得出结论．【详解】（1）∵点B4,-3在反比例函数y=∴，解得：k=∴反比例函数的表达式为y=-∵A-m,3m在反比例函数y=∴3m=-解得m1=2，∴点A的坐标为-2,6∵点A，B在一次函数的图象上，把点A-2,6，B4,-3分别代入，得解得a=-∴一次函数的表达式为y=-（2）∵点C为直线AB与y轴的交点，∴把x=0代入函数y=-3∴点C的坐标为0,3∴OC=3，∴S===9．（3）由图象可得，不等式kx<ax+b的解集是x<-

【点睛】此题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积，函数与不等式的关系，求出两个函数解析式是解本题的关键．【变式2-1】（2023·湖北黄冈·统考中考真题）如图，一次函数y1=kx+b(k≠0)与函数为y2

(1)求这两个函数的解析式；(2)根据图象，直接写出满足y1-y(3)点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数y2的图象于点Q，若△POQ面积为3，求点【答案】(1)y1=-2x+9(2)1(3)点P的坐标为2,5或5【分析】（1）将A(4,1)代入y2=mx(x>0)可求反比例函数解析式，进而求出点B坐标，再将A(4,1)（2）直线AB在反比例函数图象上方部分对应的x的值即为所求；（3）设点P的横坐标为，代入一次函数解析式求出纵坐标，将x=p代入反比例函数求出点Q的纵坐标，进而用含p的代数式表示出，再根据△POQ面积为3列方程求解即可．【详解】（1）解：将A(4,1)代入y2=m解得m=4，∴反比例函数解析式为y2∵B12,a∴a=∴B将A(4,1)，B12,84k+b=11解得k=-∴一次函数解析式为y1（2）解：12由（1）可知A(4,1),B1当y1-y此时直线AB在反比例函数图象上方，此部分对应的x的取值范围为12即满足y1-y2>0（3）解：设点P的横坐标为，将x=p代入y1=-2x+9，可得∴P将x=p代入y2=4∴Q∴PQ=S△POQ整理得2p解得，p2=当p=2时，-2p+9=当p=52时，∴点P的坐标为2,5或52【点睛】本题属于一次函数与反比例函数的综合题，考查求一次函数解析式、反比例函数解析式，坐标系中求三角形面积、解一元二次方程等知识点，解题的关键是熟练运用数形结合思想．【变式2-2】（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数y=4x的图象交于点Am,4，与x轴交于点B，与y轴交于点

(1)求m的值和一次函数的表达式；(2)已知P为反比例函数y=4x图象上的一点，S△【答案】(1)y=x+3(2)P2,2或【分析】（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式求出m的值，进而求出点A的坐标，再把点A和点C的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；（2）先求出OB=3，OC=3，过点A作AH⊥y轴于点H，过点P作PD⊥x轴于点D，如图所示，根据S△OBP=2S△OAC可得12OB⋅PD=2×12OC⋅AH【详解】（1）解：∵点Am,4在反比例函数y=∴4=∴m=1∴A1,4又∵点A1,4，C0,3都在一次函数∴4=k+b解得k=1b=3，∴一次函数的解析式为y=x+3．（2）解：对于y=x+3，当y=0时，x=-∴B-∴OB=3∵C0,3∴OC=3过点A作AH⊥y轴于点H，过点P作PD⊥x轴于点

∵S∴1∴1解得PD=2．∴点P的纵坐标为2或-2将y=2代入y=4x得将y=-2代入y=4x得∴点P2,2或-【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用数形结合的思想求解是解题的关键．【变式2-3】（2023·四川巴中·统考中考真题）如图，正比例函数y=kx(k≠0)与反比例函数y=mx(m≠0)的图象交于A、B两点，A的横坐标为-4，B

(1)求反比例函数的表达式．(2)观察图象，直接写出不等式kx<m(3)将直线AB向上平移n个单位，交双曲线于C、D两点，交坐标轴于点E、F，连接OD、BD，若△OBD的面积为20，求直线CD的表达式．【答案】(1)y=(2)-4<x<0或x(3)y=【分析】（1）先求解A，B的坐标，再利用待定系数法求解函数解析式即可；（2）由反比例函数的图象在一次函数的图象的上方确定不等式kx<m（3）方法一、连接BE，作BG⊥y轴，先求解，可得直线AB的表达式为y=-32x，由CD∥AB，可得S△OBD=S△OBE=20，求解BG=4方法二、连接BF，作BH⊥x轴，先求解，结合B(4,-6)，可得OF=203，可得F203,0，由CD∥AB，再设直线【详解】（1）解：∵直线y=kx与双曲线交于A、B两点，∴A、B关于原点对称，∵x∴A-4,6∵A(-4,6)在双曲线y=m∴m=∴反比例函数的表达式为y=-24（2）∵A(-∴不等式kx<mx的解集为：-4<x<0或x（3）方法一：连接，作BG⊥y轴于G

∵A(-4,6)在直线y=kx上，∴k=∴直线AB的表达式为y=-，∴S∵B(4,∴BG=4∴S∴OE=10∴E(0,10)，，∴k∴直线CD的表达式为y=-方法二：连接BF，作BH⊥x轴于

∵A(-4,6)在直线y=kx上，∴k=∴直线AB的表达式为y=-，∴S∵B(4,∴1∴OF=∴F∴设直线CD的表达式为y=-在直线CD上，∴-，∴直线CD的表达式为y=-【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，利用待定系数法求解函数解析式，坐标与图形面积，利用数形结合的方法确定不等式的解集，清晰的解题思路与数形结合的运用都是解本题的关键．【变式2-4】（2023·四川·统考中考真题）如图，已知一次函数y=kx+6的图象与反比例函数y=mxm>0的图象交于A3，4，B两点，与x轴交于点C，将直线AB沿y轴向上平移

(1)求k，m的值及C点坐标；(2)连接AD，CD，求△ACD【答案】(1)k=-23；；(2)S【分析】（1）把点A3，4代入y=kx+6和y=mxm>0求出k、m的值即可；把（2）延长DA交x轴于点F，先求出AB平移后的关系式，再求出点D的坐标，然后求出AD解析式，得出点F的坐标，根据S△【详解】（1）解：把点A3，4代入y=kx+63k+6=4，4=m解得：k=-23∴AB的解析式为y=-23x+6把y=0代入y=-23x+6解得：x=9，∴点C的坐标为9,0；（2）解：延长DA交x轴于点F，如图所示：

将直线AB沿y轴向上平移3个单位长度后解析式为：y=-联立y=-解得：x1=3∴点D3设直线AD的解析式为y=k1x+b132解得：k1∴直线AD的解析式为y=-把y=0代入y=-83x+12解得：x=9∴点F的坐标为，∴CF=9-∴S==9．【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求一次函数解析式，反比例函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法，能求出一次函数和反比例函数的交点坐标．题型三反比例函数与几何图形结合【例3】（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l:y=kx+2与x，y轴分别相交于点A，B，与反比例函数y=mxx>0的图象相交于点C，已知OA=1，点C(1)求k，m的值；(2)平行于y轴的动直线与l和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标．【答案】(1)k=2，；(2)点D的坐标为6，2【分析】（1）求得A-1，0（2）设点Da，2a+2，则点E【详解】（1）解：∵OA=1，∴A-∵直线y=kx+2经过点A-∴0=-k+2，解得，k=2，∴直线的解析式为y=2x+2，∵点C的横坐标为2，∴y=2×∴C2∵反比例函数y=mxx>0∴；（2）解：由（1）得反比例函数的解析式为y=12令x=0，则y=2×∴点B0设点Da，2a+2∵以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，∴DE=OB=2，∴2a+2-12a=2，整理得2a+2-12由2a+2-12a=2整理得a2解得a=±∵a>0，∴a=6∴点D6由2a+2-12a=-2整理得，解得a=±∵a>0，∴a=7∴点D7综上，点D的坐标为6，26【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，解一元二次方程，用方程的思想解决问题是解本题的关键．【变式3-1】（2023·四川广安·统考中考真题）如图，一次函数y=kx+94（k为常数，k≠0）的图象与反比例函数y=mx(m为常数，m≠0)的图象在第一象限交于点A

(1)求一次函数和反比例函数的解析式．(2)点P在x轴上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标．【答案】(1)一次函数的解析式为y=34(2)(-8,0)或(2,0)或(5,0)【分析】（1）根据待定系数法，把已知点代入再解方程即可得出答案；（2）首先利用勾股定理求出得AB的长，再分两种情形讨论即可．【详解】（1）解：把点B-3,0代入一次函数y=kx+-解得：k=3故一次函数的解析式为y=3把点A1,n代入y=34∴A(1,3)把点代入y=mx，得m=3故反比例函数的解析式为y=3（2）解：B-3,0，，AB=3当AB=PB=5时，P(-8,0)或(2,0)，当PA=AB时，点P,B关于直线x=1对称，∴P(5,0)综上所述：点P的坐标为(-8,0)或(2,0)或(5,0)．【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，等腰三角形的性质等知识，运用分类思想是解题的关键．【变式3-2】（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴交于点A4,0，与y轴交于点B0,2，与反比例函数y=mx

(1)求反比例函数的表达式：(2)当kx+b>mx时，直接写出(3)在双曲线y=mx上是否存在点P，使△ABP是以点A【答案】(1)y=(2)x<-2或0<x<6(3)3，-2【分析】（1）将A4,0，B0,2代入y=kx+b,求得一次函数表达式，进而可得点C的坐标，再将点（2）将一次函数与反比例函数联立方程组，求得交点坐标即可得出结果；（3）过点A作AP⊥BC交y轴于点M，勾股定理得出点M的坐标，在求出直线【详解】（1）解：把A4,0，B0,2代入y=kx+b中得：∴k=-∴直线的解析式为y=-1在y=-12x+2中，当∴C6把C6，-1代入∴m=-∴反比例函数的表达式y=-（2）解：联立y=-12x+2y=∴一次函数与反比例函数的两个交点坐标分别为6，∴由函数图象可知，当x<-2或∴当kx+b>mx时，x<-（3）解：如图所示，设直线AP交y轴于点M0∵A4,0，B∴BM2=2-∵△ABP是以点A∴，∴BM∴m2解得m=-∴M0同理可得直线AM的解析式为y=2x-联立y=2x-8y=-6∴点P的坐标为3，-2

【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，勾股定理，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键．【变式3-3】（2023·四川成都·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+5与y轴交于点A，与反比例函数y=kx的图象的一个交点为，过点B作AB的垂线l

(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式；(2)若点C在直线l上，且△ABC的面积为5，求点C(3)P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画△PDE，使它与△PAB位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及【答案】(1)点A的坐标为(0,5)，反比例函数的表达式为y=4(2)点C的坐标为(6,9)或((3)点P的坐标为-14,11【分析】（1）利用直线y=-x+5解析式可的点C的坐标，将点代入y=-x+5可得a的值，再将点B代入反比例函数解析式可得k（2）设直线l于y轴交于点M，由点B的坐标和直线l是AB的垂线先求出点M的坐标，再用待定系数法求直线l的解析式y=x+3，C点坐标为t，t+3，根据S△ABC=12AM⋅xB-xC（3）位似图形的对应点与位似中心三点共线可知点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D，直线l与双曲线的解析式联立方程组得到E-4,-1，由△PAB∽△PDE得到AB∥DE，继而得到直线AB与直线DE的解析式中的一次项系数相等，设直线DE的解析式是：，将E-4,-1代入求得DE的解析式是：y=-x-5，再将直线DE与双曲线的解析式联立求得D-1,-4，再用待定系数法求出AD的解析式是【详解】（1）解：令x=0，则y=∴点A的坐标为(0,5)，将点代入y=-x+5得：解得：a=1∴B(1,4)将点B(1,4)代入y=kx解得：k=4∴反比例函数的表达式为y=4（2）解：设直线l于y轴交于点M，直线y=-x+5与x轴得交点为

令y=-x+5=0∴，∴OA=ON=5，又∵∠AON=90∴∵A(0,5)，B(1,4)∴AB=又∵直线l是AB的垂线即∠ABM=90°，∴AB=BM=2，∴M设直线l的解析式是：y=k将点M0,3，点B(1,4)代入y=k解得：k∴直线l的解析式是：y=x+3，设点C的坐标是t∵S△ABC=12AM⋅xB解得：t=-4或当t=-4时，当t=6时，t+3=9，∴点C的坐标为(6,9)或(（3）∵位似图形的对应点与位似中心三点共线，∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D，∴点E是直线l与双曲线y=4将直线l与双曲线的解析式联立得：y=解得：x=1y=4或∴E画出图形如下：

又∵△∴∠∴AB∴直线AB与直线DE的解析式中的一次项系数相等，设直线DE的解析式是：将点E-4,-1解得：b∴直线DE的解析式是：y=∵点D也在双曲线y=4∴点D是直线DE与双曲线y=4将直线DE与双曲线的解析式联立得：y=解得：x=-1∴D设直线AD的解析式是：y=将点A(0,5)，D-1,-4解得：k∴直线AD的解析式是：y=9x+5，又将直线AD的解析式与直线l的解析式联立得：y=9x+5解得：x=∴点P的坐标为-∴BP=EP=∴m=【点睛】本题考查直线与坐标轴的交点，求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，反比例函数综合-几何问题，三角形的面积公式，位似的性质等知识，综合性大，利用联立方程组求交点和掌握位似的性质是解题的关键．强化训练一、解答题1．（2023·四川甘孜·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与反比例函数y=kxk>0的图象相交于A3(1)求反比例函数的解析式；(2)若点C为x轴正半轴上一点，且满足AC⊥BC，求点【答案】(1)y=12(2)5，【分析】（1）先求出A点坐标，再代入反比例函数解析式即可．（2）根据反比例函数的对称性可求出AB的长，再由AC⊥BC并利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求得OC的长，进而解决问题．【详解】（1）解：∵点A3，m∴m=∴点A的坐标为3，∵反比例函数y=kxk>0∴k=3×∴反比例函数的解析式为y=12（2）解：过A点作y轴的垂线，垂足为点H，∵A3则AH=3，OH=4．由勾股定理，得OA=A由图象的对称性，可知OB=OA=5．又∵AC⊥∴OC=OA=5．∴C点的坐标为5，【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，熟知反比例函数和一次函数的对称性是解题的关键．2．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=4x的图象交于

(1)求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象；(2)观察图象，直接写出不等式kx+b<4(3)设直线AB与x轴交于点C，若P(0,a)为y轴上的一动点，连接AP,CP，当的面积为52时，求点P的坐标．【答案】(1)y=1(2)x<-2(3)P0,3【分析】（1）先根据反比例函数的解析式，求出A,B的坐标，待定系数法，求出一次函数的解析式即可，连接AB，画出一次函数的图象即可；（2）图象法求出不等式的解集即可；（3）分点P在y轴的正半轴和负半轴，两种情况进行讨论求解．【详解】（1）解：∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=4x的图象交于∴m=-∴，∴A(4,1),B(-∴4k+b=1-2k+b=-2，解得：k=∴y=1图象如图所示：

（2）解：由图象可知：不等式kx+b<4x的解集为x<-（3）解：当点P在y轴正半轴上时：

设直线AB与y轴交于点D，∵y=1当x=0时，y=-1，当y=0时，，∴C2,0∴，∴S△解得：a=3∴P0,当点P在y轴负半轴上时：

PD=-∴S解得：a=-72或∴P0,综上：P0,32【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．3．（2023·四川遂宁·统考中考真题）如图，一次函数y=k1x+b的图像与反比例函数y=k2x的图像交于A-4，1

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)根据图像直接写出不等式k1(3)P为y轴上一点，若△PAB的面积为3，求P点的坐标．【答案】(1)y=x+5；y=(2)-4<x<-1或x>0，(3)0,3或0,7．【分析】（1）利用待定系数法即可求出函数解析式；（2）根据图像位置关系即可得解；（3）设P0,m，当点P在直线下方时，画出图形，根据S△PAB=S△PDA【详解】（1）解：将点A-4，1代入y=∴k2∴反比例函数的解析式为y=-将点Bm，4代入y=-∴m=-将点A-4，1、B-1，解得k1∴一次函数的解析式为y=x+5；（2）根据图像可知，当-4<x<-1时，直线在反比例函数图像的上方，满足k1∴不等式k1x+b>k2x（3）①如图过点P作x轴平行线l与AB交于点D，分别过点A，B作直线l垂线，垂足分别为点C、E，设P0,m，则D∴PD=5-则S△=1=1=3=3∵△PAB的面积为3，∴32∴m=3，即P点的坐标为0,3．

②如图，过A作AN⊥y轴于点N，过B作BM⊥y轴于点M，设P0,m

由（1）得：A-4,1，B∴M0,4，N∴PM=m-4，PN=m-1，MN=3，则S===2m-=3∴m=7，即P点的坐标为0,7，综上所述：P0,3或0,7【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合、待定系数法求函数解析式、利用图像解不等式、坐标与图形等知识，掌握反比例函数与一次函数图像与性质是解题关键．4．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形ABC的直角顶点C3，0，顶点A、B

(1)分别求反比例函数的表达式和直线AB所对应的一次函数的表达式；(2)在x轴上是否存在一点P，使△ABP【答案】(1)y=6x(2)在x轴上存在一点P5,0，使△ABP周长的值最小,最小值是2【分析】（1）过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BD⊥x轴于点D，证明△ACE≌△CBDAAS，则CD=AE=3,BD=EC=m，由OE=3-m得到点A的坐标是3-m,3，由A、B6，m恰好落在反比例函数y=kx第一象限的图象上得到33-m=6m，解得m=1，得到点（2）延长AE至点A'，使得EA'=AE，连接A'B交x轴于点P，连接AP，利用轴对称的性质得到AP=A'P，A'2,-3，则AP+PB=A'【详解】（1）解：过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BD⊥x轴于点则∠AEC=

∵点C3，0∴OC=3,OD=6,BD=m∴CD=OD-∵△ABC∴∠ACB=90∵∠ACE+∴∠ACE=∴△ACE∴CD=AE=3,BD=EC=m，∴OE=OC-∴点A的坐标是3-∵A、B6，m∴33解得m=1，∴点A的坐标是2,3，点B的坐标是6,1，∴k=6m=6，∴反比例函数的解析式是y=6设直线AB所对应的一次函数的表达式为y=px+q，把点A和点B的坐标代入得，2p+q=36p+q=1，解得p=∴直线AB所对应的一次函数的表达式为y=-（2）延长AE至点A'，使得EA'=AE，连接A'B交

∴点A与点A'关于x∴AP=A'P∵AP+PB=A∴AP+PB的最小值是A'∵AB=2-62+∴此时△ABP的周长为AP+PB+AB=AB+A设直线A'B的解析式是则2n+t=-解得n=1t=∴直线A'B的解析式是当y=0时，0=x-5，解得x=5，即点P的坐标是5,0，此时AP+PB+AB=AB+A综上可知，在x轴上存在一点P5,0，使△ABP周长的值最小，最小值是2【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质、用到了待定系数法求函数解析式、勾股定理求两点间距离、轴对称最短路径问题、全等三角形的判定和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．5．（2023·山东·统考中考真题）如图，正比例函数y1=12x

(1)求反比例函数的解析式；(2)将直线OA向上平移3个单位后，与y轴交于点B，与y2=kx(x>0)的图像交于点C【答案】(1)y(2)3【分析】（1）待定系数法求函数解析式；（2）根据平移的性质求得平移后函数解析式，确定B点坐标，然后待定系数法求直线AB的解析式，从而利用三角形面积公式分析计算．【详解】（1）解：把Am,2代入y1=解得m=4，∴A4,2把A4,2代入y2=解得k=8，∴反比例函数的解析式为y2（2）解：将直线OA向上平移3个单位后，其函数解析式为y=1当x=0时，，∴点B的坐标为0,3，设直线AB的函数解析式为yAB将A4,2，B0,3代入可得解得m=-∴直线AB的函数解析式为yAB联立方程组y=12x+3y=∴C点坐标为2,4，过点C作CM⊥x轴，交AB于点N，

在yBC=-14x+3∴CN=4-∴S△【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式，运用数形结合思想解题是关键．6．（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图，点A在反比例函数y=kxx>0的图象上，AB⊥y轴于点B，tan

(1)求反比例函数的解析式；(2)点C在这个反比例函数图象上，连接AC并延长交x轴于点D，且∠ADO=45°，求点【答案】(1)y=(2)C【分析】（1）利用正切值，求出OB=4，进而得到A2,4（2）过点A作AE⊥x轴于点E，易证四边形ABOE是矩形，得到OE=2，AE=4，再证明△AED是等腰直角三角形，得到，进而得到D6,0，然后利用待定系数法求出直线AD的解析式为y=-x+6，联立反比例函数和一次函数，即可求出点【详解】（1）解：∵AB∴∠∵tan∴AB∵AB=2∴OB=4∴A∵点A在反比例函数y=k，∴反比例函数的解析式为y=8（2）解：如图，过点A作AE⊥x轴于点∵∠∴四边形ABOE是矩形，∴OE=AB=2，OB=AE=4，，∴△AED∴DE=AE=4∴OD=OE+DE=2+4=6∴D设直线AD的解析式为，∴2k+b=46k+b=0，解得：∴直线AD的解析式为y=-∵点A、C是反比例函数y=8x和一次函数联立y=8xy=-x+6，解得：x=2∵A∴C

【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了锐角三角函数值，矩形的判定和性质，待定系数法求函数解析式，反比例函数和一次函数交点问题等知识，求出直线AD的解析式是解题关键．7．（2023·四川德阳·统考中考真题）如图，点A在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，点C是点A关于y轴的对称点，△

(1)求反比例函数的解析式；(2)当点A的横坐标为2时，过点C的直线y=2x+b与反比例函数的图象相交于点P，求交点P的坐标．【答案】(1)y=(2)P-2+22【分析】（1）设Am,km，可得C-m,km，结合（2）先求解A2,4，C-2,4，可得直线为，联立y=【详解】（1）解：∵点A在反比例函数y=k∴设Am,∵点C是点A关于y轴的对称点，∴C-∵△OAC的面积是8∴12解得：k=8；∴反比例函数解析式为：y=8（2）∵点A的横坐标为2时，∴yA=8则C-∵直线y=2x+b过点C，∴，∴b=8，∴直线为，∴y=8解得：x=-2+22y=4+42∴P-2+22,4+4【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，轴对称的性质，一元二次方程的解法，熟练的利用图形面积建立方程求解是解本题的关键．8．（2023·西藏·统考中考真题）如图，一次函数y=x+2与反比例函数y=ax的图象相交于A，B两点，且点A的坐标为1,m，点B的坐标为

(1)求m,n的值和反比例函数的解析式；(2)点A关于原点O的对称点为A'，在x轴上找一点P，使PA'【答案】(1)m=3，n=-3，反比例函数的解析式为：y=3(2)-2.5【分析】（1）将点A1,m，点Bn,-1分别代入y=x+2之中，即可求出m,n的值；然后再将点1,3代入（2）作点B关于x轴的对称点B'，连接A'B'交x轴于点P，连接PB，则PA'+PB为最小，故得点P为所求作的点，根据对称性先求出点A'-1【详解】（1）解：将点A1,m，点Bn,-1分别代入得：m=1+2，-1=n+2解得：m=3，n=-∴点A1,3，点B将点A1,3代入之中，得：a=1∴反比例函数的解析式为：y=3（2）作点B关于x轴的对称点B'，连接A'B'交x轴于点

则PA故得点P为所求作的点．理