2024年中考数学复习：反比例函数k的几何意义

反比例函数k的几何意义

模型反比例函数k的几何意义

场景：如图，过双曲线上任意一点P分别作X轴、y轴的垂线PM,PN.

结论:矩形PMON的面积.S=PM-PN=\y\-\x\=|xy|,

证明：y=0.xy=k,；.S=网，即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得的矩形面积为|k|.即过双曲

线y=g(k〉O,k为常数)上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值|k|.

拓展：(l)|k|的绝对值越大，反比例函数的图象离坐标轴越远.

(2)如图,R3ABO的面积为Rt△ABOj|fc|;

(3)如图，RtAACBB的面积为2|k|;

(4)如图，△AMBB的面积为|k|.

例1如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，平行四边形ABCD的近AB在x轴上，顶点D在y轴的正

半轴上，点C在第一象限，将△4。。沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，点B恰好为OE的中点,DE与

BC交于点F若丫=乳上手0)图象经过点C,且S_{\triangleBEF}=1则k的值为.

解析

由平行四边形及翻折的性质，得到△BEF^ACDF,然后根据线段的关系，借助△BEF的面积求出△COD的

面积，即可求出k的值

解如图，连接OC,作FMLAB于点M,延长MF交CD于点N.设BE=a,FM=b，由题意知,OB=BE=a,OA=2a,DC=3

a.

・・.四边形ABCD为平行四边形，

JDC〃AB,・・・ZXBEFsACDF,

ABE:CD=EF:DF=1:3,

・•・NF=3b,OD=FM+FN=4b.

•・•SBEF=L即gab=1,

•••SCD0--CD•OD=-3ax4b—6ab—12,

k—xy—2SCDO~24.

例2.如图，平行于X轴的直线与函数y=勺(七>0,%>0),y=y(七>0,X>0)的图象分别相交于A、B两点，

点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点.若△ABC的面积为4,则任-七的值为.

解析

通过转化的方法，利用△ABC,得到△ABE的面积，再得到矩形ABEF的面积,最后利用反比例函数图象的

性质，可以得到狂-七的值即为矩形ABEF的面积.

解如图，过点B作BE±x轴，垂足为点E；过点A作AF±x轴，垂足为点F；延长AB交y轴于点D.

VAABC与4ABE同底等高,

SABE-^ABC—4

'••四边形ABEF为矩形，

•••S=2SABE=8.

电逆ABEF

棱锥侧k2=S^0EBD'

影：・

：.kx—k2=svI^OFAD-SMOEBD=s»JB/WEF=8

例3.如图,A、B是函数y=苫上两点,P为一动点作PB〃y轴,PA〃x轴.下列说法中，正确的是（）.

BOP

①AOP=BOP-0SA0P=S；③若OA=OB,则OP平分NAOB;④若SB0P=4,则SABP=16.

A.①③B.②③C.②④D.③④

解析

①由点A,B为动点，OP为公共边相等，只需要探究.AP=BP或者0A=0B是否成立即可，如果有一组边

不相等，则两个三角形就不全等，从而可判断①是否正确；

②可以延长BP,AP,利用反比例函数系数k的几何意义和矩形的性质判断；

③在所给的条件下，判断0P为角平分线，结合②的结论，利用面积法和角平分线的判定定理即可确定③是否

正确；

④同②，充分利用反比例函数k的几何意义，求出点P的坐标变化规律，利用三角形面积公式进行解答，即可

判断④的正确性.

解：点P是动点,，BP与AP不一定相等,ABOP与AAOP不一定全等，故①不正确；设点P的坐标为(m,

n).；BP〃y轴,.•.点B的坐标为(若),二BP=\^-n\.

,'1^BOP=^x।嬴—"Ixm--\1"2—mn|.

：PA〃x轴,.•.点A的坐标为AP=

1121

SAOP=-X|--m|xn=-\12-mn\.

*，,^AOP=S^op,故②正确；

或者如答图MOP

1,S=S/10M—SOPM=6—S0PM,

Swop=^WN-Sc=6—S0PN,S0PM=S0PN,

•e,^AOP=S^op,故②正确；

如答图2,过点P作PFLOA于点F,PE1。8于点E.

*，*SMOP=万。/XPF,SBOP=-OBxPE.

SAOP=^NP>>',OBxPE=OAXPE.

VOA=OB,.\PE=PF.

VPE±OB,PF±OA,.\OP是NAOB的平分线，故③正确;如答图1,延长BP交x轴于点N,延长AP交y轴于

点M.

・・.AM±y轴,BN，x轴,，四边形OMPN是矩形.

.・,点A,B在双曲线y=-Jz,^AMO=SBNO=6.

SBOP=4,

•*S&PMC)=S&PNC=2，・・S地形&=4.

,4

.・.mn=4,•••m=-.

n

：.BP—\—n\—|3n-n|=2\n\,AP~\m\=

SAPB-=|X2|n|xe=8,故④错误.

..•正确的有②③.

故选B.

精选练习

1.如图，直线/IX轴于点P且与反比例函数%=B（幻°）及%=£（久〉0）的图象分别交于A,B两点.连接OA,

0B,已知A048的面积为4,则kr-k2=.

2.如图，点A在双曲线y=:上，点B在双曲线y=?上，且力B||x轴，点C,D在x轴上.若四边形ABCD为矩

形，则它的面积为（）.

A.4B.6C.8D.12

3如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，平行四边形0ABC的顶点A在反比例函数y=挪图象上，

顶点B在反比例函数y=:的图象上，点C在x轴的正半轴上，则平行四边形OABC的面积是（）.

4.如图，反比例函数y=£。>0）经过A,B两点，过点A作AC1yy轴于点C,过点B作BD1y轴于点D,过

点B作BE_Lx轴于点E,连接AD.已知AC=1・BE=I,Svw：=4则SAACD=.

5.如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接A

E.若AD平分N04E,,反比例函数y=£（fc）0,x>0）的图象经过AE上的两点A,F,H.AF=£F,AABE的面积为1

8,则k的值为（）.

A.6B.12C.18D.24

精选练习

1.解：•••反比例函数%=?(盼0)及y2=(盼0)的图象均在第一象限内，

:.fci>0,k2>0.

・・・APJ_x轴,

•••S(JNP=5kLs0Hp=-k2.

1

,'1^OAB=^OAP—SOHP=2(自一七)=生

解得七-七=8.

故答案为8.

2.解:过点A作AE±y轴,垂足为E.

•••点A在双曲线y=:上，

四边形AEOD的面积为4.

丁点B在双曲线丫=苫上,且人：8〃*轴，

四边形BEOC的面积为12.

矩形ABCD的面积为12-4=8.

故选C.

3.解:设点A的坐标为(a,b),点B的坐标为(a+m,b).依题意得b=-,b=.•.工=T-化简得m=4a.Vb=V,

aa+maa+m4

；.ab=l.；.S平行四边形QABC=mb=4ab=4xl=4.故选C.

4.解如图，连接AO.由反比例函数k的几何意义可知，SANC=三S可逆=B/-：AC=OD^1.SA0D=打

3

^ACD=^AMx—^AOD=]

5.解如图，连接BD.

・・•四边形ABCD为矩形,AC为对角线,

AAO=OD.

・•・ZODA=ZOAD.

又•・,AD为ZDAE的平分线，

・•・ZOAD=ZEAD.

JZEAD=ZODA,OB//AE.

VSAABE=18,.\SAOAE=18.

设点A的坐标为(a，*

,/AF=EF,点F的纵坐标为

代入反比例函数解析式，可得点F的坐标为(2a,5),

.••点E的坐标为(3a,0).

1ckYc

SOIE='一x3ax—=18.

2a

解得k=12.

故选B.

最后一道选择题、填空题(几何培优篇)

第一章几何规律探究

找规律题(4)——几何

精选练习

1.解:：△OA1A2为等腰直角三角形,(0Ar=1,

•••0A2=V2.

••,△OA2A3为等腰直角三角形，

•••0A3=2=(V2).

VAOA3A4为等腰直角三角形，

3

0Ar=2V2=(V2).

••,△OA4A5为等腰直角三角形，

4

OAZ=4=(V2).

，OA,的长度为((鱼)

故选B.

2.解:由题意得点Ai的坐标为(1,0),点A