2024年中考数学考前冲刺复习：与圆有关的计算之求阴影部分面积

专题03与圆有关的计算

题型解读

模型①阴影部分面积计算

方法一直接利用公式法求阴影部分面积

方法二直接或构造和差法求阻影部分面积

求阴影部分面积方法总结

方法三利用等积转换法求阴影部分面积

方法四利用容斥原理求阴影部分面积

求阴影部分面积在考试中主要考查学生对图形的理解和数形结合的认识能力具有一定的难

度.一般考试中选择题或填空题型较多，熟练掌握扇形面积、弧长的计算、等边三角形的判

定和性质，特殊平行四边形性质是解题的关键.

模型02阴影部分周长计算

求阴影部分弧长或周长的计算，掌握弧长计算方法是正确计算的前提，求出相应的圆心角度

数和半径是正确计算的关键.该题型一般考试中选择题或填空题型较多，圆心角是圆

的半径为R的扇形面积为S,则S扇形=二达2或S扇形（其中/为扇形的弧长）.熟练

3602

应用公式是解题的关键.

模型03与最值相关的计算

阴影部分面积和周长中求最值，此题有一定的难度，解题中注意掌握辅助线的作法，注意掌

握方程思想与数形结合思想的应用.本题考查中经常与轴对称--最短路线问题、勾股定理、

等边三角形的判定和性质、含30。角的直角三角形的性质、垂线段最短等知识点相结合，解

这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段，属

于中考选择或填空题中的压轴题.

模型构建

模型01阴影部分面积计算

考I向I预I测

阴影部分面积计算问题该题型主要以选择、填空形式出现，目前与综合性大题结合考试，作

为其中一问，难度系数不大，在各类考试中都以中档题为主.解这类问题的关键是将所给问

题抽象或转化为规则图形的面积进行求解，属于中考选择或填空题中的压轴题.

答I题I技I巧

第一

确定弧所对的圆心，（找圆心）

步：

第二

连接圆心与弧上的点；（连半径）

步：

第三确定圆心角度数（有提示角度的话注意求解相应角，没有提示角度的话一般为特

步：殊角，大胆假设小心论证）

第四

把不规则图形面积转化为规则图形面积进行求解

步：

例1.（2023•四川）

1.一个商标图案如图中阴影部分，在长方形ABCD中，AB=6cm,3c=4cm,以点A为

圆心，AD为半径作圆与54的延长线相交于点F则阴影部分的面积是（）

A.(4K+4)CHI2B.(4TI+8)cm2C.(8re+4)cm2D.(47t-16)cm2

例2.(2023•湖北)

2.如图，在ABC中，ZA=90°,A8=3,AC=6,0是8c边上一点，以。为圆心的半圆分

别与A8,AC边相切于两点，则图中两个阴影部分面积的和为.

A

D,

BOC

模型02阴影部分周长计算

考I向I预I测

阴影部分弧长或周长计算该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难

度，该题型主要考查求与弧结合的不规则图形的周长，准确应用弧长公式是解题的关键.但

许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而

转化成求规则图形的长度问题.

答I题I技I巧

第一步：观察图形特点，确定弧长和线段长；

第二步：利用弧长公式求长度；

第三步：求图形中其它边的长度；

例1.（2023•河北）

3.如图，正方形ABCD的边长为2,分别以3,C为圆心，以正方形的边长为半径的圆相

较于点尸，那么图中阴影部分①的周长为,阴影部分①②的总面积为.

例2.（2023•浙江）

4.如图，正方形ABC。中，分别以B,。为圆心，以正方形的边长。为半径画弧，形成树

叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的周长为―.

模型03与最值相关的计算

考I向I预I测

圆的弧长与面积和最值相关的计算主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各

地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握.该题型也主要以选择、填空的形式出

现，一般较为靠后，有一定难度，该题型主要考查轴对称-----最短路径问题、勾股定理、

三角形及平行四边形的判定与性质，要利用“两点之间线段最短”“点到直线距离垂线段最短”

等，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，

从而转化成两点之间线段最短的问题，进而解决求阴影部分的最值问题.

答I题I技I巧

第一步：观察图形特点，确定变量和不变的量（一般情况下弧长固定，线段长变化）

利用将军饮马或者“两点之间线段最短，，“点到直线距离垂线段最短，，等知识点进

第二步：

行转化

第三步：牢记弧长公式，求对弧长和线段长；

第四步：利用数形结合思想注意确定最值；

例1.（2023•江苏）

5.如图，点C为。圆。上一个动点，连接

二，BC,若。4=1,则阴影部分面积的最小

值为（）

n

O1--------------------

A万白1]_c万1

交D.-------

4442*284

例2.（2022•浙江）

6.如图，。。是以坐标原点。为圆心,4忘为半径的圆，点P的坐标为（2,2）,弦A8

经过点尸，则图中阴影部分面积的最小值为（）

3232

A.8兀B.—7iC.8TT-16D.——8A/3

33

例3.（2023•吉林）

7.如图，在RtABC中，ZACB=90°,ZB=30°,AC=4,以AB直径作圆，P为BC边

的垂直平分线DE上一个动点，则图中阴影部分周长的最小值为.

强化训练

（2023•江苏）

8.如图，在RtZkABC中，/A=9（T,AB=3,AC=4,以。为圆心的半圆分别与AB、AC边

相切于“E两点，且。点在5c边上，则图中阴影部分面积箍=（）

15036

A。—2C.5—71D.-----------71

-744949

（2022・湖北）

9.如图，在Rt,ABC中，ZC=90°,AB=6,AD是/BAC的平分线,经过A,。两点的

圆的圆心。恰好落在A5上，一。分别与AB、AC相交于点E、F.若圆半径为2.则阴影

部分面积（）.

（2023.安徽）

10.如图是某芯片公司的图标示意图，其设计灵感源于传统照相机快门的机械结构，圆。

中的阴影部分是一个正六边形，其中心与圆心。重合，且AB=BC,则阴影部分面积与圆

的面积之比为（）

11.如图所示，。。是以坐标原点O为圆心，4为半径的圆，点P的坐标为（应，行）,

弦AB经过点P,则图中阴影部分面积的最小值等于（）

（2023•山东）

12.如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A8两点，分别以两点为圆心，画与

X轴相切的两个圆，若点A的坐标为（2,1）,则・图中两个阴影部分面积的和是（)

11

A.—兀B.—7iC.7iD.4兀

24

（2023•山西）

13.如图，在中，ZC=90°,N5=30。，点。在A5上，以。为圆心作圆与3C相

切于点。，与A3、AC相交于点E.F；连接A。、FD,若。的半径为2.则阴影部分面

3333

（2023•黑龙江）

14.如图，ABC中，ZACB=90°,AC=BC=4,分别以点A,3为圆心，AC,的

长为半径作圆，分别交AB于点DE,则弧C£＞弧CE和线段OE围成的封闭图形（图阴影部

分）的面积（结果保留万）

（2022•河南）

15.在矩形ABCD中，AB=4,AD=4&,以8c为直径作半圆（如图1）,点尸为边8上

一点.将矩形沿3尸折叠，使得点C的对应点E恰好落在边AO上（如图2）,则阴影部分周

长是.

图1图2

（2022.内蒙古）

16.如图，在MAO8中，ZAOB=90°,以。为圆心，的长为半径的圆交边于点。,

点C在边OA上且C£>=AC,延长8交的延长线于点E.

（2）已知sinNOC£>=1,AB=4右,求AC长度及阴影部分面积.

通关试练

17.如图，在以点。为圆心的半圆中，AB为直径，且AB=4,将该半圆折叠，使点A和点

B落在点。处，折痕分别为EC和FD,则图中阴影部分面积为（）

A-4^-fB-46Tc-2^-fD-2^-T

18.如图，在矩形ABC。中，AB=4,BC=6,点E是A8中点，在A。上取一点G,以点

G为圆心，G。的长为半径作圆，该圆与3c边相切于点凡连接。E,EF,则图中阴影部

分面积为（）

C.2兀+6D.5兀+2

19.如图，四边形A8CQ为正方形，边长为4,以5为圆心、8C长为半径画A5,E为四边

形内部一点，且3EJ_CE,N8CE=30。，连接AE,求阴影部分面积（）

A.4兀-26B.6万C.4%-2-2&D.4万-3-2百

20.如图，正三角形ABC的边长为4cm,D,E,F分别为BC,AC,AB的中点，以A,B,

C三点为圆心，2cm为半径作圆.则图中阴影部分面积为（）

C.(4班-2兀)cm2D.(271-273)cm2

21.如图，在RtZXAOB中，ZAOB=9Q0,04=2,0B=l,将Rt/VlOB绕点。顺时针旋

转90°后得RtAFOE,将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段£»,分别以O,E为圆心，

OA.ED长为半径画弧A尸和弧。尸，连接4）,则图中阴影部分面积是（）

5TC771

A.7iB.TT+5C.--------D.-----

2424

22.如图，在半径为2.圆心角为90°的扇形Q4B中，8C=2AC，点。从点。出发，沿OfA

的方向运动到点A停止.在点。运动的过程中，线段30,8与BC所围成的区域（图中

阴影部分）面积的最小值为（）

23.如图，矩形ABC。中，AB=4,BC=3,尸是A3中点，以点A为圆心，AD为半径作弧

交于点E,以点8为圆心，时为半径作弧交8C于点G,则图中阴影部分面积的差E-S?

24.如图，在半径为4的扇形048中，ZAOB=90°,点C是A8上一动点，点。是0c的

中点，连结并延长交。2于点E,则图中阴影部分面积的最小值为（）

C

AB

\\/E

O

A.4万一4B.4^---C.2万一4D.2^--—

33

25.如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,AB=6,AD是/B4C的平分线，经过A,。两点

的圆的圆心。恰好落在A3上，。分别与48、AC相交于点E、E若圆半径为2.则阴影

部分面积=.

26.如图，在RtABC中，ZA=30°,8C=2石，点。为AC上一点，以。为圆心，OC长

为半径的圆与A3相切于点。，交AC于另一点E,点尸为优弧DCE上一动点，则图中阴影

部分面积的最大值为.

A

BC

27.如图，点C为:圆。上一个动点，连接AC,BC,若。4=1,则阴影部分面积的最小

4

值为.

oB

28.如图所示，。。是以坐标原点O为圆心，4为半径的圆，点P的坐标为（及，&）,

弦AB经过点P,则图中阴影部分面积的最小值=.

29.如图，扇形。中，OA=R,NAOB=60。，C为弧A3的中点，点。为。3上一动点,

连接4XDC,当阴影部分周长最小时，tan/ADC等于.

30.如图，扇形AOB中，ZAOB=nO°,M切弧AB于点C,切。4,08分别于点，E,

若04=1,则阴影部分面积的周长为.

3

31.如图，在中，OA=2,0B=3,AB=-,将493绕点。逆时针旋转45。后得到

△COD,则图中阴影部分（边A3扫过的图形）的周长为.

32.如图，在一AfiC中，ZACB=90°,以点C为圆心，C4长为半径的圆交A3于点。.

⑴若NB=25。，求A£）的度数；

⑵若。是的中点，且AB=4,求阴影部分（弓形）的面积.

33.如图，在AABC中，AB=AC,以AB为直径作圆0,分别交AC,BC于点DE.

⑴求证：BE=CE;

⑵当NBAC=40。时，求NAOE的度数；

（3）过点E作圆。的切线，交AB的延长线于点F,当AO=BE=2时，求图中阴影部分面积.

34.如图，ABC中，ZACB=90°,/胡。的平分线交BC于点。，以点。为圆心，OC长

为半径作圆.

(1)求证：A8是，：O的切线；

(2)^ZCAO=30°,OC=4,求阴影部分面积.

参考答案：

1.A

【分析】本题考查有理数混合运算的应用，圆的面积，阴影部分的面积等于长方形ABC。的

面积加上;圆形的面积，再减去VCBP的面积.

4

【详解】解：由题意知AF=AD=3C=4cm,BF=AF+AB=10cm,

阴影部分的面积S=42-2C+工TTAD?-12尸•2C

42

1,1

=6x4+—71x4——xl0x4

42

=24+471-20

=4兀+4,

故选A.

2.5一%##一》+5

【分析】连接OD,OE,可证四边形ADOE是正方形，^AD=DO=OE=AD=rf贝1J

EC=AC-AE=6-r,证明，AC5s通过对应边成比例求出r,则阴影部分面积之

和等于S枷减去S正方形ARE,再减去」和△£OC所包含扇形的面积之和.

【详解】解：如图，连接OO,OE,

以。为圆心的半圆分别与AB,AC边相切于。，石

两点,

/.OD±AB,OE1AC,

ZA=90°,

1•四边形ADOE是矩形，

又OD=OE9

••・四边形ADOE是正方形，

AD=DO=OE=AD,ZDOE=90。,

ZA=ZOEC=90°,ZACB=AECO,

•・ACBs/ECO,

.ACAB

'~EC~~EO'

设AD=DO=OE=AD=r,贝！JEC=AC—AE=6—r,

•6_3

6-rr'

解得Y=2,

AD=DO=OE=AD=2,

/DOE=90。,

12f)°_OH°1

DOB和△EOC所包含扇形的面积之和为：一—xnr2=-nx22=?t,

，图中两个阴影部分面积的和为：SABC-S正方形3OE-兀=gx3x6-22-7t=5-7t,

故答案为：5-兀.

【点拨】本题考查切线的性质，正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，扇形面积

计算等知识点，解题的关键是证明ACBs"CO,求出半径r.

3.7T+22\/3-------

3

【分析】连接PB、PC,作尸FLBC于歹，根据等边三角形的性质得到NPFC=60。，解直

角三角形求出所、PF,根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案.

【详解】解：连接PB、PC,作尸于歹，

PB=PC=BC=2,

.•.△P3C为等边三角形，

ZPBC=NPCB=60°,ZPBA=30°,

:.PF=PB.sin60°=2x®=g,

2

二阴影部分①的周长=+

30%x26071x2

++2

180180

=71+2

阴影部分①②的总面积=[S扇形.-（S扇物附-S皿）]X2

30TTX22f607TX22一；X2XG

360―[360x2

=2百一拳，

故答案为：乃+2；2^/3---.

【点拨】本题考查的是扇形面积、弧长的计算、等边三角形的判定和性质，正方形性质，掌

握扇形面积公式是解题的关键.

4.兀a

【分析】由图可知，阴影部分的周长是两个圆心角为90。、半径为。的扇形的弧长，可据此

求出阴影部分的周长.

【详解】解：四边形A3CD是正方形，边长为。，

:.AB=CB=AD=CD=a,ZB=ZD=90°,

树叶形图案的周长=2乂桀/=

lol）

故答案为：兀a.

【点拨】本题考查了弧长的计算，关键是牢记弧长公式.

5.C

【分析】连接A3、连接OC',根据等腰直角三角形的性质求出OD,进而得到CD的长,

根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案.

【详解】解：连接AB,OC,AC,BC,

要使阴影部分的面积最小，需要满足四边形AOBC的面积最大，只需满足，ABC的面积最大

即可，

从而可得当点C位于弧A2的中点C'时，ABC的面积最大,

连接。C,则OCUAB于。，

DC'=OC'-OD=1--,

2

「•S四边形AOBC'=SAOB+SMU=5X

X1TT

扇形A03的面积=也」=工，

3604

，阴影部分面积的最小值=工-包，

42

故选：C.

【点拨】本题考查的是扇形面积计算、垂径定理、等腰直角三角形的性质，掌握扇形面积公

式是解题的关键.

6.D

【分析】由题意当时，阴影部分的面积最小，求出A8的长，乙4。9的大小即可

解决问题.

【详解】解：由题意当。尸，A3'时，阴影部分的面积最小，

:P(2,2),

--OP=yl22+22=25/2，

-：OA'=OB'=4^/2，

:.PA，=PB，=dOB。-OP。=J(4也丁_(2应J=2瓜,

276广

.\tanz.A'OP=tanz_B'OP--产=Js

2V2

,^A'OP=^B'OP=60°,

：N409二120。，

120；r4

；.S而S„OA'B'-SAA'OB"='(^)_1,4J6.2J2=--8A/3，

36023

故答案为：D.

【点拨】本题考查扇形的面积的计算、勾股定理以及垂径定理等知识，解题的关键是理解当

OPLA7T时，阴影部分的面积最小，属于中考常考题型.

-c4%

7.8+——

3

【分析】首先根据垂直平分线的性质将AP+CP的长度转化为AP+3P的长度，求出AP+的

的最小值，然后根据直角三角形的性质求出AP和CP的长，并证明△ACP是等边三角形,

据此求出圆心角NAEC的大小，即可计算出AC的长度，用AC的长度加上AP+CP的长度

即为阴影部分的周长.

【详解】解：如图，连接CE,连接BP

•.•尸为3C边的垂直平分线OE上一个动点,

.,.点C和点B关于直线DE对称,

:.CP=BP,

:.AP+CP=AP+BP

,当动点尸与点E重合时AP+3尸最小，此时AP+CP最小,

•.ZACB=90°,ZB=30°,AC=4,

/.AB=2AC=8»AE=4,

:.CP=AP=ACf

「.△AC尸是等边三角形，

:.ZAPC=60°,

:AP-^CP=AP+BP=AB=8,

口口口八人八m“白,、rc60°X乃X4八47r

阴彭部分的周长取小值为8H——8+——.

lot）3

4yr

故答案为8+.

【点拨】本题主要考查弧长的计算以及利用垂直平分线的性质求两线段长度和的最小值，阴

影部分的周长可以分为AC和AP+CP两部分的长度分别计算然后求和即可.

8.D

【分析】连接O2OE,设（。与BC交于M、N两点，易得四边形ADOE是正方形，即可

得到NDOM+/EON=90。，然后设OE=x,由CO£s。阴，根据相似三角形的对应边成

比例，即可求得x的值，然后根据S阴影=SABC-S正方形AZ）O£一（S扇形OOM+S扇彩EON）求解即可•

【详解】解:连接8,0万,设：。与BC交于M、N两点，

NC

：AB.AC分别如，。于DE两点,

ZADO=ZAEO=90°,

X-.-ZA=90°,

二四边形ADOE是矩形,

:OD=OE,

二四边形ADOE是正方形,

:.ZDOE=90°f

.,.ZDOM+/EON=94。,

^OE=x,贝ijAE=AD=OD=x,EC=AC-AE=4-x.

ZC=ZC.ZCEO=ZA=90°,

/.COEsCBA,

CEOE

4-x_x

43

12

解得％=亍，

•，-S阴影=^.ABC~S正方形々JOE一(S扇形DQM

15036

------------71

4949

故选D.

【点拨】此题考查了相似三角形的判定与性质，切线的性质，正方形的判定与性质，以及扇

形的面积，此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应

用.

9.C

【分析】连接OD,OF.首先证明ODIIAC,推出S阴=5扇形OFA，再证明AAOF是等边三角

形即可解决问题.

【详解】解：连接OD,OF.

/AD是NBAC的平分线，

.,.zDAB=zDAC,

.「OD=OA,

.\zODA=zOAD,

.-.zODA=zDAC,

/.ODllAC,

.-，zODB=zC=90°,

••SAAFD-SAOFAJ

--S阴=5扇形OEA,

.「OD=OA=2,AB=6,

：OB=4,

/.OB=2OD,

/.ZB=3O°,

：NA=60。，

/OF=OA,

「.△AOF是等边三角形，

/.ZAOF=60°,

.•$阴=$扇形OFA=K"=里.

3603

故选：C.

【点拨】本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关

键是添加常用辅助线，用转化的思想思考问题.

10.B

【分析】根据题意，设正六边形的边长为1,进而求出圆的面积以及圆的内接正六边形面积,

进一步计算可得答案.

【详解】解：如图所示，连接。4,OB,OC

设正六边形的边长为1,则。4=1,ZAOB=60°,OA=OB

493为等边三角形，贝|NBQ4=NOB4=60。，OA=OB=AB=1,AC=2,

：.ZBCO=ZBOC,

又•：NABO=NBCO+NBOC,

ZBCO=ZBOC=30°,则ZAOC=90°,

；.OC=NAC2-AO。=也，即圆的半径为百，

所以圆的面积为3万，正六边形的面积为6%40s=6xiABOAsin60°=6xixlxlx—=,

AAOB2222

则阴影部分面积与圆的面积之比为工=3，

3万2万

故选：B.

【点拨】本题考查了圆面积的计算，正六边形的性质，正确作出辅助线和正确的识别图形是

解题的关键.

11.D

【详解】由题意当OPLAB时，阴影部分的面积最小，

/P（V2，6）,

/.OP=2,\OA=OB=4,

：PA=PB=2四,

/.tanzAOP=tanzBOP=73,

/.zAOP=zBOP=60°,

/.ZAOB=120°,

_4204？2A16万-12有

.阴一、扇形OAB-OAAOB-------------------------X4>/5XZ------------------------

36023

【分析】先利用切线的性质得到。A的半径为1,再根据反比例函数图象的对称性得到点B

的坐标为（-2,-1）,同理得到OB的半径为1,则可判断OA与OB关于原点中心对称，。

A的阴影部分与0B空白的部分的面积相等，所以图中两个阴影部分面积的和等于。A的面

积，然后根据圆的面积公式计算.

【详解】解：1•点A的坐标为（2,1）,且。A与x轴相切，

的半径为1,

,点A和点B是正比例函数与反比例函数的图象的交点，

二点B的坐标为（-2,-1）,

同理得到。B的半径为1,

二。A与。B关于原点中心对称，

••.OA的阴影部分与OB空白的部分完全重合，

.­,OA的阴影部分与0B空白的部分的面积相等，

二图中两个阴影部分面积的和=兀」2=兀.

故选c.

【点拨】本题考查了反比例函数图象的对称性：反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对

称图形，对称轴分别是：①第二、四象限的角平分线y=-x；②第一、三象限的角平分线y=x；

对称中心是：坐标原点.

13.C

【分析】连接0。，OF,证明推出S阴影=s扇形。"，再证明是等边三角形

即可解决问题.

【详解】解：连接0。，OF.

。与3C相切,

:.ZODB=90°.

,.•"=90。，

.\ZODB=ZC,

:.OD//AC,

...uAFD~°OFA，

•二S阴影=S扇形0E4,

/ZB=30°,

：.ZBAC=6O°,

:OF=OA,

/.AO厂是等边三角形,

/.ZAOF=60°,

_60•I•2?_2%

:3阴影=3扇形。网=———=­•

故选C.

【点拨】本题考查了切线的性质，扇形的面积，等边三角形的判定和性质，平行线的性质等

知识，解题的关键是添加常用辅助线，用转化的思想思考问题.

14.4兀一8

【分析】根据S空白=2x（SABC~S扇形CW），S阴影—SABC-S空白，计算求解即可.

【详解】W：:ZACB=90°,AC=BC=4,

・•・Swc=Jx4x4=8，S扇形加=^^=27，S空白=2x（8-2万）=16-4万，

，s阴影=S,MC-S空白=8—（16—4万）=4万一8，

故答案为：4万-8.

【点拨】本题考查了扇形的面积.解题的关键在于正确表示阴影部分的面积.

15.立"+4##4+0万

【分析】根据折叠和直角三角形的边角关系可求出乙42年45。，进而求出阴影部分所在的圆

心角的度数为90°,求出8歹和BF的长再进行计算即可.

【详解】解：设阴影部分所在的圆心为O,如图，连接。孔

1•四边形ABC。是矩形,

.•.zABC=zA=90°,

由折叠得，BE=BC=4衣

•,AB=4,

-AE=y/BE2-AB2=4

,\AB=AE,

ZABE=ZAEB=1(180°-90°)=45°

ZOBE=90°-ZABE=90°-45°=45°,

:OB=OF

.\ZOBF=ZOFB=45°

ZBOF=180。—45°-45°=90°

的长=型伫&L后,

180

BF=yJOB2+OF2=J(2回+(2行了=4,

：.阴影部分周长=0"+4

故答案为：血兀+4.

【点拨】本题考查折叠轴对称，直角三角形的边角关系，弧长的计算，掌握弧长计算方法是

正确计算的前提，求出相应的圆心角度数和半径是正确计算的关键.

16.(1)证明见详解；

(2)AC=3,阴影部分面积为三-4万.

【分析】(1)连接O。，证明NODE=90。即可；

(2)在放△OC。中，由勾股定理求出。C.ODC。，在MAOCE中，由勾股定理求出OE,

用AOCE的面积减扇形面积即可得出阴影部分面积.

【详解】(1)证明：连接

：OD=OB

.,2OBD=NODB

\'AC=CD

：.Z.A=z.ADC

.2ADC=NBDE

：.Z.A=z_EDB

：Z.AOB=90°

/.zA+zABO=90°

.•.NODB+NBDE=9。。

即OD_LCE,

又。在；。上

是圆的切线；

（2）解：由（1）可知，zODC=90°

在Rf/kOCD中，sinZOCD=-=—

5OC

.•.设OD=OB=4x,贝ijOC=5x,

..CD=y/0C2-0D2=,J（5X）2+（4X）2=3尤

：.AC=3x

：.OA=OC+AC=Sx

在放△0A8中：OB2+O^=AB2

即：（4好+（8%2）=（4灼2

解得％=1,（-1舍去）

"03,0C=5,OB=OD=4

4OF

在RMOCE中,sinZOCD=-=—

5CE

.•.设OE=4y,贝I]CE=5y,

：OE2+OC2^CE2

（4y）2+52=（5y）2

解得y=g，（'舍去）

.--0E=4y=y

S*也可」x型X5-4.竺-4%

阴黑2360233

.•.阴影部分面积为弓-4%.

【点拨】本题考查切线的判断和性质、勾股定理、三角函数、阴影部分面积的求法，解题的

关键在于灵活运用勾股定理和三角函数求出相应的边长，并能将阴影部分面积转化为三角形

与扇形面积的差.

17.D

【分析】根据题意求得AC=OC=OD=DB=1,CD=2,EC=石2一=豆，进一步求出^EOF

是等边三角形，然后根据S阴二S长方形CDFE-（S半圆-S长方形CDFE）+2（S扇形OEF-S^EOF）即可求得.

【详解】:AB是直径，且AB=4,

.\OA=OE=2,

•.•使点A和点B落在点O处，折痕分别为EC和FD,

.-.AC=OC=OD=DB=I,

-CD=2,EC=JOE2_OC2=5

「.△EOF是等边三角形,

/.ZEOF=60°,

S半圆二—7TX22-2^,S长方形CDFE=2xJ§=2

--S阴=S长方形CDFE-(S半圆-S长方形CDFE)+2(SOEF-SAEOF)=4A/3-2^+2(2^/3)-2y/3——

故选D.

【点拨】此题主要考查扇形面积的计算，解题的关键是熟知翻折变换的性质.

18.B

【分析】由矩形的性质可得AO=BC=6,ZADC=zC=90°=zA=zB,A2=Cr>=4,由切

线的性质可得即可证四边形GECD是正方形，可得GD=GP=C£>=CF=4,由

面积的和差可求阴影部分面积.

【详解】如图，连接GR

1•四边形ABC。是矩形

:.AD^BC^6,NAOC=NC=90°=ZA=N8,AB=CD=4

:点E是AB中点

:.AE=BE=2

・：BC与圆相切

:.GF±BC,且NA£)C=NC=90°

二四边形GFCD是矩形,

又：GD=DF

四边形GbCD是正方形

:.GD=GF=CD=CF=4

：.BF=BC-FC=2

■:S阴影=(S四边形ABFZ)-S^AED-S^BEF)+(S扇形GDF-S^GDF)

「.S阴影=(--------—x6x2——x2x2)+(4兀-—x4x4)=4兀.

故选B.

【点拨】本题考查了矩形的性质，切线的性质，正方形的判定和性质，扇形的面积公式，熟

练运用这些性质进行推理是本题的关键.

19.C

【分析】过E点作于M点，作硒，48于7\^点，利用解含特殊角的直角三角形,

得到BM=^-EM,根据BM+MC=BC=4,求出EM,进而求出3M,依据NE

3

±AB,EMLBC,且NABC=90。，可知四边形8MEN是矩形，则有NE=BM=1,根据

S阴影二S扇形A5C—^/\ABE-'△BEC即可求解.

【详解】过E点作现LL8C于M点，作ENJ_A3于N点，如图，

AD

BMC

:BEA_CE,

.,.NBEC=90。,

/ZBCE=3O°,

:.AEBC=60°,

.•.在ROEMC中，

.,.tanzECM=-^^=tan30°=^-,

MC3

：.MC=6EM,

,.在Rt^EBM中,

EM

:Xmz_EBM=---=tan60°=J3，

BM

3

.BM+MC=BC=4,

.•里EM+6EM=4,

3

1.EM=6

：.BM=^-EM=—x^/3=l,

33

\NE_LAB,EM工BC,_&zABC=90°,

四边形BMEN是矩形，

：.NE=BM=\,

\AB=BC=4,NABC=90。，

SAAB£=-^xABxNE=；x4xl=2,5AB£C=；xBCxEM=-^-x4x-\/3=2-\/3,

,90°21

S扇形.=万义48"妍=万义4X-^4TT

S阴影=S扇形ABC_SAABE'-S^BEC=4万-2-2百,

故选：C.

【点拨】本题考查了矩形的性质、扇形的面积公式和解含特殊角的直角三角形等知识，求出

EM、EN是解答本题的关键.

20.C

【分析】连接AD,由等边三角形的性质可知AD，BC,NA=NB=NC=60。,根据S阴影=SAABC-3s

扇形AEF即可得出结论.

【详解】连接AD,

/△ABC是正三角形，

「.AB=BC二AC=4,zBAC=zB=zC=60°,

•.BD=CD,

/.AD±BC,

「•AD=^AB2-BD2=742-22=273，

/.S阴影=S4ABC-3s扇形AEF=;x4x2班-'。"义'乂3=（4四-2兀）cn?,

/360

【点拨】本题考查了有关扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键.

21.C

【分析】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质、全等三角形的性质，扇形的面积公式

为$=更二.作于人根据勾股定理求出根据阴影部分面积=Y4DE的面积

360

+VEOF的面积+扇形AOF的面积-扇形OEF的面积、利用扇形面积公式计算即可.

【详解】解：作。于"，

:ZAOB=90°,OA=2,OB=1,

■-AB^ylo^+OB2^y/5,

由旋转，得EOFmBOA,

:.ZOAB=ZEFO,

NFEO+ZEFO=/FEO+ZHED=90°,

:/EFO=/HED,

."HED=/OAB,

:ZDHE=ZAOB=90°,DE=AB,

:DHE^BOA(AAS),

:.DH=OB=1,

阴影部分面积=VADE的面积四EOF的面积+扇形AO下的面积一扇形下的面积

=lx3xl+lxlx2+22^i-22^

22360360

51

---------71

24

故选：C.

22.B

【分析】当点。在线段。4上时，易得当点。与点A重合时，阴影部分面积最小，连接OGBC,

过点。作SLQ4于点”，如图，分别求出最小阴影部分面积比较即可得到阴影部分最小

面积.

【详解】当点。在线段04上时，易得当点。与点A重合时，阴影部分面积最小，连接0cBe

过点。作CHLOA于点儿如图,

:.CH=-OC=l,

2

2

•.•ZBOC=-x90°=60°,

3

c60c22

=^77?x31x2•

JOU5

S阴=S扇形BOC+SNOC-S—OB=§乃+；x2xl一;x2x2="1九一1；

2

厂•线段50、8与5C所围成的区域（图中阴影部分）面积的最小值为]»-L

故答案为B.

【点拨】本题主要考查了勾股定理，圆心角定理以及三角形及扇形的面积求法，讨论动点的

位置作辅助线把不规则图形的面积转化为规则图形面积的和差是解题的关键.

23.A

【分析】根据图形可以求得正的长，然后根据图形即可求得R-§2的值.

【详解】解：•.•在矩形ABC。中，AB=4,BC=3,/是AB中点，

:.BF=BG=2f

「•S1-§矩形ABC。一§扇形ADE-S扇形5GF+^2，

90-^x3290-^x2213乃

..S,-S,=4x3------------------------------=12--------,

123603604

故选A.

【点拨】本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问

题需要的条件，利用数形结合的思想解答.

24.B

【分析】由题意可知点。在以O为圆心2为半径的圆弧上，则可知当AE与小圆O相切于

。时，OE最大，即^AOE的面积最大，此时阴影部分的面积取得最小值，由此求解即可.

【详解】•.•点。是0。的中点，OD=2,

.•.点D在以O为圆心2为半径的圆弧上，

可知当AE与小圆。相切于。时，OE最大，即△AOE的面积最大，此时阴影部分的面积

取得最小值，

\OA=2OD=4,

sinZOAE=^-=—,]U!jZOAE=30°,

OA2

「NA08=90。,

4a

：.OE=OAtmZOAE=^^,

3

一）阴影一»扇形Q45一》OAE-^717

故选B.

【点拨】本题主要考查了解直角三角形，求不规则图形的面积，切线的性质，正确得出当

AE与小圆。相切于。时，OE最大，即的面积最大，此时阴影部分的面积取得最小

值是解题的关键.

22TT

25.—»##——

33

【分析】连接OD,OF.首先证明OD〃AC,推出S阴=S扇形。.，再证明.4?尸是等边三

角形即可解决问题.

【详解】解：连接OD,OF.

AD是/BAC的平分线,

OD=OA,

:.ZODA=ZOAD,

:.ZODA=ZDAC,

:.OD//ACf

:.ZODB=ZC=90°,

一口AFD~°OFA，

S阴=S扇形0网,

OD=OA=2,AB=6,

:,OB=4f

:.OB=2OD,

.-.Zfi=30°,

.\ZA=60°,

OF=OA,

.ZAO尸是等边三角形，

二.NAO/=60。，

__60K-22_2K

一阴影部分一扇形—360-3'

2兀

故答案为：y.

【点拨】本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关

键是添加常用辅助线，用转化的思想思考问题.

2

26.2H—71

3

【分析】根据5疗5称。GE+S.DER可得当。工LOE时，阴影部分面积最大，再S*S

扇彩ODE-SQEO+SADEF,即可求得阴影部分面积的最大值.

【详解】解:连接。E,OD,

,•,Rt-ABC中，ZA=30°,BC=26，

・"上=¥=6,

tan30°4

「AB为。的切线,

ZADO=90°f

:.AO=2OD,ZAOD=60°,

:OD=OE=OC,

:.AC=AO+OC=3OD=6,ZkODE为等边三角形，

:.DE=OE=OD=OC=2,

'-'S阴跖S弓形DGE+S^DEF

.•.当。尸时，阴影部分面积最大，止匕时O尸与。E交于G,

：NDOG="OG=30。，Z£>GO=90°,

/.OG=OD-cos30°=2x=A/3,G尸=OG+O尸=2+6，

2

「•S阴影二S扇形ODE-S^DEO+S^DEF

昌？2x(2+.

【点拨】本题考查不规则图形面积的计算，解直角三角形，垂径定理等.掌握割补法将阴影

部分正确分割，并能理解当底相同时高越大三角形的面积越大是解题关键.

Z/.---------

42

【分析】连接A8OC'、AC'、BC',根据等腰直角三角形的性质求出进而得到CD的

长，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案.

【详解】

取弧A8的中点C,连接AAOC