2024年中考数学二次函数压轴题：面积比例问题（学生版）

专题03面积比例问题

一、知识导航

除了三角形、四边形面积计算之外，面积比例也是中考题中常见的条件或结论，对面积比例的分析，往往

比求面积要复杂得多，这也算是面积问题中最难的一类.

大部分题目的处理方法可以总结为两种：(1)计算；(2)转化.

本文结合19年各地中考题，简要介绍关于比例条件的一些运用方法.

策略一：运用比例计算类

综合与探究：如图，抛物线y=&+/«+6经过点A(-2,0),B(4,0)两点，与y轴交于点C,点。是抛物线

上一个动点，设点。的横坐标为租(1＜加＜4).连接AC,BC,DB,DC.

(1)求抛物线的函数表达式；

3

(2)ABCD的面积等于AAOC的面积的一时，求加的值；

4

【分析】

(1)可重设解析式为交点式：y=〃(x+2)(x-4),展开得：y=ax2-2ax-Sa,常数项对应相等，-8〃=6,

2

解得：a=--,故抛物线解析式为：y=--x+-x+6.

442

(2)考虑△AOC和△BCD并无太多关联，并且△AOC是确定的三角形，面积可求，故可通过面积比推导

△BCD的面积.

S2x6=6,

339

SBCD=工义SAOC=丁6=5,

此问题变为面积定值问题，就不难了.

【小结】利用面积比计算出所求三角形面积，再运用处理面积定值的方法即可解决问题.

策略二：转化面积比

如图，B、D、C三点共线，考虑△A3。和△AC。面积之比.

转化为底：

共高，面积之比化为底边之比：则S钻。：SAS=8D：C£).

更一般地，对于共边的两三角形△A8D和△ACD,连接BC,与交于点E,则

SADRLD)：SArn=BM:CN=BE:CE.

A

B

7M

策略三：进阶版转化

在有些问题中，高或底边并不容易表示,所以还需在此基础上进一步转化为其他线段比值，比如常见有：“A

字型线段比、“8”字型线段比.

“A”字型线段比：S^-.SACD=BD-CD=BA:AM.

"8'字型线段比：SABD:SACD=BD:CD=AB:CM.

以2019连云港中考填空压轴为例：

[2019连云港中考】

如图，在矩形A3CD中，AB=4,4)=3,以点C为圆心作C与直线助相切，点尸是C上一个动点,

AP

连接AP交班＞于点T,则一的最大值是.

D

AB

【分析】

AP.AT均为动线段，并不易于分析比值的最大值，故需转化线段.

构造字型线段比：

工丁.pAPAQ

由平行得：一=—

ATAB

BC=3,BM=3x-=-,CM=3x-=—,PM=—+—=—

44444520

“1235414八）419-

MQ=——x—=——,AQ=4+--------=12,

203444

APAQ12

故最大值为——=一三=一=3.

ATAB4

思路2:构造"8"字型线段比是否可行？

4PTPTP

虽然问题是一的比值，为便于构造“8”字，可转化为“土匚+1”，即求」二的最大值,

ATATAT

过点尸作尸0〃A3交8。延长线于。点，可得：IL=fQ；考虑到AB是定线段，故只要尸0最大即可.

ATAB

但是本题尸点在圆上运动，故很难分析出点尸在何位置，尸。取到最大值，若尸点换个轨迹路线，或许就

很容易分析了.

。一、

,、、D

AB

二、典例精析

例一、

已知抛物线y=奴？+bx+3经过点A(1,O)和点5(-3,0),与y轴交于点C,点P为第二象限内抛物线上的动

点.

(1)抛物线的解析式为,抛物线的顶点坐标为;

(2)如图，连接OP交BC于点。，当乂。。：5ABM,=1:2时，请求出点。的坐标.

【分析】

(1)y=-x2-2x+3;顶点坐标为(-1,4).

(2)根据&迪：5凶如=1：2可得CD:BD=1:2,

故。点是线段8c靠近点C的三等分点，又8(-3,0)、C(0,3),

二。点坐标为(-1,2).

例二、

如图，抛物线y=a、2+2x+c(a<0)与x轴交于点A和点3(点A在原点的左侧，点3在原点的右侧)，与y

轴交于点C,OB=OC=3.

(1)求该抛物线的函数解析式.

(2)如图，连接3C,点。是直线3c上方抛物线上的点，连接C®,CD.OD交BC于点、F,当

S&COF:SACDF=3:2时，求点。的坐标•

【分析】

（1）解析式：y=—x2+2x+3

（2）显然△C。尸和△口）/共高，可将面积之比化为底边之比.

OF:DF=S,COF：S、CDF=3:2,

思路1:转化底边之比为"A”字型线段比

在y轴上取点E（0,5）,（为何是这个点？因此此时OC:CE=3:2）

过点E作BC的平行线交无轴于G点，

EG与抛物线交点即为所求。点，

根据平行线分线段成比例，OF:FD=OC:CE=3:2.

直线EG解析式为：y=-x+5,

与抛物线联立方程，得：一/+2》+3=-》+5,

解得：%,=1,x2=2.

故。点坐标为（1,4）或（2,3）.

思路2:转化底边之比为“8”字型线段比

过点。作。G//y轴交8C边于点G,则一=——,又0c=3,故点G满足。G=2即可.这个问题设。点

FDDG

坐标即可求解.

也可以构造水平"8"字，过点。作。G//x轴交3c于点G,则为=器,又。2=3,...■DGMZ即可.但此

处问题在于水平线段不如竖直线段易求，方法可行但不建议.

y

其实本题分析点的位置也能解：

思路3:设点D坐标为+2m+3）,

/QOAQ、

根据。尸：DF=3:2,可得尸点坐标为一八一―m2+-m+-

[5555y

点、F在直线BC上,将点坐标代入直线3C解析式：y=-x+3,

3693。

——m2+—m+—=——m+3,

5555

解得叫=1,m2=2,

故。点坐标为（1,4）或（2,3）.

这个计算的方法要求能理解比例与点坐标之间的关系，即由。点坐标如何得到F点坐标.

三、中考真题演练

1.（2023•山东青岛・中考真题）许多数学问题源于生活.雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察

撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线.在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y

轴上，坐标原点。为伞骨。4,的交点.点C为抛物线的顶点，点A,8在抛物线上，OA,08关于y

轴对称.OC=1分米，点A至晨轴的距离是0.6分米，A,8两点之间的距离是4分米.

图①图②

⑴求抛物线的表达式；

（2）分别延长A。，3。交抛物线于点RE,求E,尸两点之间的距离；

（3）以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S-将抛物线向右平移；”（加＞0）个单位，得到一条

新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为邑.若邑=：3岳，求”的值.

2.(2023•吉林长春•中考真题)在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，抛物线＞=-/+法+2"是常数)

经过点(2,2).点A的坐标为(m,0),点8在该抛物线上，横坐标为其中相＜0.

(1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；

⑵当点8在x轴上时，求点A的坐标；

(3)该抛物线与x轴的左交点为尸，当抛物线在点P和点B之间的部分(包括P、3两点)的最高点与最低点

的纵坐标之差为2-机时，求加的值.

(4)当点8在无轴上方时，过点5作轴于点C,连结AC、BO.若四边形AO3C的边和抛物线有两个

交点(不包括四边形49BC的顶点)，设这两个交点分别为点E、点线段3。的中点为。.当以点C、

E、。、D(或以点C、F、。、D)为顶点的四边形的面积是四边形AO3C面积的一半时，直接写出所

有满足条件的机的值.

3.（2023•黑龙江•中考真题）如图，抛物线丁=以2+版+3与工轴交于4（-3,0）,8（1,0）两点，交V轴于点C.

（1）求抛物线的解析式.

（2）抛物线上是否存在一点P,使得SpBc=gsMe，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理

由.

4.（2023.湖北十堰・中考真题）4知抛物线了=加+在+8过点8（4,8）和点。（8,4）,与，轴交于点A.

（1）求抛物线的解析式；

⑵如图1,连接点。在线段A3上（与点A,8不重合），点F是。4的中点，连接ED,过点。作

DE上FD交BC于点E,连接E尸，当Q即面积是△>1£）尸面积的3倍时，求点。的坐标