2024年山东省济南市中区九年级中考数学一模考试试题（含答案）

九年级学业水平质量检测市中区教研室编著数学试题

第1卷（选择题共40分）

一.选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

1.下列几何体中，俯视图是三角形的是（）

2.据有关部门统计，2023年春节假期期间，济南累计接待游客4705000人次，将数字4705000

用科学记数法表示为（）

A.4.705x10B.0.4705x10C.4.705x10D.47.05x10

3.如图，直线分别与直线1交于点A、B,把一块含30〃角的三角尺按如图所示的位置

摆放，若Nl=50°,则N2的度数是（）

A.130°B.100°C.90°D.70°

第3题图）第4题图）

4.已知有理数。在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式成立的是（）

A.a+b>0B.a+2>b+2C.-2a>-2bD.mb>0

5.中国传统纹样产生于人民，寄寓着花好月圆的愿景，寄托着平安康乐的期盼，以下四届传

统纹样中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

6.下列运算正确的是()

-=

A.a2+2a2=3a4B.(2a)3=8a6C.as,Q,2=EL6D.(ah?)a2—b2

7.若点4（Ty）,B（2,n）,C（4,y）在反比例函数y=_（k〉0的图象上，则y2,少的大小关系

是（）

人.%>丫3>丫］B.%>丫2>丫］C,^>y2>y3Dy-1>y3>Y2

8.学校举办〃校园好声音〃比赛，决定从两名男生和两名女生中选出荫名同学担任校艺术节文

艺演出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是（）

A._B—C-D._

9.如图，在4ABC中，AB=AC,ZB=36°,分别以点A、C为圆心，大于一AC的长为半径作弧，

两弧相交于点D、E,作直线DE分别交AC、BC于点F、G.以G为圆心，GC长为半径作弧,

1

交BC于点H,连结AG、AH,则下列说法错误的是（)

A.AG=CGB.AH=2FGC.ZB=ZHABD.A=V；1"-1

,△

10.定义：平面内任意两点P（X],X）,Q（x0,yj,dpQ=-]+|-除为这两点之间的曼

哈顿距离，例如p（l,2）,Q（3,-4）,d=1-l+l-1=1-|+l-（-）1，若点A

rpy

为抛物线y=x2上的动点，点B为直线==x+b上的动点，并且抛物线与直线没有交点，MR的

AD

最小值为1,则b的值为（）

A.———B.———C.-1D•———

第I瑙（非选择题共no分）

二填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）

11.因式分解：a2+8a+16=o

12.在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次

试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，由此估计袋子中黄球有个。

13.代数式一与代数式——的值相等，则*=

+----------

14.如图，正五边形ABCDE的边长为2.以CD为边作正方形CDFG,以C为圆心，长度2为

半径作弧BG,则图中阴影部分的面积为（结果保留n）.

第14题图）（第15题图）（第16题图）

15.A、B两地相距60km,甲、乙两人骑车分别从、B两地同时出发，相向而行，匀速行驶，

乙在途中休息了0.5h后按原速度继续前进，两人到人地的距离s（km）和时间t（h的关系如图

所示，则出发h后，两人相遇.

16.如图，在平行四边形ABCD中，NB=60°,AD=2AB=4,E、F分别为边AD、BC上两点，

连结EF,将平行四边形ABCD沿EF翻折，A、B对应点分别为A'、B’,点C在直线A'Hh,

且AE±AD.贝UAE=.

三.解答题（本大题共10个小题,共86分，解答题请写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17.(本小题满分6分)计算：\「-2cos60+0-1+(-2024^.

2

(+)2+①

18.（本小题满分6分）解不等式组一②,并写出的所有整数解。

19.（本小题满分6分）如图，菱形ABCD中，点E、F分别在边CD、AD上，AF=CE,求证:

AE=CF.

20.（本小题满分8分）某停车场入口〃曲臂直杆道闸〃在工作时，一曲臀杆0A绕点0匀速旋

转，另一曲臂杆AB始终保持与地面平行，如图1,是曲臂直杆道用关闭时的示意图，此时

0、A、B在一条直线上，已知闸机高度CD为1.2m,0A=AB=l.5m,0D=0.2m.入口宽度为

3m.

（1如图2,因机器故障，曲臂杆0A最多可旋转72°,求此时点A到地面的距离：

（2施（1）的条件下，一辆宽为2.58m、高为2.2m的货车可否顺利通过入口？请说明理由,

（参考数据：sin72/0.95,cos72^0.3,tan7223,结果精确到0.1m）

3

21.(本小题满分8分)2023年10月26日11时14分，神舟十七号载人飞船成功发射。中

国载人航天与空间站建设迎来全新的发展阶段，为了弘扬航天精神，某中学开展了航天知识

竞答活动，学校随机抽取了七年级的部分同学的成绩进行整理，数据分成五组，A组：

50Wx〈60组：60WxW7箍70Wx〈80:翔：80Wx〈90组：90WxWL0(E知C组的数据为:

70,71,72,72,72,74,75,76,76,77,77,79。根据以上数据，我们绘制了频数分布

直方图和扇形统计图.

根据以上信息，解答下列问题：

(1球次随机抽查名同学，并补全频数分布直方图：

(2漏形统计图中，人组所在扇形的圆心角为度：

(3岫取的七年级的部分同学的成绩的中位数是一分：

(4骇校要对成绩为E组的学生进行奖励，按成绩队高分到低分设一、二等奖，并且一、二等

奖的人数比例为2:8请你估计该校1500名学生中获得一等奖的学生人数.

22.(本小题满分8分)如图，4ABC是0的内接三角形，过点C作0的切线交BA的延长

线于点F,AE是0的直径，连接EC.

(1求证：ZACF=ZE:

(2盾FC=4,FM=2,求AB的长度。

4

23、(本小题满分10分)〃双减〃政策受到各地教育部门的积极响应，学校为增加学生的课外

活动实践，现决定增购两种体育器材购买3件A种器材、4件B种器材需要180元，购买4

件A种器材、3件B种器材需要170元.

(1购买一件A种器材和一件B种器各需要多少元？

(2冷年计划购买A、B两种体育器材共40件，且人种器材的数量不超过B种器材数量的3倍,

那么购买人种器材和B种器材各多少件时花费最少？最少花费为多少元？

24.(本小题满分10分)如图1,直线y「ax+4经过点A⑵0),交反比例函数丫2=-的图象于

点B(Tm),点P为第二象限内反比例函数图象上的一个动点。

(1求反比例函数丫2=-的表达式：

(2过点P作PC〃x轴交直线AB于点C,连接AP、BP,若4ACP的面积是ABPC面积的2倍,

请求出点P坐标：

(3坪面上任意一点Q(x,y),沿射线BA方向平移一个单位长度得到点Q，，点Q，恰好在反比

例函数丫2=-的图象上：

①请写出Q'点纵坐gy关于Q'点横坐标x的函数关系式__________.

②定义min(a,b)=［卷；,则函数Y=min(y『y3)的最大值为______________.

图】备用图

25.(本小题满分12分)如图1,抢物线C:y==x2+bx+c与x轴交于点A(3,0)和点B.与y轴

5

交于点C(0,3).

(1求抛物线C表达式：

(2建结AC,点D为抛物线J在第一象限部分上的点，作ED〃x轴交AC于点E,若DE=1,

求D点的横坐标：

(3如图3,将抛物线q平移，使得其顶点与原点重合，得到抛物线C2：过点F(Q乍不与x

轴平行的直线交C2于M、N两点，在y轴正半轴上是否存在点P,满足对任意的M、N都有

直线PM和PN关于y轴对称？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由

26.(本小题满分12分)实践与探究

【问题情境】

(1)①如图1,RtAABC,ZB=90°,ZA=60°,D、E分另ij为边AB、AC上的点，DE〃BC,

且BC=2DE.则一=。

②如图2,将①中的4ADE烧点A顺时针旋转30°,则DE、BC所在直线较小夹角的度数为

【探究实践】

(2如图3,矩形ABCD、AB=2,AD=2,E为边AD上的动点，F为边BC上的动点。BF=2AE,

连结EF,作BHLEF于H点，连结CH,CH的长度最小时，求BH的长。

【拓展应用】

(3汝口图4.R^ABC,ZACB=90°,ZCAB=60,AC=—,D为AB中点，连结CD,E、F分别为

线段BD、CD上的动点，且DF=2BE,请直接写出AF+」_EF的最小值.

答案

—.选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的)

6

1.下列几何体中，俯视图是三角形的是（D）

2.据有关部门统计，2023年春节假期期间，济南累计接待游客4705000人次，将数字4705000

用科学记数法表示为（C）

A.4.705x1©B.0.4705x10C.4.705x10D.47.05x10

3.如图，直线分别与直线1交于点A、B,把一块含30〃角的三角尺按如图所示的位置

摆放，若Nl=50°,则N2的度数是（B）

A.130°B.100°C.9（TD.70°

第3题图）第4题图）

4.已知有理数。在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式成立的是（C）

A.a+b>0B.a+2>b+2C.-2a>-2bD.mb>0

5.中国传统纹样产生于人民，寄寓着花好月圆的愿景，寄托着平安康乐的期盼，以下四届传

统纹样中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（A）

6.下列运算正确的是(B)

A.az+2a2=3a4B.(2a)3=8a6C.as•a2=a6D.(a-盼a2—b2

7.若点4（Ty）,B（2,n）,C（4,y）在反比例函数y=_（k>0的图象上，则y2,的大小关系

是（A）

A>：>

-^y3y1B.%>丫2>丫］c,^>y2>y3Dy-X>y3>y2

8.学校举办〃校园好声音〃比赛，决定从两名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文

艺演出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是（c）

A.-B.—C-D._

9.如图，在4ABC中，AB=AC,ZB=36°,分别以点A、C为圆心，大于一AC的长为半径作弧，

两弧相交于点D、E,作直线DE分别交AC、BC于点F、G.以G为圆心，GC长为半径作弧,

交BC于点H,连结AG、AH,则下列说法错误的是（D）

7

F

DH

A.AG=CGB.AH=2FGC.ZB=ZHABD,^_=、「一1

V

10.定义：平面内任意两点P（X],y）,Q（x2,y”dpQ=11+1-麻为这两点之间的曼

哈顿距离，例如P（l,2）,Q（3,-4）,dp=1-l+l-t|-|+l-（-）I-若点A

为抛物线y=x2上的动点，点B为直线==x+b上的动点，并且抛物线与直线没有交点，（1朋的

AD

最小值为1,则b的值为（D）

A.——B.———C.-1D."——

第I用（非选择题共110分）

二填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）

11.因式分解：a2+8a+16=（a+4%。

12.在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个,这些球除颜色外都相同，小明通过多次

试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，由此估计袋子中黄球有15个。

13.代数式一与代数式——的值相等，则*=20

+——-----------

14.如图，正五边形ABCDE的边长为2.以CD为边作正方形CDFG,以C为圆心，长度2为

半径作弧BG,则图中阴影部分的面积为二（结果保留n）.

----------5.------------

第14题图）（第15题图）（第16题图）

15.A、B两地相距60km,甲、乙两人骑车分别从、B两地同时出发，相向而行，匀速行驶，

乙在途中休息了0.5h后按原速度继续前进，两人到人地的距离s（km）和时间t（h的关系如图

所示，则出发2.1h后,两人相遇.

16.如图，在平行四边形ABCD中，NB=60°,AD=2AB=4,E、F分别为边AD、BC上两点，

连结EF,将平行四边形ABCD沿EF翻折，A、B对应点分别为A'、B’,点C在直线A'Hh,

且AE_LAD.则AE=3、0一3

三.解答题（本大题正五个小题，共86分,解答题请写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17.（本小题满分6分）计算：\「-2cos60+0-1+（-2024^.

=2-2Xl+3+l

2

8

=5

1（+）2+①

18.（本小题满分6分）解不等式组、—②,并写出的所有整数解。

解不等式①得：x<l

解不等式②得：x>-2

所以不等式组的解集是：-2〈xWl

则不等式组的整数解是：T、0、1.

19.（本小题满分6分）如图，菱形ABCD中，点E、F分别在边CD、AD上，AF=CE,求证:

AE=CF.

证明：•.•四边形ABCD是菱形,

.\AD=CD

又：AF=CE

AAD-AF=CD-CE

.\DF=DE

祖\ADE和女DF中

):Z

AADE^ACDF(SAS)

.\AE=CF

20.（本小题满分8分）某停车场入口〃曲臂直杆道闸〃在工作时，一曲臀杆0A绕点0匀速旋

转，另一曲臂杆AB始终保持与地面平行，如图1,是曲臂直杆道用关闭时的示意图，此时

0、A、B在一条直线上，已知闸机高度CD为1.2m,0A=AB=l,5m,0D=0.2m.入口宽度为

3m.

9

(1如图2,因机器故障，曲臂杆0A最多可旋转72°,求此时点A到地面的距离：

(2施(1)的条件下，一辆宽为2.58m、高为2.2m的货车可否顺利通过入口？请说明理由,

(参考数据:sin72/0.考，cos72^0.3,tan72-3,结果精确到0.1m)

(1)过点A作AF1CE于点F,过点0作0G±AF于点G,如图

C尸图2

由题意得：oc=l.2-0.2=lm,0A=l.5m,ZA0G=72°

VAF1CE,0C±CE,0G±AF

四边形OCFG为矩形，FG=0C=lm

在Rt^AOG中，ZA0G=72°

.\AG=0A-sin72^1.5x0.95=1.425(m)

...点A到地面的距离AF=AG+FG^2.4m.

(2H辆宽为2.58m、高为2.2m的货车可顺利通过门口.理由:

当货车靠右侧行驶，则车身到闸机的距离CN=3-2.58=0.42m

作MN±CE,交A0于M,作OH±MN

又：0c±CE

...四边形OCNH为矩形

在RtADHM中，ZM0H=72°,CN=OH=O.42m

MH=0H•tan72°=0.42x3^1.26m

MN=MH+HN=1+1.26=2.26m—2.3m〉货车高度2.2m

综上，一辆宽为2.58m、高为2.2m的货车可顺利通过门口。

21.(本小题满分8分)2023年10月26日H时14分，神舟十七号载人飞船成功发射。中

国载人航天与空间站建设迎来全新的发展阶段，为了弘扬航天精神，某中学开展了航天知识

10

竞答活动，学校随机抽取了七年级的部分同学的成绩进行整理，数据分成五组，A组：

50Wx〈60组：60WxW70组:：70Wx〈80:组：80Wx〈90;期：90WxW100已知C组的数据为:

70,71,72,72,72,74,75,76,76,77,77,79。根据以上数据，我们绘制了频数分布

直方图和扇形统计图.

根据以上信息，解答下列问题：

(1球次随机抽查名同学，并补全频数分布直方图：

(2漏形统计图中，人组所在扇形的圆心角为度：

(3岫取的七年级的部分同学的成绩的中位数是一分：

(4骇校要对成绩为E组的学生进行奖励，按成绩仄高分到低分设一、二等奖，并且一、二等

奖的人数比例为2:&请你估计该校1500名学生中获得一等奖的学生人数.

解：(1球次随机抽查的学生人数是50

B组人数为50x20%=10(人)，或50-5-12-15-8-10人)

补全图形如下：

(2漏形统计图中，A组所在扇形的圆心角度数为360°xA=36°

50

故答案为：36

(3岫取的七年级的部分同学的成绩的中位数是77分

(4)1500xx228=48(人)，

答：估计该校1500名学生中获得一等奖的学生人数为48人.

22.(本小题满分8分)如图，4ABC是0的内接三角形，过点C作0的切线交BA的延长

线于点F,AE是0的直径，连接EC.

11

(1成证：ZACF=ZE:

(2盾FC=4,FM=2,求AB的长度。

(1)：CF是0的切线,

Z0CF=90°

ZOCA+ZACF=90°

,?OE=OC

ZE=ZOCE

VAE是0的直径

ZACE=90°

ZOCA+Z0CE=90°

ZACF=ZOCE=ZE

(2)•.,弧AC=MAC

ZB=ZE=ZACF

ZF=ZF

△ACFS/XCBF

VAF=2,CF=4

.\BF=8

.\AB=8-2=6

23、(本小题满分10分)〃双减〃政策受到各地教育部门的积极响应，学校为增加学生的课外

活动实践，现决定增购两种体育器材购买3件A种器材、4件B种器材需要180元，购买4

件A种器材、3件B种器材需要170元.

(1购买一件A种器材和一件B种器各需要多少元？

(2冷年计划购买A、B两种体育器材共40件，且人种器材的数量不超过B种器材数量的3倍,

那么购买人种器材和B种器材各多少件时花费最少？最少花费为多少元？

好：(1股购买一件A郎器材需要x元，购买一件B种器材需要y元

1+4=180解得1=2。

答：设购买一件A种器材需要20元，购买一件B种器材需要30元。

(2股购买A种器材a件，则购买B种器材(40-a)件，总费用为w元。

由题意得：aW3(40-a)

解得：aW30

由题意得：w=20a+30(40-a)=-10a+1200

12

V-10<0

Aw随a的增大而减小，

当a=30时，w的值最小，w最小=-10x30+1200=900

答：购买A种器材30件，购萋、B种器材10件时花费最少，最少花费为900元。

24.(本小题满分10分)如图1,直线y「ax+4经过点A⑵0),交反比例函数y?=-的图象于

点B(Tm),点P为第二象限内反比例函数图象上的一个动点。

(1求反比例函数丫2=-的表达式：

(2过点P作PC〃x轴交直线AB于点C,连接AP、BP,若4ACP的面积是ABPC面积的2倍,

请求出点P坐标：

(3坪面上任意一点Q(x,y),沿射线BA方向平移\厂个单位长度得到点Q"点Q，恰好在反比

例函数丫2一的图象上：

①请写出Q'点纵坐,y关于Q'点横坐标x的函数关系式.

②定义min(a,b)=，则函数Y=min(y『y3)的最大值为_______________.

解：(1聘点A的坐标代入直线的表达式得：0=2a+4

解得：a=-2,

则一次函数的表达式为：y=-2x+4

当x=T时，y=-2x+4=6=m,即点B(T6)

将点B的坐标代入反比例函数表达式得：k=Tx6=-6M反比例函数的表达式为：丫2=管

(2当点P在点B下方时

,/AACP的面积是ZiBPC面积的2倍

则yc=4

当y=4=--

解得:x=1

13

则点P(-34)

当点P在点B上方时

,/AACP的面积是Z^PC面积的2倍

则yc=12

当y=12="

解得：x-

2

则点P(工,12)

2

(3)①%=-q+2②8

25.(本小题满分12分)如图1,抢物线C:y==x2+bx+c与x轴交于点A(3,0)和点B.与y轴

交于点C(0,3).

(1求抛物线C表达式：

(2建结AC,点D为抛物线1在第一象限部分上的点，作ED〃x轴交AC于点E,若DE=1,

求D点的横坐标：

(3如图3,将抛物线J平移，使得其顶点与原点重合，得到抛物线C,：过点F(Q