2024年中考数学复习：圆知识点复习讲义

圆知识点复习讲义

第1节圆的认识

一、知识梳理

1.圆的基本概念

弦：连接圆上任意两点的线段叫作弦.

直径：经过圆心的弦叫作直径.

圆弧：圆上任意两点间的部分叫作圆弧.弧包括优弧和劣弧，大于半圆的弧叫作优弧，小于半圆的

弧叫作劣弧.

半圆：圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆.

等圆：能够重合的两个圆叫作等圆.

等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等弧.

2.圆的对称性

圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.

圆是中心对称图形，对称中心为圆心.

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组

量都分别相等.

3.点与圆的位置关系

设。0的半径为r,点P到圆心0的距离为d,则有：

①点在圆外Qd>r;

②点在圆上Qd=r;

③点在圆内Qd<r.

【例】如图1-1所示,AB是OO的直径，四边形ABCD内接于。O.若BC=CD=DA=4cm,则。O的周

长为（）.C「

A.5兀cmB.671cmC.9兀cmD.871cm

图1一1

解如图1-2所示，连接ODQC.

VAB是。0的直径，四边形ABCD内接于。O,BC=CD=DA=4cm,

AD=CD=BC.

：.ZAOD=ZDOC=ZCOB=60°.

又：0A=0D,

.•.△AOD是等边三角形.

OA=AD=4cm.

0O的周长=27ix4=87i（cm）.

故选D.图1-2

二、分层练习

☆万丈高楼平地起

1.下列命题正确的个数是（）个.

①直径是圆中最大的弦；

②长度相等的两条弧一定是等弧；

③半径相等的两个圆是等圆；

④面积相等的两个圆是等圆；

⑤同一条弦所对的两条弧一定是等弧；

A.2B.3C.4D.5

2.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图1-3所示.为了在商店配到与原来大小一样的圆形玻

璃，小明要选择携带的应该是（）.

A.第①块

B.第②块

C.第③块

D.第④块

图1—3

3.如图1-4所示,AB是。O的直径，点C在。O上,CDLAB,垂足为点D.已知CD=4,OD=3,则AB的长为

4.如图1-5所示,AB是。O的直径，点C,D在AB的异侧，连接AD,OD,OC,若/AOC=70。,且AD〃OC,则/AOD

欲穷千里目，更上一层楼

5.如图1-6所示,AB,CD是。0的直径，屈=皿.若NAOE=32。,则/COE的度数是（）.

A.32°

6.如图1-7所示,AB是。O的直径,BC=CD=DE,^COD=35。，则ZAOE的度数是（

A.65°

B.700

C.75°,

A

D.85°

图1一7

7.如图1-8所示,已知。0的半径为2cm,AB是。O的直径，点C,D是。O上的两点，且冠=&=丽,则四边

形ABCD的周长为（）.

A.8cm

B.10cm

C.12cm

D.16cm

8.如图1-9所示，在。O中，如果AB=2福那么().

A.AB=AC

B.AB=2AC

C.AB<2AC

D.AB>2AC

9.如图1-10所示,在矩形ABCD中,AB=8,BC=3有，点P在边AB上，且BP=3AP.如果圆P是以点P为圆心，

PD为半径的圆，那么下列判断正确的是().

A.点B,C均在圆P外

B.点B在圆P外，点C在圆P内

C.点B在圆P内点C在圆P外

D.点B.C均在圆P内图1-10

10.如图1-11所示，城市A的正北方向50km的B处，有一无线电信号发射塔，该发射塔发射的无线电信号的

有效半径为100km,AC是一条直达C城的公路，从A城开往C城的班车速度为60km/h.

(1)当班车从A城出发开往C城时，有人立即打开无线电收音机，班车行驶了0.5h时接收信号最强，则此时班

车到发射塔的距离是多少?(离发射塔越近，信号越强)

⑵班车从A城到C城共行驶2h,请你判断，班车到C城后还能接收到信号吗?请说明理由.

会当凌绝顶，一览众山小

1L如图1-12所示，已知点A是半圆上的三等分点，点B是前的中点，点P是直径MN上一动点，。。的半径

为1.请问：点P在MN上什么位置时，AP+8P的值最小?并给出AP+BP的最小值.

图1-12

第2节垂径定理

一、知识梳理

（一）垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.

如图2-1所示，垂径定理的条件与结论理解如下：

1/AB是直径,AB_LCD于点E,

•••CE^DE,CB=DB,AC=AD.

（二）垂径定理推论

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.

【例】如图2-2所示,AB是。0的弦，点C,D是直线AB上的两点，且AC=BD,求证:OC=OD.

证明:如图2-3所示，过点0作OELAB于点E.

VOEXAB,

；.AE=BE.

又；AC=BD,

；.CE=DE.

.,.0E是CD的中垂线.

图2-2图2-3

二、分层练习

☆万丈高楼平地起

1.下列判断中正确的是（）.

A.长度相等的弧是等弧

B.平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧

C.弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧

D.平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦

2.某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图2-4所示,已知4B=16成,半径0A为10m,则中间柱CD的高度

为（）m.

A.6

B.4

C.8O

D.5图2-4

3.如图2-5所示点A,B是。O上的两点,AB=10,点P是。O上的动点（点P与点A,B不重合）.连接AP,PB过点

O分别作OE,AP于点E,（OF1尸8于点F,连接EF,则EF长为（）.

A.4

B.5

C.5.5

D.6

图2-5

4.点P为。O内一点，且OP=4.若。O的半径为6,则过点P的弦长不可能为（）.

A.12B.2V30C.8D.10.5

欲穷千里目，更上一层楼

5.刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼

近圆来近似计算圆的面积如图2-6所示，设。O的半径为2,若用。0的内接正六边形的面积来估计。。的

面积，则。O的面积约为—(结果保留根号).

图2-6

6.如图2-7所示，已知。0的半径为2,四边形ABCD为。0的内接四边形，且4。=2也AB=2但则/

DAB的度数为().

A105。

B.60。

C.750

图2-7

0.70°

7.如图2-8所示,NP4C=30°,,在射线AC上顺次截取AD

于点E,F.

(1)求圆心O到AP的距离；

(2)求弦EF的长.

图2-8

8.如图2-9所示,AB是。O的直径，弦CD交AB于点P,AP=2,BP=6,^APC=30。,,则CD的长为（）.

X.V15

B.2V5

C.2V15

图2-9

9.如图2-10所示，在半径为行的。。中，AB,CD是互相垂直的两条弦，垂足为点P,且AB=CD=4,则OP

的长为（）.

A.1

5.V2

图2-10

10.如图2-11所示,在平面直角坐标系中QP的圆心是（2,a）（a>2）.半径为2,函数y=x的图象被。P截得的弦AB

的长为y=x2g,,则a的值是（）.

X.2V2

B.2+V2

C.2V3

D.2+V3

图2-11

H.如图2-12所示，4ABC外接圆的半径为5,其圆心O恰好在中线CD上若AB=CD,则4ABC的面积为（）.

A.36

B.32

C.24

D.18

12.圆柱形油槽内装有一些油，截面如图2-13所示，油面宽AB为6dm,再注入一些油后，油面AB上升1dm,

油面宽变为8dm,则圆柱形油槽直径MN为（）.

A.6dm

B.8dm

C.10dm

D.12dm

图2-13

会当凌绝顶，一览众山小

13.如图2-14所示，在平面直角坐标系中，以原点。为圆心的圆过点A（13,0）,直线y=kx-3k+44与。。相交

图2-14

第3节圆周角定理⑴

一、知识梳理

圆心角：顶点在圆心的角叫作圆心角.

圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫作圆周角.

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.

推论3：圆内接四边形对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.

【例】如图3-1所示,直径为10的。A经过点CQ5）和点0（0,0）,点B是y轴右侧OA优弧上的一点,

则NOBC的余弦值为（）.

24

解:如图3-2所示，连接CA并延长交。A于点D.

CD为直径,，ZCOD=ZyOx=90°.

:直径为10的OA经过点C(0,5)和点0(0,0),

.\CD=10,CO=5.

•••DO=yJCD2-CO2=5V3.

ZOBC=ZCDO,

5V3_V3

・・

•cosNOBC=cos/CDO=器10~21

故选c.图3-2

二、分层练习

☆万丈高楼平地起

1.如图3-3所示,AB是。O的直径，点C,D是。O上的两点.若LCAB=25。厕/ADC的度数为

C

D

图3-3

2.如图3-4所示，在边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的。0的圆心。在格点上，则tan/CBD的值

B

3.如图3-5所示,AABC是。。的内接三角形,AC是。。的直径,NC=50°,ZABC的角平分线BD交。0于点D,

则NBAD的度数为（）.

C

图3-5

4.如图3-6所示,AABC内接于。O,AB=AC,,连接BO并延长交AC于点D.若乙4=50°„Ji!!]ZBDC的度数为

A.75°

5.76°

D.700

图3—6

5.如图3-7所示，点A,B,C,D在。O上，直径AB交CD于点E.已知乙C=57。,4=45。,则Z.CEB=

6.如图3-8所示，AB是半圆的直径，点D是左的中点，AABC=50。,则ND4B等于（）.

A55。

B.60°

C.65°

D.70°

欲穷千里目，更上一层楼

7.如图3-9所示若△4BC内接于半径为R的。O,且乙4=60。,,连接OB,OC,则边BC的长为（）.

A.V2R

B片R

C等

D.y/3R图3-9

8.如图3-10所示，在。。中MC||OB,NBOC=50。,则NO4B的度数为（）.

A25。

B.50°

C.60°

D.30°

图3-10

9.如图3-11所示,AD是半圆的直径，点C是弧BD的中点乙4DC=55。厕NBAD等于（）.C

A.50°

B.55°B

C.65°

A

D.70°

图3-11

10.如图3-12所示,AB为0O的直径，点C,D在。O上，连接AC,CD,CD交AB于点E.若BD=2SC,zC=20。,

则NAED的度数为（）.

A.50°

B.53°

C.55°A

D.58°