《第十三章 轴对称》单元核心考点归纳与单元检测试卷

《第十三章轴对称》单元核心考点归纳1．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1)，B(4,2)，C(3,4)．(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1.(2)请在x轴上找一点P，使得PA＋PB最小，并直接写出点P的坐标．1轴对称变换解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求．(2)如图，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点P，点P即为所求，其坐标为(2,0)．性质1轴对称的性质2．如图，△AOD和△BOC关于直线l轴对称，下列说法中错误的是(

)A．∠DAO＝∠CBO，∠ADO＝∠BCOB．直线l垂直平分AB，CDC．△AOD和△BOC均是等腰三角形D．AD＝BC，OD＝OC

2五个性质C性质2线段的垂直平分线的性质3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝15°，边AB的垂直平分线与AC交于点D，与AB交于点E，连接BD.若AD＝10cm，则BC＝______cm.5性质3等腰三角形的性质4．如图，在△ABC中，点D，E为边BC上的点，且AD＝AE，BD＝EC.求证：AB＝AC.证明：过点A作AF⊥DE于点F.∵AD＝AE，AF⊥DE，∴DF＝EF.又∵BD＝EC，∴BF＝CF.∵AF⊥BC，∴∠AFB＝∠AFC＝90°.又∵AF＝AF，∴△AFB≌△AFC(SAS)，∴AB＝AC.性质4等边三角形的性质5．如图，△ABC是等边三角形，△ACE是等腰三角形，∠AEC＝120°，点F为边BC的中点，连接AF.(1)直接写出∠BAE的度数为__________.(2)判断AF与CE的位置关系，并说明理由．90°解：(2)AF∥CE.理由如下：∵AB＝AC，BF＝CF，∴AF⊥BC.∵∠ACB＝60°，∠ACE＝30°，∴∠BCE＝90°，∴EC⊥BC，∴AF∥CE.性质5含30°角的直角三角形的性质6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，边AC的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E.(1)求∠BCD的度数．(2)若DE＝3，求AB的长．解：(1)∵DE为边AC的垂直平分线，∴CD＝AD，DE⊥AC，∴∠DCA＝∠A＝30°.∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝∠ACB－∠DCA＝90°－30°＝60°.(2)∵∠B＝90°－30°＝60°，∴∠BCD＝∠B，∵DE⊥AC，∠A＝30°，DE＝3，∴AD＝2DE＝6，∴AB＝2AD＝12.判定1线段的垂直平分线的判定7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于点E，连接AE.求证：CD垂直平分AE.3三个判定证明：证△DAC≌△DEC(AAS)，DA＝DE，CA＝CE，∴CD垂直平分AE.判定2等腰三角形的判定8．如图，点D为△ABC的边AB的延长线上一点，DF⊥AC于点F，交BC于点E，且BE＝BD.求证：AB＝BC.证明：证∠CEF＝∠BED＝∠D，∴∠C＋∠D＝90°.又∵∠A＋∠D＝90°.∴∠A＝∠C，∴AB＝BC.判定3等边三角形的判定9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，点E在BA的延长线上，连接CE.(1)求证：∠E＝∠ECD.(2)若∠E＝60°，CE平分∠BCD，直接写出△BCE的形状．解：(1)证明：∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠B.∵∠B＝∠D，∴∠EAD＝∠D，∴BE∥CD，∴∠E＝∠ECD.(2)∵∠E＝60°，∠E＝∠ECD，∴∠ECD＝∠E＝60°.∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠ECD＝60°，∴∠BCE＝∠E＝60°，∴∠B＝180°－∠BCE－∠E＝60°，∴∠BCE＝∠E＝∠B，∴△BCE是等边三角形．应用1轴对称与坐标的应用10．已知点M(2a－1，a＋2)，N(2－b，b－1)．(1)若点M，N关于x轴对称，则a＝__________，b＝________.(2)若点M关于y轴对称的点在第一象限，则a的取值范围是________________.4两个应用4－5应用2轴对称在最短路径问题中的应用11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10.若点D，E分别为BC，AB上的动点，则AD＋DE的最小值是(

)A．8.4 B．9.6C．10 D．10.8B《第十三章轴对称》阶段小测(一)(测试范围：13.1～13.2时间：45分钟满分：100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，满分30分)1．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是(

)2．若点A(x＋y,1)与B(－3，y)关于x轴对称，则(

)A．x＝－2，y＝1 B．x＝－2，y＝－1C．x＝2，y＝－1 D．x＝2，y＝1BB3．下面是四位同学作△ABC关于直线MN对称的图形，其中正确的是(

)B4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，点D是边AB上一点，将△BCD沿CD折叠，使点B落在边AC上的点E处，则∠ADE的度数是(

)A．25° B．30°C．35° D．40°D5．如图，在△ABC中，E为边AB的中点，过点E作ED⊥AB交BC于点D，若AE＝3，△ADC的周长为20，则△ABC的周长为(

)A．20 B．23C．26 D．29C6．如图，△ABC关于边AB，BC所在直线对称的图形分别是△ABE，△BDC.若∠1∶∠2∶∠3＝9∶2∶1，则∠4的度数是(

)A．70° B．80°C．90° D．95°C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)7．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A＝105°，∠C′＝30°，则∠B的度数是__________.45°8．如图，△ABC与△AED关于直线l对称，连接CD交直线l于点O，若AB＝AC＝2，OC＝BC＝1，则四边形ABCD的周长为______.9．已知P(m－4,3m－7)关于y轴的对称点在第一象限，则m的整数解为______.7310．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D，E.已知△ADE的周长为13cm.(1)线段BC＝________cm.(2)分别连接OA，OB，OC，若∠DOE＝80°，则∠BAC＝____________.13100°三、解答题(本大题共4小题，满分50分)11．(本题12分)如图，在△ABC中，∠A＝90°，ED垂直平分BC交BC于点D，交AB于点E，连接CE.若AB＝10，CE∶AE＝3∶2，求AE的长．解：AE＝4.12．(本题12分)如图，已知线段AB.(1)用尺规作图的方法作出线段AB的垂直平分线l(保留作图痕迹，不要求写出作法)．(2)在(1)中所作的直线l上任意取两点M，N(线段AB的上方)．连接AM，AN，BM，BN.求证：∠MAN＝∠MBN.解：(1)如图所示，直线l即为所求．(2)证明：根据题意作出的图形如图所示．∵点M，N在线段AB的垂直平分线l上，∴AM＝BM，AN＝BN.∴△AMN≌△BMN(SSS)，∴∠MAN＝∠MBN.13．(本题12分)如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知△ABC的顶点A的坐标为

A(－1,4)，顶点B的坐标为(－4,3)，顶点C的坐标为(－3,1)．(1)把△ABC向下平移4个单位长度，再以y轴为对称轴，得到△A′B′C′.请你画出△A′B′C′，并直接写出点A′，B′，C′的坐标．(2)求△ABC的面积．解：(1)如图所示，△A′B′C′即为所求，点A′，B′，C′的坐标分别为A′(1,0)，B′(4，－1)，C′(3，－3)．14．核心素养·几何直观(本题14分)折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．已知在△ABC中，请根据题意，探索不同情境中∠1＋∠2(或∠1－∠2)与∠A的数量关系．(1)如图①，若∠A＝60°，沿图中虚线DE截去∠A，则∠1＋∠2＝____________.(2)如图②，翻折后，点A落在点A′处，若∠1＋∠2＝110°，求∠B＋∠C的度数．(3)如图③，△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，若∠1＝80°，∠2＝28°，则∠A的度数为__________.240°26°解：(1)∵∠A＝60°，∴∠ADE＋∠AED＝180°－60°＝120°，∴∠1＋∠2＝360°－∠ADE－∠AED＝240°.故答案为240°.(2)如图②，连接AA′.∵∠1＝∠DAA′＋∠DA′A，∠2＝∠EAA′＋∠EA′A，∴∠1＋∠2＝∠DAA′＋∠DA′A＋∠EAA′＋∠EA′A＝∠EAD＋∠EA′D.∵∠EAD＝∠EA′D，∴∠1＋∠2＝2∠EAD＝110°，∴∠EAD＝55°，∴∠B＋∠C＝180°－55°＝125°.(3)如图③，设AB与DA′交于点F.∵∠1＝∠DFA＋∠A，∠DFA＝∠2＋∠A′.由折叠可得，∠A＝∠A′，∴∠1＝∠A＋∠A′＋∠2＝2∠A＋∠2.又∵∠1＝80°，∠2＝28°，∴80°＝2∠A＋28°，∴∠A＝26°，故答案为26°.《第十三章轴对称》阶段小测(二)(测试范围：13.3～13.4时间：45分钟满分：100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题4分，满分24分)1．已知等腰三角形的两边长分别是4cm和8cm，则周长为(

)A．16cm

B．20cmC．16cm或20cm D．24cm2．下列推理中，不能判断△ABC是等边三角形的是(

)A．∠A＝∠B＝∠C B．AB＝AC，∠B＝60°C．∠A＝60°，∠B＝60° D．AB＝AC，且∠B＝∠CBD3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是斜边AB上的高，BD＝2，则AD的长为(

)A．2 B．4C．6 D．8C4．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点F，G.若FG＝2，ED＝6，则DB＋EC的值为(

)A．3 B．4C．5 D．9B5．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12cm，点D在边AC上，DC＝4cm，将线段DC沿CB方向平移7cm得到线段EF，点E，F分别落在边AB，BC上，则△EBF的周长为(

)A．7cm B．11cmC．13cm D．16cmC6．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过点B作BE⊥AD于点E，过点E作EF∥AC交AB于点F，则(

)A．AF＝2BF

B．AF＝BFC．AF＞BF

D．AF＜BFB二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)7．在△ABC中，AB＝AC，∠B＝54°，则∠C的度数为__________.8．如图，△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一条直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数是__________.54°15°9．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D是边BC上一点，BD＝2，DE⊥BC交AB于点E，则AE＝______.210．如图，等腰△ABC的底边BC的长为4，面积是16，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于点E，F.若点D为边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为________.10三、解答题(本大题共5小题，满分56分)11．(本题10分)如图，在△PON中，∠PON＝60°，OP＝12，点M在ON上，且PM＝PN.若OM＝3，求MN的长．∴ME＝3＝EN，∴MN＝6.12．(本题10分)如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E分别为AB，AC上的点．若AD＝AE，DF＝BD，求∠BDF的度数．解：∵BC＝AC，∴设∠A＝∠B＝x.∵DF＝DB，∴∠B＝∠F＝x.∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝∠B＋∠F＝2x.在△AED中，x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°，即∠B＝∠F＝36°，∴∠BDF＝180°－36°×2＝108°.13．(本题10分)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC(即三角形的顶点都在格点上)．(1)△ABC的面积为__________.(2)在图中作出△ABC关于直线MN的对称图形△A′B′C′.(3)在MN上找一点P，使得PB＋PC的距离最短，在图中作出P点的位置．5.5故答案为5.5.(2)如图所示，△A′B′C′即为所求．(3)如图所示，点P即为所求．14．(本题12分)如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E为边AC上一点，∠EDC＝∠BAC.(1)画出△ABD关于直线AD对称的三角形．(2)求证：BD＝ED.解：(1)如图，在CE上取点F，使AB＝AF，连接DF，则△ADF与△ADB关于直线AD对称．(2)证明：易证△ABD≌△AFD(SAS)，得BD＝DF，∠B＝∠AFD.由∠B＋∠BAC＋∠C＝∠DEC＋∠EDC＋∠C＝180°，∴∠B＝∠DEC，∴∠DEC＝∠AFD，∴DE＝DF，∴BD＝ED.15．(本题14分)如图，已知△ABC≌△CDA，将△ABC沿AC所在的直线折叠至△AB′C的位置，点B的对应点为B′，连接BB′.(1)B′B与AC的位置关系是________.(2)点P，Q分别是线段AC，BC上的两个动点(不与点A，B，C重合)，已知△BB′C的面积为36，BC＝8，求PB＋PQ的最小值．垂直解：(2)连接B′P.由题意，易得AC是BB′的垂直平分线，∴PB＝PB′，∴PB＋PQ＝PB′＋PQ，∴当B′，P，Q三点在一条线段上时，PB＋PQ的值最小．又∵垂线段最短，∴B′Q⊥BC时，PB＋PQ的值最小．∴h＝9，∴PB＋PQ的最小值为9.《第十三章轴对称》单元检测一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．1．下列图形中一定是轴对称图形的是(

)A2．如图，直线m是多边形ABCDE的对称轴，其中∠A＝115°，∠B＝105°，则∠BCD的度数是(

)A．80° B．90°C．100° D．110°3．下列条件中能确定△ABC

为等腰三角形的是(

)A．∠A＝50°，∠B＝80° B．∠A＝42°，∠B＝48°C．∠A＝2∠B＝70° D．AB＝4，BC＝5，周长为15CA4．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E.若∠BAE＝10°，则∠C的度数是(

)A．30° B．40°C．50° D．60°B5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是边BC上的动点，则AP的长不可能是(

)A．3.5 B．4.2C．5.8 D．7D6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线MN分别交AC，AB于点D，E.若∠CBD∶∠DBA＝2∶1，则∠A的度数是(

)A．20° B．25°C．22.5°

D．30°CA．等边三角形

B．直角三角形C．钝角三角形

D．等腰但非等边三角形A8．如图，AB＝AC，AE＝EC＝CD，∠A＝60°.若EF＝2，则DF的长为(

)A．3 B．4C．5 D．6D9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，点D是AC上一点，且BD＝BC，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是点E，F，下列结论中错误的是(

)A．DE＝DF

B．点D是AC的中点C．点E是AB的中点

D．AB＝BC＋CDB10．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，EF垂直平分线段BC，P是直线EF上的任意一点，则△ABP周长的最小值是(

)A．9 B．15C．24 D．27B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．已知点P(3，－4)，则点P关于y轴对称的点的坐标是__________________.12．如果一个等腰三角形周长是20cm，底边长为6cm，那么腰长为______cm.13．如图，AB＝AC＝8cm，DB＝DC.若∠ABC＝60°，则BE＝______cm.(－3，－4)7414．如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D，E分别在边AB，AC上，BD＝BC＝CE，连接CD，BE.(1)若∠ABC＝80°，则∠ABE的度数为__________.(2)∠BDC＋∠BEC的度数为____________.20°110°三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)15．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，求∠C的度数．解：∵AB＝AD＝DC，∴∠B＝∠ADB，∠CAD＝∠C.∵∠BAD＝20°，∴∠B＝∠BDA＝80°，∴∠ADC＝∠B＋∠BAD＝100°，∴∠C＝40°.16．如图，在Rt△ABC中，过直角边AC上的一点P作直线MN交AB于点M，交BC的延长线于点N，且∠APM＝∠A.求证：点M在BN的垂直平分线上．证明：∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.∵∠PCN＝90°，∴∠N＋∠NPC＝90°.又∵∠APM＝∠A，∴∠NPC＝∠A，∴∠B＝∠N，∴MB＝MN，∴点M在BN的垂直平分线上．四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17．如图，在等边三角形ABC的边AC上取中点D，在BC的延长线上取一点E，使CE＝CD.求证：BD＝DE.∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠E.∵∠ACB＝60°，且∠ACB为△CDE的外角，∴∠CDE＋∠E＝60°，∴∠CDE＝∠E＝30°，∴∠DBE＝∠E＝30°，∴BD＝DE.证明：∵△ABC为等边三角形，BD是边AC的中线，∴BD⊥AC，BD平分∠ABC，18.如图，∠BAC＝∠ABD,AC＝BD,点O是AD与BC的交点，点E是AB的中点．试判断OE和AB的位置关系，并说明理由．解：OE⊥AB.理由如下：∴△BAC≌△ABD(SAS)，∴∠OBA＝∠OAB，∴OA＝OB.又∵点E是AB的中点，∴AE＝BE，∴OE⊥AB.五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19．在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的位置如图所示．(1)将△ABC向下平移5个单位长度，得到△A1B1C1，请画出图形．(2)画出△A1B1C1

关于y轴对称的图形△A2B2C2，并直接写出点C2

的坐标．解：(1)如图所示，△A1B1C1

即为所求．(2)如图所示，△A2B2C2

即为所求．点C2

的坐标为(1，－3)．20．如图，上午8时，一艘轮船从A处测得灯塔C在北偏西30°处，以15nmile/h的速度向正北方向航行，9时30分到达B处，测得灯塔C在北偏西60°处．若轮船继续向正北方向航行，求轮船何时到达灯塔C的正东方向D处．解：∵∠CBD为△ABC的外角,∠CBD＝60°,∠CAB＝30°,∴∠ACB＝∠CBD－∠CAB＝30°，∴∠CAB＝∠ACB，∴AB＝BC.∵AB＝15×(9.5－8)＝22.5(nmile)，∴AB＝BC＝22.5nmile.在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，则当轮船继续航行，10时15分到达灯塔C的正东方向D处．六、(本题满分12分)21．如图，在等边三角形ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC.(1)试判断△ODE的形状，并说明理由．(2)判断线段BD，DE，EC三者之间的关系，并说明理由．解：(1)△ODE是等边三角形．理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，∴△ODE是等边三角形．(2)BD＝DE＝EC.理由如下：∵OB平分∠ABC，且∠ABC＝60°，∴∠ABO＝∠OBD＝30°.∵OD∥AB，∴∠BOD＝∠ABO＝30°，∴∠DBO＝∠DOB，∴BD＝OD.同理，EC＝OE.∵DE＝OD＝OE，∴BD＝DE＝EC.七、(本题满分12分)22．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB.(1)若∠ABC＝70°，则∠NMA的度数是__________.(2)若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm.①求BC