2024-2025学年高中数学第四章三角恒等变换1.1基本关系式1.2由一个三角函数值求其他三角函数值1.3综合应用课后习题含解析北师大版必修第二册

第四章三角恒等变换§1同角三角函数的基本关系1.1基本关系式1.2由一个三角函数值求其他三角函数值1.3综合应用课后篇巩固提升基础达标练1.已知tanα=2,则2sinα+3cosαsinA.-2 B.3 C.6 D.7解析由tanα=2,得2sinα+3cosα答案D2.在△ABC中,若cos(A+B)>0,sinC=13,则tanC等于(A.24 B.-24 C.±24解析由cos(A+B)>0知,-cosC>0,即cosC<0,又sinC=13,所以cosC=-1-1故tanC=sinCcosC答案B3.若sinα-2cosα3sinα+5cosα=-A.-2 B.2 C.2316 D.-解析由已知可得tanα-23tanα+5=-5,答案D4.记cos(-80°)=k,那么tan100°=()A.1-k2kC.k1-k2解析因为sin80°=1-cos280°=1-cos2答案B5.(多选)下列结论中成立的是()A.sinα=12且cosα=B.tanα=2020且cosC.tanα=1且cosα=±2D.sinα=1且tanα·cosα=1解析因为sin2α+cos2α=12≠1,所以A错误;因为cosαsinα=12020,即tanα=2024,所以B正确;因为tanα=1,所以α=kπ+π4(k∈Z),所以cosα=±22,所以C正确;因为sinα=1时,角α的终边落在y轴的非负半轴上,答案BC6.(多选)已知sinα-cosα=13(0<α<π),则下列选项正确的是(A.sinαcosα=49 B.sinα+cosα=C.cos4α+sin4α=79 D.cos4α+sin4α=解析sinα-cosα=13两边平方,得(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=19,即2sinαcosα=89,则sinαcosα=49,选项A正确.因为0<α<π,所以因为sinαcosα=49>0,所以cosα>0因为(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=1+89所以sinα+cosα=179=173,cos4α+sin4α=(sin2α+cos2α)2-2sin2αcos2α=1-2492=答案ABD7.已知tanα=-2,且α为其次象限角,则sinα=,cosα=.

解析因为α为其次象限角,所以sinα>0,cosα<0,由tanα=答案2558.若角α的终边落在直线x+y=0上,则sinα1-si解析因为角α的终边落在直线y=-x上,所以角α的终边可能在其次或第四象限,则sin答案09.已知tanα=2,则11-sinα解析原式=sin答案510.求证:sinθ(1+tanθ)+cosθ1+1证明因为左边=sinθ1+sinθcosθ=sinθ+sin2θcosθ=1sinθ+1cos实力提升练1.若△ABC的内角A满意sinAcosA=13,则sinA+cosA的值为(A.153 B.-153 C.53 D解析因为sinAcosA=13>所以内角A为锐角,所以sinA+cosA=1+2sinA答案A2.化简2sin41-cos2A.-3 B.-1 C.1 D.3解析2sin41-cos24+1-sin23cos3=2sin4sin24答案A3.已知tanα=-34,则sinα(sinα-cosα)=(A.2125 B.2521 C.45解析sinα(sinα-cosα)=sin2α-sinαcosα=sin将tanα=-34代入,得原式=(答案A4.已知sinα+cosα=12,α∈(0,π),则1-tanαA.-7 B.7 C.3 D.-3解析因为sinα+cosα=12所以(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=14所以sinαcosα=-38,又因为α∈(0,π所以sinα>0,cosα<0,所以cosα-sinα<0,因为(cosα-sinα)2=1-2sinαcosα=1-2×-38=74,所以cosα-sinα=-72所以1-tanα答案A5.化简1-2sin4cos4的结果是(A.sin4+cos4 B.sin4-cos4C.cos4-sin4 D.-(sin4+cos4)解析先推断4是第几象限角,再比较sin4与cos4的大小.因为5π4<4<3π2,所以0所以1-2sin4cos4=(sin4-cos4)2=|sin4答案C6.已知cos2α+4sinαcosα+4sin2α=5,则tanα=.

解析由题意知co=1+4tanα+4ta整理得tan2α-4tanα+4=0,所以tanα=2.答案27.证明:cos证明左边=(=(=cosαcosα+sin素养培优练1.若sinα+cosα=1,则sinnα+cosnα(n∈Z)的值为.

解析因为sinα+cosα=1,所以(sinα+cosα)2=1,又sin2α+cos2α=1,所以sinαcosα=0,所以sinα=0或cosα=0,当sinα=0时,cosα=1,此时有sinnα+cosnα=1;当cosα=0时,sinα=1,也有sinnα+cosnα=1,所以sinnα+cosnα=1.答案12.已知tan2α=2tan2β+1,求证:sin2β=2sin2α-1.证明法一:因为tan2α=2tan2β+1,所以tan2β=tan2因为tan2β=sin2βcos2β,所以sin2β=sin2由①②,得sin2β=