2024年浙教版七年级上册数学复习讲义：整式（含解析）

整式

【知识梳理】

1、单项式：

由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式。单独一个数或字母也是单项式。

单项式中的数字因数，叫单项式的系数；单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数。

2、多项式：

几个单项式的和叫多项式。

多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高

项的次数叫多项式的次数；多项式中，不含字母的项叫做常数项。

把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按这个字母的升

幕排列（或降塞排列）。

注意：（若a、b、c、p、q是常数）ax?+bx+c和x?+px+q是常见的两个二次三项式。

3、整式：

单项式和多项式统称整式。

【课堂练习】

一、选择题

1.下列式子不是整式的是（）

X1

A.—pvB.0C.—D.—5?71

3丫2a

2.下列说法中，正确的是（）

a+b

A.%2_3%的项是％2,3%B.——是单项式

3

1

C.na,a2+1都是整式D.3a2儿-2是二次多项式

3.如果单项式3a为2c的次数是5,那么n的值为（）

A.2B.3C.4D.5

4.单项式照的系数和次数分别是（）

3

717111

A.—和3B.—和2C.—和4D.—和2

3333

5.若P和Q都是关于x的五次多项式，贝UP+Q是（）

A.关于x的五次多项式B.关于x的十次多项式

C.关于x的四次多项式D.关于x的不超过五次的多项式或单项式

6.多项式/一3/£%、一丫2+9%〉+10中，不含xy项，贝牍=()

A.0B.2C.3D.-3

7.按一定规律排列的单项式：%,2x3，4比5,8，，…，则第兀个单项式是()

A.2nx如TB.2n2nTC.2n-1x2n+1D.2nx2n+1

8.现将x,2x,3x,2nx(nN2)这2n个整式分成两组.前n个整式,按系数从小到大排列，记为：的,

aa

«2-3>-n；后71个整式按系数从大到小排列，记为：力，b2,3，…%.称

1%一比|+—匕21+%一姆T■…+I4—4J为“兀式绝对操作"，例如：网-比|+|。2一3|为"2式绝

对操作”.

下列说法：

①化简"2式绝对操作”，其结果只有1种；

②不存在任何“九式绝对操作"，化简其结果为10因；

③若x=l,"n式绝对操作”的结果大于2023,贝M的值至少是45.

其中正确的个数是()

A.0B.1C.2D.3

二、填空题

1%+vV

9.有下列代数式：①的②—；③一--；④而；⑤一三；⑥/一2。+1；⑦—pq?；@TT.其中单项

a33

式是；多项式是；整式是.(填序号)

211

10.已知单项式--ym与多项式/234的次数相同，则m的值为

1L将多项式3/y—4/y3+6盯2—y4_3按字母y的降幕排列：.

12.已知a,b为实数，等式02/+放=4/_3-1)“-匕一3对任意实数恒成立，则ab的值为.

13.已知(％—I)，=ax'++ex2+dx+e，则a+c+e=.

三、解答题

14.已知关于x的整式(冈一3)/+(fc-3)x2-/c.

(1)若是二次式，求必+2k+1的值.

(2)若是二项式，求k的值.

15.观察多项式丫_3/+5/_7/+9/+...的构成规律，并回答下列问题:

⑴它的第10项和第11项分别是什么？

(2)当x=l时，求前2000项的和.

16.我们对一个单项式4进行这样的变化：①4的系数不发生变化；②将4包含的所有字母按照英语字

母表的顺序进行排列；③从左至右，将4中每个字母的次数变为其右侧相邻字母的次数，最右侧字母

的次数不发生变化.经历上述变化后，单项式4变为单项式4.我们称4为4的“右变次单项式”，例如,

11

彳的“右变次单项式”为彳i2,-2a3Mc的“右变次单项式”为-2€?比，a2b4c3d5的“右变次单项

22

式”为a4b3c5ds.

1

(l),a2b的“右变次单项式”为,-a/3c2的“右变次单项式”为；

(2)若5次单项式4的“右变次单项式”为3就，则4=；

(3)若单项式4的“右变次单项式”为4,单项式B的“右变次单项式”为B',且4+8=7a6匕%2,则

A+B'=；

(4)若仅含有字母a,b,c的27次单项式4的系数为5,“右变次单项式”为公,&的“右变次单项式”

为乙，若公的次数为28,々的次数为27,则4=.

【课后巩固】

1

1.若代数式(。+2)/2-徐2-34/3是五次二项式，贝心的值为()

A.2B.±2C.3D.±3

2.[2024安徽合肥期末]如图是计算机程序的一个流程图，现定义：“x-x+2”表示把x+2的值作为

x的值输入程序再次计算.比如：当输入x=2时，依次计算作为第一次“传输”，可得2X2=4,

4一1=3,32=9,9不大于2024,所以2+2=4,把x=4输入程序，再次计算作为第二次“传输”，

可得4X2=8,8-1=7,直到计算结果大于2024时输出结果y.若输入x=L则经过几次“传输”

后可以输出结果，结束程序()

3.请写出一个只含有字母小、n,且系数为-2023,次数为4的单项式

LI

4.如果一个单项式一—的系数和次数分别为m、n,那么2nm=

3

5.我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”(如图)，此图揭示了

(a+匕产5为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律.

1

例如：(a+b)°=l，系数为1；I1

121

(a+b)i=a+b,系数分别为1,1；1331

14641

(^a+b~)2=a2+2ab+b2,系数分别为1，2,1；I5101051

161520156I

(a4-d)3=a3+3a2b+3ab2+b3,系数分别为1，3,3,1；

请依据上述规律判断：若今天是星期三，则经过8$天后是星期

6.现有甲、丙两种正方形和乙一种长方形卡片各若干张，如图(1)所示(a>1).小明分别用6张卡片拼

出了如图(2)和图(3)的两个长方形(不重叠且无缝隙)，其面积分别为Si，S2.

(1)请用含a的式子分别表示Si，S2；

(2)当a=3时，通过计算比较Si与Si的大小.

7.定义:f(a,b)是关于a,b的多项式，如果〃砌=/(比a),那么〃a,b)叫做“对称多项式”例如,

如果/'(a,b)=a2+a+b+b2，则/'(b,a)-b2+b+a+a2,显然，f(a6)=f(b,a),所以/'(a,b)是“对

称多项式”.

=。2_2ab+/是“对称多项式”，试说明理由；

(2)请写出一个“对称多项式”，〃a,b)=(不多于四项);(3)如果%(a,b)和均为“对称

多项式”,那么ri(a/)+f2(b，a)一定是“对称多项式”吗?如果一定，请说明理由，如果不一定，请

举例说明.

参考答案

【课堂练习】

1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】A

4.【答案】A

【解析】本题考查了单项式的系数与次数的定义.根据单项式系数的定义来选择，单项式中数字因数

叫做单项式的系数.单项式的次数就是所有字母指数的和.

2-

解：单项式叫的系数、次数分别是-，3.

33

5.【答案】D

6.【答案】C

【解析】本题考查了合并同类项以及多项式的项，由题意得出孙项的系数为0是解题关键.先合并同

类项，Wx2+(9-3fc)xy-y2+10,然后利用多项式中不含xy项，得出9一34=0,求解即可.

解：多项式/一3kxy-y2+9xy+10=%2+(9-3/c)xy-y2+10

•.•多项式不含xy项，

9—3k=0,

解得：k-3.

7.【答案】B

【解析】根据题意得：第1个单项式为x1-1；第2个单项式为2/=22-1/X2-1,第3个单项

式为4/=23T/X3-1,第4个单项式为8/=24-1/'4-1,.“，由此发现规律，即可求解.

【详解】解：根据题意得：第1个单项式为21Tx2X1T,

第2个单项式为2d=22-1/X2-1,

第3个单项式为4X5=23Tx2X3-1,

第4个单项式为8/=24-1/X4-1,

由此得到第兀个单项式为2Ll/nT.

8.【答案】D

【解析】解：⑴“2式绝对操作“为：|%一比|+|£12-玩1=1-3%|+|2*一划=4］划,即只有一种结

果正确，符合题意；

⑵由(1)推出“n式绝对操作”为：|(n+l)x—x|+|(n+2)x—2x|+•■•\2nx—nx\=n2|x|,

rn为正整数，故M#10,故不存在任何“a式绝对操作"，化简其结果为10因，正确，符合题意；

(3)由(2)知，“九式绝对操作”的结果大于2023,即层＞2023,贝伊的值至少是45,正确，符合题意;

故选：D.

9.【答案】①⑤⑦⑧

③⑥

①③⑤⑥⑦®

10.【答案】5

11.【答案】—y4—4x3y3+6xy2+3x2y—3

12.【答案】-6

【解析】解：a?/+=4/一(2a—l)x—b—3,

a?-4>—(2u—1)=b,—b—3—0,

•••b——3,a—2,

•••ab--6,

本题考查了多项式的定义，根据题意得出a2=4，-(2a-1)=匕，—b—3=0是解题的关键.

13.【答案】8

【解析】此题考查多项式的知识，解决的关键是熟练掌握多项式的相关知识.

解：(％—1)4=(X_l)2(x—1)2=X4-4X3+6X2-4X+1，

所以a=Lc—6,e—1,故a+c+e=1+6+1=8,

故答案为8.

14.【答案】【小题1］解：因为关于x的整式是二次式，所以因一3=0且3H0,解得卜=一3,所

以必+2k+1=9-6+1=4.

【小题2】因为关于x的整式是二项式，所以①因一3=0且k一3H0,解得k=—3；②k=0.故k

的值是-3或0.

15.【答案】【小题1】第10项是一19一°，第11项是21户.

【小题2】

1-3+5-7+9+...+3997-3999=(1-3)+(5-7)+...+(3997-3999)=(-2)X1000=-2000.

1

16.【答案】-ab-a3b2c23a%7a4b2c25a8b10c9

4

【解析】解：(1)由题意，可得

11

-a2b的“右变次单项式”为一ab,一a/3c2的“右变次单项式”为一a3b2c2.

44

1

故答案为：—ab;一a3b2c2；

4

(2)由题意可得，5次单项式4中系数仍为3,匕的指数为1,故a的指数为5-1=4,

A=3a%

故答案为：3a%；

⑶---A+B=7a6b4c2,

单项式4、B、7a6b4c2是同类项，

•••设单项式4为竹£?6%2,单项式B为k2a6b%2,则它们的“右变次单项式”分别为

422

A!=k1a/jc,B'=k2a462c2,

•・,kr+k2=7,

422422422

A'+B'=/a4b2c2+k2abc=(的+fc2)abc=7abc.

故答案为：7a4b2c2；

(4)•.,仅含有字母a,b,c的27次单项式4的系数为5,

•••设单项式4=5ambnc27-m-n，

n27mn27mn

••.4的“右变次单项式"A1=5ab~~c~-,

27mn27mn27mn

公的“右变次单项式"A2=5a--b--c--,

・.・若久的次数为28,色的次数为27,

(九+(27—Tfl—71)+(27—T71—71)—28

!(27—TH-TI)+(27—TH—九)+(27—Tn—Ti)=27，

解得片式，

A=5a8b10c9;

故答案为:5a8b10c9-

(1)根据新定义的变化即可解答；

(2)根据新定义的变化即可解答；

(3)由4+B=7a664c2可判断单项式4以7a6b4c2是同类项，因此设单项式4为/qa6b4c2,单项式B为

642422

k2abc,从而得到它们的“右变次单项式"4=/qa%2c2,B'=k2abc,根据整式的加法即可求

得4+B'；

(4)设单项式a=5。叱％27飞-,则4的“右变次单项式"4i=5a，27-mfc27-mf,公的，，右变次单

项式”&=5a27fLz27-3/7-6”根据&的次数为28,公的次数为27,即可列出方程求解出小,

n的值，从而得到单项式4

【课后巩固】

1.【答案】A

【解析】解：由题意得：。2—1+2=5且a+2*0,解得a=2.

先观察多项式的各项，再确定每项的次数，最高次项的次数就是多项式的次数.

2.【答案】B

【解析】本题主要考查了整式的概念，数式规律问题，解题的关键是理解程序运算的计算过程；根据

程序运算的计算过程可知，每次输入的数应该是1,3,5,7,9,进而得出第n次输入的数应该是

2九一1每次算出的数为［2(271-1)一1产，根据452=2025>2024,程序结束，得出2(2n—l)-1=45,

进而得出n的值，即可求解.

解:由题可知，每次输入的数应该是1,3,5,7,9,

所以第九次输入的数应该是2n-L每次算出的数为［2(271-1)-1/

因为45?=2025>2024，程序结束，