2024年中考数学复习：与角平分线相关的辅助线模型复习讲义

与角平分线相关的辅助线模型复习讲义

本节重点讲解与角平分线相关的辅助线模型，由于角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴，所以

用“角平分线垂两边”“角平分线截两边”构造全等三角形本质上就是轴对称的实际应用，而用“角平分线+平行线”构造

等腰三角形则体现了平行线的性质.

模型一角平分线+平行线一等腰三角形辅助线模型

场景：如图，P是NMON的平分线上一点.

作辅助线方法:过点P作PQ〃ON,交OM于点Q

结论：APOQ是等腰三角形.

拓展:如图,0C是NAOB的平分线,D是边0A上一点.

作辅助线方法：过点D作DE//OC,交B0的延长线于点E

结论：△DOE是等腰三角形.

应用：有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条

件.角平分线与等腰三角形之间的密切关系，在平行四边形中折叠类的题目中经常有所体现.

模型二角平分线垂两边

场景：如图，P是NMON的平分线上一点，PALOM于点A.

作辅助线方法:过点P作PBLON于点B.

结论：PB=PA.

BN

应用：利用角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形

全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口.

精选例题

例如图,正方形ABCD的边长为4,点E是CD的中点,AF平分NBAE交BC于点F.^AADE绕点A顺时针

旋转90。得4ABG,则CF的长为.

解析

根据AF平分/BAE、△ABG由△ADE旋转90。得至!J,可知/GAB=NEAD,/BAF=NEAF,进而NGAF=NDA

F,即AF是/GAD的角平分线.通过“角平分线垂两边”模型，可以求出△AGF的边AG上的高通过面积法求出GF,

最后通过线段关系即可求出CF.

解如图，作FMXAD于点M,FN，AG于点N,易得四边形CFMD为矩形，则FM=4.

:正方形ABCD的边长为4,点E是CD的中点

；.DE=2.

AE=V42+22=2V5.

•••AADE绕点A顺时针旋转90。得仆ABG,"B

；.AG=AE=2V5,BG=DE=2,Z3=Z4,ZGAE=90°,ZABG=ZD=90°.

而/ABC=90。，

.•.点G在CB的延长线上.

VAF平分/BAE交BC于点F,N1=N2.

/.Z2+Z4=Zl+Z3,gPFA平分NGAD.

.\FN=FM=4.

-AB-GF=-FN-AG,GF==275.

224

.\CF=CG-GF=4+2-2代=6-2强

故答案为6-2V5.

精选练习

1.如图，已知在四边形ABCD43,ZBCD=9O°,BDTOZABC,AB=6,BC=9,CD=4,!0l|E]iJfMBCD的面积是（）.

2.如图.在正方形ABCD中,连接AC,以点A为圆心、适当长为半径画弧.交AB,AC于点M,N,分别以M,N

为圆心、大于MN长的一半为半径画弧，两弧交于点H,连接AH并延长交BC于点E,再分别以A,E为圆心、

以大于AE长的一半为半径画弧，两弧交于点P,Q,作直线PQ,分别交CD,AC,AB于点F,G,L,交CB的延长线

于点K,连接GE,下歹U结论:①/LKB=22.5。，

②GE〃AB,③tan/CGF=KE，④SACGE:SACAB=1:4.其中正确的是（）.

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

模型三角平分线截两边构造对称全等三角形

场景：如图，点P是/MON的平分线上一点，点A是射线ON上任意一点.

作辅助线方法:在0M上截取OB=OA,连接PB.

结论:△OPB^AOPA.

应用：利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等.利用对称

性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧，经常和截长补短法相结合使用.

精选例题

例如图,/B=/C=90。,点M是BC的中点,DM平分/ADC,且/ADC=110。,则/MAB=(

A.300B.35°

C.45°D.60°

解析

由DM平分/ADC,可截取ND=CD,通过证明全等彳导到乙MAB=^DAB.

解法一如答图1,在DA上截取ND=CD.

/CDM=/NDM,DM=DM,

/.ANDM^ACDM.

/.NM=CM,ZDNM=ZDCM=ZANM=90°.

是BC的中点，

答图1

/.BM=CM=NM,

又：AM=AM,

RtANAM丝R3BAM.

i

Z-MAB=4MAN=-/-DAB.

2

・・・AB〃CD.

・•・ZDAB=180°-ZADC=70°,

乙MAB=-^DAB=35°,

故选B.

解法二DM平分NADC,CM±CD,满足角平分线垂两边模型，可作MNLAD于点N,根据平行

线的性质求出乙DAB,,根据角平分线的判定定理得到/-MAB=//MB,计算即可，其图八〃

形与解法一完全相同，只是证明过程不同罢了./\

解法三题目中M是BC的中点,DM平分乙4DC,4B||CD,如答图2,可分别延长AB,/X\\

DM交于点E,得到△4DE是等腰三角形，应用“AAS”证明.△CDM=ABEM,从而证明MA8…%

答图2

也是DE的中点,再应用等腰三角形“三线合一”性质，得NM48计算即可.

解法四题目中M是BC的中点,可以考虑应用倍长中线法，延长DM至点E,使。M=ME,,连接BE,图形

和解法三是一样的，只是证明过程不同，此处略.

精选练习

如图,在△2BC中,AD平分./-BAC,乙B=2".求证：AB+BD=AC.

精选练习

模型一、二

1.解析:如图，过点D作DELBA于点D.

又•/BD平分ZABC,ZBCD=90°,

；.DC=DE=4.

VAB=6,BC=9,

1111

",四边形ABCD~S2+^ABD=-AB-DE+-BC.DC=-x6x4+-x9x4=12+18=30.

2222

故选B.

2.解:①四边形ABCD是正方形,

1

・••/LBAC=-^BAD=45°.

2

由作图可知,AE平分NBAC,

ZBAE=ZCAE=22.5°.

•・・PQ是AE的中垂线,・・・AE，PQ.

JZAOL=90°.

,/ZAOL=ZLBK=90°,ZALO=ZKLB,

/.NLKB=NBAE=22.5。.故①正确；

@VOG是AE的中垂线,；.AG=EG.

乙AEG=Z.EAG=22.5°="IE,；.EG||AB.故②正确；

@VZLAO=ZGAO,ZAOL=ZAOG=90°,

ZALO=ZAGO.

ZCGF=ZAGO,ZBLK=ZALO,

ZCGF=ZBLK.

在RtABKL中，tanzCGF=tan/BLK=些.故③正确；

④如图，连接EL.

AL=AG=EG,EG//AB,

四边形ALEG是菱形.

・•.AL=EL=EG>B