高中数学同步讲义（人教B版2019必修四）第23讲 11.2平面的基本事实与推论

②证明四个点在两条相交线上③证明三个点共线④三个不共线的点确定一个平面，证明第四个点在这个平面内【例题4-1】（2023春·全国·高一专题练习）在正方体中，E、F、G、H分别是该点所在棱的中点，则下列图形中E、F、G、H四点共面的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】对于B，证明EH//【详解】对于选项A，如下图，点E、F、H、M确定一个平面，该平面与底面交于FM，而点G不在平面EHMF上，故E、F、G、H四点不共面；对于选项B，连结底面对角线AC，由中位线定理得FG//AC，又EH//AC，则EH//FG，故E、对于选项C，显然E、F、H所确定的平面为正方体的底面，而点G不在该平面内，故E、F、G、H四点不共面；对于选项D，如图，取部分棱的中点，顺次连接，得一个正六边形，即点E、G、H确定的平面，该平面与正方体正面的交线为PQ，而点F不在直线PQ上，故E、F、G、H四点不共面．故选：B【变式4-1】1．（2022·高一课时练习）已知P，Q，R，S是相应长方体或空间四边形的边或对角线的中点，则这四点必定共面的是______．（写序号）【答案】①③④【分析】利用平面的基本性质及推论，逐一检验即可．【详解】①中，∵PR//QS，∴P，Q，②中，PR和QS是异面直线，故四点不共面；③中，∵PS//QR，∴P，Q，④中，∵PQ//RS//BC，∴P，故答案为：①③④变式4-1】2．（2023春·全国·高一专题练习）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，若E，F，G分别为棱BC，CC1A．A，C，O1，D1四点共面 B．D，E，G，C．A，E，F，D1四点共面 D．G，E，O1，【答案】B【分析】根据题意，作图，结合正方体的性质，证明线线平行，可得答案.【详解】因为正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱BC，CC1，B1C1的中点，O1因为E，G，F在平面BCC1B1上，D不在平面BCC1B1上，所以由已知可知EF∥AD1，所以A，E，连接GO2并延长，交A1D1于点H，则H为A1D1的中点，连接HO1，则故选：B.【点睛】变式4-1】3．（2022春·上海浦东新·高一上海师大附中校考期末）如图，在下列四个正方体中，A，B，C，D分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，A，B，C，D四点共面的是（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】根据正方体的性质判断点是否共面，并应用平面的性质画出截面即可判断.【详解】由正方体性质，选项A，B，C中，A，B，C，D四点显然不共面．对于D选项，如下图取E，F为正方体所在棱的中点，依次连接ADCEBF，易知ADCEBF为平面正六边形，所以A，B，C，D四点共面．故选：D【例题4-2】（2022·高一课时练习）已知A、B、C、D、E是空间五个点，且线段CE、AC和BD两两相交，求证：A、B、C、D、E这五个点在同一平面上．【答案】证明见解析【分析】根据基本事实及推论证明即可；【详解】【证明】设CE∩BD=∵CA∩CE=C，∴CA，∵M∈CE，∴M∈∴直线MN即直线BD⊂α，∴B∈∴A，B，C，D，E这五个点在同一平面上．【变式4-2】1.如图，在三棱锥A-BCD中，E，F，G，H，分别为AB，AC，BD，CD的中点.求证E，F，G，H，四点共面.【证明】∶∵E，F，G，H分别为AB，AC，BD，CD的中点，∴EF//BC，GH//BC，由公理4可得EF//GH，六E，F，G，H四点共面.【变式4-2】2．（2022·高一课时练习）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，设A【答案】证明见解析【分析】利用平面基本性质进行判断即可.【详解】【证明】∵A1C∩平面AB∵A1C⊂平面A1BC即点E在平面A1【变式4-2】3.如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：E、C、D1、F四点共面。【证明】如图所示，连接CD1，EF，A1B，因为E，F分别是AB和AA1的中点，所以EF//A1B且EF=12A1B，又因为A1D1BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B//CD1，所以EF//CD1，所以EF与CD1确定一个平面α，所以E，F，C，D1∈α，即E，C，D1，F四点共面.【变式4-2】4．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在三棱锥A−BCD中，作截面PQR，PQ，CB的延长线交于点M，RQ，DB的延长线交于点N，RP，【答案】三点共线，理由见解析【分析】由点共面、面共线可得答案.【详解】M，N，K三点共线．理由如下：因为M、N即在平面BCD内又在平面PRQ内，所以M、N在平面BCD与平面PRQ的交线上，所以MN是平面N、K即在平面BCD内又在平面NKR内，所以N、K在平面BCD与平面NKR的交线上，所以NK是平面又平面NKR与平面PRQ是同一平面，所以MN与NK是同一条直线，即M，N，K三点共线．【变式4-2】5．（2023春·全国·高一专题练习）如图，四边形ABCD和四边形ABEF都是梯形，且BC//AD，BE//FA且BC=12(1)求证：四边形BCHG是平行四边形．(2)C,【答案】(1)证明见解析(2)C,【分析】（1）结合三角形中位线性质可证得GH//BC且（2）由BE//FG，BE=FG可证得四边形BEFG为平行四边形，结合（1）的结论可得CH//EF，【详解】（1）∵G,H分别为FA,FD又BC//AD，BC=12∴四边形BCHG是平行四边形.（2）∵BE//FA，BE=12FA，G为FA中点，∴BE//FG，由（1）知：CH//BG，CH=BG，∴四边形CEFH为平行四边形，∴CE//FH，即CE【变式4-2】6．（2022·全国·高一专题练习）如图，多面体ABCGDEF中，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC//平面DEFG,平面BEF//平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC【答案】B，C，F，G四点共面，证明见解析【分析】要判断四点共面，只要判断三点共面，再证明第四个点在平面上，或者是证明四点在两条平行的直线上，选择后者，进行证明．【详解】【证明】取DG中点P，连接PA，PF，如图示：在梯形EFGD中，FP∥DE且FP＝DE．又AB∥DE且AB＝DE，∴AB∥PF且AB＝PF∴四边形ABFP为平行四边形，∴AP∥BF在梯形ACGD中，AP∥CG，∴BF∥CG，∴B，C，F，G四点共面．◆类型2多线共面【方法总结】基本思路：两条直线确定一个平面，然后证明其它直线在这个平面内【例题4-3】（2023·全国·高一专题练习）已知：l⊂α，D∈α，A∈l，B∈l，【答案】证明见解析【分析】根据平面基本性质，如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内,可证明结论.【详解】∵A同理BD⊂所以直线AD,BD,【变式4-3】1．（2022·高一课时练习）如图，已知A，B，C，D是空间四点，且点A，B，C在同一直线l上，点D不在直线l上．求证：直线AD，BD，CD在同一平面内．【答案】证明过程见解析.【分析】运用平面基本事实进行证明即可.【详解】因为点A，B，C在同一直线l上，点D不在直线l上．所以点A，B，D确定唯一的一个平面，设为α，所以l⊂α，因为C∈l，所以所以AD⊂【变式4-3】2．（2022·高一课时练习）已知a，b，c是空间三条直线，且a∥【答案】证明见解析【分析】根据a//b，可确定一个平面α，再证明【详解】∵a//b，∴设a∩∴A∈∴A∈∴AB⊂α∴∴直线a，【变式4-3】3．（2023·高一课时练习）在正方体ABCD−(1)AA1与(2)点B、C1(3)画出平面ACC1A1与平面BC【答案】(1)是，理由见解析(2)是，理由见解析(3)答案见解析【分析】（1）由两平行直线可确定一平面，可得答案；（2）由不共线三点可确定一平面，可得答案；（3）如图，找到两平面的公共点，公共点连线为平面交线.【详解】（1）是，平行直线确定一平面；（2）是，不在同一直线上三点确定一平面（3）如图，设BD∩AC=O，又C1∈平面BC1D，O∈平面ACC1AC1O⊂平面ACC1A1如图，设CD因O1∈平面ACD1，O1∈平面BDC1，则O1O2⊂平面ACD1，O1O2题型5三线共点【方法总结】基本思路：两条直线交于一点，然后证明交点在其它直线上【例题5】如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：CE、D1F、DA三线共点．【证明】如图，连接EF，CD1,A1B.因为E，F分别是AB，AA1的中点，所以EF//BA1，EF=12A1B,A1BD1C，所以EF//CD1，且EF=12CD1,因为EF//CD1，EF<CD1，所以CE与D1设交点为P，则由P∈CE，CE⊂ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1，又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA，所以P∈直线DA.所以CE，D1F，DA三线共点.、【变式5-1】1.（2023春·全国·高一专题练习）如图，已知平面α,β，且α∩β=l，设在梯形ABCD中，【答案】证明见解析【分析】设AB交CD于点M，再根据若两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，即可得证.【详解】如图，梯形ABCD中，因为AD∕∕所以AB与CD必交于一点，设AB交CD于点M，则M∈又因为AB⊂所以M∈又因为α∩β=所以AB,【变式5-1】2.如图，四面体A-BCD中，E，G分别为BC，AB的中点，【证明】EF，BD交于一点.【证明】连接GH，EF，∵E，G分别为BC，AB的中点，∴EG//AC,EG=12AC,∵F∈CD,H∈DFFC=DHHA=23,因为O∈lEF⊂平面BCD，O∈lGH⊂平面ABD，所以O∈平面BCD∩平面ABD，∵平面BCD∩平面ABD=lBD，由公理2可知EF，GH，BD交于一点.【变式5-1】3.三棱锥A-BCD被一个平面所截，截面经过AB，AD的中点E，F，与底面的边CB，CD交于点G，H，且点G到BD的距离是C到BD的距离的，【证明】HF，GE交于一点Q，且Q，A，C共线.【证明】由平行公理4可知EF//GH.又G点到BD的距离是C点到BD的距离14-,E，F是AB，AD的中点，所以GH=34BD,EF=【变式5-1】4．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1【答案】证明见解析【分析】根据平行关系可判断四边形BCQP为梯形，进而可证梯形的腰交于一点，根据两平面相交，可判断交点在交线上，即可说明三线共点.【详解】如图，连接PQ．由B1P=2PA1，又BC∥∴PQ∥BC，且∴四边形BCQP为梯形，∴直线BP，CQ相交．设交点为R，则R∈BP，又BP⊂平面AA1B1∴R∈平面AA1B1∴R在平面AA1B1B∴直线AA题型6三点共线【方法总结】基本思路：寻找一条特殊线，证明所有点在这条直线上或两点确定一条直线，然后证明其它点在这条直线上【例题6-1】（2023春·全国·高一专题练习）如图所示．ABCD−A1B1C1①A、M、O三点共线；

②A、M、O、A1③A、M、C、O共面；

④B、B1其中正确的序号为_________．【答案】①③【分析】由公理1判断①，由公理2判断②和③，用反证法判断④【详解】连接A1C1，因为O是B平面AB1D1与平面AA1C对于①，M∈CA1,CA1⊂平面AA1对于②③，由①知A，M，O三点共线，所以A，M，O，A1对于④，连接BD，则B,B1,O都在平面BB1D1D上，若M∈平面BB1故答案为：①③【例题6-2】如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．【解析】在正方体AC1中，设平面A1ACC1确定的平面为α，平面BDEF为β.∵Q∈A1C1，∴Q∈α.又Q∈EF，∴Q∈β.则Q是α与β的公共点，同理P是α与β的公共点，∴α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，∴R∈A1C.∴R∈α，且R∈β，则R∈PQ.故P，Q，R三点共线．【变式6-2】1.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线．【证明】如图，连接A1B，CD1，显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1.∴BD1⊂平面A1BCD1.同理BD1⊂平面ABC1D1.∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，∴Q∈平面ABC1D1.又∵A1C⊂平面A1BCD1，∴Q∈平面A1BCD1.∴Q在平面A1BCD1与ABC1D1的交线上，即Q∈BD1，∴B，Q，D1三点共线．【变式6-2】2．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1(1)证明：E、F、D、B四点共面；(2)对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC,(3)证明：BE、DF、CC【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【分析】（1）证明EF//BD，即可说明E、F、D、（2）先证明点O∈面AA1C1C和O∈面BDC1，即点O在面AA1C1C与面（3）延长DF,BE交于G,由于面DCG∩面BCG=CC1【详解】（1）连接EF∵在长方体ABCD∵E、F分别是B1C1和∴E、F、D、B四点共面（2）∵∴A,O∈A∴O∈∵对角线A1C与平面BD∴O∈O在面AA1C1∴M∈面AA1∴面AA1C1C∴O∈即点C1（3）延长DF,BE∵DG⊂∴G∈∵BE⊂∴G∈∵面DCG∩面BCG=∴BE、DF、CC【变式6-2】3．（2023·全国·高一专题练习）如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG:(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据已知条件，可得EF∥BD以及GH∥（2）因为AC是平面ABC和平面ACD的交线，只需证明P点是平面ABC和平面ACD的交点，即可证得P∈【详解】（1）因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥在△BCD中，因为BGGC=DHHC所以EF∥所以E，F，G，H四点共面.（2）因为EG∩FH=由已知可得，E∈AB，G∈BC，所以EG⊂平面ABC，所以P同理P∈FH，FH⊂所以P为平面ABC与平面ADC的一个公共点.又平面ABC∩平面ADC=AC，所以所以P，A，C三点共线.【变式6-2】4．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC(1)C1(2)E、C、D1、F(3)CE、D1F、【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）可证C1、O、M三点在平面ACC1（2）可证EF//（3）设CE与D1F交于一点P，可得P在【详解】（1）∵A1C∩平面BDC1=O又∵A1C⊂平面ACC1∵AC、BD交于点M，∴M∈AC，又AC⊂平面ACC1A1∴M∈平面ACC1A1又C1∈平面ACC1A∴C1、O、M三点在平面ACC1∴C1、O、M（2）连接EF，∵E为AB的中点，F为AA1的中点，∴又∵BC //A1D1∴BA1//（3）∵平面ABCD∩平面AD设CE与D1F交于一点P，则：P∈CE，∴P∈平面ABCD，同理，P∈平面∴P∈平面ABCD∩平面∴直线CE、D1F、题型7截面问题【方法总结】作图原则（1）两点确定一条直线.（2）只有同一个平面的两条直线的才会相交，作出的交点才是实际的交点.（3）如果已知两个不重合平面有一个共公点，则该两个平面的交线必过此公共点.【例题7】（2023·全国·高一专题练习）用一个平面去截一个正方体，截面边数最多有（

）A．5条 B．6条 C．7条 D．8条【答案】B【分析】根据平面及其基本性质，结合图形进行分析判断即可得到答案．【详解】正方体有六个面，用一个平面去截一个正方体，截面的形状可能是：三角形、四边形、五边形、六边形，如图所示，因此截面边数最多有6条．故选：B．【变式7-1】1．（2022·高一课时练习）一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得的截面图形是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由对角线组成的面称为对角面，易得正方体的对角面是一个矩形，而球截面在矩形正中间，与矩形的两条边相切，据此即可判断【详解】由组合体的结构特征可知球与正方体的各面相切，而与各棱相离，所以截面图形中的圆与上下底面的对角线相切，与两侧棱相离，只有B符合故选：B【变式7-1】2．（2023·全国·高一专题练习）如下图所示，在正方体ABCD−A1B1A．三角形

B．矩形 C．正方形 D．菱形【答案】D【分析】根据题意作出截面图形，然后利用正方体的性质求解即可.【详解】分别取BB1,CC如图D1EBF即为过点由题意可知：A1E//GB且所以A1G//EB，又因为GF//B1所以A1D1//GF且A所以D1F//EB，同理又因为EB=BF，所以平行四边形故选：D.【变式7-1】3．（2022·高一单元测试）在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4、BC=3，M、N分别为棱AB、BB1A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形【答案】C【分析】找到截面与长方体的平面的交线，判断为五边形.【详解】如图所示，延长MN、A1B1，使MN∩A∵AB=4、BC=3、∴A1C1∵M、N分别为棱AB、BB∴BM=∴A1∵A1TC1D1=∴T、P、D1三点共线，∴D延长NM、A1A，使NM∩A1∴Q在截面上，连接QM、KM，∵AQ//A∴AK=12AA1，∴AK//又M为AB中点，A、B、M三点共线，∴M、N、K三点共线，∴截面为五边形D1故选：C．【变式7-1】4．（多选）（2023春·全国·高一专题练习）如图，在正方体ABCD−A1B1C1A．l过点BB．l不一定过点BC．DP的延长线与D1D．DQ的延长线与D1【答案】BC【分析】连接PB1、DB1，在正方体中可得四边形DPB1Q是平行四边形，由点共面得点共线可判断AB；DP的延长线与D由点共面得点共线可判断CD.【详解】连接PB1、QB1，在正方体连接CN，则DP//所以四边形DPB1Q是平行四边形，B1∈平面DP所以B1如图DP的延长线与D1A1的延长线的交点F，DQ的延长线与D因为DF⊂平面DPB1Q，所以因为D1A1⊂平面A1B1因为DQ⊂平面DPB1Q，所以因为D1C1⊂平面A1B1故C错误，D正确.故选：BC.【变式7-1】5．（多选）（2023·全国·高一专题练习）如图，在所有棱长均为2的正三棱柱ABC−A1B1C1中，点M是棱BC的中点，CNA．当λ=12时，α截正三棱柱B．当λ=1时，α截正三棱柱ABC−C．α截正三棱柱ABC−A1BD．若λ∈(12,1)，则【答案】ABD【分析】利用平面的基本性质画出不同λ对应的截面图形，结合已知求它们的面积判断各选项正误.【详解】A：λ=12时，过B作与面AMN平行的平面α，如下图面BD所以BD=DC1=5,B：λ=1时，过B作与面AMN平行的平面α，如下图面BEA1所以BA1=22,EAC：由B知：λ=1时，平面α与ABCD：若G为CC1中点，当N在GC利用平面的基本性质画出平面α与ABC−结合上述分析：G→故选：ABD题型8计算相关问题【例题8】（2022·全国·高一假期作业）在棱长为2的正方体ABCD−A1B1A．92 B．94 C．95【答案】B【分析】首先作出截面，再求截面面积.【详解】如图，取AA1的中点N，连接MN，NB，四边形BC1MN即过C1，B，M三点的截面，此截面为等腰梯形，上底NM=1所以梯形的面积S=故选：B【变式8-1】1．（2021·高一课时练习）在四棱锥P-ABCD中，AD//BC，AD=2A．1 B．32 C．2 【答案】C【解析】首先通过延长直线DC,AB，交于点G，平面BAE变为GAE，连结PG，EG交于点F，再根据三角形中线的性质，求【详解】延长DC,AB，交于点G，连结PG，EG交PC于点∵AD//BC，且AD=2BC又∵点E是PD的中点，∴PC和GE是△∴点F是重心，得PFFC故选：C【点睛】关键点点睛：本题的关键是找到PC与平面BAE的交点，即将平面BAE转化为平面GAE是关键.【变式8-1】2．（2020春·湖北武汉·高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为棱AB，AA．32 B．C．1 D．2【答案】B【分析】分别取BC,AA1,CC【详解】分别取BC,AA1容易得出FG//EH,且FG即经过E，F，G三点的截面图形为正六边形EHNGFM连接MN,EG因为MN=AC则截面图形的面积为(故选：B【点睛】本题主要考查了由平面的基本性质作截面图形以及相关计算，属于中档题.【变式8-1】3．（多选）（2023春·全国·高一专题练习）已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，2AA1=3AB=12，点M是线段BA．10+82 B．10+72 C．9+82【答案】ACD【分析】先证明截面四边形A1【