2025年仁爱科普版高一数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年仁爱科普版高一数学上册月考试卷984考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、已知中，则角的取值范围是（）A.B.C.D.2、【题文】（2）已知集合则（）A.B.C.D.3、【题文】设集合则满足的集合的个数是（）A.1B.3C.4D.84、【题文】设是周期为2的奇函数，当时，则=A.B.C.D.5、若a=ln2，b=log3c=20.6，则a，b，c的大小关系为（）A.a＜b＜cB.c＜b＜aC.c＜a＜bD.b＜a＜c评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)6、点P（x，y）满足约束条件目标函数z=2x+y+10的最小值是____．7、圆x2-4x+y2-21=0的半径为____．8、从中任意取出两个不同的数，其和为3的概率是________．9、关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：①若a·b＝a·c，则b＝c；②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝－3；③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°．其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)10、已知点A(－1,0)，B(1,3)，向量＝(2k－1,2)，若⊥则实数k=。11、【题文】已知函数且为奇函数，则____．12、【题文】若的值在两个连续整数与之间，则=____．13、若cos(娄脕+娄脗)=15cos(娄脕鈭�娄脗)=35

则tan娄脕tan娄脗=

______．14、不等式鈭�6x2鈭�x+2鈮�0

的解集是______．评卷人得分三、证明题(共6题，共12分)15、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．16、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．17、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．18、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．19、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．20、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．评卷人得分四、解答题(共3题，共18分)21、已知函数．

（1）判断该函数在区间（2；+∞）上的单调性，并给出证明；

（2）求该函数在区间[3；6]上的最大值和最小值．

22、某桶装水经营部每天的房租；人员工资等固定成本为200元；每桶水的进价是5元．当销售单价为6元时，日均销售量为480桶，且销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶．那么，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？

23、（本小题满分8分）一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°相距20里处，随后货轮按北偏西30°的方向航行，半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏东45°，求货轮的速度。评卷人得分五、作图题(共3题，共12分)24、作出函数y=的图象．25、某潜艇为躲避反潜飞机的侦查，紧急下潜50m后，又以15km/h的速度，沿北偏东45°前行5min，又以10km/h的速度，沿北偏东60°前行8min，最后摆脱了反潜飞机的侦查．试画出潜艇整个过程的位移示意图．26、已知简单组合体如图；试画出它的三视图（尺寸不做严格要求）

评卷人得分六、综合题(共2题，共12分)27、（2012•镇海区校级自主招生）如图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，则通过A，B，C三点的拋物线对应的函数关系式是____．28、已知函数y1=px+q和y2=ax2+bx+c的图象交于A（1，-1）和B（3，1）两点，抛物线y2与x轴交点的横坐标为x1，x2，且|x1-x2|=2．

（1）求这两个函数的解析式；

（2）设y2与y轴交点为C，求△ABC的面积．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、C【分析】【解析】试题分析：知道两边求角的范围；余弦定理得到角和第三边的关系，而第三边根据三角形的构成条件是有范围的，这样转化到角的范围．【解析】

利用余弦定理得：4=c2+8-4ccosA，即c2-4ccosA+4=0，∴△=32cos2A-16≥0，∵A为锐角，的取值范围是故选D.考点：解三角形【解析】【答案】C2、B【分析】【解析】

试题分析：

考点：解不等式,集合交集的运算.【解析】【答案】B3、C【分析】【解析】

试题分析：因为所以故选C.

考点：并集及其运算；集合的包含关系判断及应用。

点评：此题考查了并集及其运算，以及集合的包含关系判断及应用，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．【解析】【答案】C4、A【分析】【解析】故选A【解析】【答案】A5、D【分析】解：∵0=ln1＜a=ln2＜lne=1；

b=log3＜log31=0；

c=20.6＞20=1；

∴b＜a＜c．

故选：D．

利用指数函数和对数函数的单调性求解．

本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要注意函数的性质的合理运用．【解析】【答案】D二、填空题(共9题，共18分)6、略

【分析】

因为由题意可知点P（x，y）满足约束条件件即可以作图可知；

当目标函数z=2x+y+10过的交点（3；2）时，目标函数取得最小值为18；

故答案为：18．

【解析】【答案】解决该试题的关键是先作出不等式组表示的可行域；结合目标函数中z的几何意义可求z取得最小值的位置，即可求解．

7、略

【分析】

圆x2-4x+y2-21=0化为标准方程为（x-2）2+y2=25

∴圆的半径为5

故答案为：5

【解析】【答案】将一般方程化为标准方程；即可得到圆的半径．

8、略

【分析】【解析】试题分析：根据题意，由于从中任意取出两个不同的数，所有的情况有种，那么可知和为3的情况为1+2=0+3,有两种，那么可知概率为故可知答案为考点：古典概型概率【解析】【答案】9、略

【分析】试题分析：①向量的乘积不同于数的乘积，若向量是零向量，b与c就不一定相等；②向量平行，则横纵坐标的对应比是相等的，通过计算②是正确的；③当|a|＝|b|＝|a－b|时，这三个向量平移后构成一个等边三角形，a＋b是这个等边三角形一条角平分线，故③错误．考点：本题考查两个向量的数量积公式，两个向量加减法的几何意义，以及共线向量的坐标特点.【解析】【答案】②10、略

【分析】易求=（2，3）,∵⊥∴解得K=-1【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】

试题分析：因为，函数为奇函数；

所以，应满足整理得，

考点：函数的奇偶性。

点评：简单题，函数的奇偶性，要注意定义域关于原点对称，进一步研究的关系。【解析】【答案】12、略

【分析】【解析】

试题分析：因为

考点：本小题主要考查数的大小的比较.

点评：解决本小题的关键在于估计出2013大约是谁的平方，再验证即可.【解析】【答案】4413、略

【分析】解：由已知cos(娄脕+娄脗)=cos娄脕cos娄脗鈭�sin娄脕sin娄脗=15

cos(娄脕鈭�娄脗)=cos娄脕cos娄脗+sin娄脕sin娄脗=35

隆脿cos娄脕cos娄脗=25sin娄脕sin娄脗=15

隆脿tan娄脕tan娄脗=sin娄脕sin娄脗cos伪cos尾=1525=12

故应填12

先由两角和与差的公式展开；得到娄脕娄脗

的正余弦的方程组，两者联立解出两角正弦的积与两角余弦的积，再由商数关系求出两角正切的乘积．

考查两角和与差的余弦公式及商数关系.

属于三角恒等变换中的求值题，做此题时要注意观察怎么样用已有条件组合出问题的答案．【解析】12

14、略

【分析】解：方程鈭�6x2鈭�x+2=0

的实数根是。

x1=12x2=鈭�23

隆脿

不等式鈭�6x2鈭�x+2鈮�0

的解集是。

{x|x鈮�12

或x鈮�鈭�23}.

故答案为：{x|x鈮�12

或x鈮�鈭�23}.

先求出方程鈭�6x2鈭�x+2=0

的实数根；结合二次函数图象，写出不等式鈭�6x2鈭�x+2鈮�0

的解集．

本题考查了求一元二次不等式的解集的问题，按照解一元二次不等式的基本步骤解答即可，是基础题．【解析】{x|x鈮�12

或x鈮�鈭�23}

三、证明题(共6题，共12分)15、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．16、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=17、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）连接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可证得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．18、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．19、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=20、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中点；

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE；

∴5ED2=AF•AE；

∴AB•ED=AF•AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．四、解答题(共3题，共18分)21、略

【分析】

（1）任设两个变量2＜x1＜x2，则

因为2＜x1＜x2，所以x2-x1＞0，（x1-2）（x2-2）＞0，所以f（x1）-f（x2）＞0，f（x1）＞f（x2）．

所以函数在区间（2；+∞）上的单调递减，是减函数．

（2）因为函数在区间[3；6]上的单调递减，所以函数的最大值为f（3）=3．

最小值为f（6）=．

【解析】【答案】（1）利用函数单调性的定义证明函数的单调性．（2）利用函数的单调性求函数的最值．

22、略

【分析】

设定价在进价的基础上增加x元；日销售利润为y元，则。

y=x[480-40（x-1）]-200；

由于x＞0；且520-40x＞0，所以，0＜x＜13；

即y=-40x2+520x-200；0＜x＜13．

所以，当时；y取最大值．

答：当销售单价定位11.5元时；经营部可获得最大利润．

【解析】【答案】若设定价在进价的基础上增加x元；日销售利润为y元，则y=x[480-40（x-1）]-200，其中0＜x＜13，整理函数y，可得x取何值时，y有最大值，即获得最大利润．

23、略

【分析】

如图所示，∠SMN=15°+30°=45°，∠SNM=180°－45°－30°=105°∴∠NSM=180°－45°－105°=30°答：货轮的速度为里/小时【解析】略【解析】【答案】