2024年中考数学复习讲义-尺规作图与定义、命题、定理

第29讲尺规作图与定义.命题、定理

目录

题型07尺规作图-找圆心

一、考情分析

题型08尺规作图-过圆外一点作圆的切线

二、知识建构

考点一尺规作图题型09尺规作图-作外接圆

题型10尺规作图-作内切圆

题型01尺规作图-作线段

题型11尺规作图-作圆内接正多边形

题型02尺规作图-作角度

类型一作一个角等于已知角题型12尺规作图-格点作图

考点二定义、命题、定理

类型二尺规作角的和、差

类型三过直线外一点作这条线的平行题型01判断是否命题

类型四作角平分线题型02判断命题真假

题型03举反例说明命题为假命题

题型03尺规作图-作三角形（含特殊三角形）

题型04写出命题的逆命题

题型04尺规作图-作三角形的中线与高

题型反证法证明中的假设

题型05尺规作图-作垂直平分线05

题型06用反证法证明命题

题型06尺规作图-画圆

考点要求新课标要求命题预测

＞能用尺规作图：本考点内容以考查尺规作

①作一个角等于已知角；作一个角的平分线.图和真假命题为主，年年考查，

尺规作图

②作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线.是广大考生的得分点，分值为

③过直线外一点作这条直线的平行线.6分左右.预计2024年各地中

④已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底考还将继续考查这两个知识

边上的高线作等腰三角形;已知一直角边和斜边作直角三角形.点.中考对尺规作图的考查

⑤过不在同一直线上的三点作圆;作三角形的外接圆、内切圆;作圆的内涉及多种形式，不再是单一的

接正方形和内接正六边形.对作图技法操作进行考查，而

⑥过圆外一点作圆的切线.是把作图与计算、证明、分析、

>通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义.判断等数学思维活动有效融

>结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的合，既体现了动手实践的数学

概念.会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立.思维活动，也考查了学生运用

定义、命

>知道证明的意义和证明的必要性，知道数学思维要合乎逻辑，知道可数学思考解决问题的能力，为

题、定理

以用不同的形式表述证明的过程，会用综合法的证明格式.避免丢分，学生应扎实掌握.

>了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的.

>通过实例体会反证法的含义.

题型01尺规作图-作线段

题型02尺规作图-作角度

类型一作一个角等于已知角

类型二尺规作角的和、差

先分析题目，读懂题意,类型三过直线外一点作这条线的平行

类型四作角平分线

尺判断题目要求作什么

尺题型尺规作图-作三角形（含特殊三角形）

规03

规读懂题意后，再运用几种题型04尺规作图-作三角形的中线与高

作

题型尺规作图-作垂直平分线

作基本作图方法解决问题05

图

题型06尺规作图-画圆

图

切记作图中一定要保留作题型07尺规作图-找圆心

与图痕迹题型08尺规作图-过圆外一点作圆的切线

定题型09尺规作图-作外接圆

题型10尺规作图-作内切圆

义

题型11尺规作图-作圆内接正多边形

题型12尺规作图-格点作图

'

命

题

定

义题型01判断是否命题

,

命题型02判断命题真假

定题型03举反例说明命题为假命题

瓢

题型04写出命题的逆命题

定

题型05反证法证明中的假设

理

题型06用反证法证明命题

考点一尺规作图

.夯基-必备基础能谢迪

尺规作图的定义：在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图.

五种基本作图:

类型图示作图依据

।a

作一条线段等

圆上的点到圆心的距离等于半径.

于已知线段

1___________Pp

01

作一个角等于

1）三边分别相等的两个三角形全等；

已知角

2）全等三角形的对应角相等；

B3）两点确定一条直线.

作一个角的平

分线

作一条线段的

1）到线段两个端点距离相等的点在这条线

垂直平分线

段的垂直平分线上；

2）两点确定一条直线.

M

过一点作已知

1）等腰三角形“三线合一”;

直线的垂线

X

D//A

LB2）两点确定一条直线.

N>

根据基本作图作三角形

类型图示

已知三角形的三边，求作三角形二M

a

已知三角形的两边及其夹角，求作三角形

b

已知三角形的两角及其夹边，求作三角形

2tA2A

m/a

Bm1C

已知直角三角形一直角边和斜边求作直角

三角形

根据基本作图作圆

类型图示

过不在同一直线上的三点作圆

（即三角形的外接圆）

A

作三角形的内切圆

尺规作图的关犍：

1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么；

2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题；

3）切记作图中一定要保留作图痕迹.

提升-必考题型归纳

题型01尺规作图-作线段

[例1](2021上•辽宁抚顺・九年级校联考周测)如图，平面上有四个点A,B,C,D,根据下列要求画图.

A

.5

D

⑴画直线42；

(2)作射线BC；

(3)画线段4。；

⑷连接CD,并延长CD至点E,使。；(保留作图痕迹)

(5)在四边形ABCD内找一点。，使它到四边形四个顶点的距离的和OA+OB+OC+OD最小.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)见解析

(4)见解析

(5)见解析

【分析】(1)根据直线的概念作图即可；

(2)根据射线的概念作图即可；

(3)根据线段的概念作图即可；

(4)以点。为圆心、DC为半径，画弧交CD延长线于点E；

(5)根据两点之间线段最短,连接AC2。,交点即为所求点O.

【详解】(1)如图所示，直线A8即为所求；

(2)如图所示，射线BC即为所求；

(3)如图所示，线段A。即为所取；

(4)如图所示，线段DE即为所求；

(5)如图所示，点。即为所求.

【点拨】本题主要考查了直线，射线和线段的定义和作图.熟练地掌握直线，射线和线段的定义，并正确

的根据定义作图是解题的关键.

【变式1-1J(2023上•广西河池•九年级统考期末)如图，在同一平面上有A,B,C三个点，按要求作图：

C

AB

⑴作直线AC,射线8C,连接AB；

⑵延长AB到点D，使得BD=AB；

(3)直接写出N4BC+乙CBD=°.

【答案】(1)图见解析；

(2)图见解析；

(3)180°

【分析】(1)按照题意用直尺作出图形；

(2)按照题意作出图形即可；

(3)由题意可知，N&BC+MBD=180°.

【详解】(1)解：如图所示，直线AC,射线8c,线段A8即为所求；

(2)解：如图所示线段BD即为所求；

(3)解：/.ABC+乙CBD=180°,理由是：

.・延长AB到点D，使得8。=AB

■.^ABD是平角

【点拨】本题考查了直线、线段、射线的作图，解决本题的关键是准确作图.

【变式1-2](2023・山西太原•山西大附中校考模拟预测)已知线段a、b、c.

，a，

b

(1)用直尺和圆规作出一条线段AB，使它等于a+c-6.(保留作图痕迹，检查无误后用水笔描黑，包括痕

迹)

(2)若a=6,6=4,c=7,点C是线段AB的中点，求2C的长.

【答案】⑴作图见解析

(2)

【分析】(1)作射线力M,在射线AM上顺次截取4E=a,EF=c,在线段F4上截取FB=b,则线段4B即为

所求；

(2)由(1)中结论及已知条件，求得48的长，再利用线段中点的性质即可解得AC的长.

【详解】(1)解：如图,线段力B即为所求：

AB\]EIFM

（2）如图，

ACB\~tM

a=6,b=4,c=7,

・•・AB=a+c—b=6+7—4=9

,・,点C是线段48的中点，

11

・•・AC=-AB=-x9=4.5

22

即4c的长4.5.

【点拨】本题考查基本作图、线段的和差、线段的中点等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键.

【变式1-3]（2022上•广西梧州•七年级统考期末）（1）如图，已知线段a,b,用直尺和圆规作图,分别作

下列两条线段.

①ZB=a+b；

②CD=2a—b.

'a''b,

（2）已知：如图，^AOB=乙COD=90。，乙BOD=25°.求NZOC的度数.

【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）155°

【分析】（1）①先作线段AC=a,再以点C为一端点，往AC延长线方向作线段CB=b即可；

②先作线段CE=2a,再以点E为一端点，往EC延长线方向作线段ED=b即可；

（2）先根据已知条件求出NA。。的度数，再由N40C=4COD+NA。。计算即可.

【详解】（1）解:

ab

AacbB

①AB=a+b；

CD

1

।--------------------1-------------1-------------------------------------F

aba

②CD=2a-b

（2）解：•・•乙AOB=90°,

•・•乙COD=90°

・•.AAOC=乙COD+AAOD=90°+65°=155°.

【点拨】本题考查了作图-线段的和差及计算角的和差，熟练掌握作图技巧及知识点是解题的关键.

题型02尺规作图-作角度

类型一作一个角等于已知角

[例2]（2022・吉林长春统考一模）如图,在42BC中，乙4cB=90°,AC^BC.用无刻度的直尺和圆规在

AB边上找一点D，使NBCD=乙4,则符合要求的作图是（）

CC

「上些

A.A心、____JRB.4DR

「CAC

A

A」古

C.DBdZ—

、.B

【答案】c

【分析】过点。作A8的垂线，利用同角的余角相等证明即可.

【详解】根据题意，A作图是构造等腰三角形，

不符合题意；

B是作的角的平分线，

故不符合题意;

。是过点。作A3的垂线,

/.ZA=9O°-ZB,ZBC£）=90°-ZB,

.'.7-BCD=Z-A,

故c符合题意；

D作的是线段AC的垂直平分线，

故不符合题意，

故选C.

【点拨】本题考查了垂线的基本作图，余角的性质，熟练掌握作图，灵活运用互余性质是解题的关键.

【变式2-1]（2023•山东青岛•校考一模）如图，BD平分NABC，点E为AB上一点.

⑴尺规作图：以E为顶点，作NAEF=ZABC，交BD于点F（不写作法，保留作图痕迹）；

⑵在（1）的条件下，若NDFE=150°,求NBEF的度数.

【答案】（1）见解析

（2）120°

【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法即可作乙4所=NABC，交BD于点F.

（2）根据150°，可得到NEFB的度数，再根据平行线的判定及性质，角平分线的定义即可得到NBEF

的度数.

【详解】（1）解：如图，4所即为所求；

A

/.ZEFB=180°-150°=30°r

,：Z.AEF=Z-ABC,

.".EFIIBC.

"FBC=/EFB=30。,NEBC+NBEF=180°.

：BD平分NA5C,

/.ZEBC=2ZFBC=6O°,

/.ZBEF=180°-60°=120°.

【点拨】本题考查了基本作图，角平分线的定义，平行线的判定与性质,掌握作一个角等于已知角，熟练

运用平行线的判定和性质是解决本题的关键.

【变式2-2］（2021下上海闵行•上海上师初级中学校考期中）如图，已知乙4。8=70。，Na=53。，在图中

用尺规作乙40c=Na,并计算ABOC的值.（保留作图痕迹，不得使用量角器）

【答案】见解析

【分析】分两种情况：0C在乙40B内和。C在乙40B外进行作图解题即可.

【详解】解：如图，当。C在乙4OB内时,

乙BOC=4A0B-^AOC=70°-53°=17°,

A

如图，当。C在NAOB夕卜时,

Z.BOC=/.AOB+AAOC=70°+53°=123°,

综上所述，乙BOC=17。或N80C=123°.

【点拨】本题考查限定工具作图一尺规作一个角等于已知角，角的和差，掌握分类讨论是解题的关键.

类型二尺规作角的和、差

［例3］（2023上•内蒙古呼和浩特•校考阶段练习）如图，已知乙4BC.

⑴请以射线DG为边作一个角，使它等于乙4BC的补角；（尺规作图，不必写作法，保留作图痕迹）

DG

（2）若N4BC的补角是N4BC的5倍，贝［UABC=_.

【答案】⑴详见解析

（2）30°

【分析】（1）作一个角等于已知角，反向延长所作角的一边，得其邻补角即为所求.

（2）根据补角的定义知互为补角的两个角和为180。,构建方程求解.

【详解】（1）解：作NMDF=^ABC,反向延长射线DM，得射线DG,NGDF即为所求；

（2）解:由题意，得乙4BC+5UBC=180°,

解彳导：AABC=30°,

故答案为：30°.

【点拨】本题主要考查了尺规作图一作一个角等于已知角，补角的定义，解题的关键是掌握尺规作图的方

法和步骤，以及相加等于180。的两个角互补.

【变式3-1］（2023上•陕西榆林•校考阶段练习）已知如图〃、邛，请你利用尺规作图作"OB，使乙4OB=

-Na.（不写作法，保留作图痕迹）

【分析】根据尺规作图的方法先作乙4。。=邛,再以。C为角的一边作NBOC=za,贝!］乙4OB即为所求.

【详解】解:如图，乙4。1即为所求.

【点拨】本题考查了尺规作图，角的计算，熟练掌握尺规作一个角等于已知角的方法是解题的关键.

【变式3-2］（2023•陕西商洛统考模拟预测）如图，在△4BC中，4B=AC,乙4BC的平分线交4c于点E,请

用尺规作图法，在射线8E上求作一点。，使得乙4DE=jzC.（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见解析

【分析】如图所示，作"4。="交射线BE于。，点D即为所求.

【详解】解：如图所示，作“4。=NC交射线BE于D,点D即为所求；

:^CAD=Z.C,

'.'AD||BC,

.'.Z.ADE=Z.CBE,

・248。的平分线交AC于点E,

：./.CBE=-/.ABC,

2，

：AB=AC,

.'.Z-C=乙ABC,

【点拨】本题主要考查了尺规作图一作与已知角相等的角，平行线的性质与判定，角平分线的定义，等边

对等角等等，灵活运用所学知识是解题的关键.

类型三过直线外一点作这条线的平行

[例4]（2022・广东佛山・西南中学校考三模）如图，在^ABC中，尸为4C边上任意一点，按以下步骤作图：

①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交力P、4B于点M,N；②以点P为圆心，以AM长为半径作

弧，交PC于点E；③以点E为圆心，以MN长为半径作弧，在4ABC内部交前面的弧于点F；④作射线PF交

BC于点Q.若乙4=60°,ZC=40°,则NPQC=()

c

A.100°B.80°C.60°D.40°

【答案】B

【分析】先由三角形内角和定理得到NB=80°,再根据作图方法可知NCPQ=乙4,则PQ||AB,由此即可

彳导至[kPQC=NB=80°.

【详解】解：,・,〃=60°,ZC=40°,

"B=180°-42—“=80°,

由作图方法可知NCPQ=乙4,

■■PQIIAB,

：/PQC=ZB=80°,

故选B.

【点拨】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质与判定，尺规作图一作与已知角相等的角，证

明PQIMB是解题的关键.

【变式4-1]（2023下河南焦作统考期中）如图，已知NBOP与射线OP上的点A，小亮用尺规过点4作OB的

平行线，步骤如下.

①取射线。P上的点C,以点。为圆心，。。长为半径画弧，交。B于点。；

②以点A为圆心，0C长为半径画弧，交。力于点M；

③以点M为圆心，CD长为半径画弧，交第②步中所画的弧于点E,直线瓦4即为所求.

小亮作图的依据是（）

A.同位角相等，两直线平行

B.内错角相等，两直线平行

C.同旁内角互补，两直线平行

D.以上结论都不正确

【答案】B

【分析】由作法可知：NON04E,结合平行线的判定定理即可得出结论.

【详解】解：由作法可知：4。=4。4万,

根据内错角相等，两直线平行，可得

故选：B.

【点拨】本题考查了平行线的判定，尺规作图，根据图形的作法得到N0=N04E是关键.

【变式4-2］（2024上•陕西商洛统考期末）如图，在△48C中，延长8c至点D，请用尺规作图法求作射线CE,

使得CE||AB,且点E在BD上方.（保留作图痕迹,不写作法）

【分析】本题考查了角的基本作图，利用同位角相等，两直线平行，画一个角等于NB,且是一对同位角即

可.

则CE即为所求.

【变式4-3](2023上•吉林长春・统考期末)图①、图②、图③均是6x6的正方形网格，每个小正方形的顶

点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，点。为4B的中点，在给定的网格中，按下列要求作图

图①图②图③

⑴在图①中△ABC的边BC上确定一点E,连结DE，使DE||AC.

(2)在图②中△ABC的边4C上确定一点F,连结DF，使乙4FD=乙C.

⑶在图③中A/IBC的边4C上确定一点G,连结DG，使乙4GD=4B.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)见解析

【分析】本题考查网格作图，中位线的性质，平行线的性质；

(1)利用网格特征作出BC的中点E,连接DE即可；

(2)利用网格特征作出线段4c的中点F,连接DF即可；

(3)利用网格特征作出乙4DE=ZC,交2C于点G,即可.

解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题.

【详解】(1)解：如图1中，点E即为所求；

(2)如图2中，点F即为所求；

(3)如图3中，利用网格特征作出乙4DE=NC,交4C于点G,

由三角形的内角和可知：/-AGD-/.B,

图③

类型四作角平分线

[例5](2024上内蒙古包头统考期末)如图，在44BC中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为

半径作弧，分别交48,BC于点。和E；②分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点尸；

③作射线BF交2C于点G；④过点G作GHIIBC交4B于点H,若乙BHG=110°,贝UNHGB=()

A.25°B.30°C.35°D.40°

【答案】C

【分析】本题考查了作图-基本作图，熟练掌握角平分线的基本作图思想是解决问题的关键.也考查了平行

线的性质以及三角形内角和.由题意可知8G是乙4BC的平分线，得到乙48G=ZCBG,根据平行线的性质得

至LUHGB=ACBG,等量代换得到NHGB=乙4BG,根据三角形的内角和定理即可得到结论.

【详解】解：由题意可知8G是乙4BC的平分线，

•e.Z-ABG=Z-CBGI

•・•HG||BC,

・•・乙HGB=乙CBG,

・•.Z.HGB=/-ABG,

•••乙BHG=110°z

・•・乙AGB=乙HBG=jx(180°-110°)=35。，

故选：c.

【变式5-1](2023上•广东广州•广州市第七十五中学校考期中)如图，已知△力BC.

⑴尺规作图：作乙4cB的角平分线，与4B交于点D；(保留作图痕迹，不用写作法)

(2)若=50°,乙B=70°,求NCZM的大小.

【答案】⑴见解析

(2)zCDX=100°

【分析】(1)根据角平分线的作图方法作图即可；

(2)利用三角形内角和及角平分线定义乙4CD=乙BCD=30°,由三角形内角和定理求出NCZM大小即可.

【详解】(1)解：如图，即为所求；

(2)解：•；乙4=50°,ZB=70°,

：.^ACB=180°一4力-NB=60°,

平分NACB,

..AACD=乙BCD=-^ACB=30°,

2

:./-CDA=180°一"CD—/A=180°—30°-50°=100°.

【点拨】此题考查了基本作图一角平分线，利用角平分线的定义求角度，三角形的内角和定理，熟练掌握

各知识点是解题的关键.

【变式5-2］（2023上河南驻马店•统考阶段练习）如图,已知△48C,过点A的直线/IIBC.

⑴请用无刻度的直尺和圆规作出NB的平分线（保留作图痕迹，不写作法）；

⑵若（1）中所作的角平分线与直线I交于点D.求证：△ABD是等腰三角形.

【答案】⑴见解析

（2）见解析

【分析】（1）利用角平分线的作图步骤作图即可；

（2）由平行线的性质和角平分线的定义，得出乙4BD=UDB,即可证明结论.

【详解】（1）解：如图，BE即为NB的平分线；

•••Z.ADB=Z-DBC

•••BD平分NABC,

•••Z-ABD=Z.CBD,

••・乙ABD=乙ADB,

AB=AD,

・•.△ZBD是等腰三角形.

【点拨】本题考查了作图——角平分线，平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，熟练掌握

等腰三角形判定条件是解题关键.

题型03尺规作图-作三角形（含特殊三角形）

[例6]（2024上山西吕梁•统考期末）如图，已知△ABC.

实践操作：

（1）作^ABD，使△ABD-AABC.（要求：尺规作图，点D在直线的下方，保留作图痕迹，不写作法）.

推理与探究：

（2）点E是BC上一点，AE||BD.探究：线段CE+4E与DB有怎样的数量关系，并说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）CE+AE=DB,见解析

【分析】本题考查了作三角形以及全等三角形的性质、平行线的性质：

（1）以点A为圆心，力C为半径在4B下方画弧，同时以点B为圆心，BC为半径，在下方画弧，两弧相交

一点，即为点D,因为4C=AD,AB=AB,BC=BD,所以△ABDSAABC,即可作答.

（2）先由全等三角形的，性质，得NCBA=乙DBA,CB=DB,结合平彳亍线的性质，得NCBA=乙EAB,以及

等角对等边，即可作答.

【详解】解：（1）如图△4BD即为所求；

(2)CE+AE=DB.理由：

••△ABD=△ABC

・••^CBA=^DBA,CB=DB

•・•AE||BD

・•・乙EAB=Z-ABD

・•.Z.CBA=乙EAB

・•.EA=EB

•・•CB=CE+EB

DB=CE+AE.

【变式6-1］（2023上•湖北襄阳•统考期末）（1）尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法.如图，为了

得到NMBN=4PAQ,在用直尺和圆规作图的过程中，得到△ACD^△BEF的依据是（）

（2）如图，直线“是一条公路，M,N是公路a同侧的两个居民区，现计划在公路”上修建一个公交候车

亭O,及修建两居民区M,N之间的道路，为了使OM+ON+MN最短，请在图中作出点。的位置（尺规作

图，不写作法，保留作图痕迹）.

•N

M

【答案】（1）B；（2）见解析

【分析】（1）本题考查了全等三角形的判定定理，三边对应相等的两个三角形全等，以及作一个角等于已

知角，根据用尺规画一个角等于已知角的步骤，据此即可求解.

（2）本题考查将军饮马模型，作M关于直线。的对称点,连接N"与直线。交于点。，根据对称的性质和

两点之间线段最短，即可得到。M+ON+MN最短.

【详解】（1）解：根据做法可知：AC=BE,4。=BF,CD=EF,

/.AACDBABEF（SSS）,

故选：B.

(2)解：点。的位置如图所示：

,・N

M/

Mr

【变式6-2](2024上•湖北襄阳•统考期末)我们定义：顶角等于36。的等腰三角形为黄金三角形.

如图，△中，AB=ZC且乙4=36。，贝^4ZBC为黄金三角形.

1C⑴利用尺规作图，在图中构造出一个“黄金三角形”；(保留作图痕迹，不写作法)

(2)说说(1)中的三角形是“黄金三角形”的理由.

【答案】⑴见解析

(2)见解析

【分析】本题主要考查了角平分线的作图，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质

及角平分线的作图是解答本题的关键.

(1)根据定义可知，黄金三角形需满足两个条件：①等腰三角形，②顶角为36。.因此满足条件的黄金三

角形不唯一，例如以NC=72。为一个角构造黄金三角形，只需作48的平分线交4C于点。，则小BDC是黄金

三角形；

(2)由48=4c及三角形内角和定理可知乙4BC=NC=72°，由角平分线的定义可得乙4BD=LCBD=36°,

贝UABDC=72°,所以N8DC=ZC,故4是黄金三角形.

【详解】(1)如图，△BDC就是所求作的黄金三角形；

A

A

A

-------

(2)-AB=AC,

180°—乙4

Z.ABC=Z-C==72°

2z

由作图可知，BD平分乙4BC,

i

"B。=NCBD=_BC=36。，

乙乙

BDC=^A+ABD=72°z

・•.Z.BDC=Z-C,

所以△BDC是黄金三角形.

【变式6-3]（2024上江西南昌•校联考期末）如图是5x5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1,仅用

无刻度直尺在图①和图②中按要求作图.

图①图②

⑴在图①中，画等腰三角形ABC，使其面积为3（画出一个即可）；

⑵在图②中，画等腰直角三角形4BD，使其面积为：（画出一个即可）.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定：

（1）取格点C,连接AC、BC,贝必ABC即为所求；

（2）取格点D,连接4D、BD,!J1I|AABD即为所求；

【详解】（1）解：如图所示，△ABC即为所求；

（2）解：如图所示，△4BD即为所求。

【变式6-4］（2023上•江苏南京•校联考期末）如图，已知线段4B,用两种不同的方法作一个含30。角的直角

三角形4BC,使其斜边为（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）.

I__________________II_____________________I

ABAB

【答案】见解析

【分析】方法一，作线段4B的垂直平分线，交48于点D,再以点D为圆心，DB长为半径作弧，以点A为

圆心，4。长为半径作弧与前弧相交于点C,A力BC即为所作；

方法二，作线段4B的垂直平分线，交48于点。，再作射线4C,在射线71C上截取AC=\AB,过点C作AC的

垂线,以点A为圆心，力B长为半径作弧，交CB于点B,△48C即为所作.

【详解】解：方法一：含30。角的直角三角形A8C如图所示：

方法二：含30。角的直角三角形4BC如图所示：

【点拨】本题考查的是作图-复杂作出，熟知直角三角形的作法以及含30度角的直角三角形的性质是解题的

关键.

【变式6-5](2022下福建漳州统考期末)求证：在直角三角形中，若一个锐角等于30°,则它所对的直角

边等于斜边的一半.要求：

____________C

AB

(1)根据给出的线段4B及N8，以线段48为直角边，在给出的图形上用尺规作出RtAABC的斜边4C，使得乙4=

30°,保留作图痕迹，不写作法；

⑵根据(1)中所作的图形，写出已知、求证和证明过程.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】(1)根据作一个角等于已知角的方法作图即可；

(2)根据图形和命题的已知事项写出已知，根据命题的未知事项写出求证，再写出证明过程即可.

【详解】(I)解：如图所示，线段4c为所求作的线段；

(2)已知：如图，△ABC是直角三角形，N28C=90°,乙4=30°.

求证：BC=^AC.

解法一：如图，在AC上截取一点。，使得CD=CB,连接DB.

\^ABC=90°,乙4=30°z：.Z.ACB=60°.

.CD=CB，:.△BCD是等边三角形.

「.BC=CD=BD,Z.CBD=60°.

\^ABC=90°z=AABC-^CBD=30°.

..Z-ABD=Z-A..,.DA=DB.

i

：BC=CD=DB,：.BC=-AC.

'2

解法二：如图,延长CB至点。，使CB=BD,连接ZD.

'：^ABC=90°,^BAC=30°z

：.^ABD=90°,乙ACB=60°,

：AB=AB,BC=BD,乙ABC=Z.ABD,

：△ABC=△ABD(SAS).：.AC=AD.

「.△ZCD是等边三角形.

.t.AC=CD.

：BC=-CD,：.BC=-AC.

22

【点拨】本题主要考查了用尺规作一个角等于已知角及命题的证明过程的书写格式，掌握相关内容是解题

的关键.

【变式6-6].(2022弓工苏南京•统考一模)如图，已知线段a,h,用直尺和圆规按下列要求分别作一个等腰

三角形ABC（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）.

（l）ZkA8C的底边长为a,底边上的悬）为h；

（2）AABC的腰长为a,腰上的高为h.

【答案】（1）作图及理由见解析；

⑵作图及理由见解析.

【分析】（1）首先作线段BC=a,再作出BC的垂直平分线，然后截取高为h,连接AB.CA即可.

（2）首先作直线GH垂直于直线DE,垂足为F,再直线DE上取线段FC=h，然后=AC=a,连接AB.CB

即可.

作法：1.作线段BC=a,（如图1）

2.作线段BC的垂直平分线MN,最足为0,

3.在直线MN上取线段OA=h,

4.连接AB.AC,

为所求作的三角形；

理由：••线段的垂直平分线是MN,OA=h,

AB=AC,AABC的高为h,

.,.△ABC为等腰三角形，

BC=a,

•••△ABC是底边长为a,底边上的高为h的等腰三角形；

作法：1.作直线GH垂直于直线DE,垂足为尸，（如图2）

2.在直线DE上取线段FC=h,

3.以点C为圆心，a的长为半径画弧，交直线GH于点A,

4.以点A为圆心，a的长为半径画弧，交射线AF于点B,

5.连接BCAC,

△ABC为所求作的三角形；

理由：•••AB=AC=a,

・•.△ABC为等腰三角形，

••・直线GH垂直于直线DE,垂足为F,FC=h,

.•.△ABC是腰长为a,腰上的高为h的等腰三角形；

【点拨】此题主要考查了复杂作图，关键是正确掌握线段垂直平分线的作法和等腰三角形的性质.

题型04尺规作图-作三角形的中线与高

【例7】(2023下•江苏泰州•泰州市海军中学校考阶段练习)如图，在正方形网格中有一个4ABC，按要求进

行下列作图(只能借助于网格)

⑴分别画出AaBC的中线8G、高CH；

⑵画出先将△4BC向右平移6格，再向上平移3格后的△DEF；

(3)画一个享用三角形MNP(要求各顶点在格点上)，使其面积等于4A8C的面积的2倍.

【答案】⑴见解析

(2)见解析

(3)见解析

【分析】(1)根据三角形的高和中线的定义结合网格作图即可；

(2)根据平移变换的定义和性质作图即可；

(3)由44BC的面积为3知所作三角形的面积为6,据此结合网格作图即可得解；

【详解】(1)如图所示，中线BG、高即为所求；

(2)如图所示，△DEF即为所求；

(3)如图所示，直角三角形MNP即为所求；

【点拨】本题主要考查作图-基本作图及平移变换，解题的关键是掌握三角形的高，中线的定义和平移变换

的定义与性质.

【变式7-1](2023•吉林•一模)如图，图①、图②均是8x8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1,每

个小正方形的顶点称为格点，点4B、C均为格点.只用无刻度的直尺，按下列要求作图：

⑴在图①中，作△ABC的BC边上的高；

⑵在图②中，过点B作直线使得直线/平分仆ABC的面积.

【答案】⑴见解析

(2)见解析

【分析】(1)在CB的延长线上，找到格点。，使得△ABD是直角三角形，且乙4DB=90。，连接4D,即可求

解.

(2)根据网格的特点找到4C的中点，过2C的中点与点B作直线/,即可求解.

【详解】（1）解：线段4。即为所求；

C

A

图①

-：AB=22+44=20,AD=32+33=18,BD=I2+I2

：.AB2=AD2+BD2

.■.A4BD是直角三角形，且乙=90°,

.MD即为所求；

（2）直线］即为所求.

图②

【点拨】本题考查了勾股定理与网格，作三角形的高，中线，熟练掌握以上知识是解题的关键.

【变式7-2】（2024•陕西西安•校考模拟预测）如图，在△力BC中，4。是BC边上的中线，请用尺规作图法在4c

边上作一点P,使得S-BC=4S”DP.（保留作图痕迹，不写作法）

【分析】本题考查了尺规作图一作垂线，与三角形中线有关的面积的计算，分别以点4