2024年中考数学考前训练：二次根式

2024年中考数学二轮探究性专题考前训练

二次根式

一、选择题

1.某校研究性学习小组在学习二次根式笳=1a|之后，研究了如下四个问题，

其中错误的是()

A.在a>l的条件下化简代数式a+Va2-2a+1的结果为2a-1

B.当a+加—2a+1的值恒为定值时，字母a的取值范围是aWl

C.a+Va2-2a+l的值随a变化而变化，当a取某个数值时，上述代数式的

值可以为!

2=

D.若Vd—2CL+1(y/ci—1)：则字母a必须满足a三1

2.观察式子：V4X9=V36=6,V4xV9=2x3=6;1-^-X-=但^—卫，

^义口?；■V0.25X0.04=0,1,<25xV^4=0.5x

0.2=0.1.由此猜想我二伤-伤口之0,b>0).上述探究过程蕴含的思想方法

是()

A.特殊与一般B.整体C.转化D.分类讨论

3.已知三角形的三边长分别为a,b,c,求其面积问题，中外数学家曾经进行过

深入研究，古希腊的几何学家海伦(Heron,约公元50年)给出求其面积的海伦

公式S—Jp(p—a)(p—b)(p—c),其中p—&+；+。；我国南宋时期数学家秦九韶

(约1202-1261)曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S=

[a2b2_(丝手若一个三角形的三边长分别为2,3,4,则其面积是

()

AB3VI^CDVis

8422

二、填空题

4.为了简洁、明确的表示一个正数的算术平方根，许多数学家进行了探索，期间

经历了400余年，直至1637年法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中开始使用

“”表示算数平方根.我国使用根号是由李善兰（18H-1882年）译西方数学书

时引用的，她在《代数备旨》中把图1所示题目翻译为：而+7^互=?

则图2所示题目（字母代表正数）翻译为，计算结果为.

图1图2

5.斐波那契（约1170-1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇

妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）.后来人们在

研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅

花，飞燕草，万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很

多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用.斐波那契数列中的第n个数可以

用专［（学）二（三匹）口表示.

通过计算求出斐波那契数列中的第1个数为，第2个数

为.

三、综合题

6.探究:

（1）计算下列各式，并判断结果大小;

②[3:--------,3上----，则白:---------3耳

（2）根据你发现的规律，再写出一个类似的式子；

（3）用字母表示这一规律，并给出证明.

7.问题探究：因为（企一1）2=3-2近，所以寸3-2鱼=应—1,

因为（a+1）2=3+2/，所以53+24=9+1,因为（2-遥）2=7-

4百，所以-7—4g=2—遮,请你根据以上规律，结合你的经验化简下列各

式：

（］）V5—2V6；

8.在数学小组探究学习中，张兵与他的小组成员遇到这样一道题:

已知。=隔，求2a2—8a+1的值.他们是这样解答的：

・・12-V3Q万

•---F=------F-------k=2—V3

2+V3（2+V3）（2-V3）

「・a_2=_V3

，（a—2）2=3即a?—4a+4=3

二•@2—4a=-1

••2a2—8a+1=2（。？—4a）+1=2x（—1）+1=-1.

请你根据张兵小组的解题方法和过程，解决以下问题:

⑴夫二

(2)化简看+短+高+…+V169+V168；

9.小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下

面二次根式的运算规律.

下面是小丽的探究过程，请补充完整：

(1)具体运算，发现规律，

特例1：[1+^=匡=«=2口

73yj37373

特例3：,3+注44

特例4：.(填写一个符合上述运算特征的例子);

(2)观察、归纳，得出猜想.

如果ri为正整数，用含"的式子表示上述的运算规律

为：;

(3)证明你的猜想；

(4)应用运算规律化简：(2022+—XV4048=

72024----------

10.探究过程：观察下列各式及其验证过程.

122-2~~|2(22-1)2_I2

<22—1+22-1

13(22—3)

q32-l十32-l

(1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想:

(2)通过上述探究你能猜测出：n

(n>0),并验证你的结论.

11.探索规律：

先观察下列等式，再回答问题:

11111

1+—+—=1+--1—；

I22211+12

11111

1~|-------1-----=1H------------------

22T32十22+1

11111

1-I--------1------=1-1-------------------=1-----

32十4233+1121

(1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想，+二+二=

q4252-------------

(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式：

(3)计算：/1+4+4+/1+4+4+/1+4+4+-+

q1222y2232q§42

J+白+工.

N9921002

12.阅读理解下面内容，并解决问题：

善于思考的小明在学习《实数》一章后，自己探究出了下面的两个结论:

①(回四)2=9x4,(V9xV4)2=(V9)2X(")2=9x4,V9V4和

V9xV4都是9X4的算术平方根，

而9X4的算术平方根只有一个，所以V9X4=V9xV4.

②"9义16)2=9X16,(V9xV16)2=(V9)2x(V16)2=9X16，

V9X16和gxV16都是9X16的算术平方根，

而9X16的算术平方根只有一个，所以—.

请解决以下问题：

(1)请仿照①帮助小明完成②的填空，并猜想：一般地，当a20,bNO时，

府与历、逐之间的大小关系是怎样的？

(2)再举一个例子，检验你猜想的结果是否符合题意.

(3)运用以上结论，计算：V81X144的值.

13.阅读材料:

小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，

如3+2V2=(1+V2)2.善于思考的小明进行了以下探索：

设a+=(m+小泛)2(其中a、b、m、n均为整数)，则有a+bV^=zn2+

2nz+2mny/2.

a=m2+2n2,b=2mn.这样小明就找到了一种把类似a+5鱼的式子化为

平方式的方法.

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

(1)当a、b、m、n均为正整数时，若a+bg=(m+小⑶)2,用含m、n的式

子分别表示a、b,得：a=,b=；

(2)利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：+

V3=(+V3)2;

(3)若a+4g=(m+加8)2,且a、m、n均为正整数，求a的值？

(4)化简：76+2V5-

14.阅读材料：小敏在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个

式子的平方.

例如：3+2V2=(1+V2)之，善于思考的小敏进行了以下探索：

当a、b、m、n均为整数时，若a+b&=(m+nV2)?,则有a+b&=m2+2r?

+2mnV2.

a=m2+2n2,b=2mn.这样小敏就找到了一种把类似a+b近的式子化为平方式

的方法.

请你仿照小敏的方法探索并解决下列问题：

(1)当a、b、m、n均为整数时，若a+人代=+rr店＞，用含mn的式子分

别表示a、b,则：a=,b=；

(2)若a+6«=(m+nV7))且a、m、n均为正整数，求a的值；

(3)直接写出式子J49+20乃化简的结果•

15.著名数学教育家G•波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句

话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，

要有一双敏锐的眼睛.请先阅读下列材料，再解决问题：

数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性

质化去里面的一层根号.例如：73+2V2=Vl+2xlxV2+2=

Jl2+2xlxV2+(V2)2=J(1+V2)2=1+V2-

解决问题：

(1)在括号内填上适当的数：714+6V5=J9+2X3XV5+(Z)=

(3+劲2=③

①：,②：，③.

(2)根据上述思路，求出,28-10次+，7+4g的值•

16.小明在学习了“二次根式”后，发现一些含根号的代数式可以写成另一个根

号的代数式的平方，如3+2应=(1+鱼尸.善于思考的小明进行了以下探索：

设a+b&=(m+九或/(其中a、b、m、n均为整数)，则有a+5立=+

2mnV2+2n2.a=m2+2n2,b=2mn.这样小明就找到了一种把类似a+

bV2的代数式化为平方式的方法.

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

(1)当a、b、m、n均为整数时，若a+bg=(m+九8/，用含m、n的代

数式分别表示a、b,则：a=，b=

(2)利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：_+=

(—+—V3)2.

(3)若a+4g=(m+)iV^)2,且a、m、n均为正整数，求a的值.

17.【知识再现】乘积为1的两个数互为倒数.如：2x1=1,我们就说2和号互为

倒数.

【主题探究】在学习二次根式的过程中，某数学兴趣小组发现有一些特殊无理

数之间也具有互为倒数的关系.例如：(&+1)(a-1)=1,可得a+1与应一

1互为倒数.

即看二或一1，溪二企+L

类似的，=V3-V2,=V3+V2,a=2-有，±=2+遮・

【启发应用】请根据以上规律，解决下列问题：

⑴春=---------,乐言而=---------；5为正整数)

（2）若药匕=2/一血，则租=---------；

（3）计算：高+；^+&+……+Vioolv99-

18.阅读材料：

材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根

式，那么这两个代数式互为有理化因式.

例如：V3XV3=3,（V6-V2）（V6+V2）=6-2=4,我们称旧的一个有理

化因式是g，逐-虎的一个有理化因式是述+企.

材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分

母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化.

8_8（逐+低）_8（逐+但）_2_|_2^2

V6—V2（V6—V2）（V6+V2）4

请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：

（1）vn的有理化因式为，近+逐的有理化因式为；（均

写出一个即可）

（2）将下列各式分母有理化（要求写出变形过程）：

②赤；

（3）计算：熹+短+短+…+嬴』布的结果・

19.若虎标是一个正整数，那么正整数m的最小值是多少？请探究.

20.小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究

下面二次根式的运算规律.

下面是小丽的探究过程，请补充完整:

（1）具体运算，发现规律，

特例1：fl+^=匡=

\3q3q3勺3

特：2：/=匡=g=3p

74747474

特:3：户1=4/

特例4：.(填写一个符合上述运算特征的例子)；

(2)观察、归纳，得出猜想.

如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律

为：;

(3)证明你的猜想；

(4)应用运算规律化简：/2022+—X74048=

21.在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题：已知a=

战，求2a2-8a+1的值.他们是这样解答的：

.•・^=Z__=2-g

2+V3(2+V3)(2-V3)

CL-2——V3

(a-2)2=3即a?—4a+4=3

：,a2—4a=—1

2a2—8a+1—2(ci2—4a)+1—2x(—1)+1——1.

请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题：

(2)化'^简1JV2-+-1-~FV~3~+FV2~~FV4~+V3~…H—/V169+V168T--71=70-+71=69,

1

(3)若a=店与，求a“一4a3-4a+7的值.

22.阅读理解：学习了二次根式后，你会发现一些含有根号的式子可以写成另一

个式子的平方，如3+2加=1+2+2或=M+2或+（V2）2=（1+V2）2.继续

进行以下的探索：设a+b&=（7H+小口）2（其中a,b,m,n都是正整数），则

有a+bV2=m2+2n2+2mnV2..*.a=m2+2n2,b=2mn,这样就得出了把类

似a+b企的式子化为平方式的方法.

请仿照上述方法探索并解决下列问题：

（1）当a,b,m,ri都是正整数时，若a-=（m-m疗＞，用含九的式

子分别表示a,b,得a—,b=；

（2）利用上述方法，填空：21-4芯=（-V5）2;

（3）如果a—=（TH—九遍）2,且a,m,九都是正整数，求a的值.

23.【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个

式子的平方，如3+2企=（1+企/.善于思考的小明进行了以下探索：若设a+

bV2=（m+nV2）2=m2+2n2+2mn42（其中a、b、九均为整数），则有a=

m2+2n2,b=2mn-这样小明就找到了一种把类似a+b或的式子化为平方式的

方法.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

【问题解决】

（1）若a+=（m+遮/，当a、b、m、n均为整数时，则a

=，b=.（均用含m、n的式子表示）

（2）若％+4百=（m+小巧）？，且％、my九均为正整数，分别求出％、九的

值.

（3）【拓展延伸】

化简J5+2e=•

24.阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个

式子的平方，如3+2/=（1+应/，善于思考的小明进行了以下探索：

设a+=(m+a九)2(其中a、b、m、n均为正整数)，则有a+&b=

m2+2迎mn+2n2,

a=m2+2n2,b=2mn.

这样小明就找到了一种把部分a+鱼b的式子化为平方式的方法.

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

(1)当a、b、m、n均为正整数时，若a+=(m+&九产，用含m、n的式

子分别表示a、b,得：a=,b=；

(2)若a+4g=(租+旧?1)2,且a、m、n均为正整数，求a的值；

(3)化简：J一,21

25.先阅读下列解答过程，然后再解答：小芳同学在研究化简,7+4百中发现:

首先把〃+4g化为J7+2位，由于4+3=7,4x3=12,即：(V4)2+

(V3)2=7,V4xV3=V12?所以，7++2、12=

J(的2+2V43?3+(V3)2=(J(V4+V3)2=2+后

问题：

(1)填仝：,4+，V5-2A/6—；

(2)进一步研究发现：形如倔的化简，只要我们找到两个正数&，b

(a>b),使a+b=m,ab=n,BP(Va)2+(Vb)2=m,仿x逐=遮，那么

便有：Jm+2y/n=•

(3)化简：74-715(请写出化简过程)

26.探究逼近V7的有理近似值.

方法介绍：

经过k步操作(k为正整数)不断寻找有理数ak,为，使得ak<47<

bk,并且让bk-ak的值越来越小，同时利用数轴工具将任务几何化，直观理解通

过等分线段的方法不断缩小V7对应的点P所在线段的长度（二分法）

思路分析：

在数轴上记ak,bk对应的点分别为Ak,Bk,ak和bk的平均数ck=

警对应线段AkBk的中点（记为Q）.通过判断近〈以还是近〉以，

得到点P是在二等分后的“左线段AkCk"上还是“右线段CkBk”上，重复上

述步骤，不断得到ck,从而得到V7更精确的近似值.

具体操作步骤及填写“阅读活动任务单”：

（1）当々=1时，

①寻找左右界值：先寻找两个连续正整数的,瓦，使得a1<V7<b1.

因为V27<V7<V37,所以2〈近V3,那么的=2,九=3,线段

久邑的中点Q对应的数q=J*=*=2.5.

V7>

Ck=Ck还点P在“左线段得出更精确的V7

Qk+bk

k是AC"上还是“右线与以，,c

以bk2kkk

的值V7<段CkBk”上的大小关系

Ck

V7

1232.5点P在线段C1B1上2.5<V7<3