2024年中考数学复习：与相似相关的模型复习讲义

与相似相关的模型复习讲义

几种常见的相似模型

本节内容主要讲述几种常见的相似模型，其中包括“A”字型、“8”字型、反“A”字型、反“8”字型、母子型、射

影定理和“一线三等角”相似模型.

模型一基本模型

模型1-1“A”字型与“8”字型

场景:如图,DE〃:BC.

结论：ADEoABC,—AE_DE

ABAC-BC

ED

BCBC

"A”字型“8”字型

“A”字型与“8”字型只是DE,BC两条平行线段在点A的同侧或异侧，其本质都是一样.

模型变式：反“A”字型与反“8”字型.

场景:如图,/ADE=NC,

结论：ADE〜ABC,—=-=—,,AE-AB=AD-AC

I"J'ADABACACDfBC

反“A”字型反“8”字型

反“A”字型与反“8”字型只是DE,BC两条平行线段在点A的同侧或异侧，其本质都是一样，这两种模型在内

接四边形中经常遇见如下图所示.

模型变式：“母子”型.

场景：如图，^ABD=ZC.

结论：AABD△ACB.AB2=AD-AC,,同角(NA)出发的三条线段成乘积等量关系.

母子型是反“A”字型或反“8”字型的特例，即两种模型中DE,BC两条线段有一个共同的端点的情况.

模型1-2“人”字型A

场景如图,/ADE=NACB.

结论:△ABC^AAED,ABDO^AECO.

“人，，字型模型是反“A”字型或反“8”字型的一个特例.

模型1-3射影定理（双垂直模型）

场景如图,/BAC=/ADC=90。.

结论:△ABDD△CADO△CBA,BA2=BD-BC,CA2=CD-CB,DA2=DB-LC,同角（NB,NC,/D）出发的三条

线段成乘积等量关系.

双垂直模型是母子型的一个特例，特殊在模型里面有两个直角.

精选例题

例1.如图，点A在线段BD上在BD的同侧作等腰RtAABC和等腰RtAADE,CD与BE,AE分别交于点P,M.对

于下列结论:①ABAEsZiCAD;②MP-MD=MA-ME;③2cB2=CP-CM.其中正确的是（）.

A.①②③B.①C.①②D.②③

解析

结论①由等腰R3ABC和等腰RtAADE三边成比例即可证明；结论②通过等积式转换为比例式，可发现只

需证明△PEM-AADM即可，这两个三角形符合反“8”字模型；结论③将2cB?转化为AC2,,证明△ACP-AMC

A,这里面有公共角/C,符合母子型，进一步探究，这两个三角形是双垂直模型.

解由已知得AC=aAB,AD=y/2AE,

.AC_AD

"AB-AE'

•・・ZBAC=ZEAD,.\ZBAE=ZCAD.

△BAEs/\CAD,.•.结论①正确；

△BAE^ACAD,/.ZBEA=ZCDA.

,/ZPME=ZAMD,.\APME^AAMD.

=MP-MD=MA-ME,.•.结论②正确;

由结论②，得更=—,^PMA=Z.EMD,：.,PMAMEMD,^LAPM=乙AED=SO。.

,MAMT

"：ZCAM=180°-ZBAC-ZEAD=90°,ACAP^>ACMA,/.AC2=CPCM.

AC=y[2BC,：.2cB2=CP-CM,.,.结论③正确.

故选A.

例2.如图，在四边形ABCD中,AB〃DC,NADC=90。,AB=5,CD=AD=3,点E是线段CD的三等分点，且靠近点

C,ZFEG的两边与线段AB分别交于点F,G,连接AC分别交EF,EG于点H,K.若BG=|,ZF£G=45。，则HK

解析

HK=CH-CK根据“8”字型、“母子型相似模型分别得到^CEK^AAGK,AHEKS/\HCE,即可求出CK和CH

的长度.

解答图ZADC=90°,CD=AD=3,AC=3V2.

27

•・.AB=5,BG=--.AG=-.

2f2

・.•AB〃DC,AZXCEKs△AGK.

CE_CK_EK.1_CK_EKCK_EK_2

"AG~AK~KG"''-~AK~KG'"AK~KG~7,

2

vCK+AK=3Vx.•.CK=—.

3

如答图2,过点E作EM±AB于点M,则四边形ADEM是矩形.

3

.・.EM=AD=3,AM=DE=2,MG=

2

EG=y/EM2+MG2=

2

..™-2.EK—恒

KG73

ZHEK=ZKCE=45°,ZEHK=ZCHE.

AAHEK^AHCE.

HE_EC_1_3

,•HK-EK一恒~~县

3

设HE=3x,HK=V5x.

VAHEK^AHCE,

EH_HK3x=字.解得％=邛

HC-EH得+半3x6

HK=—.

6

故选B.

例3.如图.在正方形ABCD中,ABPC是等边三角形，BP,CP的延长线分别交AD于点E,F,连接BD,DP,BD与

CF相交于点H,给出下列结论:(①iBE=2AE;②△DFPOxBPH;③△PFDs/\PDB;④DP2=PH-PC其中正确的是(

).

A.①②③④B.②③

C.①②④D.①③④

解析

由正方形和等边三角形可得.NEB4=30。,由30。角所对的直角边与斜边的关系可判断结论①；根据正方形和等

边三角形的性质推导角的度数，根据“AA”判断结论②③是否正确；由DP,PH,PC所在的三角形为△DPH.A

CPD,,根据“母子”型相似模型判断这两个三角形是否相似，可得到结论④是否正确.

解•••△BPC是等边三角形，

BP=PC=BC,/.PBC=乙PCB=乙BPC=60°.

在正方形ABCD中，

AB=BC=CD,ZA=ZADC=ZBCD=ZABC=90°,

ZABE=ZDCF=30°,，BE=2AE,故结论①正确；

VPC=CD,ZPCD=30°,.,.ZPDC=75°,.\ZFDP=15°.

/DBA=45。,；.NPBD=15。,；.ZFDP=ZPBD.

•••乙DFP=4BPC=60°,.-.ADFPABPH;；故结论②正确；

ZFDP=ZPBD=15°,ZADB=45°,.*.ZPDB=30°.

而/DFP=60。,.,.ZPFD^ZPDB,.*.APFD与APDB不会相似，故结论③错误;

ZPDH=ZPCD=30°,ZDPH=ZDPC,

/.ADPH^ACPD.

■=N，•••DP?=PH-PC,故结论④正确.

故选C.

精选练习

1.如图，在△ABC中,BC=120,高.AD=60,,正方形EFGH一边在BC上，点E,F分别在AB,AC上,AD交EF于点

N,则AN的长为（）.

A.15

B.20

C.25

D.30

2.如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,△BPC是等边三角形，连接DP并延长交CB的延长线于点H,连接

BD交PC于点Q,下列结论：

①/BPD=135°;②△BDPs/\HDB;③DQ:BQ=1:2;

circle4SBDP=£I.其中正确的有().

4

A.①②③B.②③④

C.①③④D.①②④

3.在△ABC中,AB=AC,NBAC=12(F,BC=2V3,D为BC的中点,AE=［幺5则4EBD的面积为().

,3遮〃3遮

A.—B.—五

JM

模型二“一线三等角”模型-------X-----------

场景：如图，Z1=Z2=Z3,且这三个角的顶点在同一条直线上.

结论:△ACE^ABED.

“一线三等角”模型的变式：“一线三等角”在等腰三角形中的几种表现形式.

下图也是“一线三等角”模型，如果(CE=ED,则两个三角形全等，这就是我们上面所讲述的“一线三等角”全等

模型，也就是“一线三等角”全等模型是“一线三等角”相似模型的特例.

拓展：中点型“一线三等角”

⑴如图,N1=42=N3,,点D是BC的中点则△BEDACDFADEF,,DE,DF分别平分NBEF和乙CFE.

(2)如图,=42,且乙BOC=90°+|N82C时可以考虑构造“一线三等角”.

应用：构造“一线三等角”的步骤：找角、定线、构相似.

在应用时，“一线三直角”是应用相对更广泛的一种，尤其是在平面直角坐标系中，其构造过程如下图.

精选例题

例如图，在矩形ABCD中,.AB=3V6,BC=12,E为AD的中点,F为AB上一点.将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落

到CF上的点G处.则折痕EF的长是

解析

连接CE,通过证明全等，推导出/FEC为直角,则在AD上有三个直角，可应用“一线三等角”相似模型，证

明AAEF^ADCE,由比例式求出AF,结合勾股定理可求EF的长.

解如图，连接CE.

•••点E是AD的中点

/.AE=ED=EG,ZEGC=ZD.

/.AEGC^AEDC,

GC=AB=3V6,ZGEC=ZDEC,ZAEF=ZGEF.

ZCEF=90°.

易得△AEF^ADCE,

AE_AFam6_AF

"DC~DE，3V6-6'

解得AF=2V6.

在RtAAFE中,.EF=y/AE2+AF2=2V15.

精选练习

1.如图,在河对岸有一矩形场地ABCD,为了估测场地大小，在笔直的河岸1上依次取点E,F,N,使2E1l,BF

1点N,A,B在同一直线上.在F点观测A点后，沿FN方向走到M点，观测C点发现Z1=以测得.EF=15米

FM=2米MN=8米LANE=45°,,则场地的边AB为米BC为一米.

2.在矩形ABCD中,AB=1,BC=见,点E在边BC上，且BE=|a,连接AE,将△2BE沿AE折叠.若点B的对

应点.夕落在矩形ABCD的边上，则折痕的长为.

与比例式相关的模型

模型一重心定理

场景:如图，点0是仆ABC的三条中线AD,BE,CF的交点.

件、人.AO_BO_CO_2AO_BO_CO_DO_E0FO_1

一口AD~BE~CF~DO~EO~FO-'AD~BECF-3,

作辅助线方法:作EG〃BC,EG交AD于点G.

拓展：当*泄当MW时，梦磊

模型二倒数型

场景:如图1,AB，BD,CD，BD,垂足分别为点B,D,AD和BC相交于点E,EF1BD,垂足为点F.

如图2,AB//CD,AD,BC相交于点E,过点E作EF〃AB交BD于点F.

结论：-+-=—+—=

ABCDEFS^BDSBDC^BED

精选例题

例如图,CE是平行四边形ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O,CE与DA的延长线交于点E.连接AC,B

E,DO,DO与AC交于点F,则下列结论:①四边形ACBE是菱形;②NACD=NBAE;③AF:BE=2:3;④

S四瞬AFO/SSD=2：3.其中正确的结论有.（填写所有正确结论的序号）.

解析

C是△COE的中线，点F是△CDE的重心，根据上面模型的结

论可以很容易判定结论③④的正确性.

解：四边形ABCD是平行四边形,AB\\CD,AB=CD.

；EC垂直平分AB,.OA=OB=-AB=-DC,CD1CE.

•••CMDC,.•.坐=也=2=±

EDECCD2

•••AE=AD,OE=OC.

•••OA=OBtOE=OC,

四边形ACBE是平行四边形.

■■AB1EC,.•.四边形ACBE是菱形，故结论①正确；

•••Z.DCE=90°,DA=AE,：.AC=AD=AE.

/ACD=NADC=NBAE,故结论②正确;

…「nAFOA1

OACD,・••一=——=

CFCD2

.•.3=喘=［故结论③错误；

ACBE3

设^WOF=a,S0KC=2a,ScDF=4a,S^x=Sw^=3a

S

Smmj15ApeE=4a=6a...SNm够.OESAOXJ=2:3.故结论④正确.

故答案为①②④.

如图，在灰色三角形中，符合重心定理模型，可以较快速得到BE=AC=34F,.•.结论③错误.

根据后面学到的“等（同）底等（同）高的三角形面积相等”模型可快速得到S勿力W：SC°D=^SCDE-.^SCDE=2:3.

精选练习

1.如图，在△力BC中,D,E分别是BC,AC的中点,AD与BE相交于点G若DG=1厕AD=.

A

2.如图，在平行四边形ABCD中，乙4BC的平分线交AC于点E,交AD于点F,交CD的延长线于点G.若AF=2FD,

则力F=2FD,黑的值为().

与旋转中的相似相关的模型

模型“手拉手”相似模型

场景:如图,△OAB,AOCD是非等腰三角形，且△OABs^ocD,/AOB=NCOD=a.

作辅助线方法：连接AC,BD.

结论:(1)△OAC^AOBD;

(2)AC,BD(或它们的延长线)交于点E,则直线AC和BD所成的锐角为a,如图,/AEB=a.

精选例题

例如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,点E,F分别在BC,CD上.若AE=V^,NEAF=45。厕AF的长为.

解析

此题有多种解法，此处只提供“手拉手”相似模型进行讲解，题目有固定的45。角，我们可以考虑围绕这个角和

已知条件构造包含AF边的相似三角形进行求解.

解如图，取BC的中点M,连接AM,延长AD至点N,且DN=DF,连接FN.

BM=AB=2,ZABM=90°,

.♦.△ABM是等腰直角三角形,/AMB=/BAM=45。,同理/N=/NFD=45。.

VZMAE=ZMAB-ZEAB=45°-ZEAB,ZNAF=45°-ZEAB,

/.ZMAE=ZNAF.

/.△AME^AANF.

tAM_EM

"AN-NF'____________

•••BE=7AE2-AB2=Jv52-22=1,

EM=BM-BE=AB-BE=1,

AM=7AB2+BM?=2vx

AN=AD+DN=AD+DF=4+DF,

NF=五DF,

AM_EM

AN-NF'

2A/214

---------——p—•DF=—.

4+DFV2DF3

AF=y/AD2+DF2=

3

精选练习

1.如图，在矩形ABCD中，将乙4BC绕点A按逆时针方向旋转一定角度后，BC的对应边B工'交CD边于点G.连

接BB',CC'.若AD=7,CG=4,AB'=B'G,则/_（结果保留根号）.

2.如图，在四边形ABCD中,AADBC,^ABC=900,AB=2位,AD=2,将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得到

△ABC当44恰好过点D时，△夕CD为等腰三角形.若BB'=2,则AA'=().

4VH5.2V3C.V13D.V14

旦

AB

精选练习

模型一

1.解:设正方形EFGH的边长EF=EH=x.

四边EFGH是正方形，

ZHEF=ZEHG=90°,EF/7BC.

...AAEF^AABC.

•/AD是AABC的高,ZHDA=90°.

Z.四边形EHDN是矩形,，DN=EH=x.

VAAEF-AABC相似三角形对应边上的高的比等于相似比）.

BC=120,AD=60,AN=60-x.

.•.史三=二.解得x=40.

60120

.*.AN=60-x=60-40=20.

故选B.

2.解:由正方形ABCD,可得NBCD=90。,BC=DC.由△BPC是等边三角形，可得/BCP=/BPC=6（T,BC=PC.；.ZD

CP=30°,PC=DC./.CDPC=75°.CBPD=135。,故结论①正确;

由正方形ABCD,可得/CBD=45。,；.ZHBD=135°=ZBPD.VZBDP为公共角,，ABDP^>AHDB成立.故结

论②正确;

如答图L过点Q作QMXBC于点M,反向延长QM交AD于点N,则在RtACMQ中,NBCQ=60。,设CM=x，则

QM=遍北在RtABMQ中,NQBM=45。,则BM=QM=任..•.正方形边长为1,V3x+x=1.x=第.；・MQ=

V3x=萼,NQ=1-MQ=等.DQ-.BQ=NQ-.MQ=冬.•.结论③错误；

答图2

如答图2,过点D作BP的延长线的垂线于点E,由结论①知/BPD=135。,NEPD=45。.PE=DE.设PE=DE=

a,则PB=1,BD=VI.,.在RtABDE中,由勾股定理得（1+a）2+a2=a=匚/.：a>0,a=三星：x

SUDP=亨,故结论④正确.故选D.

3.解如图，连接AD,作EF±BC于点F.共不、

；AB=AC,/BAC=120o,D为BC的中点，

BC

D

；.AD_LBC,AD平分/BAC,/B=NC=30。.在RtAABD中,BD=|fiC=V3,ZB=30。，1AB=BDV3

cos30逅

2

1

2,：.AD=-AB=1.

2

AAEL=-1A4BC,*,•—BE="3.

4AB4

VEF±BC,AD±BC,/.EF〃AD.

•••BCELFL〜BArDx,..E.—F=B——E.

ADAB

EF3尸l3

—=一，・•・EF=

144

c1CCLL1/7T3

•••SWE=-xBDxEF=-xV3x-=—.

wb2248

故选B.

模型二

1.解:•；AE_L1,BF_L1,/ANE=45。，

AANE和4BNF是等腰直角三角形.

/.AE=EN,BF=FN.

.*.EF=15米,FM=2米,MN=8米.

AE=EN=15+2+8=25（米）,BF=FN=2+8=10（米）.

AN=25或,BN=10V2.

/.AB=AN-BN=15&（米）.

如图过点C作CH±1于点H,过点B作PQ〃1交AE于点P,交CH于点Q.

/.AE/7CH.

.••四边形PEHQ和四边形PEFB是矩形.

PE=BF=QH=10,PB=EF=15,BQ=FH.

Zl=Z2,ZAEF=ZCHM=90°,

.,.△AEF^ACHM.

.CH_AE_25_S

''HM~EF_15~3

设MH=3x,CH=5x.

・•・CQ=5x-10,BQ=FH=3X+2.

ZAPB=ZABC=ZCQB=90°,

・•・ZABP+ZPAB=ZABP+ZCBQ=90°.

・•・ZPAB=ZCBQ.

ApPR

・•・APBBQC./.—.

BQCQ

1515,

-----=--------,x=6.

3x+25x—10

BQ=CQ=20.二BC=20V2.

故答案为15V2,20V2.

2.解：分两种情况：

①当点B落在AD边上时，如答图1所示.

:四边形ABCD是矩形，

ZBAD=ZB=90°.答图1

将^ABE沿AE折叠，点B的对应点B落在矩形ABCD的AD边上,

1

.­./.BAE=^B'AE=-^BAD=45°.

2\D

AABE是等腰直角三角形.

•••AB=BE=1,AE=42AB=V2.\

②当点B落在DC边上时，如答图2所示.\yT'

•；四边形ABCD是矩形，B।―Vc

ZBAD=ZB=ZC=ZD=90°,AD=BC=a.答图

...将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B落在矩形ABCD函CD边上，

乙B=UB'E=90°,

AB'=AB=1,BE'=BE=ja.

37

•••CE=BC—BE=a—a=-a,

55

B'D=7AB、-AD2=V1-a2

在4ADB'^QAB'CE中，

^B'AD=AEB'C=90°-AAB'D,

ZD=ZC=90°,

-,.△ADB'^AB'CE.

B'D_ABr日nVl-a2_1

1'•NF=於'即

55

解得a=冬或a=0（舍去）.

BE^-a=—.

55____________

AE=7AB2+BE2=J）+⑥2=季

综上所述，折痕的长为&或厚.

故答案为加或粤.

3.2与比例式相关的模型

精选练习

1.解:过点D作DF〃BE交AC于点F,二黑=器=1.

FCDC

AF

•・•AE=EC,・.・—=3.

EF

ADAF仁

••・一