2024年中考数学 与对称有关的题复习讲义

与对称有关的题复习讲义

在中考中经常考查翻折问题.翻折问题属于轴对称问题，翻折前后的图形是全等图形，折痕为对称轴，这样就可

以应用轴对称的性质寻找相关的等量，这是解答翻折问题的关键所在.此外中考中也经常考查轴对称的另一类问题，

即求折线和最短问题.

解题策略一

"将军饮马”类求折线和最短问题，其核心策略分以下两步：

1.利用轴对称作定点关于动点所在直线的对称点；

2.然后把折线和最短问题转化为两点间线段最短问题或点到直线的距离来解答.

"胡不归"问题(AP+^PB,n<6)类折线和最短问题，其核心策略分以下两步：

1.以B为顶点、PB为与在点A的异侧构造角a,令sina=》

2.然后把折线和(AP+'PB)最短问题转化为点到直线的距离的问题来解答.

精选例题

例1.已知AABC是等腰直角三角形/BAC=90°,将AABC绕点C顺时针方向旋转得到△A'B'C,记旋转角为a,当

90°<a<180°时，作A'D^AC,垂足为点D,A'D与B'C交于点E.

(1)如图L当NCA'D=15。时，作NA'EC的平分线EF交BC于点F.

①写出旋转角a的度数；

②求证:EA'+EC=EF;

(2)如图2,在⑴的条件下，设P是直线4力上的一个动点，连接PA,PF,若AB=/求线段,PA+PF的最小

值(结果保留根号).

解析

(1)①a=180°-NA'CD即可；

②发现FX：,EC,EF是共顶点、不共线的三条线段，可考虑“截长补短"，在EF上截取EM=EC,易证明.△CF

不和ACME是等边三角形，应用"手拉手"全等模型可证明AFCM三△a'CE(SAS),即可解决问题；

⑵点P在定直线A'D上，点F和点A是.4万同侧的两个定点，求线段PA+PF的最小值，满足"将军饮马”

模型.

解Q)①旋转角为105°.

理由：如答图1

-.A'D±AC,

.■.zA'DC=90°.

•.zCA'D=15°,

.•.zA'CD=75°.

.•.zACA'=105°.

，旋转角为105°;

②证明如答图L连接A'F,设EF交s'于点。.在EF时截取EM=EC,连接CM.

•.zCED=zA,CE+zCA,E=45o+15o=60°,

.•.zCEA'=120°.

■••FE平分NCEA',

.•.zCEF=zFEA'=60°.

•.zFCO=180o-45o-75o=60°,

.-.zFCO=zA'EO.

•.ZFOC=ZA'OE,.-.AFOC-AA'OE.

OF_PC

,,—•

AO0E

OF_AO

"OC-OE'

•.-zCOE=zFOA',

.".ACOE-AFOA'.

.•.zFA'O=zOEC=60°.

."A'CF是等边三角形.

•••CF=CA=AF.

•.EM=EC,zCEM=60°,

.”CEM是等边三角形/ECM=60°,CM=CE.

•.zFCA'=zMCE=60°,

.•.zFCM=zA'CE.

."FCM斗A'CE(SAS).

.■.FM=A'E.

.•.CE+A'E=EM+FM=EF;

(2)如答图2,连接A'F,PB',AB',作B'M±AC交AC的延长线于点M.由②可知,NEA'F='EAB=75°,A'E=A'E,A'

F=A'B'.

••.AAEF=LAEB.

.-.EF=EB'.

二点B',F关于A'E对称.

.■.PF=PB'.

.­.PA+PF=PA+PB'>AB'.答图2

在RfCB'M中，

CB'=BC=&AB=2,NMCB'=3。°,

BM=^CB'=1,CM=V3.

AAB,=JAM2+B'M2=J(V2+V3)2+l2=16+2访

.,.PA+PF的最小值为76+2V6.

n____1r

例2.如图，在四边形ABCD中,NB=NC=90*AB>CD,AD=AB+CD./

⑴利用尺规作NADC的平分线DE,交BC于点E,连接AE(保留作图痕迹，不写作法);/

(2)在(1)的条件下，/

①证明:AE^DE;/

②若CD=2,AB=4,点M,N分别是AE,AB上的动点，求BM+MN的最小值./

---------------------'B

■，解析

Q)只要掌握了几种基本作图，此问不难解答；

(2)①由于DCllABzADC的平分线DE利用角平分线+平行线一等腰三角形，可以考虑验证DE与AB相交，

延后找到等腰三角形，并结合等腰三角形"三线合一”的性质即可得到结论；

②仔细分析可发现符合"轴对称相关的最短路径问题"模型二，所以只需作点B关于AE的对称点，利用点

到直线的距离最短即可解答.

解(1)如答图1/ADC的平分线DE;

(2)①如答图2,延长DE交AB的延长线于点F.

•••CDIIAF,

.-.zCDE=zF.

•.zCDE=zADE,

..NADF=NF.

.-.AD=AF.

•.AD=AB+CD=AB+BF,答图1

.-.CD=BF.

•.NDEC=NBEF,

「.△DEC%FEB.

.-.DE=EF.

■.AD=AF,

.-.AE±DE;答图2

②如答图3,作点B关于AE的对称点K,连接EK作KH±AB于点H,DG±AB于点G.连接MK.

•.AD=AF,DE=EF,

/.AE平分NDAF,则3EK学AEB.

...AK=AB=4.

在RhADG中，DG=7AD?-AG2=4企

•/KHllDG,

tKH_AK

"DG-AD'

tAK_4

-4V2-6

KH=—.

3

-,MB=MK,

.-.MB+MN=KM+MN.

，当K,M,N三点共线，目与KH重合时,KM+MN的值最小，最小值为KH的氏合冏5

」.BM+MN的最小值为

另解：(1)由于DCllAB,zADC的平分线DE,AD=AB+CD.可以在AD边上截取DK=DC,然后证明ADEC^DEK(S

SS),贝UNAKE=NC=NB=90°,AK=AB,AE=AE,可得AAEKVAAEB(HL),所以AE平分/BAD,利用平行线中同旁内角的

角平分线垂直可得到AE±DE.

由(1)可知点K即为点B关于AE的对称点，下面与上述方法相同.

精选练习

如图，在RfABC中/BAC=30°,E为AB边的中点，以BE为边作等边^BDE,连

接AD,CD.

⑴求证:SDE学CDB;

(2)若BC=百，在AC边上找一点H，使得BH+EH最小，并求出这个最小值.

解题策略二

对于探究两条线段间的数量关系要充分应用全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定

理.熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等或相似是解决问题的关键.

对于探究不在同一直线上(尤其是共顶点)的三条线段的和差关系，一般采用“截长补短”法构造全等三角形或

者利用三角函数来解答.

精选例题

例如图，在正方形ABCD中,E是边AB上的一动点(不与点A,B重合)，连接DE,点A关于直线DE的对称点为

F,连接EF并延长交BC于点G连接DG,过点E作EH^DE交DG的延长线于点H,连接BH.

⑴求证:GF=GC;

(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明.

解析

(1)连接DF,根据对称的性质可知AD=DF=CD,然后证明三角形ADFG和RCG全等即可得到GF=GC;

(2)根据(1)可求得NEDH=45*ADEH是等腰直角三角形,然后在AB上构造"一线三等角"全等模型即可求解.

解(1)证明:如答图L连接DF.

••・四边形ABCD为正方形，

，DA=DC=AB,

NA=NC=NADC=90°.

又.•点A关于直线DE的对称点为F,

.,.△ADE%FDE.

，DA=DF=DC,

NDFE=NA=90°.

.-.zDFG=90o.

在Rt-DFG和RbDCG中，

(DF=DC,

IDG=DG,

.“DFG%DCG(HL).

.-.GF=FC;

(2)解法一:如答图2,在线段AD上截取AM,使AM=AE.

•.AD=AB,

.-.DM=BE.

由(。得N1=N2/3=N4.

.NADC=90°,

..N1+N2+N3+N4=90°.答图2

.-.2z2+2z3=90o.

..N2+N3=45。.

..NEDH=45°.

---EH±DE,

，NDEH=90°,ADEH是等月要直角三角形..•.DE=HE.NA=90°.

•.zl+zAED=90°,

又.25+NAED=90°,

.,.zl=z5.

在ADME和AEBH中,

DM=BE,

4=^5,

DE=EH,

."DME当EBH(SAS).

.-.ME=BH.

•.zA=90°,AM=AE,

.".ME=V2AE.

，BH=V2AE.

解法二：一线三等角模型.

如答图3,过点H作AB的垂线交AB延长线于点N.

.­.zENH=90°,

由解法一可知DE=EH/1=N5.

在ADAE和AENH中，

ZA.=NENH,答图3

为=^5,

DE=EH,

「.△DAE%ENH(AAS).

..AE=NH,AD=EN.

..AD=AB.

.AB=AE+BE,EN=BE+BN,

・•.AE=BN二NH.

•.NENH=90°,BN=NH,

，BH=V2BN.

.-.BH=V2AE.

精选练习

1.在矩形ABCD中，AB=5,BC=8,点E,F分别为AB,CD的中点.

(1)求证:四边形AEFD为矩形；

(2)如图2,点P是边AD上一点,BP交EF于点。点A关于BP的对称点为点M,当点M落在线段EF上时,

则有(OB=0M,请说明理由；

⑶如图3,若点P是射线AD上一个动点，点A关于BP的对称点为点M,连接AM,DM,当△AMD是等腰三

角形时，求AP的长.

2.已知在RfABC中/BAC=9(T,CD为NACB的平分线，将NACB沿CD所在的直线对折，使点B落在点B,

处，连接AB',BB',延长CD交BB，于点E,设/ABC=2a(0°<a<45°).

⑴如图1,若AB=AC,求证:CD=2BE;

(2)如图2,若AB/AC,试求CD与BE的数量关系(用含a的式子表示)；

⑶如图3,将(2)中的线段BC绕点C逆时针旋转角(a+45)得到线段FC,连接EF交BC于点。设《OE的面

积为.S小。。尸的面积为S,求式用含a的式子表示).

解题策略三

翻折就是轴对称，这是翻折问题的本质，可以利用轴对称的性质即全等变换，找出相应的相等线段、垂直(对

应点连线垂直折痕)、相等的角进行解答.

关于路径问题，最关键的是确定所求点的轨迹，初中阶段点的轨迹一般有两种：直线型和圆.圆的轨迹的确定一

般有两种方式，一种是利用圆的定义，另一种是利用定圆定角模型寻找隐藏的定圆.

1.翻折问题中对应点与折痕上的连线相等，对应点与折痕上的点三点构成等腰三角形.

2.在矩形或正方形中有折叠时，通常有把相等的对应线段转移到同一个三角形中应用勾股定理进行解答.

3.折叠问题中有平行线时，往往存在等腰三角形，利用等腰三角形和平行线的性质可以找到等角，也可以把相

等的线段进行迁移到同一个三角形中.

4.折叠问题中可能存在相似关系.解答折叠问题时应注意上面关系的应用.

精选例题

例如图，在矩形纸片ABCD中，已知AB=1,BC=遮，点E在边CD上移动，连接AE,将多边形ABCD沿直

线AE折叠，得到多边形AB'C,E,点B,C的对应点分别为点B',C.

(1)当BC恰好经过点D时(如图1),求线段CE的长；

(2)若BC分别交边AD,CD于点F,G,且NDAE=22.5。(如图2),求3FG的面积；

(3)在点E从点C移动到点D的过程中，求点。运动的路径长.

解析

Q)如图L设CE=EC'=xJ^DE=l-x,由"一线三等角"模型可证4DB‘DEC；可得喘="冽出方程即可解决问

DEEC

题；

(2)如图2,通过已知角进行推导可得证明AAFB',ADFG都是等腰直角三角形,求出DF即可解决问题；

(3)AC的长度不变，所以点C的运动路径是以A点为圆心AC长为半径的弧CC,求出圆心角、半径即可求点

C'运动的路径长.

解⑴如答图1,设CE=EC=x，则DE=l-x,

..NADB'+NEDC'=90°,NB'AD+NADB'=90°,

..NB'AD=NEDC'.

•.zB,=zC,=90°,AB,=AB=l,AD=W,

：.DB'=V3^T=V2.

.-.AADB'-ADEC.

,.,AD_—DB.

DEEC'

.V3_V2

,,—•

1-xx

=V6-2.

.'.CE=V6-2;

⑵如答图2,

•.-zBAD=zB'=zD=90o,zDAE=22.5°,

.".zEAB=zEAB'=67.5°.

,•.zB'AF=zB'FA=45°.

.•.zDFG=zAFB'=zDGF=45°.

.-.DF=DG.

在Rt-AB'F中，AB=FB'=1,

AAF=&AB'=V2.

=愿—五.

DF=DG2

SDFG=|(V3-V2)=I-V6;

⑶如答图3,点C的运动路径的长为弧CC'的长.

在Rt-ADC中，；tan/ZMC=—=—,

.,.NDAC=3(T,AC=2CD=2.

•.zC'AD=zDAC=30°,

..NCAC'=60°.

二弧CC的长=若=手

精选练习

1.如图，在AABC中,.AB=4VXNB=45°/C=60°.

(1)求BC边上的高线长；

⑵点E为线段AB的中点点F在边AC上，连接EF,沿EF将MEF折叠得到SEF.

①如图2,当点P落在BC上时，求NAEP的度数;

②如图3,连接AP,当PFLAC时，求AP的长.

图1图2图3

2.如图，在正方形ABCD中,E是DC边上一点(与点D,C不重合)，连接AE,将^ADE沿AE所在的直线折叠得

至!J&AFE,延长EF交BC于点G,连接AG,作GH^AG,与AE的延长线交于点H,连接CH.显然AE是/DAF的平分

线，EA是NDEF的平分线.仔细观察，请逐一找出图中其他的角平分线(仅限于小于180。的角平分线)，并说明理由.

3.3与旋转有关的题

以旋转为主的几何变换综合题，综合性较强，属于中考压轴题型之一，关键是要灵活应用所学的知识，特别是

旋转的性质进行解答，在解答的过程中要充分利用数形结合思想、分类讨论思想，要学会、掌握辅助线的添加方法.

解题策略一

利用旋转探究不在同一条直线上的共顶点的三条线段的数量关系问题，常用的策略如下：

L利用旋转把线段迁移到同一个三角形或者同一条直线上；

2.利用绕共顶点旋转60。改变线段的方向(不改变长度)，此时会出现等边三角形，注意，作辅助线时也可以作

等边三角形，此时相当于把线段旋转60°;

3.利用绕共顶点旋转90。改变线段的方向，同时会出现原线段长四倍的线段，此时会出现等腰直角三角形；

4.利用绕共顶点旋转120。改变线段的方向，同时会出现原线段长四倍的线段，此时会出现120。的等腰三角

形.

精选例题，

例1.(2018广州)如图，在四边形ABCD中,NB=60°/D=30°,AB=BC.

(1)求NA+NC的度数

⑵连接BD,探究AD,BD,CD三者之间的数量关系，并说明理由；

(3)若AB=1,点E在四边形ABCD内部运动,且满足BE2+CE号求点E运动路径的长度.

感解析

(1)利用多边形内角和即可得到答案；

(2)AD,BD,CD为共顶点D的三条线段，可以通过^ABD绕点D旋转60。把这三条线段迁移到同一个三角形中

探究这三条线段的关系；

(3)共点E的三条线段满足AE2=BE2+CE3同(2)类似，绕点E旋转，把三条线段迁移到同一个三角形中，

然后通过导角寻找定角和定弦，进而确定E点的运动轨迹.

解(1)在四边形ABCD中，

•.zA+zB+zC+zD=180o,zB=60o,zC=30°,

.•.zA+zC=360°-60°-30°=270°;屋:二^

(2)DB2=DA2+DC2.

理由：如答图1,连接BD,以BD为边向下作等边三角形△BDQ.

•.zABC=zDBQ=60°,

.-.zABD=zCBQ."Q

答图1

..AB=BC,DB=BQ,

.“ABD学CBQ.

.-.AD=CQ,zA=zBCQ.

•.zA+zBCD=zBCQ+zBCD=270°,

.-.zDCQ=90o.

DQ2=DC2+CQ2.

-,CQ=DA,DQ=DB,

•••DB2=DA2+DC2,

另解:把△BCD绕点B逆时针旋转60。,或者把AABD绕点A逆时针旋转60。,或者把△BCD绕点C顺时针旋转

60。均可求证；

⑶解法一:如答图2,连接AC,将MCE绕点A顺时针旋转60°得至SABR,连接RE则^AER是等边三角形.

•••EA2=EB2+EC2,EA=RE,EC=RB,

RE2=RB2+EB2.

.■.zEBR=90°.

..NRAE+NRBE=150°.

..NARB+NAEB=NAEC+NAEB=210°.

答图2

..NBEC=150°.

•.如答图3,点E的运动轨迹在以点。为圆心的圆上，在。。上取一点K,连接KB,KC,OB,OC.

•.zK+zBEC=180°,

..NK=30°,NBOC=60。.

•・OB=OC,

.•.△OBC是等边三角形.

.•点E的运动路径=鬻=与

loU3

解法二：如答图4,把线段AE绕点A逆时针旋转60。得到线段AR,连接ER,CR,CE,后面的解法类似解

法一.

解法三：如答图5，把线段BE绕点B逆时针旋转60。得到线段BR,连接ER,AR,后面的解法类似解法一.

例2如图l'ABC中,CA=CB/ACB=a,D为^ABC内一点，将ACAD绕点C按逆时针方向旋转角a得到4BE,

点A,D的对应点分别为点B,E,且A,D,E三点在同一直线上.

⑴填空NCDE=(用含a的代数式表示)；

(2)如图2,若a=60。,请补全图形,再过点C作CF±AE于点F,然后探究线段CF,AE,BE之间的数量关系，并证明

你的结论；

⑶若a=90°,AC=5a，且点G满足/人68=90。力6=6,直接写出点C到AG的距离.

cC

E

图1图2

解析

(1)由旋转的性质可得CD=CE/DCE=a,即可求解；

(2)由旋转的性质可得AD=BE,CD=CE/DCE=60°,可证ACDE是等边三角形，由等边三角形的性质可得DF=

EF=即可求解；

(3)分点G在AB的上方和AB的下方两种情况讨论，利用勾股定理可求解.

解(1)•.将△以。绕点C按逆时针方向旋转角a得到ACBE,

.,.△ACD^ABCE,zDCE=a.

..CD=CE.

NCDE=

2

故答案为手；

(2)力E=BE+^~CF.

理由：如答图1.

•.将ACAD绕点C按逆时针方向旋转角60。得到ACBE,

."ACD当BCE.

.■.AD=BE,CD=CE,zDCE=60°.

.•.<DE是等边三角形，且CF±DE.

DF=EF=—CF.

3

•.AE=AD+DF+EF,

：.AEBE+—CF;答图1

3，

⑶如答图2,当点G在AB上方时，过点C作CE±AG于点E.

.•NACB=9（T,AC=BC=5V2,

.-.zCAB=zABC=45o,AB=10.

•••NACB=90°=ZAGB,

.,.点C,点G,点B,点A四点共圆.

.-.zAGC=zABC=45o,nCE±AG.

.-.zAGC=zECG=45o.

，CE=GE.

.AB=10,GB=6,NAGB=90°,

AG=7AB2-GB2=8.

-：AC2=AE2+CE2,

2

（5V2）=（8—CE）2+CE2.

，CE=7（不合题意舍去）,CE=1.答图3

如答图3,若点G在AB的下方，过点（：作CF±AG.

同理，可得CF=7.

.•点C到AG的距离为1或7.

精选练习

如图L在矩形ABCD中，点E为AB边上的动点(不与A,B重合)把AADE沿DE翻折，点A的对应点为A1，

延长EAi交直线DC于点F,再把NBEF折叠，使点B的对应点B1落在EF上折痕EH交直线BC于点H.

(1)求证：^ANDEOABIEH;

(2)如图2,直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点A1恰好落在直线MN上,试判断△DEF的形状，并说

明理由；

⑶如图3,在⑵的条件下，点G为3EF内一点，且NDGF=150。,试探究DG,EG,FG的数量关系.

解题策略二

L旋转变换是全等变换，旋转角相等；

2.两个对应点和旋转中心构成等腰三角形，这样得到相等的线段、相等的角；

3.旋转时可以得到“手拉手”全等模型，可以用其进行证明和计算得到有用的结论或结果.

精选例题

例1.(2019北京)已知NAOB=30；H为射线OA上一定点,(OH=<3+1,P为射线OB上一点，M为线

段OH上一动点，连接PM,满足NOMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150:得到线段PN,

连接ON.

(1)依题意补全图1；

(2)求证:.N0MP=N0PN;

⑶点M关于点H的对称点为Q,连接QP.写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有(ON=QP,并证

图1备用图

解析

(1)按作图要求作出图形即可，标出旋转中心、旋转方向和旋转角；

(2)由三角形内角和角的关系易得答案;

⑶由NAOB=30。,。旧=8+1,你能想到包含30角的直角三角形吗?可初步猜想OP=2时满足条件，然

后通过构造全等三角形验证结论是否成立.

解⑴如答图1；

(2)在AOPM中,.N0MP=1800-NPOM-N0PM

NOPN=NMPN-N0PM=1500-N0PM,

.•.zOMP=zOPN；

⑶当OP=2时，对于任意点M总有ON=PQ.

理曲如答图2,过点P作PELOA,过点N作NF±OB.

当点E在点M的右侧时，

•.NOMP=NOPN,..NPME=NNPF.

在ANPF和APME中,

fNNPF=NPME,

[NNFP=NPEM=90。，

.“NPF学PME(AAS).

，PF=ME,NF=PE.

在Rt^POE中，

•.OP=2,zAOB=30°,

•••PE=NF=l,OE=V3.

OH=V3+1,

.".EH=1.

答图2

设PF=ME=a.

•.MH=ME+EH=a+l=HQ,

.-.EQ=EH+HQ=a+2=OF.

」.RtANO踵RfPQE(HL).

.­.ON=PQ.

同理，点M与点E重合或点E在点M的左侧时，类似证明即可.

例2.在AABC中,CA=CB/ACB=a点P是平面内不与点A,C重合的任意一点.连接AP,将线段AP绕点P逆时

针旋转a得到线段DP,连接AD,BD,CP.

⑵如图2,当a=90。时,请写出a=90°器的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形

说明理由.

⑶当a=90时若点E,F分别是CA,CB的中点点P在直线EF上,请直接写出点C,P,D在同一直线上时若

的值

解析

(1)NCAB=NPAD=6(T,AC=AB,AP=AD,满足“手拉手”全等模型，利用该模型不难得到答案；

⑵NCAB=NPAD=45°,该组对应角的两边对应成比例，满足"一线三等角"相似模型，利用该模型即可解决

问题；

⑶分两种情形:当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H.证明AD=DC即可解决问题；

当点P在线段CD上时，同法可证DA=DC来解决问题.

解(1)如答图L延长CP交BD的延长线于点E,设AB交EC于点0.入

•.zPAD=zCAB=60°,/!\

.•.zCAP=zBAD.//\\

■.CA=BA,PA=DA,

.”CAP%BAD(SAS).E口

.­.PC=BD,zACP=zABD.答图1

如答图2,/zA0C=zB0E,

.-.zBEO=zCAO=60o.

翳=1,线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60。.故答案为1,60°;i

⑵如答图3,设BD交AC于点O,BD交PC于点E.

•.zPAD=zCAB=45°,

..NPAC=NDAB.

••些=2=鱼

答图AP'

.'.△DAB-APAC.

ZPCA=ZDBA,—=—=V2.

PCAC

如答图4;/zEOC=zAOB,

.-.zCEO=zOAB=450.

二直线BD与直线CP相交所成的小角的度数为45°;

⑶如答图5,当点D在线段PC上时，延长AD交BC

•.CE=EA,CF=FB,

.".EFllAB.

..NEFC=NABC=45°.

•.zPAO=45°,

答图4

.•.zPAO=zOFH.

•.zPOA=zFOH,

.•.zH=zAPO.

•.zAPC=90°,EA=EC,

.-.PE=EA=EC.

..NEPA=NEAP=NBAH.

.'.zH=zBAH.

..BH=BA.

.NADP=NBDC=45°,

.-.zADB=90o.

H

.-.BD±AH.

.•.zDBA=zDBC=22.5°.

•.zADB=zACB=90°,

.-.A,D,C,B四点共圆/DAC=NDBC=22.5°/DCA=NABD=22.5°.

.-.zDAC=zDCA=22.50.

，DA=DC,设AD=a,贝[]DC=AD=a,PD=^-a.

,,方一工一2T.答图5

2

如答图6,当点P在线段CD上时，

同法可证DA=DC,设AD=a,

贝！ICD=AD=a,PD=~a.

PC=a——ci.

2

・•考=Yr=2+a-

PCV2

a-----a

2

精选练习

1.若AABC和AAED均为等腰三角形，且NBAC=NEAD=90°.

⑴如图1,点B是DE的中点，判定四边形BEAC的形状，并说明理由；

⑵如图2,若点G是EC的中点，连接GB并延长至点F,使CF=CD.求证:①EB=DC;②NEBG=NBFC.

2.如图，△ABC和A4DE是有公共顶点的等腰直角三角形,ZBAC=ZDAE=90。.

⑴如图L连接BE,CD,BE的廷长线交AC于点F,交CD于点P.求证：BP1CD；

⑵如图2把绕点A顺时针旋转，当点D落在AB上时，连接BE,CD,CD的延长线交BE于点P,

若BC=6a,AD=3,求APDE的面积.

图I图2

精选练习

解题策略一

解:⑴证明:在RtAABC中,/BAC=3(T,E为AB边的中点，

/.BC=EA,ZABC=60°.

VADEB为等边三角形，

,>.DB=DE,ZDEB=ZDBE=60°.

ZDEA=120°,ZDBC=120°.

ZDEA=ZDBC.

.,.△ADE^ACDB;

⑵解：如图，作点E关于直线AC的对称点E；连接BE交AC于点H.

则点H即为符合条件的点.

由作图可知,EH=HE:AE'=AE,NEAC=/BAC=30。.

AAEAE'=60°.

...△EAE为等边三角彩

EE'=EA=-AB.

2

AAAE'B=90°.

在RtAABC中,/BAC=3(F,BC=V3,

•••AB=243,AE'=AE=y[3.

2

BE'=7AB2-4E'2=(2百)2-V3=3.

.,.BH+EH的最小值为3.

解题策略二

1.证明：(1)：E,F分别为AB,CD的中点,

11

：.AE=-AB,DF=-CD.

22

;矢巨形ABCD中,AB=CD,AB〃CD,

；.AE=DF,AE〃DF,

.••四边形AEFD为平行四边形.

又•矩形ABCD中,NA=90。，

/.□AEFD为矩形；

⑵连接PM,BM,如答图1.

•矩形ABCD中,AD〃BC,

矩形AEFD中,EF〃AD,

；.AD〃BC〃EF.

为AB中点，

；.0为BP的中点.

.点M是点A关于BP的对称点，D

/.AP=PM,

/M

BA=BM.

又：BP=BP,

AABP注AMBP(SSS).答图1

ZA=ZBMP=90°.

.•.在RtABMP中,0为BP中点.

OM=-BP.

2

.*.OB=OM;

⑶：点M是点A关于BP的对称点,

ABP垂直平分AM.

/.AP=PM,AB=AM.

I.当点P在射线AD±D点的左侧时，△AMD为等腰三角形：

①如答图2,以AD为底，则AM=MD.

点M在AD的垂直平分线上.

作AD的垂直平分线EF分别交AD,BC于点E,F.

;矢巨形ABCD中,AD=BC=8,

/.AE=BF=4.

VAB=BM=5,

.•.在RtABMF中,由勾股定理，得

MF=yjBM2-BF2=V52-42=3.

EM=EF-MF=AB-MF=5-3=2.

设AP=PM=x，贝！|PE=4-x.

在RtAPEM中,由勾股定理，得

PE2+EM2=PM2,

即(4-x)2+22=久2.解之，得x=|,于是AP=|.

②以AD为腰,AD=DM,如答图3,此时点P与点D重合.

，AP=AD=8.

③以AD为腰,DA=AM,如答图4,M

；BP垂直平分AM,答图3

AO=-AM=1x8=4.

22

在RtAAOB中，AB=5,AO=4,由勾股定理，得

BO=-JAB2-AO2

=V52-42=3.

ZBAO+ZOAP=90°,

ZDAO+ZAPO=90°,

・•・NBAO=NAPO.答图4

sinNBAO二sinZAPO,

即£2=丝；=工

ABAP5AP

.「20

・•.AP=—.

3

II.当点P在AD射线点D的右侧时,△AMD为等腰三角形.

以AD为底则AM=MD,如答图5.

同理得MF=3.

AME=EF+MF

=5+3=8.

在RtAAEM中，由勾股定理，得

AM=VME2+AE2=V82+42=4V

AO=-AM=2V5.

2

VAO±BP,AB±AP,

・•・ZAPO=ZBAO.

•・・AB〃EM,

・•・ZBAO=ZAME=90°.

・•・ZAME=ZAPB,sinZEMA=sinZAPB.

EA_AOqn4_2V5

"AM-AP网4V5―AP'

AAP=10.

综上所述，当^AMD为等腰三角形时,2尸二|或10或g或8.

2.解:⑴如答图1,

•・,BB关于EC对称，

・・・BB」EC,BE=EB1

ZDEB=ZDAC=90°.

ZEDB-ZADC,

・•・ZDBE=ZACD