2024年中考数学复习：选择填空之圆中的最值问题

圆中最值

类型、圆中将军饮马

例1、如图，是。。的直径，MN=2,点A在。。上，ZAMN=30°,3为弧

AN的中点，尸是直径MN上一动点，则PA+P3的最小值为▲.

【解答】作点B关于MN的对称点C,连接AC交MN于点P,则P点就是所求作的

点.

此时PA+PB最小，且等于AC的长.―—乂

连接OA,0C,1

VZAMN=30°,AZA0N=60°,

•••弧AN的度数是60°,则弧BN的度数是30°,FOP―T

根据垂径定理得弧CN的度数是30°,\/

则NA0C=90°,又0A=0C=l,则AC=&

1、已知圆0的面积为3万，AB为直径，弧AC的度数为80度，弧BD的度数为

20度，点P为直径AB上任一点，则PC+CD的最小值为,即PC+PD的最小

值为3.

2、如图，菱形ABC中，NA=60度，AB=3,OA、。8的半径为2和1寸、E、F分

别是CD,©A和。B上的动点，则PE+PF的最小值为APE+PF的最小值

是3.

3.如图，平面直角坐标系中，分别以点A(-2,3),B(3,4)为圆心，以1、2为半径

作。A、QB,M,N分别是。4、上的动点，尸为x轴上的动点，则FW+PN的最

小值等于▲一.

B=N(3+2,+(4+3/=后,

：.MN=A'B-BN-A'乂=迎—2—1=迎—3,

：.PM+PN的最小值为仃一3.

故答案为取一3.

类型：圆的定义(一周同长)

例2木杆AB斜靠在墙壁上,当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时,木杆的底端B也随之沿

着射线0M方向滑动。下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线,其中正确的是()

解答：如右图，连接0P,由于0P是RtZkAOB斜边上的中线，所以OP=12AB,不管木杆如何

滑动，它的长度不变，也就是0P是一个定值，点P就在以。为圆心的圆弧上，那么中点P

下落的路线是一段弧线。选D.

1、如图，己知AB=AC=AD,/CBD=2NBDC,/BAC=44。，则/CAD的度数为

考点：［圆周角定理］解答：；AB=AC=AD,；.B,C,D在以A为圆心,AB为半径的圆上，

CAD=2ZCBD,ZBAC=2ZBDC,VZCBD=2ZBDC,ZBAC=44°，/CAD=2NBAC=88。.故答案

为：88°.

2、在平面直角坐标系中，A(4,0)、B(0,-3),以点B为圆心、

2为半径的圆B上有一动点P,连接AP,若点C为AP的中点，连接

0C,则0C的最小值为

3

解答：—

2

3.如图，AB是。。的弦，AB=8,点C是。0上的一个动点，且/ACB=45°,若点M、N分别

是AB、AC的中点，则MN长的最大值是.

4.如图所示，四边形A3CD中，DC//AB,BC=1,AB=AC=AD=2.则3。的

长为()

【解答】解：以A为圆心，A3长为半径作圆，延长交OA于

F,^^DF'：DC//AB,

：.hu(DF)=hu(BC),：.DF=CB=1,BF=2+2=4,

•.•RB是(DA的直径，

：.ZFDB=90°,：.BD=gh{BK-DF'(2))=715.1……下)

故选：B.

5在等腰△ABC中，AC=BC,ZC=100°，点尸在△ABC的外部，并且PC=

BC,求NAP3的度数.

【分析】根据已知条件得到A、B、P三点在以C为圆心，AC为半径的圆上，根

据圆周角定理即可得到结论.

【解答】解：,：AC=BC,PC=BC,/---、

；.A、3、P三点在以C为圆心，AC为半径的圆上，/C

若P、。在A3的同侧，则

VZACB=10Q°,P'

：.ZAPB=5Q°

若尸、C在A3的异侧，则NAPB=180°—50°=130°.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，正确的作出图形是解题的

关键.

6.(1)问题背景…

如图①，BC是。0的直径，点A在。0上，AB=AC,P为扁C上一动点(不与B,

C重合)，求证：:PA=PB+PC.

小明同学观察到图中自点A出发有三

条线段A3,AP,AC,且A3=AC,这就为

旋转作了铺垫.于是，小明同学有如下思考

请你根据小明同学的思考过程完成证明过程.

(2)类比迁移

如图②，。0的半径为3,点A,B在。0上，C为。0内一点，AB=AC,AB±AC,

垂足为A,求0C的最小值.

(3)拓展延伸

4

如图③，。。的半径为3,点A,B在。0上，C为。0内一点，AB=-AC,AB±AC,

o

垂足为A,则0C的最小值为.

【解答】（1）证明：将△P4C绕着点A顺时针旋转90°至4

（如图①）;,.•3C是直径，：.ZBAC=9Q°,\'AB=AC,：.ZACB=AABC

=45°,由旋转可得NQA4=NPC4,ZACB=ZAPB=45°,PC=QB,

,：ZPCA+ZPBA=180°,

：.ZQBA+ZPBA=18Q°,：.Q,B,P三点共线，

AZQAB+ZBAP=ZBAP-\-ZPAC=9Q°,：.QP2=AP2+AQ2

：.QP=\l2AP=QB+BP=PC+PB,：.\f2AP=PC+PB.

（2）解：如图②中，连接。4,将△O4C绕点A顺时针旋转90°至4

QAB,连接OQ,

'：AB±AC：.ZBAC=9Q°

由旋转可得QB=OC,AQ=OA,ZQAB=ZOAC

：.ZQAB+ZBAO=ZBAO+N。4c=90°

B

图②

.•.在Rt^OAQ中，OQ=3y[2,4。=3.，.在4。03中，BQ^OQ~OB=3出一

3

即0c最小值是3娟一3

_4

(3)如图③中，作AQLOA,使得AQ=aO4,连接。。，BQ,0B.

O

'：ZQAO=ZBAC=90°,ZQAB=ZOAC,

44

(QA)/(O4)=(AB)/(AC)=鼻，：.^QAB^AOAC,：.BQ=~OC,

ou

当BQ最小时，0c最小，易知。4=3,AQ=4,0Q=5,BQ^OQ-OB,：.BQ

333

三2,.，.台。的最小值为2,.二。。的最小值为2=],故答案为万.

类型、折叠隐圆

预备定理

如图1、2,平面内有一定点A和一定圆。。，P为。。上一动点，连结A。并

延长，分别交。。于8、。两点（称8、C分别为直线0A与。。的近交点与远

交点），则A3为AP的最小值，AC为AP的最大值.设。。的半径为r;,那么AP

的最小值为|A0-",AP的最大值为AO+r.

图1图2

【基本原理】（一箭穿心）

点A为圆外一点，P为圆0上动点，连接A0并延长

交圆于PLP2,则AP的最小值为AP2I,最大值为APi

例、【问题情境】

如图1,尸是。。外的一点，直线P。分别交。。于点A、B

小明认为线段必是点尸到。。上各点的距离中最短的线段，他是这样考虑的：在。。上任

意取一个不同于点A的点C,连接0C、CP,则有。尸C0C+PC,即。P—0CVPC,由。4

=0C得。尸一。4<尸。，即B4VpC,从而得出线段必是点尸到。。上各点的距离中最短

的线段

小红认为在图1中，线段PB是点P到。。上各点的距离中最长的线段，你认为小红的说法

正确吗？请说明理由

【直接运用】

如图3,在RtaABC中，ZACB=90°,AC=BC=2,以BC为直径的半圆交AB于。，P

是版（C0上的一个动点，连接AP,则AP的最小值是

【构造运用】

如图4,在边长为4的菱形中，NA=60°,M是4。边的中点，N是AB边上一动点，

将△AMN沿所在的直线翻折得到AA'MN,连接A'C,请求出A'C长度的最小值

解：由折叠知A'M^AM,又M是的中点，可得MA=MA'=MD,做点A'在以AD

为直径的圆上，如图5,以点M为圆心，MA为半径画。过M作垂足为X

（请继续完成本题的后续解题过程）

如图6,△ABC、△EFG均是边长为4的等边三角形，点。是边BC、斯的中点，直线AG、

FC相交于点当△EFG绕点。旋转时，则线段长的最小值和最大值分别是

【解答】解：【问题情境】如答图1,在圆。上任意取一个不同于点B的点C,连接0C、

0P.

则有OP+OOPC.

由02=0C得到：OP+OB>PC,gpPB>PC.

从而得出线段PB是点P到圆。上各点的距离中最长的线段；

答图1

【直接运用】如答图2,找到BC的中点E,连接AE,交半圆于2，在半圆上取尸1，连接

APPEPi，

可见，APX+EPY>AE,

即A2是人尸的最小值，；AE=y/^P=#,尸2石=1，

：.AP2=y[5-l.故答案为：乖T.

【构造运用】如答图3所示：是定值，A'C长度取最小值时,

上时，过点M作于点R

:在边长为4的菱形ABC。中，ZA=60°,M为A。中点,

.•.2MD=A£)=CZ)=4,/HDM=60°,:./HMD=3Q°,

：.HD^MD^1,：.HM=DMXcos30°=4,

：.MC=gh(HMi+CM^2))^2巾，.\A,C^MC~MA'=2小一2；

【深度运用】设AC的中点O,连接A。、DG、BO、OM,如答图4.

1/△ABC,△EEG均是边长为4的等边三角形，点。是边BC、EF的中点,

：.AD±BC,GDA,EF,DA=DG,DC=DF,

：.ZADG='3QO~ZCDG=ZFDC,(DA)/(DC)=(DG)/(DF),

：.ADAG^ADCF,

/DAG=ZDCF.

：.A,D、C、M四点共圆.

①根据两点之间线段最短可得：BO^BM+OM,即当M在线

段BO与该圆的交点处时，线段BM最小，此时，BO=g/z/C2—。。八(2))=

^/42-22=2木,OM=1AC=2,

则3A/=BO—OAf=2y[3-2.

②根据两点之间线段最短可得：BM^BO+OM,当M在线段8。延长线与该圆的交点处时,

线段3M最长，此时，BO=gh(BC-OC^2))=yl^-22=2y[3,OM=^AC=2,则

BO+OM=2,73+2.

故答案是：2小一2；2A/3+2.

1、已知一个矩形纸片OACB,将该纸片放置在平面直角坐标洗中，点A(H,0),

点B(0,6),点P为BC边上的动点(点P不与点B、C重合)，经过点0、P

折叠该纸片，则CB'的最小值为

2、四边形ABCD中，AD〃BC,ZA=90,AD=LAB=2,BC=3,P是线段AD上一动点,

将4ABP沿BP所在直线翻折得到△QBP,则4CQD的面积最小值为

3如图3,在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,E是AB边的中点，尸是线段

上的动点，将A£Bb沿所所在直线折叠得到AE5/,连结方。，则"。的最

小值是（）

由题意可知，点用随着点尸的运动.：E是边的中点，

I.EB=-AB=2.由折叠性质可知EB,=EB=2，所以动点B'到定点E的距

2

离为定长2,即动点£的轨迹是以E为圆心，2为半径的圆，如图4.

由预备定理可知，连结。E交。E于点此时®。最小，且有

2222

B,Dm.a=DE—EB'=A/A£+AD-EB'=72+6-2=2710-2.

4如图5,在AABC中，ZACB=9Q°,AB=5,BC=3,尸是AB边上的动点（不

与点6重合），将ASCP沿CP所在的直线翻折，得到她（尸，连结£A,则£A

长度的最小值是.

解析由题意可知，点方随着点尸的运动而运动.由翻

折的性质得QC=BC=3,即动点61到定点。的距离等

于定长3,所以动点q的轨迹是以定点。为圆心，3为半

径的圆，如图6.当点方落在AC边上时，即A、B'、。三

点共线时，£A长度最小，且有

图5

=,52-32-3=1.

5如图7,在小AABC中，ZC=90%AC=6,BC=8,点/在边AC上，并且

CE=2,点E为边上的动点，将ACEF沿直线所翻折，点C落在点P处,

则点尸到边距离的最小值是.

图8

解析由题意可知，点尸随着点E的运动而运动.由翻折的性质得

PF=FC=2,所以动点尸到定点厂的距离等于定长2,即动点尸在以定点厂为

圆心，2为半径的圆上，如图8.过点尸作PGLAB于点G,连结/G,则有

PG>FG-FP=FG-2.所以要使PG最小，只需使bG最小根据垂线段最短，

可知当FGLAB,且E、尸、G三点共线时，FG最小.

在HfAABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8.由勾股定理，得AB=10,再

由面积法，得FG=4.8,所以点P到边A5距离的最小值为

PG*=FGmm-2=FG'-2=4.8-2=2.8.

6如图9,菱形至"的边"=8,ZB=60°,尸是AB上一点，BP=3,。是

边上一动点，将梯形APQD沿直线P。折叠，A的对应点为4,当CT的长

度最小时，C。的长为（）

解析如图10,记梯形APQD沿直线PQ折叠后的梯形为4PQDL由折叠

性质可知

A'P=AP=AB-BP=8-3=5.即动点4到定点P的距离等于定长5,少

所以动点4在以定点P为圆心，5为半径的圆上.由预备定理知，当点4落笠

在CP边上时，C4长度最小，此时，由折叠性质，知NCPQ=ZAPQ：

4FpB

CD//AB,：.NCQP=/APQ,、:

：.ZCQP=ZCPQ,I.CQ=CP.作CFLAB于F,由菱形的性质和图

1r-

N5=60。，可得3尸=—AB=4,。尸=46.由勾股定理，得

2

CP=y/CF2+PF2=7（4A/3）2+12=7,所以当CV的长度最小时，C。的长

为7.

类型、随动位似隐圆

例、在Rt^ABC中，ZACB=90°,ZBAC=30°,BC=6.点D是边AC上一

D'

।尸

D,

点D且AD=26,将线段AD绕点A旋转得线段AD',点F始终为BD'的中点,

则将线段CF最大值为

［分析］:易知D，轨迹为以A为圆心AD为半径的圆，则在运动过程中AD为定

值26，故取AB中点G,则FG为中位线，FG=，AD=A^，故F点轨迹为以G

2

为圆心，6为半径的圆。问题实质为已知圆外一点C和圆G上一点F,求CF

的最大值。

思路2：倍长BC到BI则CF为△BTTB的中位线，CF=-B，D\当BR，最大

2

时，CF也取最大值，问题实质为D在圆A上运动至何处时，BD取最大。

【方法归纳】①、如图，点A和点01为定点，圆01半径为定值，P为圆01

上动点，M为AP中点=点M运动轨迹为圆02,且02为AOi中点。②、构造

中位线

1、如图，在中，ZACB=90°,。是AC的中点，航是3。的中点，将

线段AD绕A点任意旋转（旋转过程中始终保持点M是3。的中点），若AC=4,

BC=3,那么在旋转过程中，线段CM长度的取值范围是

A

2、如图，AABC是边长为2的等边三角形，以AC为直径作半圆，P为半圆上任

意一点,M为BP中点，则在点P由A到C运动过程中，点M运动路径长为

3.

如图，中,Z^CB=90*.AC=BC=4.点尸在以斜边为直径的半HI上.点M

为？C的中点.当点P沿半附从点/运动至点8时，点Af运动的路径长为.

4：如图，已知P是。。外一点，Q是。。上的动点，线段PQ的中点为M,连接OP,0M.若

。。的半径为2,0P=4,求线段0M的最小值.

5汝口图，在中，ZACB=90o,AC=4,BC=3,点。是平面内的一个动点,

且AD=2,M为3。的中点，在。点运动过程中,线段C舷长度的取值范围是

解答:

作AB的中点E,连接EM、CE.在直角「

△ABC中,AB=5,：E是直角△ABC斜边［

AB上的中点，

.,.CE=1/2AB=5/2,VM是BD的中点，E

是AB的中点，・•.ME=1/2AD=1.

.•.在^CEM中,5/2—l《CM45/2+l力|33/24CM47/2.故答案是：3/2<CM<7/2.

6：如图，在等边AABC中，AB=2,点D是以A为圆心，半径为1的圆上一动点，

连接CD,E为CD的中点，连接BE,取BE的中点M,连接AM、CM则BE的最大值

与最小值

类型、捆绑旋转

例、已知A(2,0),B(5,0)，点P为圆A上一动点，圆A半径为2,以PB

为边作等边△PMB,求线段AM的取值范围。

［分析］:思路1：要求AM的取值范围，则先确定M点运动轨

迹。由等边三角形联想共顶点的双等边结构，可构造和aPBU

共顶点B的等边aABH,则4APB咨△HBMnHM=PA=2,所以点M运动轨迹为以

H为圆心，半径为2的圆H上的点。AM过圆心时取得相应最大和最小值。

思路2：线段BM可看作由线段PB绕点B顺时针旋转60度得到，当点P在圆A

上运动时，作出其绕点B顺时针旋转60度后的每一个对应点，则其应点的集合

就是点M运动轨迹。显然其轨迹为圆。因为每个对应点都是点P绕点B顺时针

旋转60度得到，所以点M所在圆的圆心即为将P点所在圆圆心A绕点B顺时

针旋转60度得到。［想象成钟摆绕点B顺时针旋转60度］

1、如图，已知A(2,0),圆0半径为1,点B为圆0上一动点，点C在第一象

限，且4ABC为等腰直角三角形，ZBAC=90度,求线段0C的最大值_____________

2、如图，AB为。。的直径，AB=4,点C为半圆AB上动点，以BC为边在。0外

作正方形BCDE,(点D在直线AB的上方)连接0D.当点C运动时，则线段0D

的最大值为

3如图，已知△ABC为等腰直角三角形，NA4c=90。，AC=2,以点C为圆心，1

为半径作圆，点P为。。上一动点，连结AP,并绕点A顺时针旋转90。得到AP',

连结CP,则CP的取值范围是.

25/2-l<CP,<2>/2^1

4如图，线段AB=8,。为AB的中点，点E是平面内一动点，且满足QE=2,连接BE,

将BE绕点E逆时针旋转90°得到EC,连接AC、BC,则线段AC长度的最大值为

【解答】解：以BD为直角边在BD上方作等腰直角三角形BOD,如图，连接CO、

AO.

则(BC)/(EB)={BO]/{BD)=gh(2),又/CBO=/EBD,

:.△EBDs^CBO.

(CO)/(DE)=gh(2).

点运动轨迹是以E为圆心，OE=2为半径的圆，

；.C点运动的轨迹是以。为圆心，OC=2小为半径的圆.

VAC<AO+OC,AO=4小,OC=2事.

...AC最大值为4小+2小=65.

故答案为6书.

5.如图，48=4,。为A8的中点，。。的半径为1,点P是。。上一动点，以

为直角边的等腰直角三角形PBC(点尸、B、C按逆时针方向排列)，则线段AC的长的

取值范围为

【解答】解：如图，作OK_LAB,在OK上截取OK=OA=OB,连

接AK、BK、KC、OP.

"：OK=OA=OB,OKLAB,：.KA=KB,ZAKB=90°,

...△AKB是等腰直角三角形，Y/OBK=NPBC,：.ZOBP=ZKBC,

AOB

,/(OB)/(BK)=(PB)/(BQ=^,:.△OBPsAKBC,

(KC)/(OP)=(BQ/(PB)=/,：OP=1,:.KC=P

.•.点C的运动轨迹是以点K为圆心，KC为半径的圆，

AK=y[^0A=24,；.AC的最大值为3AC的最小值小，

；.4WACW3心.

故答案为mWACW3y[2.

类型、定性分析一一垂线段最短

例、如图，半圆0的半径为1,AC±AB,BD±AB,且AC=1,BD=3,

P是半圆上任意一点，则封闭图形ABDPC面积的最大值是

【分析】：思路1、连接CD、梯形ABCD面积为定值，要使封闭图形ABDPC

面积取最大值，则使4CPD面积取最小即可，4CPD中，底边CD为定值，

则当高取最小值时，面积有最小值，故问题变成当点P在圆上运动至何处时，点

P到CD距离最小。C、D、0为定点，则点0到CD距离为定值,计算CD、OC、0D

长，由勾逆知OCLCD,设点P到CD距离为h,贝Uh+r》OC,.'.hNOC-r,即当0、

P、M三点共线时，h有最小值，此时M与点C重合，故0C与圆0交点即为所求

点Po

思路2：P点的确定也可以这样想，平移CD,设平移后的直线为m,则直线m与

CD间的距离即为CD边上的高，显然，当直线m与圆0相切时，高h有最小值。

1.如图，P为。。内的一个定点，A为。。上的一个动点，射线AP、A。分别与

。。交于3、C两点.若。。的半径长为3,OP=yj3,则弦3C的最大值为()

【解答】解：过点。作0ELA3于E,如图：

•。为圆心，：.AE=BE,：.OE=~BC,YOEWOP,

.•.3CW2OP,...当E、P重合时，即0P垂直A3时，BC

取最大值，最大值为2OP=2

故选：A.

2如图，A3为。。的直径，C为半圆的中点，。。的半径为2,A3=8,点P是

直径AB上的一动点，PM与。C切于点M,则PM的取值范围为

【解答】解：连结PC、MC、OC、BC,如图，\

•.,直径A3=8,.,.0B=0C=4,为半圆的中点，\P7

.♦.0SA3,.,.△。底为等腰直角三角形，

A

:.BC=(0C=4/,与。C切于点

：.CM±PM,：.ZPMC=9Q°,在RtaPMC中，PM*2=PC2-MC2=PC2~4,

当PC最小时，尸M最小,此时点P在。点处，所以的最小值=44?—4=2小;

当PC最大时，PM最大，此时点P在点A或3点时，所以PM的最大值=

](4的2_4=2巾，

...PM的取值范围为2/WPMW2小./

故答案为2小WPMW2yfi.\

3.如图，在△ABC中，ZACB=90°,BC=12,AC=9,以点C为圆心，6为

2

半径的圆上有一个动点D.连接A。、BD、CD,则w的最小值是

O

【解答】解：在C4上截取CM,使得CM=4,连接DM,BM.

"：CD=6,CM=4,CA=9,：.CI^=CM.CA,~~~

月D

(CD)/(CM)=(CA)/(CD),VZDCM=ZACD,'/

AADCM^AACD,/.(DM)/(AD)=(CD)/(AC)=|,(C]

：.DM=^AD,：.^AD+BD=DM+BD,'：DM+BD^BM,

在中，'：ZCMB=90°,CM=4,BC=12,A'B

.,.BM=^/42+122=4y[lQ,：.^AD+BD^^y[lQ,

：.^AD+BD的最小值为4y[10.故答案为4y[lQ.

4.在△ABC中，ZACB=90°,BC=8,AC=6,以点C为圆心，4为半径的圆上有一动点

D,连接A。，BD,CD,则最D+A。的最小值是

【解答】解：如图，在CB上取一点尸，使得CF=2,连接C£),AF.,

；.cr>=4,CF=2,CB=8,：.CD2^CF.CB,/

，(CD)/(CF)=(CB)/(CF),,：ZFCD=ZDCB,:.△FCDs^DCB,\

：.(DF)/(BD)=(CF)/(CD)^~,：.DF^~BD,

：.^BD+AD=DF+AF,'：DF+AD^AF,AF=^22+62=2枷,

：.^BD+AD的最小值是2W，[

故答案为2V10.V

5.如图，AB是。。的直径，CE切。O于点C交AB的延长线于点E.设点D是弦AC上任意一点(不

含端点)，若NCEA=30。，BE=4,则CD+2OD的最小值为()1

【解答】解：如图，作OF平分NAOC,交。0于F,连接AF、CF、DF,：CE切(DO于点C,...NOCE=90°,

XVZCEA=30°,.,.ZAOC=120°,^J/AOF=/COF=LNAOC=L(180°-60°)=60°.TBE=4,

.•.2OC=OB+BE,即20c=OC+4,则0C=4,即圆的半径为4,,..OA=OF=OC,.,.△AOF、ZxCOF是等边三

角形，...AF=AO=OC=FC,...四边形AOCF是菱形，，根据对称性可得DF=DO.过点D作DH_LOC于H,

•.•OA=OC,.,.ZOCA=ZOAC=30°,DH=DC«sinZDCH=DC»sin30°=—DC,/.AcD+OD=DH+FD.根据

22

垂线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH+FD(即^CD+OD)最小，此时CD+2OD=2(DH+FD),

2

FH=OF*sinZFOH=2Zl.OF=2V3'.••CD+2OD=2(DH+FD)=2FH=4«,故选：D.

2

6.如图，AABC中，ZBAC=60°,ZABC=45°,AB=2&,D是线段BC

上的一个动点，以AD为直径画。0分别交AB,AC于E,F,连结EF,则线段

EF长度的最小值为.

解析将EF置于△OEF中，由NEOF=2NEAF,得圆心角NEOF=120°

为定值，等腰AOEF的腰长最小时，底边EF也最小.由“垂线段最短”可知，

当ADXBC时，直径AD最短，则半径（等腰OEF的腰长）最短，EF最小值也

就迎刃而解.如图4,连接OF、OE,过O点作OHLEF,垂足为H在RtAADB

中，AD=ABsinZB=2,即此时圆的直径为2.由圆周角定理，可知NEOH=N

EOF=ZBAC=60°；在Rt^EOH中，EH=OE•sin60°=—.由垂径定理,

2

得EF=2EH=石.

评析这道题属于另一类几何中常见的“一定一动型”最值问题，即在直线

外有一定点，直线上有一动点，求这两点间的最小距离.我们可以将问题化归到

“垂线段最短”的模型中加以解决.但这道题目并不是求垂线段AD的最小值，

而是求圆中弦EF的最小值，这就需要我们利用圆的相关性质建立所求事项和已

知事项之间的联系，将求EF的最小

值，最终转化到求直径AD的最小值.

7.如图，在Rt^AOB中，OA=OB=3也，的半径为1,点P是AB边上的

动点，过点P作。。的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为

解析P、Q是两个动点，直接求PQ的最小值将无路可走，若我们注意到PQ

是。。的切线，则PQLOQ,就可柳暗花明，如图6,连结OQ、OP.由PQ,

OQ,得PQ2=Op2—OQ2,这里求PQ的最小值，可求PQ2的最小值.设PQ2=y,

OP=x,则y=x2—l（3WxW3虚），由二次函数性质知，当x=3时，ymin=8,

故PQ的最小值为2四.

评析这道题的最值问题与切线密切相关，也可通过合情推理思考：在Rt

AOPQ中，0P为定值，要求PQ最小值，就是求0P的最小值，同例2,利用“垂

线段最短”求解.当然，在构造二次函数解题时，求自变量x的取值范围时，确

定x的最小值同样指向“垂线段最短”.

8.在平面直角坐标系xOy中，以原点0为圆心的圆过点A(13,0),直线y=kx

—3k+4与。。交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为.

解析直线y=kx—3k+4必过点D(3,4).由圆的性质知：最短的弦BC是

过点D且垂直于OD的弦(如图7).由D(3,4),得OD=5；由以原点O为圆

心的圆过点A(13,0),得半径OB=13.在Rt^OBD中，BD=A/OB2-0£>2=

12.由垂径定理，得BC=2BD=24.

评析要求过点D的弦BC的最小值，关键是如何确定BC的位置，由直觉

或已有经验我们知：“过圆内一点的弦中，垂直于该点所在直径的弦最短”.我

们可对其简证如下：如图8,连接OB、OC,由相交弦定理，得BD.CD为定值.由

均值定理，得BD+CDN2jBD・CD,当且仅当BD=CD时，BD+CD取最小值,

即弦BC长取得最小值.由OB=OC,BD=CD,根据等腰三角形三线合一，得

ODXBC.即最短弦长BC的位置为：过点D且与点D所在直径垂直的弦.

9.如图，AB是。。的一条弦，点C是。O上一动点，且NACB=30°,点E、F

分别是AC、BC的中点，直线EF与。。交于G、H两点.若。。的半径为7,

则GE+FH的最大值为.

解析连结OA,OB(如图12).由NAOB=2NACB=60°，我们可得△OAB

为等边三角形，OA=OB=AB=7.又E、F为AC、BC的中点，故EF=，AB

2

=3.5.这里GE+FH=GH—EF,要使GE+FH最大，而EF为定值，则GH取

最大值时GE+FH有最大值.根据“直径是圆中最长的弦”知，当GH为直径时,

GE+F-H的最大值为14-3.5=10.5.

评析此题构思巧妙、题型新颖，也是求两条线段的和最值问题，但与例1

却完全不同，点C在优弧AB上运动，随之引起EF及GH的运动，在运动过程

中，我们要抓住变化的量和不变的量，在这里，EF是定量，GH是变量.从而

将求GE+FH和的最大值，转化为求弦GH的最大值.

类型、定弦定角

【基本原理】

如图1\。0中，A、B为定点，则AB为定弦，点C为优弧上任一点，在C点运

动过程中则NACB的度数不变=逆运用台如图2、点A、B为定点，点C为线段

AB外一点，且NACB=。（。为固定值）=点C在以AB为弦的圆上运动（不与

A、B重合）

2

例、如图，AB为定长，点C为线段AB外一点，且满足NACB=60度，请在图中画

出点C的运动轨迹，简要说明作图步骤

步骤1、___________________________________________________

步骤2、___________________________________________________

练习、1、如图，AB为定长，点C为线段AB外一点，且满足NACB=120度，请在

图中画出点C的运动轨迹,并写出圆心角ZAOB=

2、如图，AB为定长，点C为线段AB外一点，且满足NACB=120度，请在图中画

出点C的运动轨迹，

AB

【实战应用】

例、如图，。。的半径为1,弦AB=1,点P为优弧AB上一动点，ACLAP交

直线PB于点C,则4ABC的最大面积是

1、如图，AABC是边长为2的等边三角形，D是边BC上的动点，BELAD于

2、如图，Rt^ABC中，ABXBC,AB=6,BC=4,P是4ABC内部的一个动点,

且满足/PAB=NPBC,则线段CP长的最小值为

3【操作体验】

(1)如图①，已知线段48和直线1,用直尺和圆规在/上作出所有的点尸，使得

30°,写出作图过程并说明理由.

【方法迁移】

(2)如图②，已知矩形ABC。，BC=2,AB=m,P为边上的点，若满足NBPC=45°

的点尸恰好有两个，则m的取值范围为.

【深入探究】

(3)如图③，已知矩形ABC£>,AB=3,BC=2,P为矩形ABC。内一点，且N2PC=135°

若线段AP绕点A逆时针旋转90°得到线段AQ.请问尸。是否有最小值，如果有最小值,

请求出此时四边形ABPQ的面积；若没有，请说明理由.

【解答】解：(1)第一步：分别以点A,B为圆心，AB长为半径作弧，两弧在

A3上方交于点。；第二步：连接。4,0B-,

第三步：以。为圆心，长为半径作。。，交/于尸1，2；

所以图中2,2即为所求的点；如图1所示：

理由如下：连接4尸卜—AP2.BP”如图2所示：

'：OA^OB=AB,.•.△042是等边三角形，AZA0B=60°,

由图②得：ZAP1B=|ZAOB=30°；

(2)在A8上截取8E=2C,连接CE,以CE为直径。。，如图3所示:

,:BE=BC=2,:.CE=2低

...。0的半径为镜，即。E=0G=/，V0G±EF,

：.BE^AB<BM,

：.2^m<2,+y/2-1,即镜+1,

故答案为：2&m<^2+1；

(3)PQ有最小值，理由如下：

如图4,构建。。，使NCOB=90°,在优弧〃aCBC)上取一点X,则NC//B=45°

：.ZCPB=135°,o

由旋转得：△AP。是等腰直角三角形，

：.PQ=/AP,

；.PQ取最小值时，就是AP取最小值，

当尸与E重合时，即A、P、。在同一直线上时，AP最小，则尸。的值最小，

在RtZiAFO中，AF=1,OF=3+1=4,

.•.AO=^/12+42=V17,

.,.AE^y[17—y/2,—AP,

即AP的最小值为迎一铺；

.•.尸。=44尸=取一2；

(£Af)/(AE)=-F=,

717

宿但=1一①，四边形ABE。的面积=的面积+ZVIE。的面积

111倔、1厂233A/341

=~ABXEM+~AEXAQ=-X3X(1--TT-)+-(J17—、2)=~———十~

乙乙/，_L/乙乙。个乙

(19-2a)=11-着产,

即PQ取最小值时，此时四边形A2PQ的面积为1卜.俨.

4如图，AABC中，AC=3,BC=4A/2,ZACB=45°,D为AABC内一动点，OO

为AACD的外接圆，直线BD父。0于P点，父BC于E点，弧AE=CP,则AD的

最小值为（）

A.1

B.2

C.V2

D.741-472

5如图，AC=3,BC=5,且NBAC=90°,D为AC上一动点，以AD为直径作圆,

连接BD交圆于E点，连CE,则CE的最小值为（）

A.V13-2

B.V13+2

C.5

D.16

~9

6如图，在AABC中，AC=3,BC=4.s/2,ZACB=45°,AM/7BC,点P在射线AM

上运动，连BP交AAPC的外接圆于D,则AD的最小值为（）

A.1

B.2

c.V2

D.4V2-3

7如图，。0的半径为1,弦AB=1,点P为优弧AB上一动点，ACLAP交直线PB

于点C,则AABC的最大面积是（）

A.£

2

行

BQ.2

6

2一

D.显

4

8如图，边长为3的等边AABC,D、E分别为边BC、AC上的点，且BD=CE,AD、

BE交于P点，则CP的最小值为

9如图，A(l,0)、B(3,0),以AB为直径作。M,射线OF交。M于E、F两点，C

为弧AB的中点,D为EF的中点.当射线绕0点旋转时,CD的最小值为

10如图，AB是。0的直径，AB=2,ZABC=60°,P是上一动点，D是AP的中

点，连接CD,则CD的最小值为

针对练习：

1.如图，在动点C与定长线段AB组成的AABC中，AB=6,ADLBC于点D,BE

LAC于点E,连接DE.当点C在运动过程中，始终有匹=走，则点C到AB的

AB2

距离的最大值是一

2.如图，已知以BC为直径的。0,A为8C中点，P为AC上任意一点，AD±AP

交BP于D,连CD.若BC=8,则CD的最小值为

类型六、定弦定角一一反客为主

例、如图，ZXOY=45°,一把直角三角尺ABC的两个顶点A、3分别在OX、

0y上移动，其中A8=10,那么点。到顶点A的距离最大值为点。到

AB的距离的最大值为

x

【分析】：题意中AB为定长线段在角的两边滑动，0为定点，滑动中C为动点,

AB两点位置发生变化，点0到AB距离的最大值的确定有难度，若改变思路，借

助物理中运动的相对性可知，若将AABC固定，将NXOV的两边绕AB滑动，与

原题中运动效果等价，题目中数量关系不会发生改变。问题则变为当点。在圆

上运动至何处时，点0到AB距离最大。

1、如图，D,E分别为等腰直角三角形ABC的边AC、AB上的点，且