2024年中考数学试题分类汇编：四边形（选择题二）

2024年中考数学真题知识点分类汇编之四边形（选择题二）

选择题（共18小题）

1.如图，下列条件中不能判定四边形A5CD为平行四边形的是（）

C.AO=CO,BO=DOD.AB//DC,AD=BC

2.如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABC。的边CD上，A尸与。。交于点〃，若A5=6,CE=2,

则DH的长为（）

58

D.

23

3.如图，O是坐标原点，菱形A50C的顶点5在I轴的负半轴上，顶点。的坐标为（3,4）,则顶点A

4.在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”.如图，矩形A5CD

位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（）

A1--------------B

0

A.点AB.点、BC.点CD.点D

5.下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：

已知：如图，△ABC中，AB=AC,AE平分△ABC的外角/CAN,点/是AC的中点，连接并延长交

AE于点。，连接CD

求证：四边形A8C。是平行四边形.

证明：'：AB=AC,：.ZABC^Z3.

"：ZCAN=ZABC+Z3,ZCAN=Z1+Z2,Z1=Z2,

二①______.

又：/4=/5,MA=MC,

；.AMAD段AMCB（②_____）.

...四边形ABC。是平行四边形.

若以上解答过程正确，①，②应分别为（）

A.N1=N3,AASB.N1=N3,ASAC.N2=N3,AASD.N2=N3,ASA

6.如图，矩形ABC。中，AB=V3,BC=l,动点E,尸分别从点A,C同时出发，以每秒1个单位长度的

速度沿AB,C。向终点B,。运动，过点E,尸作直线/,过点A作直线/的垂线，垂足为G,则AG的

A.V3B.—C.2D.1

2

7.如图，在矩形ABC。中，对角线AC,8。相交于点O,ZABD=60°,AB=2,则AC的长为（）

C.4D.3

8.如图1,动点尸从菱形ABC。的点A出发，沿边AB-BC匀速运动，运动到点C时停止.设点尸的运

动路程为x,P。的长为y,y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到BC中点时，PO的长为（）

D.2V2

9.如图，在口ABC。中，点。是3。的中点，EF过点0,下列结论：©AB//DC-,®EO=ED；③NA=

ZC;④S四边形ABOE=S四边形CDOF,其中正确结论的个数为（）

C.3个D.4个

10.一个七边形的内角和等于（）

A.540°B.900°C.980°D.1080°

11.四边形4BCD为矩形，过A、C作对角线8。的垂线，过8、。作对角线AC的垂线.如果四个垂线拼

成一个四边形，那这个四边形为（）

A.菱形B.矩形C.直角梯形D.等腰梯形

12.如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2,ZABD=120°,其中点A,B,C

都在格点上，贝！Itan/BCQ的值为（）

AB

L3

A.2B.2V3C.-D.3

2

13.如图，己知A3,BC,C£»是正“边形的三条边，在同一平面内，以3c为边在该正w边形的外部作正

方形BCMN.若/A8N=120°,则w的值为（）

14.如图，点£为口ABC。的对角线AC上一点，AC=5,CE=1,连接DE并延长至点凡使得EF=DE,

连接8尸，则所为（）

22

15.己知四边形ABC。是平行四边形，下列条件中，不能判定口ABC。为矩形的是（）

A.ZA=90°B./B=/CC.AC=BDD.AC±BD

16.佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到一个内角和为1080。的正多边形图案，这个正多边形

的每个外角为（）

A.36°B.40°C.45°D.60°

17.图1有A、8两种图案，其中A经过上下翻转后与8相同，且图案的外围是正方形，图2是将四个A

图以紧密且不重叠的方式排列成大正方形，图3是将两个A图与两个B图以紧密且不重叠的方式排列

成大正方形.判断图2、图3是否为轴对称图形？（）

图1图2图3

A.图2、图3皆是B.图2、图3皆不是

C.图2是，图3不是D.图2不是，图3是

18.如图，在口A8CD中，ZB=60°,AB=6cm,BC=12cm.点尸从点A出发，以lcm/s的速度沿A-。

运动，同时点。从点C出发，以3a"/s的速度沿C-BfC-…往复运动，当点P到达端点。时，点。

随之停止运动.在此运动过程中，线段尸Q=C。出现的次数是（）

APfD

B<-QC

A.3B.4C.5D.6

2024年中考数学真题知识点分类汇编之四边形（选择题二）

参考答案与试题解析

一.选择题（共18小题）

1.如图，下列条件中不能判定四边形A8CD为平行四边形的是（）

C.AO=CO,BO=DOD.AB//DC,AD=BC

【考点】平行四边形的判定.

【专题】多边形与平行四边形；推理能力.

【答案】D

【分析】根据平行四边形的判断定理分别作出判断得出即可.

【解答】解：4根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故能判断这

个四边形是平行四边形，不符合题意；

B、根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故能判断这个四边形是平

行四边形，不符合题意；

C、根据平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故能判断这个四边形是平行

四边形，不符合题意；

。、一组对边平行，另一组对边相等，可能是等腰梯形，故不能判断这个四边形是平行四边形，符合题

思；

故选：D.

【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键.

2.如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H,若AB=6,CE=2,

58

A.2B.3C.一D.一

23

【考点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质.

【专题】推理填空题；推理能力.

【答案】B

【分析】由正方形CEFG和正方形ABC。，AB=6,CE=2,^AD//GF,得△尸GH,得DH：

HG=AD：GF=6：2=3：1,由。G=6-2=4,即可得。8=4+(1+3)X3=3.

【解答】解：由正方形CEFG和正方形ABC。，AB=6,CE=2,

得AD〃GF,

得△ADHSAFGH,

得DH：HG=AD：GF=6：2=3：1,

由DG—6-2—4,

得QH=4+(1+3)X3=3.

故选：B.

【点评】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解题关键是相似三角形的性质的应

用.

3.如图，。是坐标原点，菱形A20C的顶点2在无轴的负半轴上，顶点C的坐标为(3,4),则顶点A

【考点】菱形的性质；坐标与图形性质；勾股定理.

【答案】C

【分析】过C作CNLx轴于M由勾股定理求出OC=70N2+CN2=5,由菱形的性质推出AC〃3。,

AC=C0=5,判定四边形MNCA是矩形，得到MN=AC=5,因此。-0N=5-3=2,因此点A

的坐标为(-2,4).

【解答】解：过C作CNLx轴于N,过A作AMLx轴于M,

:点C的坐标为（3,4）,

：.0N=3,CN=4,

：.OC=y/ON2+CN2=5,

:四边形A80C是菱形，

；.AC=0C=5,AC//BO,

四边形AMNC是矩形，

：.MN=AC=5.

：.OM=MN-ON=2

.,.点A的坐标为(-2,4).

【点评】本题主要考查菱形的性质，勾股定理，坐标与图形性质，关键是由勾股定理求出0C的长.

4.在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”.如图，矩形ABC。

位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是()

A1---------'B

0x

A.点AB.点8C.点CD.点。

【考点】矩形的性质；坐标与图形性质.

【专题】矩形菱形正方形；几何直观；推理能力.

【答案】B

【分析】设A(a,b),AB=m,AD—n,可得。(a,b+n),B(a+m,b),C(.a+m,b+n),再结合新

定义与分式的值的大小比较即可得到答案.

【解答】解：设A(a,6),AB=m,AD=n,

:四边形ABC。是矩形，

.\AD=BC=nfAB=CD=m,

.\D(〃,b+rr),BQa+m,b),CCa+mf/?+〃),

bbb+n—bb+n

-------V------，而----<-----,

a+maaa+ma+m

・,・该矩形四个顶点中“特征值”最小的是点民

故选：B.

【点评】本题考查的是矩形的性质，坐标与图形的性质，解答本题的关键是理解题意，直观观察和数形

结合分析图象.

5.下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：

已知：如图，△ABC中，AB=AC,AE平分△ABC的外角/CAN,点/是AC的中点，连接并延长交

AE于点。，连接CD

求证：四边形A8CO是平行四边形.

证明：'：AB^AC,：.ZABC^Z3.

'：ZCAN=ZABC+Z3,ZCAN=Z1+Z2,Z1=Z2,

A®.

又：/4=/5,MA=MC,

：.AMAg4MCB(②).

...四边形ABC。是平行四边形.

若以上解答过程正确，①，②应分别为()

A./1=/3,AASB.N1=N3,ASAC.N2=N3,AASD.N2=N3,ASA

【考点】平行四边形的判定；全等三角形的判定；等腰三角形的性质.

【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；推理能力.

【答案】D

【分析】由AB^AC,得NABC=N3,因为NCAN=/ABC+N3=N1+N2,且N1=N2,所以N2=

N3,而MA=MC,Z4=Z5,即可根据“ASA”证明△〃&£)gZiMCB,得MD=MB,则四边形ABC。

是平行四边形，于是得到问题的答案.

【解答】证明：・・・A5=AC,

・•・ZABC=Z3,

'：ZCAN=ZABC+Z3,NCAN=N1+N2,Z1=Z2,

・・・N2=N3,

・・•点M是AC的中点，

在△M4。和△MCB中，

22=Z3

MA=MC,

、/4=z5

AMAD^AMCB(ASA),

；.MD=MB,

・•・四边形ABCD是平行四边形.

A@,②分别为N2=N3,ASA,

故选：D.

【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定等知识，适当

选择全等三角形的判定定理证明△AMO之是解题的关键.

6.如图，矩形ABCZ)中，AB=V3,BC=1,动点、E,尸分别从点A,C同时出发，以每秒1个单位长度的

速度沿AB，8向终点B,。运动，过点E,尸作直线/,过点A作直线/的垂线，垂足为G,则AG的

A.V3B.—C.2D.1

2

【考点】矩形的性质；圆的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理.

【专题】图形的全等；矩形菱形正方形；圆的有关概念及性质；推理能力.

【答案】D

【分析】由勾股定理可求AC的长，由“A4S”可证△(%＞尸也△AOE,可得AO=CO=1,由AG_L£F,

可得点G在以AO为直径的圆上运动，则AG为直径时，AG有最大值为1,即可求解.

【解答】解：连接AC,交EF于O,

•.•四边形A8CD是矩形，

：.AB//CD,ZB=90°,

'：AB=V3,BC=1,

；.AC=7AB2+BC2=VT+1=2,

:动点E,尸分别从点A,C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB,CD向终点8,。运动,

CF=AE,

'：AB//CD,

：.NACD=NCAB,

X.'：ZCOF=ZAOE,

：./XCOF^AAOEHAAS）,

：.AO=CO=1,

'：AG±EF,

...点G在以AO为直径的圆上运动,

；.AG为直径时，AG有最大值为1,

故选：D.

【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，圆的有关知识，确定点G的

运动轨迹是解题的关键.

7.如图，在矩形ABCQ中，对角线AC,8。相交于点O,ZABD=60°,AB=2,则AC的长为（）

【考点】矩形的性质；等边三角形的判定与性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；几何直观；运算能力；推理能力.

【答案】c

【分析】根据矩形性质得。4=O8=OC=。。，再根据/48。=60°得△OA8为等边三角形，则。4=

OB=AB=2,由此可得AC的长.

【解答】解：：四边形ABC。为矩形，对角线AC,2。相交于点O,AB=2,

：.0A=0B=0C=0D,

VZAB£）=60°,

：.^OAB为等边三角形，

**•OA=OB—AB=2.j

：.OC=OA=2,

：.AC=OA+OC=4,

故选：C.

【点评】此题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，等边三角形的

判定和性质是解决问题的关键.

8.如图1,动点尸从菱形ABC。的点A出发，沿边A2-BC匀速运动，运动到点C时停止.设点尸的运

动路程为x,PO的长为y,y与龙的函数图象如图2所示，当点P运动到BC中点时，PO的长为（）

【考点】菱形的性质；直角三角形的性质；勾股定理.

【专题】矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】C

【分析】结合图象，得到当x=0时，PO=AO=4,当点P运动到点8时，PO=BO=2,根据菱形的性

质，^ZAOB=ZBOC=90°,继而得到力B=BC=VOX2+OB2=2瓜当点P运动到BC中点时,

PO的长为=后，解得即可.

【解答】解：结合图象，得到当尤=0时，尸。=4。=4,

・••当点尸运动到点B时，尸0=80=2,

:菱形A8CD,

C.ACLBD,

：.ZAOB=ZBOC=9Q°,

：.AB=BC=y/OA2+OB2=2V5,

当点尸运动到BC中点时，尸。的长为•|BC=J^,

故选：C.

【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，直

角三角形的性质是解题的关键.

9.如图，在口ABC。中，点。是8。的中点，EF过点。，下列结论：©AB//DC；②EO=ED；③/A=

NC;④S四边形ABOE=S四边形CDOF,其中正确结论的个数为()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；多边形与平行四边形；推理能力.

【答案】C

【分析】由平行四边形的性质得A8〃OC,AD//BC,ZA=ZC,故①③正确，再证明

(ASA),得SAODE=SAOBF,EO=FO^ED,故②不正确，S^ABD-S^ODE=S^CDB-S^OBF,得S

四边形ABOE=S四边形CD。尸，故④正确，即可得出结论.

【解答】解：•••四边形A8CL1是平行四边形，

J.AB//DC,AD//BC,ZA=ZC,故①③正确，

.1

：•SAABD=SKDB=2s平行四边形ABCD,/ODE=/OBF,

:点。是的中点，

：.OD=OB,

又；NDOE=/BOF,

:.AODE%AOBF(ASA),

:.SAODE=SAOBF,EO=FO手ED,故②不正确，

S^ABD—SACDB,SAODE—S^OBF,

SMBD-SAODE=SACDB-S^OBF,

即S四边形ABOE=S四边形CDOF,故④正确，

综上所述，正确结论的个数为3个，

故选：C.

【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握

平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键.

10.一个七边形的内角和等于（）

A.540°B.900°C.980°D.1080°

【考点】多边形内角与外角.

【专题】多边形与平行四边形；运算能力.

【答案】B

【分析】根据“边形内角和公式为（〃-2）X180。，可以计算出七边形内角和的度数.

【解答】解：一个七边形的内角和为：（7-2）X18O0

=5X180°

=900°,

故选：B.

【点评】本题考查多边形内角和，解答本题的关键是明确〃边形内角和公式为（w-2）X18O0.

11.四边形A8CD为矩形，过A、C作对角线8。的垂线，过8、。作对角线AC的垂线.如果四个垂线拼

成一个四边形，那这个四边形为（）

A.菱形B.矩形C.直角梯形D.等腰梯形

【考点】等腰梯形的判定；多边形；菱形的判定；矩形的判定与性质；直角梯形.

【专题】矩形菱形正方形；梯形；推理能力.

【答案】A

【分析】根据矩形的性质得到AC=BD,SAABC=SABCD=SAADC=SA&4D,根据三角形的面积公式得到

AE=CG=OH,再根据菱形的判定定理判断即可.

【解答】解：：四边形A8CD为矩形，

••AC=BD,S^ABC=S/\BCD=S/^ADC=S/^BAD,

'：AE±BD,BFLAC,CG1BD,DH±AC,

:.AE=BF=CG=DH,

.•.四个垂线可以拼成一个菱形,

故选：A.

【点评】本题考查的是矩形的性质、菱形的判定、三角形的面积计算，熟记四条边相等的四边形是菱形

是解题的关键.

12.如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2,ZABD=120°,其中点A,B,C

都在格点上，贝！Itan/BC£）的值为（）

AB

r-3

A.2B.2A/3C.-D.3

2

【考点】菱形的性质；解直角三角形.

【专题】矩形菱形正方形；解直角三角形及其应用；推理能力.

【答案】B

【分析】利用菱形的性质和三角函数解答即可.

【解答】解：如图，延长BC交格点于E,连接AE,

由题意可得：AE±BE,AE=4V3,EC=2,

AF4、"l

：.tanZBCD=tanZACE=霹=矍=2V3,

故选：B.

【点评】本题考查了菱形的性质，锐角三角函数，

13.如图，已知4B,BC,C。是正〃边形的三条边，在同一平面内，以8c为边在该正"边形的外部作正

方形BCMN.若/ABN=120°,则"的值为（）

NM

A.12B.10C.8D.6

【考点】正方形的性质；多边形内角与外角.

【专题】矩形菱形正方形；运算能力.

【答案】A

【分析】先求解正多边形的1个内角度数，得到正多边形的1个外角度数，再结合外角和可得答案.

【解答】解：：四边形是正方形，

:./NBC=90°,

VZABN=12Q°,

：.ZABC=360°-90°-120°=150°,

.•.正”边形的一个外角为180°-150°=30°,

一,360°

的值为市7=12.

故选：A.

【点评】本题考查的是正方形的性质，多边形内角和外角，关键是正方形性质的应用.

14.如图，点E为口ABC。的对角线AC上一点，AC=5,CE=\,连接。E并延长至点尸，使得EF=DE,

连接3R则为（）

57

A.-B.3C.-D.4

22

【考点】平行四边形的性质.

【专题】多边形与平行四边形；运算能力；推理能力.

【答案】B

【分析】解法一：作辅助线如图，由平行正相似先证△OECs△G4E,再证△BGf's/viGE,即可求得

结果.

解法二：连接30.利用三角形中位线和平行四边形的性质解答.

【解答】解法一：

解：延长和交于G点，

・・・四边形ABCD是平行四边形，

：.DC//AB,DC=ABBPDC//AG,

：.ADECsAGAE

.CEDEDC

9，AE~GE~AG

9：AC=5,CE=l,

：.AE=AC-CE=5-1=4,

,CEDEDC1

，9AE_GE—AG4

DEDE1

又•：EF=DE,一

GEEF+FG~4

.EF1

**FG―3，

..DCDC1

DC=AB,

•AG-AB+BG-4

.DC_1

••BG一3,

9EF_DC_1

FG~BG~3f

.BG_FG_3

"AG~EG~4

：.AE//BF,

：.ABGF^AAGE,

tBF_FG_3

a，AE~EG~4

•・・AE=4,

:・BF=3.

解法二：

连接5。交AC于O,

,/四边形ABCD是平行四边形,

；・OD=OB,

：EF=DE,

•・OE是△57*的中位线,

.OEOD1

••BF-BD-2

^AC-1

---------=1,

BF

1

・-AC-CEi

••2一±

BF2

：.BF=3,

故选：B.

【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理等知识点，正确作辅助线是解题关键.

15.己知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定口ABC。为矩形的是（）

A.ZA=90°B./B=/CC.AC=BDD.AC±BD

【考点】矩形的判定；平行四边形的性质.

【专题】矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】D

【分析】根据有一个角等于90°的平行四边形是矩形可对选项A进行判断；根据平行四边形性质得

//CD,则/8+/C=180°,再根据得/B=NC=90°,然后根据有一个角等于90°的平行

四边形是矩形可对选项2进行判断；根据对角线相等的平行四边形是矩形可对选项C进行判断；根据

对角线互相垂直的平行四边形是菱形可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案.

【解答】解：•••四边形）是平行四边形，

.•.当/A=90°,平行四边形ABC。是矩形，

选项A可以判定口ABC。为矩形，

故选项A不符合题意；

:四边形ABCD是平行四边形，

：.AB//CD,

.•.ZB+ZC=180°,

当时，则NB=NC=90°,此时口ABC。为矩形，

故选项B可以判定口ABC。为矩形，

故选项B不符合题意；

:四边形ABCD是平行四边形，

当AC=8。时，平行四边形ABC。是矩形，

选项C可以判定口ABC。为矩形，

故选项C不符合题意；

•/四边形ABCD是平行四边形，

当AC_LB。时，平行四边形ABC。是菱形，

选项D不能判定口ABC。为矩形，

故选项。符合题意.

故选：D.

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定，理解平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判

定是解决问题的关键.

16.佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到一个内角和为1080°的正多边形图案，这个正多边形

的每个外角为（）

A.36°B.40°C.45°D.60°

【考点】多边形内角与外角.

【专题】多边形与平行四边形；运算能力.

【答案】C

【分析】设这个正多边形的边数为小利用多边形的内角和公式求得〃的值，再利用多边形的外角和列

式计算即可.

【解答】解：设这个正多边形的边数为〃，

由题意得：（n-2）*180°=1080°,

解得：n=8,

则360°4-8=45°,

即这个正多边形的每个外角为45°,

故选：C.

【点评】本题考查多边形的内角和及外角和，结合已知条件求得正多边形的边数是解题的关键.

17.图1有A、8两种图案，其中A经过上下翻转后与8相同，且图案的外围是正方形，图2是将四个A

图以紧密且不重叠的方式排列成大正方形，图3是将两个A图与两个8图以紧密且不重叠的方式排列

成大正方形.判断图2、图3是否为轴对称图形？（）

A

图1图2图3

A.图2、图3皆是B.图2、图3皆不是

C.图2是，图3不是D.图2不是，图3是

【考点】正方形的性质.

【专题】平移、旋转与对称；几何直观.

【答案】D

【分析】根据轴对称图形的定义判断即可.

【解答】解：观察可知，题图2的图形不是轴对称图形,

题图3的图形是轴对称图形，对称轴如图所示.

故选：D.

【点评】本题主要考查线对称图形，本题是在以正方形为背景下来考查线对称图形，以正方形的四条的

对称轴为基准，观察题图中的图形是否关于某一条对称.

18.如图，在口A8CD中，ZB=60°，AB=6cm,BC=12cm.点尸从点A出发，以Icm/s的速度沿A-。

运动，同时点。从点C出发，以3cm/s的速度沿C-8-C-…往复运动，当点尸到达端点。时，点Q

随之停止运动.在此运动过程中，线段出现的次数是（）

A.3B.4C.5D.6

【考点】平行四边形的性质；规律型：图形的变化类.

【专题】分类讨论；方程思想；多边形与平行四边形；梯形；几何直观.

【答案】B

【分析】由已知可得，尸从A到。需12s,。从C到2（或从8到C）需4s,设尸，0运动时间为ts,

分三种情况画出图形：①当0W/W4时，过。作。于H,过C作CG_LA。于G,由四边形CQPO

是等腰梯形，可得什3+3f+3=12,/=1.5；当四边形CQPO是平行四边形时，r+3/=12,得f=3；②当

4v/W8时，若四边形CQPZ）是平行四边形，可得3（f-4）=t,t=6；而四边形CQPD是等腰梯形，

则尸£>>6c〃z,这种情况在4<fW8时不存在；③当8<fW12时，若四边形CQP。是平行四边形，3（r

-8）=12-6得？=9,即可得到答案.

【解答】解：由已知可得，P从A到。需12s,。从C到8（或从8到C）需4s,

设P,。运动时间为fs,

①当0WW4时，过。作Q8_LA。于X,过C作CG_LA。于G,如图：

由题可知，AP=tcm,CQ=3tcm=GH,

'：PD//CQ,PQ=CD,

：.四边形CQPD是等腰梯形，

/.ZQPH=ZD=ZB=60°,

*.*PQ=CD=AB=6cm,

11

：.PH=^PQ=3cm,DG=^CD=3cm,

・.,AP+尸”+G”+0G=AD=8C=12,

・'・1+3+3/+3—12,

解得£=1.5；

当四边形。。尸。是平行四边形时，如图:

此时PD=CQ=3tcm,

，什3/=12,

解得t=3,

・,"为1.5s或3s时,PQ=CD；

②当4<fW8时，若四边形CQP。是平行四边形，如图:

此时8Q=3(r-4)cm,AP—tcm,

\'AD^BC,PD=CQ,

：.BQ=AP,

3(/-4)=t,

解得f=6；

由①知，若四边形CQPD是CD尸0为腰的等腰梯形，则尸。>6的，这种情况在4<W8时不存在;

.1为6s时,PQ=CD;

③当8<fW12时，若四边形CQP。是平行四边形，如图：

此时CQ=3G-8),PD=12-t,

，3(/-8)=12-t,

解得t=9,

为9s时,PQ=CD；

综上所述，/为1.5s或3s或6s或9s时，PQ=CD；

故选：B.

【点评】本题考查平行四边形，等腰梯形的性质及应用，解题的关键是分类讨论思想的应用.

考点卡片

1.规律型：图形的变化类

图形的变化类的规律题

首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利

用规律求解.探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题.

2.坐标与图形性质

1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y

轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符

号.

2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问

题的基本方法和规律.

3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题.

3.全等三角形的判定

(1)判定定理I：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等.

(2)判定定理2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等.

(3)判定定理3：ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等.

(4)判定定理4：AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.

(5)判定定理5：加--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等.

方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应

相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹

边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边.

4.全等三角形的判定与性质

(1)全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时，

关键是选择恰当的判定条件.

(2)在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角

形.

5.等腰三角形的性质

(1)等腰三角形的概念

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.

(2)等腰三角形的性质

①等腰三角形的两腰相等

②等腰三角形的两个底角相等.【简称：等边对等角】

③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.【三线合一】

(3)在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线.以上四个元素中，从中任意取出两个

元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论.

6.等边三角形的判定与性质

(1)等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性

质为证明线段、角相等提供了便利条件.同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性

质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用.

(2)等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的

直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等.

(3)等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一

般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定;若从等腰三角形出发,则想法获取一个60°

的角判定.

7.直角三角形的性质

(1)有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形.

(2)直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：

性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方(勾股定理).

性质2：在直角三角形中，两个锐角互余.

性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.(即直角三角形的外心位于斜边的中点)

性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积.性质5：在直角三角形中，如果有一

个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半；

在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.

8.勾股定理

(1)勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.

如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么/+/=02.

(2)勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.

(3)勾股定理公式/+庐=C2的变形有：4=五2—炉,b=7c2—a2及c=7心+[2.

(4)由于/+廿=02>/，所以c>a,同理c>b,即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角

边.

9.多边形

（1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.

（2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.

（3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.

（4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线

整个多边形都在此直线的同一侧.②每个内角的度数均小于180。，通常所说的多边形指凸多边形.

（5）重心的定义：平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳状态，此时的

支撑点或者悬挂点叫做平衡点，或重心.

常见图形的重心（1）线段：中点（2）平行四边形：对角线的交点（3）三角形：三边中线的交点（4）

任意多边形.

10.多边形内角与外角

（1）多边形内角和定理：（”-2）780°（w23且w为整数）

此公式推导的基本方法是从〃边形的一个顶点出发引出（n-3）条对角线，将〃边形分割为（n-2）个三

角形，这（〃-2）个三角形的所有内角之和正好是〃边形的内角和.除此方法之和还有其他几种方法，但

这些方法的基本思想是一样的.即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法.

（2）多边形的外角和等于360。.

①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几,其外角和永远为360°.

②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和=180°n-（n-2）-180°=360。.

11.平行四边形的性质

（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

（2）平行四边形的性质：

①边：平行四边形的对边相等.

②角：平行四边形的对角相等.

③对角线：平行四边形的对角线互相平分.

（3）平行线间的距离处处相等.

（4）平行四边形的面积：

①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积.

②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等.

12.平行四边形的判定

(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形.符号语言：•••A8〃OC,AD〃8C...四边行ABC。是平行

四边形.

(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形.符号语言：•••A8=OC,AO=BC...四边行ABC。是平行

四边形.

(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

符号语言：：人与〃。。，AB=OC.,.四边行ABC。是平行四边形.

(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形.

符号语言：,/ZABC=AADC,/。43=/。。8