2024年中考数学考前冲刺复习：常考的规律探究问题

专题01常考的规律探究问题

模型01数与式、图形的规律问题

数式规律和图形规律探究问题的特点是：问题的结论不是直接给出，而是给出一组具有某种

特定关系的数、式、图形，或是给出图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境等，

要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论.

模型02平面直角坐标系中的规律问题（旋转、平移、翻滚、渐变等）

平面直角坐标系中的规律探究问题由于问题背景的不同，这类题的解题策略是曲特例观察、

分析、归纳一般规律，然后利用规律解决问题.具体思维过程是“特殊…一般--特殊”.这

类问题体现了“特殊与一般”的数学思想方法，解答时往往体现“探索、归纳、猜想”等思维特

点，对分析问题、解决问题的能力具有很高的要求.

模型构建

模型01数与式、图形的规律问题

考|向|预|测

数与式、图形的规律问题该题型主要以选择、填空形式出现，难度系数不大，需要学生学会

分析各式或图形中的“变”与“不变”的规律——重点分析“怎样变”，应结合各式或图形的序号

进行前后对比分析.主要考查学生阅读理解、观察图形的变化规律的能力，关键是通过归纳

与总结，得到其中的规律，利用规律解决问题.

答|题|技|巧

第一步：读懂题意，标序号；

根据已有规律模仿或归纳推导隐藏规律，析各式或图形中的“变”与“不变”的规律

第二步：

—重点分析“怎样变”；

第三步：猜想规律与“序号”之间的对应关系，并用关于“序号”的式子表示出来；

第四步：验证所归纳的结论，利用所学数学知识解答

例1.（2023湖南）

1.观察下列按顺序排列的等式：a1=l-1,a2=1-pa3=1-1,a'试猜想

324334o

第n个等式（n为正整数）：an=—.

例2.（2023•安徽）

2.（规律探究）如下图，是由若干个边长为1的小正三角形组成的图形，第（2）个图比第

⑴个图多一层，第（3）个图比第（2）个图多一层，依次类推.

（1）（2）（3）

⑴第（9）个图中阴影三角形的个数为一；非阴影三角形的个数为一.

⑵第"个图形中，阴影部分的面积与非阴影部分的面积比是441：43,求明

（3）能否将某一个图形中的所有小三角形重新拼接成一个菱形，如果能，请指出是第几个图

形，如果不能说明理由.

例3.（2023•江西）

3.规律探究与猜想：

①方程f一3尤+2=0的解为％=1,巧=2；

②方程d-5x+6=0的解为占=2,x2=3-

③方程f—7x+12=0的解为占=3,%2=4；

④方程d-9x+20=0的解为占=4,x2=5;

⑴根据以上各方程及其解的特征，请解答下列问题：

①方程f-19x+90=0的解为.

②第八个方程为其解为.

⑵请用公式法解方程V-9x+20=0,验证猜想结论的正确性.

模型02平面直角坐标系中的规律问题

考|向|预|测

平面直角坐标系中的规律问题（旋转、平移、翻滚、渐变等）该题型也主要以选择、填空

的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型需要分析变化规律得到一般的规律（如点

变的循环规律或点运动的循环规律，点的横、纵坐标的变化规律等）.主要考查对点的坐标

变化规律，一般我们需要结合所给图形，找到点或图形的变化规律或者周期性，最后利用正

确运用数的运算.

答|题|技|巧

第一

观察点或图形的变化规律，根据图形的变化规律求出已知关键点的坐标；

步：

第二分析变化规律得到一般的规律看是否具有周期性（如点变的循环规律或点运动的循

步：环规律，点的横、纵坐标的变化规律等）

周期性的求最小周期看余数，不是周期性的可以罗列求解几组以便发现规律，根据

第三

最后的变化次数或者运动时间登，确定要求的点与哪个点重合或在同一象限，或与

步：

哪个关键点的横纵坐标相等；

第四

利用有理数的运算解题

步：

旋转型

例1.（2023•四川）

4.如图所示，矩形ABOC的顶点。为坐标原点，8C=2,对角线04在第二象限的角平分

线上.若矩形从图示位置开始绕点。以每秒45。的速度顺时针旋转,则第2025秒时，点A的

对应坐标为（）

平移型

例2.（2023•杭州）

5.如图，直角坐标平面xOy内，动点P按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点（-1,

0）运动到点（0,1）,第2次运动到点（1,0）,第3次运动到点（2,-2）,……，按这样

的运动规律，动点P第2018次运动到点

一(0,1)(父)

(-1,0)/\(1,0)/\(5,0)

->

x

A.(2018,0)B.(2017,0)C.(2018,1)D.(2017,-2)

翻滚型

例3.(2023・安徽)

6.如图所示，在平面直角坐标系中，4444,AAAA,A44,L都是等边三角形，

其边长依次为2,4,6,L其中点A的坐标为（2,0）,点4的坐标为（I,-石），点4的坐标

，按此规律排下去，则点Aoo的坐标为（）

C.(2,5073)D.(2,51右)

强化训练

7.我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，我们把第2行

从左到右数第1个定为«（2,1），我们把第4行从左到右数第3个定为。（4,3）,由图我们可以

知道：«（2,1）=1,«（4,3）=3,按照图中数据规律，。（8,5）+09,6）的值为.

1

14641

15101051

1615201561

8.如图，找出其变化的规律，则第1349个图形中黑色正方形的数量是.

□■口.

■■■■■■■■■■■■■■

(1)(2)(3)(4)(5)

9.如图，第1个图用了6枚棋子摆成；第2个图用了9枚棋子摆成；第3个图用了12枚棋

子摆成.....；按图中所示规律，第〃个图需要棋子_______枚.

图1图2图3

10.如图图形是同样大小的小五角星按一定规律组成的，按此规律排列，则第〃个图形中小

五角星的个数为()

☆图表

☆☆☆

☆☆☆☆☆☆☆☆☆

☆☆☆☆☆☆☆☆

☆☆☆

1234

A.n2+1B.»_]C.2n-\D.2〃+1

11.正六边形A5CZ)所在数轴上的位置如图，点AF对应的数分别为。和1,若正六边形

A5CDEF绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为2,则

连续翻转2022次后，数轴上2022这个数所对应的点是()

D

B

1/1、〃II■.

-101234

A.A点B.8点C.C点D.。点

12.如图，在平面直角坐标系中，直线人》=屈+6与两坐标轴交于A、B两点,以A3

为边作等边ABC,将等边ABC沿射线A8方向作连续无滑动地翻滚.第一次翻滚：将等

边三角形绕3点顺时针旋转120。，使点C落在直线/上,第二次翻滚：将等边三角形绕点C

顺时针旋转120。，使点A落在直线/上……当等边三角形翻滚2023次后点A的对应点坐标

A.(2023,202373)B.(2022,20246)C.(2021,2022』)D.(2021,2024g)

13.如图，矩形"CD的顶点A、B分别在x轴、y轴上，其坐标分别为(-6,0)、(0,-8),

AD=20,将矩形ABC。绕点。顺时针旋转，每次旋转90。，则第2022次旋转结束时，点。

A.(10,12)B.(-10,-12)C.(-12,10)D.(12,-10)

通关试练

14.规律探究题：如图是由一些火柴棒摆成的图案：按照这种方式摆下去，摆第2023个图

案用几根火柴棒（）

15.汉字文化正在走进人们的日常消费生活.如图所示图形都是由同样大小的圆点和线段按

照一定的规律排列组成的篆书简化“汉”字，其中，图①中共有12个圆点，图②中共有18个

圆点，图③中共有25个圆点，图④中共有33个圆点…依此规律则图⑩中共有圆点的个数是

16.已知点4（-1-3）,记&关于直线m（直线7"上各点的横坐标都为0）的对称点为A,A

关于直线“（直线”上各点的纵坐标都为I）的对称点为4,4关于直线P（直线。上各点

的横坐标都为-2）的对称点为4,A关于直线4（直线4上各点的纵坐标都为3）的对称

点为4,4关于直线机的对称点为4,4关于直线n的对称点为4,……依此规律4023的

坐标是（）

A.（2021,-2021）B.（-2025,-2021）C.（-2021,-2017）D.（-2025,2027）

17.如图，O尸=1,过点尸作出1。「且咫=1,得；再过点P,作,

且46=1,得优=有；又过点8作且月月=1,得。吕=2…依此法继续作下去,

C.V2021D.V2020

18.请看杨辉三角，并观察下列等式：

1

I1

121

133

14641

(a+b)'=a+b

(a+b)--ci~+2ab+b~

(a+bf=a3+3mb+3a"+护

(a+Z?)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

根据前面各式的规律，则(a+加6=.

19.汉字文化正在走进人们的日常消费生活.下列图形都是由同样大小的圆点和线段按照一

定的规律排列组成的篆书简化“汉”字，其中，图①中共有12个圆点，图②中共有18个圆点，

图③中共有25个圆点图④中共有33个圆点...依此规律，则图⑧中共有圆点的个数是____.

20.如图，李明从A点出发沿直线前进5米到达B点后向左旋转的角度为a,再沿直线前

进5米，到达点C后，又向左旋转a角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共

走了45米，则每次旋转的角度a为一.

21.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表（图

①），即杨辉三角.现在将所有的奇数记“1”，所有的偶数记为“0”，则前4行如图②，前8

行如图③，求前32行“1”的个数为.

22.在平面直角坐标系中，抛物线y=V的图象如图所示.已知A点坐标为（1,1）,过点A作

胡〃x轴交抛物线于点$,过点4作交抛物线于点为，过点为作4A轴交

抛物线于点,过点作A3A4。4交抛物线于点A,，依次进行下去，则点4必的坐标

为

1'I

23.（规律探究题）下表是按一定规律排列的一列方程，仔细观察，大胆猜想，科学推断,元

成练习.

序号方程方程的解

1x2-2x-3=0Xl=-1,X2=3

2x2-4x-12=0XI=-2,垃=6

3/6-27=0XI=-3,X2=9

(1)这列方程中第10个方程的两个根分别是X尸&=—.

(2)这列方程中第〃个方程为.

24.探究规律题

按照规律填上所缺的单项式并回答问题：

(1)a,-2矿,3a3,—4q4,,•

(2)试写出第2017个和第2018个单项式；

(3)试写出第"个单项式；

(4)试计算：当ci--1时，。+(-2a~)+3a3+(—4a,)++99+(—1006/^^)的值.

25.探究规律，完成相关题目.

定义“*,，运算：

(+2)*(+4)=+(22+42);(T)*(—7)=+[(T)2+(-7)2]；

(-2)*(M)=-[(-2>+(M)2]；(+5)*(-7)=-[(+5了+(-7月；

0*(一5)=(-5)*0=(-5)2;(+3)*0=0*(+3)=(+3>.

0*0=02+02=0

⑴归纳*运算的法则：

两数进行*运算时.(文字语言或符号语言均可)特别地，0和任何数进行*运算,

或任何数和。进行*运算

⑵计算:(+1)*[0*(-2)].

(3)是否存在有理数机，n,使得(〃?-1)*(〃+2)=。,若存在,求出m,"的值，若不存在,

说明理由.

26.探究规律，完成相关题目：

小明说：“我定义了一种新的运算，叫※(加乘)运算.”

然后他写出了一些按照※(加乘)运算的运算法则进行运算的算式：

(+5必(+2)=+7；(-3)※(-5)=+8；

(一3)※(+4)=-7；(+5)※(一6)=-11；

(0蟀(+8)=8；(0潜(一8)=8；(—6)X(0)=6；(+6必(0)=6.

小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※(加乘)运算的运算法则了."

聪明的你也明白了吗？

⑴观察以上式子，类比计算：

⑵计算：(-2)派[0派(-1)]；(括号的作用与它在有理数运算中的作用一致，写出必要的运算

步骤)

(3)若(l-a)※e-3)=0.计算:

1]]]1

axb(a+2)x(8+2)(a+4)x(，+4)(a4-6)x(Z?+6)(a+8)x(6+8)的值，

参考答案

nn+2

【详解】根据题意可知，ayl-2,

•_11

••an=~•

nn+2

2.(1)100,21

(2)20

(3)不可能拼成一个菱形，理由见解析

【分析】(1)观察图形，根据所给图形可得有阴影的三角形总数为：4,9,16,第9个图形

中有阴影的三角形数为：(9+D2,故可求第(9)个图中阴影三角形的个数；非阴影三角形

的个数为：2(〃+2)-1,故可得结论;

(2)根据题意列方程求解即可；

(3)根据菱形的特征和所给图形是等边三角形的特征解答即可.

【详解】(1)第(1)(2)(3)个图中阴影部分小三角形的个数分别是：1+3=22,1+3+5=32,

1+3+5+7=42,由此可推测第(9)个图中阴影部分小三角形的个数是(9+l)2=lO2=ioo(个),

空白三角形的个数为2x(9+2)-l=21；

故答案为：100;21;

fn+1V441

(2)第九个图形中阴影三角形与非阴影三角形的个数比是：J,

2(几+2o)-143

64

解得，〃=20或〃=-了；(舍去)

经检验，〃=20符合要求，

所以，”=20;

(3)设第(优)个图形可重新拼成一个菱形，第("2)个图形总的三角形个数为

(in+2y=〃，+4m+4,

由于可以拼一个菱形，则是一含有60度角的菱形，即两个等边三角形构成的菱形，每个等

边三角形中含小三角形数为一,则有：2d=(〃叶2)2

角牟彳导im=+y[2x—2

M不是正整数，

•••不可能拼成一个菱形.

【点拨】本题考查了图形的变化规律，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，利用规律

解决问题.

3.⑴①％=9,马=1。,②第•方程为f一(2"+1)》+〃2+〃=0,解为％=77+1

(2)见解析

【分析】

(1)由示例分析，得①/一19x+90=f+(-9-10)+(-9)x(-10)=(x-9)(x-10)=。,解为

%=9,X2=10;②第?!-^方程为f+[—〃一(〃+l)]x+(—〃)x[—(zi+1)]=(x——(zi+1)]=0，于

是第，卜个方程为X?—(2〃+l)X+〃2+77=。，解为司="+1.

(2)由公式法求解，得不=守=4,々=与4=5.故结论正确.

【详解】(1)解：

方程％2_3%+2=%2+(_]_2)%+(-1)><(_2)=(%_1)(%_2)=0，解为再=1,X2=2;

方程Y—5%+6=兀2+(—2—3)+(—2)x(—3)=(x—2)(X—3)=0，解为石=2,%=3;

方程/-7》+12=/+(—3-4)+(-3"(-4)=。一3)(尤-4)=0，解为芯=3,无？=4;

①元2—19x+90=尤2+(—9-10)+(—9)x(—10)=(x—9)(尤-10)=0,

解为国=9,%=10;

②方不呈为f+[_〃一(〃+1)]x+(—")x[―(zi+1)]=(x—n)[%—(??+1)]=0

.•.第仆个方程为％2_(2〃+1)了+〃2+〃=0，解为司=〃，%="+1.

(2)解：长一9工+20=0

A=(-9)2-4xlx20=l,

._9-Vl_._9+&_<

x-

••i-§--4,x2-----5.

故结论正确.

【点拨】本题考查因式分解法、公式法因式分解；理解十字相乘法因式分解是解题的关键.

4.B

【分析】本题考查旋转变换，矩形的性质等知识，解题的关键是明确题意，发现点A的变化

特点，利用数形结合的思想解答，每秒旋转45。，则8次一个循环，2025+8=253……1,

第2025秒时，点A的对应点4O25落在，轴正半轴上，由此可得到点A的坐标.

【详解】解：四边形ABOC是矩形，

.•.OA=BC=2,

每秒旋转45°,8次一个循环，2025+8=253……1,

:•第2025秒时，点A的对应点4025落在V轴正半轴上，

，点&i25的坐标为（。，2）.

故选：B.

5.B

【分析】观察图形可知，每4次运动为一个循环组循环，并且每一个循环组向右运动4个单

位，用2018除以4,然后根据商和余数的情况确定运动后点的坐标即可.

【详解】解：：2018+4=504余2,

第2014次运动为第505循环组的第2次运动，

横坐标为504x4+2-1=2017,纵坐标为。，

二点的坐标为（2017,。）.

故选B.

【点拨】本题是对点的坐标变化规律的考查,观察出每4次运动为一个循环组循环是解题的

关键，也是本题的难点.

6.C

【分析】观察所给图形，发现了轴上方的点是4的倍数，确定点A。。在*轴上方，分别求出

点4的坐标为R,2⑹，点4的坐标为（2,4⑹，……，点儿的坐标为（2,2小阴，即可求

解.

【详解】解：观察所给图形，发现了轴上方的点是4的倍数，

100+4=25,

,,点A00在X轴上方，

A3A4二4,

・•.A（4,0）,

AA=6,

・•・4（-2,0）,

44=8,

二点4的坐标为（2,4省）,

同理可知，点人4”的坐标为（2,2小回）,

二点4oo的坐标为（2,50g）.

故选：C.

【点拨】本题考查点的坐标的变化规律；能够通过所给图形，找到点的坐标规律，利用有理

数的运算解题是关键.

7.91

【分析】根据图中得到规律得到以8,5）=35,。（9,6）=56,即可得到答案.

【详解】解：如图所示,

1

11

121

1331

14641

5101051

1615201561

12135352171

18285670562881

19368412612684369

按照图中数据规律，。（8,5）=35,。（9,6）=56,

.•.a（8,5）+a（9,6）=35+56=91,

故答案为:91

【点拨】本题考查了数字类规律题，找到规律是解题的关键.

8.2024个

【分析】本题主要考查了图形规律探索，仔细的观察图形并正确的找到规律是解题关键.仔

细观察图形并从中找到规律，然后利用找到的规律即可得到答案.

【详解】解：根据题意，可得当〃为偶数时，第"个图形中黑色正方形的数量为“+万个，

n+1

当”为奇数时，第"个图形中黑色正方形的数量为个，

；•〃=1349时，黑色正方形的个数为1349+不一=2024个.

故答案为：2024个.

9.3(«+1)

【分析】相邻的两个图形，后一个比前一个多3枚棋子，根据规律，求出第〃个图需要棋子

表达式即可.

【详解】根据题意有，

第1个图形棋子数为：3+3x1,

第2个图形棋子数为:3+3x2,

第3个图形棋子数为:3+3x3,

第〃个图形棋子数为：3+3x〃=3(〃+l),

•••第〃个图需要棋子3(〃+1)枚，

故答案为：35+1).

【点拨】本题考查了图形的变化，根据图形的变化找出规律是解本题的关键.

10.A

【分析】先分别求出前4个图形中的小五角星的个数，找出一般的计算方法求解.

本题考查了图形的变化类，找到变化规律是解题的关键.

【详解】解：则第1个图形中小五角星的个数为：12+1=2；

则第4个图形中小五角星的个数为：1+于=5；

则第3个图形中小五角星的个数为：1+32=10；

则第4个图形中小五角星的个数为：1+42=17；

则第〃个图形中小五角星的个数为：1+*，

故选：A.

11.A

【分析】由题意可知转一周后，&E.DC.瓦4分别对应的点为123.4.5.6,可知其6次一循

环，由此可确定出数轴上2022这个数所对应的点.

【详解】解：当正六边形在转动第一周的过程中，&E.DCBA分别对应的点为1.2.3.4.5.6,

二翻转6次为一循环，

V20214-6=337,

数轴上2022这个数所对应的点是A点.

故选：A.

【点拨】本题主要考查了有理数与数轴，数字类的规律探索，确定出点的变化规律是解题的

关键.

12.D

【分析】先令x=0,尸。求得点A与点B的坐标，从而求出。A、OB、AB的长度，然后

结合图形的翻转知道点A经过2次旋转后重新落在直线/：y=&+3上，第3次旋转点A的

位置不变，再结合3次一循环得到翻滚2023次后点A的坐标.

【详解】解：：直线/：^=&%+劣与两坐标轴交于人、3两点，

AA（-l,0）,B（0,5/3）,

/.AB=2,OA=l,OB=6,

：.tanZBAO=—=73,

OA'

：.ZBAO=60°,

如图，等边ABC经过第1次翻转后，A（-1,2^）,

过点4作轴于点“，则"=342=6,

*/Z\AM=60°,

AM=AXjCOsZAAM=6x1=3,

AM=AAsinZAAM=6x^=3^,

等边ABC经过第2次翻转后，4（3,34）,

等边ABC经过第3次翻转后，点A仍在点4处，

•••每经过3次翻转,点A向右平移3个单位,向上平移3档个单位，

•••2023+3=674……1,第2次与第3次翻转后点A处在同一个点，

•••点A经过2023次翻转后，向右平移了3x674=2022个单位，向上平移了

373x674+2^/3=2024如个单位,

...等边三角形翻滚2023次后点A的对应点坐标是（2021,2024石）,

故选：D.

【点拨】本题考查了图形的翻转，一次函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，解题的关

键是通过实际操作理解等边ABC经过第2次翻转与第3次翻转后点A处在同一个点.

13.B

【分析】本题考查了坐标与图形变化一旋转的规律型，解决本题的关键是根据旋转的性质

发现规律，过点。作轴于点T，先根据勾股定理求得A8，再利用相似三角形的性质

求出点。的坐标，结合绕点。顺时针旋转90。探究规律，利用规律解决问题即可.

【详解】解：如图，过点。作“口轴于点T.

矩形ABC。的顶点A、3分别在x轴、，轴上，其坐标分别为(-6,0)、(0,-8),

：.OA=6,OB=8,

:.AB=y/O^+OB2=10,

ZATD=ZAOB=7.BAD=90°,

:.ZDAT+ABAO=9G°,ZBAO+ZABO=90°,

：.ZDAT=ZABO,

：..ATDjBOA,

.AD_^_DT改一个=里

ABOBOA'1086'

.-.AT=16,DT=12,

:.OT=AT-OA=16-6=W,

0(10,12),

矩形ABC。绕点。顺时针旋转，每次旋转90。，

则第1次旋转结束时，点。的坐标为(12,-10);

则第2次旋转结束时，点。的坐标为(-10,-12);

则第3次旋转结束时，点。的坐标为(-12,10);

则第4次旋转结束时，点。的坐标为(10,12);

发现规律：旋转4次一个循环，

.•.2022+4=505…2,

则第2021次旋转结束时，点。的坐标为(-10,-12).

故选：B.

14.A

【分析】观察图形的变化即可得第1个图形火柴棒的个数；摆第2个图案要用的火柴棒；摆

第3个图案要用的火柴棒；即可得第〃个图形的火柴棒个数，从而可求解.

【详解】观察图形的变化可知：

摆第1个图案要用火柴棒的根数为：5;

摆第2个图案要用火柴棒的根数为：9=5+4=5+4xl;

摆第3个图案要用火柴棒的根数为：13=5+4+4=5+4x2;

则摆第九个图案要用火柴棒的根数为：5+4(〃-1)=4〃+1;

故第2023个图案要用火柴棒的根数为：4x2023+1=8093

故选：A

【点拨】本题主要考查规律型：图形的变化类，找出图形之间的联系，得出数字之间的运算

规律，解题的关键是利用规律解决问题.

15.D

【分析】本题考查了图形的规律探究.根据题意推导一般性规律是解题的关键.

由题意知，图①中共有12个圆点，图②中共有12+6=18个圆点，图③中共有12+6+7=25个

圆点，…可知图⑩中圆点个数为12+6+7+8+9+10+11+12+13+14,计算求解即可.

【详解】解：由题意知，图①中共有12个圆点,

图②中共有12+6=18个圆点，

图③中共有12+6+7=25个圆点，

图④中共有12+6+7+8=33个圆点，

.•.图⑩中共有圆点12+6+7+8+9+10+11+12+13+14=102,

故选：D.

16.B

【分析】本题考查了轴对称的性质，点坐标的规律探究.根据轴对称的性质写出点坐标，然

后推导一般性规律是解题的关键.

由题意求得A(l，3)在第一象限；4(1，-1)在第四象限；人(-5,-1)，在第三象限；4(-5,7),

在第二象限；A(5,7),在第一象限；4(5-5),在第四象限；4(-9,-5)在第三象限；观

察点坐标可知每四个点坐标所在象限为一个循环，由2023=4x505+3,可知劣期与A在同

一象限，由人(-5,-1),4(-9,-5)，可知第三象限的点坐标的特征为4(-(“+2),-5-2)),

然后代入求解即可.

【详解】解：.••直线加上各点的横坐标都为0,即直线机为y轴，

4(1-3),在第一象限,

;直线”上各点的纵坐标都为1,即直线〃为直线y=i;

•••A(l--l),在第四象限，

:直线P上各点的横坐标都为-2,即直线p为直线彳=-2,

,在第三象限，

••.直线4上各点的纵坐标都为3,即直线q为直线N=3,

•••4(-5>7),在第二象限，

；•4(5,7),在第一象限，4(5-5),在第四象限，4(-9,-5)在第三象限，

•••每四个点坐标所在象限为一个循环，

2023=4x505+3,

,,AO23与A在同一象限，

•••3(-5,-1),A(-9--5),

可知，第三象限的点坐标的特征为4(-(〃+2),-(附-2)),

4023(-2025,-2021),

故选：B.

17.B

【分析】根据勾股定理分别求出每个直角三角形斜边长，根据结果得出规律，即可得出答案.

【详解】解：由勾股定理得：

OPX=8产+0耳=衽+俨=&,

OP2=Jo邛+点=J(⑸+F=也，

=4OP；+喃7(后+『=2，

L,

依此类推可得：

222

OPn="(O5J+(么£)=V(^)+l=衍，

：.OP2021=72021+1=72022,

故选：B.

【点拨】本题考查了勾股定理，注意:在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方,

解此题的关键是能根据求出的结果得出规律.

18.a6+6a5b+I5a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6

【分析】通过观察可以看出(a+b)6的展开式为6次7项式，a的次数按降幕排列，b的次

数按升幕排列，各项系数分别为1.6.15.20,15.6.1.

【详解】解：(a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6

654233

故本题答案为：a+6ab+15ab+20a&+15c?/+6abs+甘.

【点拨】此题考查数字的规律，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规

律解决问题是应该具备的基本能力.

19.75

【分析】本题主要考查学生的观察与比较分析的能力，运用特殊到一般的数学思想解决此类

规律题.观察并比较每两个相邻的“汉字”的相同与不同之处，得出每两个相邻的“汉字”中后

一个“汉字”前半部分与前一个“汉字”的前半部分圆点数量相等,后一个“汉字”的后半部分的

圆点数总是前一个“汉字”后半部分顶部加上图案序号多2个的圆点与底部添加两个圆点，进

而解决该题.

【详解】解：在图①中，圆点个数为%=12个.

在图②中，圆点个数为%=必+2+4=18个.

在图③中，圆点个数为%=%+2+5=25个.

在图④中,圆点个数为乂=%+2+6=33个.

以次类推，在图⑧中，圆点个数为%=%+(2+10)=%+Q+9)+12

=%+(2+8)+11+12

=%+(2+7)+10+11+12

=33+9+10+11+12

=75.

故答案为：75.

20.40°.

【分析】根据共走了45米，每次前进5米且左转的角度相同，则可计算出该正多边形的边

数，再根据外角和计算左转的角度.

【详解】连续左转后形成的正多边形边数为：45+5=9,

则左转的角度是360。+9=40°.

故答案是：40。.

【点拨】本题考查了多边形的外角计算，正确理解多边形的外角和是360。是关键.

21.##243

【分析】本题考查了数字规律探究计算，根据给出的图②和图③找出出现“1”规律是解题关

键.先根据给出的图②和图③找出出现“1”规律，然后根据规律即可得解.

【详解】解：观察图②和图③可知，前8行中包含3个前4行的图形，中间三角形中的数字

均为。，

.•.前8行中“1”的个数是前4行中“1”的个数的3倍，

即前8行中“1”的个数为9x3=27（个），

同理可知前16行中“1”的个数是前8行中“1”的个数的3倍,即前16行中“1”的个数为

27x3=81（个），

前32行中“1”的个数是前16行中“1”的个数的3倍，即前32行中“「的个数为81x3=243（个）,

故答案为:243.

22.（-1012,10122）

【分析】根据二次函数性质可得出点A的坐标，求得直线AA为丁=》+2，联立方程

求得4的坐标，即可求得A的坐标,同理求得A4的坐标，即可求得A的坐标，根

据坐标的变化找出变化规律，即可找出点AO23的坐标;

【详解】解：点坐标为(U)，

,直线04为y=x，A(T』)，

“2//OA,

二直线44为y=x+2,

y=x+2x=-lx=2

解y=Y得口或

y=4，

4(2,4),

A3(-2,4),

•/A3A4〃OA,

,直线4A&为y=x+6,

Ly=x+6得x=-2x=3

解y=4或

7=9，

，4(3,9),

A(-3,9)

2

A,023(-1012,1012),

故答案为：(-1012,10122).

【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据

坐标的变化找出变化规律是解题的关键

23.(1)-10;30;(2)x2-2nx-3n2=0

【分析】(1)根据表格中的规律可知，第10个方程的解为无尸-10,犯=30；(2)根据表格中

的规律可知，第〃个方程的解是,x2=3n,再根据根与系数的关系可知第〃个方程就是

x2-2nx-3n2=