2024年中考数学复习讲义：破解相似三角形中的“A”和“8”模型

破解相似三角形中的“A”和“8”模型

解题秘籍

我们在构造'A”和“8”模型解决问题时，往往需要通过添力呼行线达到目的，而添加平行线构造基本图形

有两个关键点：一是要熟悉“A型”、“8型”的图形特征；二是要明确过哪一点作哪条直线的平行线.只有准确抓

住了基本图形的特征和图形中的关键点，才能添加好辅助线，为解决问题铺平道路.

典型例题

在4ABC中,/ABC=9(F,AB=BC,M是BC上一点，连接AM.

(1)如图1-1所示,N是AB延长线上一点,CN与AM互相垂直,求证:BM=BN;

⑵如图1-2所示，过点B作BP,AM,垂足为P,连接CP并延长交AB于点Q,求证:啜=第

思路分析

(1)延长AM交CN于点E,证明△ABM^ACBN.

⑵如图1-3所示，综合已知条件和要解决的问题中涉及的线段，从图中抽象出了图1-4,结合到相似中的

“A型”和“8型”的图形特征，我们抓住了关键点一点C,进而可过点C作BP的平行线NC，得到思路一所示

的，，A型，，图；或过点C作BQ的平行线NC，得到思路二所示的“8型”图，最后解决问题.

c

CCX------

AQBN

，c，招NC

AQBQB&路二'、、7

图1-3®1-4.

QBAQB

尝试解答

解后反思

本题属于相似形综合题，考查了平行线分线段成比例定理的推论,相似三角形的性质，全等三角形的判

定和性质定理等知识.解答本题的关键是添加辅助线，而本题之所以能够想到通过构造平行线，得到这两种证明

方法，关键是在掌握了“A型”、“8型”的图形特征的基础上，抓住了关键点C,进而想到了可以构造与BP或BQ

平行的辅助线.

实战演练

1.如图所示,D是△28C边BC上的点,BD-.DC=2:1,F是AC的中点，连接BF交AD于点E,求々的值.

（第1题）

2.如图所示,AABC为等腰直角三角形，D是直角边BC的中点，点E在AB上，且AE-.EB=2:1.求证:（CE1

AD.

（第2题）

3.在△4BC中，已知D是边BC的中点，G是△4BC的重心，过点G的直线分别交AB,AC于点E,F.

(1)如图1所示，当EF〃BC时,求证:一+1=1.

AEAF

(2)如图2所示当EF和BC不平行，且点E,F分别在线段AB,AC上时，⑴中的结论是否成立?如果成立，请给

出证明；如果不成立，请说明理由.

(3)如图3所示，当点E在AB的延长线上或点F在AC的延长线上时，(1)中的结论是否成立?如果成立，请

给出证明；如果不成立，请说明理由.

(第3题)

4.如图1所示，在RtABAC中,/.BAC=90°,AD1BC,,垂足为D,点。是AC边上一点，连接BO交AD于点F,

0E10B交BC边于点E.

⑴求证:△ABF。△COE;

(2)当O为边AC的中点,亭=2时，如图2所示，求知勺值；

ABOE

(3)当O为边AC的中点却="时，求器的值.

(第4题)

5.已知线段OALOB,点C为0B中点,D为线段0A上一点.连接AC,BD交于点P.

⑴如图1所示当0A=OB„S.D为OA中点时，求蓝的值；

（2）如图2所示，当（OA=。8,且筹=［时，求tcm/BPC的值；

⑶如图3所示，当.4D:4。:OB=l:n:2gi时，直接写出tcmzlBPC的值

图1图2图3

（第5题）

第1招破解相似三角形中的“A”和“8”模型

★典型例题

⑴证明:如答图1-1所示，延长AM交CN于点E.

VAM±CN,.\ZAEC=90°.

ZABC=90°,AZBAM+ZAMB=90°,ZBCN+ZCME=90°.

ZAMB=ZCME,.\ZBAM=ZBCN.

BA=BC,ZABM=ZCBN=90°,AABM也ACBN(ASA).

JBM=BN.

(2)证法一:如答图1-2所示，过点C作CN//BQ交BP的延长线于点N,则NBCN+NA

BC=180°.

ZABC=90°,.\ZABM=ZBCN=90°.

VBP±AM,.\ZBPM=ZABM=90°.

・•・ZBAM+ZAMB=90°,ZCBN+ZBMP=90°.

JZBAM=ZCBN.

在4BCN中，

Z-BAM=乙CBN,

AB=BC,

^ABM=乙BCN=90°,

・•・AABM^ABCN(ASA).

ABM=CN.

VCN//BQ,JACNP^AQBP.

.CP_CN_BM日nCP_BM

,•QP-QB一QB间QP-QB，

证法二：如答图1-3所示，过点C作CN〃BP交AB的延长线于点N,延长AM交C

N于点E,则NAPB=NAEN.

AQBN

VBP±AM,.\NAPB=NAEN=900且［lAM±CN.

答困1-3

由⑴的结论知BM=BN.

lzdccpNBBMRnCPBM

QPQBQBQPQB

★实战演练

1.解:如图所示过点F作FG//DE交DC于点G.

(第1题答图)

■:FGDE,：•—CF=—CG,—BE=—BD.

AFDGEFDG

因为F是AC的中点,，AF=CF.

；.CG=DG,即DG=：DC.

1

•・•BD-.DC=2:1,・・・BD-.DG=BD\-DC=4:1.

2

BEBD

・•・一=—=4A.

EFDG

2.证明如图所示，过点B作BH〃AC交CE的延长线于点H,则.NHBC+UCB=180°.

ZACB=90°,.\ZHBC=ZACB=90°.

,/AC//BH,.\Z\ACEsABHE.

=2,即AC=2BH.

BHBE

因为D是BC的中点,,・.BC=2CD.

VAC=BC,ACD=BH.

在AACD和ACBH中就B：90

AACD^ACBH(SAS).

/.ZCAD=ZBCH.

ZBCH+ZCDA=ZCAD+ZCDA=90°.

NCFD=90°,即CE±AD.

3.(1)证明:因为G是△ABC的重心，.二=

⑵在此时的条件下⑴中结论成立，证明如下：

如图所示，过点B,C分别作BP〃EF,CQ〃EF,BP与CQ分别交直线AD于点P,Q.

onermz?nBEPGCFQG//

•BPEF，CQEF,=—,BDPn//CQ.

/IE,/iu/i.r/1U

.\ZPBD=ZQCD.

BD二CD,ZBDP=ZCDQ,ABDP^ACDQ(ASA).

・・・DP=DQ.

・・・PG+QG=PG+(GP+PQ)=2PG+2PD=2GD.

BECF_PGQG_PG+QG_2GD_1_

AEAFAGAGAGAG2(第3题答图)

(3)在此时的条件下(1)中结论不成立，理由如下：因为当点F与点

C重合时,E为AB中点,BE=AE,所以点F在AC的延长线上时,BE>

AE.

BE、.mBE,CF

・•・—>1,贝—+—>1.

AEAEAF

同理：当点E在AB的延长线上时，器+黑＞1.

AEAF

所以结论不成立.

4.(1)证明:ZDAC+ZC=90°.

•/ZBAC=90°,.\ZBAF+ZDAC=90°,ZBOA+ZABF=90°.AZBAF=ZC.

VOE±OB,.\ZBOA+ZCOE=90°.

•・•/.BOA+Z.ABF=90°,/.ABF=乙COE.

/.AABF^ACOE.

⑵解如答图1所示，过点B作BM//AC交AD的延长线于点M.

BM

：BM〃AC,NBAC+NMBA=180°.

ZBAC=90°,.\ZBAC=ZMBA=90°.

由(1)知/BAM=/C,A

（第4题答图1）

.'.△BMA^AABC.

.BM_AB

''AB-CA

因为。'为AC-的J中点z，A-B=2,.-.AO=OC=2AB=A-AOC,.-A.B-=CA—=2,-=-

n"〃“BFBM1

•・•BMAC,・•・——=—=-

OFOA2

由(1)知ABFCOE,.-.^1=^=1.OE=BF

=:即—=2.

OFOF2OE

BM

⑶解:如答图2所示，过点B作BM〃AC交AD的延长线于点M.

VBM^AC,.*.ZBAC+ZMBA=180°.

ZBAC=90°,AZBAC=ZMBA=90°.

A0

*.•ZBAM=ZC,/.ABMA^AABC.（第4题答困2）

.BM__AB

''AB~CA

因为。为AC的中点，有=…AO=OC=\AC=^AB.

tBM_BM_2BM_2AB_2

,而=痴=/茄=/西=方

A

由(1)知ABFoCOE,—=—=OE=-BF.

BFBA22

OE_倒尸nBFn21OF

一,—=­,———RnInJ—

OF-OF2OF2n2nOE

5.⑴解:如答图1所示过点C作CE〃PD交AO于点E.

“cnOCOEAPAD

•••CEPD,・•・一=—,—=—.（第题答图

BCDEPCDE5D

因为点c为OB中点，D为OA中点，.•.BC=CO=\OB,AD=DO

1

.・.OE=DE=-0D.：.AD=2DE.

2

APAD0

・•・一=—=2.

PCDE

⑵解:如答图2所示，过点C作CE〃BD交AO于点E,过点C作CGLBD,垂足为G.

设AD=a,贝!]AO=4a,DO=3a,

•・・OA=OB,C为OB的中点,・・.AO=BO=4a,BC=CO=2a.

在RtAACO中,由勾股定理得AC=y/AO2+CO2=V(4a)2+(2a)2=2ba.

在RtABDO中,由勾股定理得BD=VBR2+。。2=^(4a)2+(3a)2=5a

（第5题答困2）