2024年中考数学复习：相似三角形存在性问题复习讲义

相似三角形存在性问题复习讲义

解题策略

相似三角形存在性问题的重点是如何进行分类讨论，采用顶点对应法即可.例如A/IBC与△DEF相似，首先令

A与D对应，则B与E或F对应，C不必考虑，因为两点对应，第三点就确定了（如下图，其他情况图略）；再令

A与E对应，则B与F或D对应；最后令A与F对应，则B与D或E对应，一共就这六种情况.但实际解题过

程中，通常一个对应点是固定的，因此，只有两种对应情况.结合点的运动可能产生更多的情况（视题目再讨论）.

NA=ND，NB=NE

分类讨论的方法的判定角度：

1.讨论角：两个三角形中有一组对应角相等时，讨论一个三角形中的一个角分别与另一个三角形中其他两个角

分别相等的情况,即"AA"判定；

2.讨论边:两个三角形中有一组对应角相等时,讨论这个角的两边分别交换成比例的两种情况，即"SAS"判

定.

解答相似三角形存在性问题的一般步骤：

1.设定主动点的参数坐标（横、纵坐标都用含同一个相同的字母参数的代数式表示），也类似用含同一个字母参

数的代数式表示出从动点的坐标.

2.分类讨论不同的对应点情况，在讨论的过程中排除一些不可能的情况.

3.每确定一次对应点后，利用相似比列出比例式，整理出方程求解，注意排除不符合条件的解.

常见相似模型见第二篇第三章.

模型一单对应

已知二次函数y=x2—2X-3的图象与x轴交于A,B两点（A在左侧，B在右侧）,与y轴交于C点如图，

P为x轴上线段AB上一动点.若△4CPA4BC,,求出此时P点坐标.

思路分析：相似的两个三角形的字母顺序固定，一个三角形已知，另外一个三角形的两点已知（固定），且对应

点也已知（如两个相似三角形中的对应点分别为点A对应点A,点C对应点B）,只需要确定第三个点（动点）为对应

点（点P与点C相对应），这种情况是最简单的，只有单一情况.

模型二多对应1

已知二次函数y=乂2—2x-3的图象与x轴交于A,B两点（A在左侧，B在右侧）,与y轴交于C点如图,

对称轴与x轴交于点E,P为对称轴上一动点，PM平行于x轴，交对称轴右侧抛物线于点乂若△40C与△PME

相似，求出满足条件的点M的横坐标.

思路分析：两个相似的三角形中的一个对应点已知，且其中一个三角形已知（三点固定），另外一个三角形的一

点已知（固定），另外两点不固定，且对应点不确定.

需分类讨论两个动点分别与已知三角形的两个顶点分别对应的情况（或在不同位置），然后利用相似比求解（此处

给出两个图，其余答案略）.

模型三多对应2

如图，已知二次函数y=%2-2%-3的图象与x轴交于A,B两点（A在左侧，B在右侧），与y轴交于点C.

M是y轴正半轴上一点,坐标为（O,m）,N是x轴上一点,坐标为（n,0）.若以A,M,N为顶点的三角形与以B,M,N为

顶点的三角形相似，求出m与n的关系或m,n的值.

思路分析：根据点N在x轴上的不同位置与相似三角形不同的对应关系进行分类讨论.即首先对点N的位置

进行分类讨论，可分为点N在线段AB上、在线段AB的延长线上、在线段AB的反向延长线上三种情况，然后

针对每种情况进行相应的讨论.

两个相似的三角形中各有一个点固定，其余的两点不固定，且对应点不确定.需分类讨论各个顶点分别为对应点

的情况（在实际问题中，通过判定能够确定出至少一对对应点），然后利用相似比求解.

精选例题

例1.如图1,A力。B的三个顶点A,O,B分别落在抛物线=12+枭的图象上，点A的横坐标为-4,点

B的纵坐标为-2.（点A在点B的左侧）

（1）求点A,B的坐标；

2

⑵将△AOB绕点。逆时针旋转90得到AMOB；抛物线F2-.y^ax+bx+4^A两点.已知点M为

抛物线砖的对称轴上一定点，且点4恰好在以OM为直径的圆上，连接OM,A'M,求△。4正的面积；

（3）如图2,延长OB'交抛物线Fz于点C,连接42,在坐标轴上是否存在点D,使得以A,O,D为顶点的三

角形与△。/1C相似?若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.

图1图2

M解析

(1)把x=-4代入抛物线.心的解析式求得v，即得到点A坐标；把丫=-2代入抛物线巳的解析式，解方程并

判断大于-4的解为点B的横坐标；

(2)根据旋转90。的性质(”一线三等角"全等模型)特点可求点A',B，的坐标及(。4的长，用待定系数法求抛

物发展的解析式，进而求得对称轴.设点M的纵坐标为m,则能用m表示AW,OM的长度.因为点.A恰好在

以OM为直径的圆上，即/。4位为圆周角，等于90°,故能根据勾股定理列得关于m的方程，解方程求得m的

值，即求得A'M的长，^OA-A'M即求得△OA血的面积；

(3)求直线OB，的解析式，与抛物线Fz的解析式联立方程组，求解即求得点C的坐标，发现A'与C纵坐标相

同，即A'Cllx轴，故NOA'C=135。.以A,O,D为顶点的三角形要与^OA'C相似，则^AOD必须有一角为135。.因为点A

(-4,-4)得直线OA与x轴夹角为45。,所以点D不能在x轴或y轴的负半轴，在x轴或y轴的正半轴时，刚好有NA

OD=135°.由于NAOD的两夹边对应关系不明确,故需分两种情况进行讨论即AAOD-AOA'C或ADOASAOA'C.每

种情况下由对应边成比例求得OD的长，即得到点D的坐标.

解(1)当x=-4时，y=|x(-4)2+|x(-4)=-4.

.•点A的坐标为(-4,-4).

当y=-2时，|x2+,=-2.

解得Xi=-l,x2=-6.

••点A在点B的左侧，

，点B的坐标为(-1,-2);

(2)如答图1,过点B作BE±x轴于点E,过点B，作B1G±x轴于点G.

.•.zBEO=zOGB'=90°,OE=l,BE=2.

•.•将AAOB绕点O逆时针旋转90。得到AAQB：

.■.OB=OB',zBOB'=90°.

.•.zBOE+zB'OG=zBOE+zOBE=90°.

.'.zB'OG=zOBE.

在AB'OG与AOBE中,

NOGB'=NBEO,

NB,OG=NOBE,

{BO=OB,

.•.△B'OG学OBE(AAS).

.­.OG=BE=2,B'G=OE=1.

■:点B在第四象限,

.•点B的坐标为(2,-1).

同理，可求得点A'的坐标为(4,-4).

OA=OA=V42+42=4V2.

2

..抛物线F2:y=ax+bx+4经过点A',B',

(16a+4b+4=-4,解得k3.

I4。+2b+4=-1,

，抛物线Fz的解析式为y=^x2-3x+4.

二对称轴为直线X=-月=6.

2叼

•.点M在直线x=6上，设M(6,m),

0M2—62+m2,AM2—(6—4)2+(m+4)2=m2+8m+2(.

•.点A在以OM为直径的圆上，

ZOAM=90°0A，2+AM2=OM2.

2

•••(4A/2)+m2+8m+20=36+m2.

解得m=-2,

AM=Vm2+8m+20=-4—16+20=2A/2.

・•.S,=-0A-AM=-x4V2x2V2=8;

axM22

(3)在坐标轴上存在点D,使得以A,O,D为顶点的三角形与△OA'C相似.

•・•点B'的坐标为(2,-1).

，直线OB的解析式为y=~lx.

(_1

■二一产解得2;或｛2二8

y=l2-3x+4.(为一一1(月一一

V4x

:•点C的坐标为(8,-4).

•・•点A，的坐标为(4,-4),.ACIIx轴，AC=4.

NOAC=135ZAOC<45°N4CO<45°

•.点A的坐标为(-4,-4),即直线0A与x轴夹角为45°,

二当点D在x轴负半轴或y轴负半轴时,NAOD=45。,此时SOD

，如答图3、4,点D在x轴正半轴或y轴正半轴时/AOD=4MC=13

①若AAODSAOA'C，则—=—=1.

ACOA

.・.OD=AC=4.

.•点D的坐标为(4,0)或(0,4)

②若ADOASAOA'C,则—=—=—=V2.

OAAC4

OD=迎OA'=8.

.•点D的坐标为(8,0)或(0,8)

综上所述，点D的坐标为(4,0),(8,0),(0,4)或(0,8)时，以A,O,D为顶点的三角形与△OA,C相似.

例2.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=—；/+.+c经过点.4(—2,0),B(8,0).

(1)求抛物线的解析式；

(2)点C是抛物线与y轴的交点，连接BC.设点P是抛物线上在第一象限内的点,PD^BC,垂足为点D.

①是否存在点P,使线段PD的长度最大?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

②当&PDC与/OA相似时，求点P的坐标.

解析

(1)把点A,B点代入y=—；久2+6%+C,应用待定系数法求抛物线的解析式；

4

(2)求PD的最大值，由于P,D点的坐标都不确定，可以考虑“斜化直"，即过点P作x轴的垂线，利用相

似得到.“为定角，利用三角函数，求直角边的最大值就转化为求斜边的最大值.或者利用.△BPC的面积两种求法

建立一个二次函数来解答；

(3)按角((NPCD=NCB。或NPCD=NBCO)讨论相似的情况进行解答.

解⑴把A(-2,0),B(8,0)代入抛物线y=-0得

4+bx+

-l-2b+c=0,解得b=l-

-16+8b+c=0用牛1守

c=4.

1,3,.

，抛物线的解析式为y=--xz7+-%+4;

42

(2)由(1)知点C的坐标为(0,4).

■:点B的坐标为(8,0),

易得直线BC的解析式为y=-|%+4.

①解法一:如答图L过P作PG±x轴于点G,PG交BC于点E,易得4ED=N。①在RbBOC中,0C=4,0B

=8,

•••BC=V42+82=4V5.

在RbPDE中，PD=PE-sinZPED=PE-sin^OCB=gpE,

，当线段PE最长时,PD的长最大.答图1

设点P的坐标为(力_#+|t+4),则点E的坐标为(/?-1+4),

PG=--1tr2+-3t+4,EG=-1-t+4.

422

***PE=PG-EG=(——+—t+4)—(——t+4)

答图2

2

=一?2+2t=-i(t-4)+1(0<t<8).

当t=4时,PE有最大值是4,此时点P的坐标为(4,6).

「「2V5875

PD=—X44=—.

55

即当点P的坐标为(4,6)时，PD的长度最大，最大值是卓.

解法二:如答图2,过P作PGLX轴于点G,PG交BC点E,RbBOC中,(0C=4,0B=8.BC=V42+82=4V5.

易得直线BC的解析式为y=-|%+4.

设点P的坐标为«，-)2+11+4),则点E的坐标为(t，一?+4),

•••PE=PG-EG=(一/+|t+4)-+

=--t2+2t.

4

11

SBPC=：CB-PD=：0B•PE.

•••PD=--t2+-t.

105

当t=4时,PD最大值=W.

即当点P的坐标为(4,6)时，PD的长度最大，最大值是

@-.A(-2,0),B(8,0),C(0,4),

.QA=2,OB=8,OC=4.

AC2=22+42=20.

AB2=(2+8尸=I。。，

BC2=42+82=80.

AC2+BC2=AB2.

.•.zACB=90°.

ACOA*"△BOC.

当WDC与ACOA相似时,就有钟口(：与3(2＜相似.

1•相似三角形的对应角相等，

..NPCD=NCBO或NPCD=NBCO.

(工)若NPCD=NCBO时，即RtAPDORbCOB,此时CPIIOB.

.C(0,4),

•••yP=4.

13

—o-|—t+4=4.

42

解得=6,x2=0(舍去).

即RtAPDCACOB时，点P的坐标为(6,4).

(n)若NPCD=NBCO时，即RtAPDCAPtABOC.

如答图3,过P作x轴的垂线PG,交直线BC于点F.

.'.PFIIOC,

.-.zPFC=zBCO.

.•.zPCD=zPFC.

.■.PC=PF.

设点P的坐标为1，-川+京+4),则PF=-浑+24如图，过P作PN_Ly轴于点N.

在RtWNC中，PC2=PN2+CN2=PF2,n2+(-Jn2+jn+4-4)2=(~；n2+2n^.

解得n=3.

即RtAPDCAPtABOC时，点P的坐标为(3,与)

综上所述，当”DC与AC。力相似时点P的坐标为(6,4)或(3,字).

精选练习

1.如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点，AB=4,交y轴于点C,对称轴是直线.久=1.

(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；

(2)连接BC,E是线段OC上一点,E关于直线.x=1的对称点F正好落在BC上，求点F的坐标；

(3)动点M从点。出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，过M作x轴的垂线交抛物线于点N,交

线段BC于点Q设运动时间为t⑴0)秒.若AAOC与△BMN相似，请直接写出t的值.

备用图1备用图2

2.如图抛物线y=口运+版+2与x轴交于A,B两点，且(。4=20B,,与y轴交于点C,连接BC,抛物

线对称轴为直线%=j,D为第一象限内抛物线上一动点,过点D作DE1。4于点E,与AC交于点F,设点D的

横坐标为m.

Q)求抛物线的解析式；

(2)当线段DF的长度最大时，求点D的坐标;

(3)抛物线上是否存在点D，使得以点0,D,E为顶点的三角形与△BOC相似?若存在，求出m的值；若不

存在，请说明理由.

备用图

精选练习

1.解:⑴：点A,B关于直线x=l对称,AB=4,

点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(3,0).

将A(-l,0),B(3,0)代入y=——++c中，得尸+3^c=：，解得(b=2,

；•抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.

；•点C的坐标为(0,3);

⑵设直线BC的解析式为y=mx+n.

则有f几=3解得=T

；•直线BC的解析式为y=-x+3.

•..点E,F关于直线x=l对称，又点E到对称轴的距离为1,