【数学】第八章 小结教学设计+2024-2025学年人教版数学七年级下册

教学设计课程基本信息学科数学年级七年级学期春季课题第八章小结编写教师工作单位指导专家工作单位教学目标1．梳理平方根、立方根、无理数、实数等相关概念，建立它们之间的关联，形成知识结构体系．2．通过具体的实数运算问题，巩固运算法则、运算律，发展学生的抽象能力和运算能力．教学内容教学重点加深对平方根、立方根、无理数、实数等概念的理解，建立它们之间的关联，形成结构体系；掌握实数的运算法则、运算律．教学难点对于无理数概念的理解．教学过程教学环节主要师生活动知识结构梳理本章主要包括平方根、算术平方根、立方根，以及无理数、实数的概念、运算，以及实数在数轴上的表示等内容．师生活动：结合本章知识结构图，梳理一下本章的主要内容，并通过本节课的复习逐步细化知识结构图，建立知识之间的联系，形成结构体系．设计意图：通过知识结构图，让学生体会数学知识之间的关联．回顾与思考问题1：什么是平方根？师生活动：学生思考并回答，教师根据回答情况进行评价，并归纳得出：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x叫作a的平方根或二次方根．设计意图：通过问题的提出，让学生巩固平方根的概念．追问：什么样的数有平方根？师生活动：学生思考并回答，教师适时点拨，共同回顾平方根的相关内容：正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根，进而归纳出非负数才有平方根．设计意图：通过问题的提出，让学生明确平方根的特征．问题2：什么是算术平方根？师生活动：学生回答问题，教师进行评价并得到：正数a有两个平方根，其中正的平方根叫作a的算术平方根．规定：0的算术平方根是0．设计意图：通过问题的提出，让学生巩固算术平方根的概念．追问：平方根与算术平方根有什么联系和区别？师生活动：学生回答问题，教师进行评价并适时点拨，并归纳得出：联系：正数的两个平方根互为相反数，其中正的平方根是算术平方根，另外0的平方根与算术平方根都是0；区别：正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个．设计意图：平方根与算术平方根的概念容易混淆，通过此问题让学生加深理解它们的区别与联系．问题3：什么是立方根？师生活动：学生思考回答，老师进行适当点拨，共同回顾立方根的概念：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x叫作a的立方根或三次方根．设计意图：通过问题的提出，让学生巩固立方根的概念．追问：任何实数都有立方根吗？师生活动：学生思考回答，老师进行适当点拨，并归纳得出：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．进而归纳得出，任何数都有立方根．设计意图：通过问题的提出，让学生明确立方根的特征．问题4：开平方与平方有怎样的关系？开平方与平方互为逆运算．追问：开立方与立方有怎样的关系？师生活动：学生思考并回答，老师进行适当点拨，共同梳理它们之间的关系：开立方与立方互为逆运算，让学生进一步认识乘方与开方互为逆运算．设计意图：通过问题的提出，让学生进一步认识乘方与开方互为逆运算．问题5：什么是无理数？师生活动：学生思考并回答：无限不循环小数是无理数．设计意图：通过问题的提出，让学生巩固无理数的概念．追问1：无理数与有理数有什么区别？师生活动：学生思考并尝试回答，教师规范学生语言，引导学生归纳：无限不循环小数是无理数．任意一个有理数都可以写成两个整数之比的形式，即可以写成分数形式的数称为有理数，也就是形如（p，q是正整数，q≠0）的分数，而无理数是不能写成两个整数之比（分数）的数．任何一个无理数都是无限不循环小数，而任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式．无理数和有理数都是现实世界中客观存在的量的反映．设计意图：通过问题的提出，让学生加深对无理数以及有理数的理解，并明确无理数和有理数的区别．追问2：举例说明怎样用有理数估计一个开方开不尽的数的范围．师生活动：学生思考并回答，学生举例：2＜＜3．设计意图：通过举例的形式，让学生提升估算能力．问题6：实数由哪些数组成？师生活动：学生回答问题，教师适时点拨，并归纳得出：有理数和无理数统称实数，可以分类如下：或这样分类：设计意图：启发学生类比有理数的分类，明确分类的基本原则：按照某个标准，不重不漏．让学生明确实数的分类可以有不同的方法，初步形成对实数的整体认识．追问：实数与数轴上的点有怎样的对应关系？师生活动：学生回答问题，教师适时点拨，并归纳得出：当数的范围从有理数扩充到实数后，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．因此，实数与数轴上的点是一一对应的，可以利用数轴将“数”与“形”联系起来，让学生理解“数形结合”思想．问题7：数的范围是如何从正整数逐步扩充到实数的？师生活动：学生思考并回答，老师进行适当点拨，共同梳理：设计意图：让学生回顾在数的开方基础上引进无理数的概念，并将数从有理数范围扩充到实数范围．从有理数到实数是数系的一次重要扩充．追问1：随着数的范围的不断扩充，数的运算有什么发展？师生活动：学生思考并回答，老师进行适当点拨，共同梳理：随着数的范围的扩充，数的运算也有了新的发展，在实数范围内，不仅能进行加、减、乘、除四则运算，而且对0和任意正数能进行开平方运算，对任意实数能进行开立方运算．追问2：加法与乘法的运算律始终保持不变吗？师生活动：学生思考并回答，老师进行适当点拨，共同梳理：加法与乘法的运算律始终保持不变，体会运算的一致性．对于实数的运算，要强调两点：一是有理数的运算律和运算法则在实数范围内仍然成立；二是涉及无理数的近似计算，可以取近似值，转化为有理数进行计算．通过类比有理数的运算，指出有理数的运算法则和运算律等在实数范围内仍然成立，感悟运算的一致性，认识运算对象在发展，而算理保持不变．在后续二次根式的运算中，我们还要进一步学习体会．例题精讲例1求下列各式的值：（1）； （2）；（3）； （4）．师生活动：学生自主完成，并进行交流分享，教师对学生的解答进行评析，具体解法如下：解：（1）；（2）＝10；（3）＝±0.3；（4）．设计意图：通过例题讲解进一步巩固平方根、算术平方根和立方根的概念．通过复习，使学生进一步熟悉百以内整数的平方根和百以内整数（对应的负整数）的立方根，进一步提升运算能力．例2下列各数分别介于哪两个相邻的整数之间？与哪个整数更接近？（1）；（2）．师生活动：学生自主完成，并进行交流分享，教师对学生的解答进行评析，具体解法如下：解：（1）∵81＜91＜100，∴．∴9＜＜10．因此介于整数9和10之间；通过比较可以看出更接近10．（2）∵64＜91＜125，∴．∴4＜＜5．因此介于整数4和5之间；通过比较可以看出更接近4．设计意图：用两个相邻的整数估算某些数的平方根、立方根的大小．例3计算：（1）； （2）．师生活动：学生自主完成，并进行交流分享，教师对学生的解答进行评析，具体解法如下：解：（1）＝＋＝2＋；（2）＝＝3＋1＝4．设计意图：利用运算法则、运算律进行实数的运算，认识根据平方根的意义，并根据其意义直接计算．拓展提升（1）怎样把由5个边长为1的小正方形组成的图形（如图）剪拼成一个大正方形？（2）在数轴上画出这个大正方形的边长所对应的点．师生活动：学生自主探索，并在小组内进行交流，学生回答问题，教师适时点拨．设计意图：运用有关知识解决问题．在这个过程中，让学生学会逐步分析问题、解决问题，培养学生分析问题、解决问题的能力．通过练习，提升学生抽象能力和运算能力．课堂练习一个圆与一个正方形的面积都是2πcm2，它们中哪一个的周长较大？你能从中得到什么启发？师生活动：学生先自主探索，然后小组合作进行交流，学生回答问题，教师适时点拨．设计意图：运用有关知识解决问题．在解决问题的过程中，培养学生分析问题、解决问题的能力．通过练习，提升学生抽象能力和运算能力．课堂总结本章学习了哪些内容？本章用到了哪些思想方法？师生活动：学生思考并尝试回答，教师规范学生语言，引导学生归纳：通过本节课，我们对本章知识进行了梳理和回顾．主要包括：平方根、算术平方根、立方根的概念，及它们之间的联系与区别，运用平方根（或立方根）的