上海市静安区2024-2025学年高三第一次月考数学阶段性检测试题（含解析）

上海市静安区2024-2025学年高三第一次月考数学阶段性检测试题一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1－6题每题4分，第7－12题每题5分）1．若集合，，则．2．设抛物线的准线方程为.3．已知，则.4．在某项测量中，其测量结果服从正态分布，且，则．5．已知，方程的一个根为（为虚数单位），则6．的内角、、所对边长分别为，面积为，且，则角.7．已知向量，，则在方向上的投影向量为．8．若直线与曲线相切，则实数的值为.9．在数列中，，且，则.10．盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的商品盒子．已知某盲盒产品共有3种玩偶，小明购买4个盲盒，则他能集齐3种玩偶的概率是．11．已知椭圆的右焦点为，左焦点为，若椭圆上存在一点，满足线段相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段的中点，则该椭圆的离心率为．12．，任意，满足，求有序数列有对.二、选择题（本大题共4小题，第13－14题每题4分，第15－16题每题5分，满分18分）13．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（

）A． B． C． D．14．如图，直角坐标系中有4条圆锥曲线（1，2，3，4），其离心率分别为ei．则4条圆锥曲线的离心率的大小关系是（

）

A． B．C． D．15．下列命题错误的是（

）A．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1B．设，若，则C．线性回归直线一定经过样本点的中心D．一个袋子中有个大小相同的球，其中有个黄球、个白球，从中不放回地随机摸出个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从二项分布，且16．现定义如下:当时，若，则称为延展函数.已知当时，且，且均为延展函数，则以下结论（

）（1）存在与有无穷个交点（2）存在与有无穷个交点A．（1）（2）都成立 B．（1）（2）都不成立C．（1）成立（2）不成立 D．（1）不成立（2）成立.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17．在中，角、、的对边分别为、、，已知.(1)求角的大小；(2)若的面积为3，求的最小值，并判断此时的形状.18．如图，在三棱锥中，平面平面，，，且点在以点为圆心为直径的半圆上．(1)求证：；(2)若，且与平面所成角为，求点到平面的距离．19．为了解人们是否喜欢跑步，某机构在一小区随机抽取了40人进行调查，统计结果如下表．喜欢不喜欢合计男12820女101020合计221840(1)根据以上数据，判断能否有95%的把握认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关？附：，其中，(2)该小区居民张先生每天跑步或开车上班，据以往经验，张先生跑步上班准时到公司的概率为，张先生跑步上班迟到的概率为．对于下周（周一～周五）上班方式张先生作出如下安排：周一跑步上班，从周二开始，若前一天准时到公司，当天就继续跑步上班，否则，当天就开车上班，且因公司安排，周五开车去公司（无论周四是否准时到达公司）．设从周一开始到张先生第一次开车去上班前跑步上班的天数为X，求X的分布列及数学期望．20．阿基米德（公元前287年—公元前212年，古希腊）不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系中，椭圆的面积等于，且椭圆的焦距为.点、分别为轴、轴上的定点.(1)求椭圆的标准方程；(2)点为椭圆上的动点，求三角形面积的最小值，并求此时点坐标；(3)直线与椭圆交于不同的两点A、B，已知关于轴的对称点为M，B点关于原点的对称点为，已知P、M、N三点共线，试探究直线是否过定点.若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.21．已知函数(1)当时，求函数的极值；(2)求函数的单调区间；(3)若对任意的实数，函数与直线总相切，则称函数为“恒切函数”．当时，若函数是“恒切函数”，求证：．1．;【分析】根据集合并集的定义即可求解.【详解】由集合的并集定义可得，因为，，所以，故答案为.2．【分析】由题意结合抛物线的标准方程确定其准线方程即可.【详解】由抛物线方程可得，则，故准线方程为.故答案为．本题主要考查由抛物线方程确定其准线的方法，属于基础题.3．##0.5【分析】利用两角差的正切公式将所求式展开，将代入即可求解.【详解】因为，所以.故答案为.4．45【分析】利用正态分布的对称性求概率即可.【详解】由题设，，而，又，故，所以.故5．6【分析】根据题意可知：方程的另一个根为，利用韦达定理运算求解.【详解】因为方程的一个根为，可知方程的另一个根为，所以.故6.6．##【分析】将的面积，及，代入条件计算即可.【详解】的面积，因为，所以，所以，又，所以.故7．【分析】根据投影向量公式求出答案.【详解】在方向上的投影向量为.故答案为.8．【分析】求出原函数的导函数，利用导函数值为求解切点坐标，再把切点坐标代入切线方程即可求解值．【详解】由，得，直线与曲线相切，，解得，则，可得切点为，代入，得．故9．4【分析】利用递推公式累加即可求解.【详解】由题意可得，所以，，……，，累加得，所以，故410．【分析】根据给定条件，求出买4个盲盒的基本事件数，再求出集齐3种玩偶的基本事件数即可计算作答.【详解】小明购买4个盲盒的试验有个基本事件，它们等可能，能集齐3种玩偶的事件A含有的基本事件数为：，所以能集齐3种玩偶的概率是.故11．【分析】根据给定条件，求出，再利用椭圆定义计算作答.【详解】设以椭圆的短轴为直径的圆与线段相切于点M，连结，令，如图，由M、O分别为、的中点，得，且，由线段与圆O相切于点M，得，则，在中，，，则，由椭圆的定义，得，则，整理得，解得，所以椭圆的离心率.故12．48【分析】先确定，再结合，设，可得到，进而求出这四个数，从而求得答案.【详解】由题意知，满足，不妨设，则必有，若，解得；若，解得，由此可知此时有2种情况，结合任意，共有对，故48关键点睛：解答本题的关键是结合推出时，这四个数的值，进而结合题意求得答案.13．C【分析】A由对数函数的性质判断奇偶性；B根据正切函数的性质判断单调性；C利用奇偶性定义及幂函数的单调性判断；D根据分式型函数的性质判断单调性.【详解】A：的定义域为，显然不是奇函数；B：在定义域上不单调，不合要求；C：且定义域为R，即为奇函数，又在定义域上递增，即为增函数，符合要求；D：定义域为，在定义域上不单调性，不合要求；故选：C14．C【分析】根据双曲线和椭圆的离心率与图形的关系即可判断.【详解】根据双曲线离心率大于1，椭圆离心率在之间，则都大于，根据椭圆越接近圆，则其离心率越接近0，故，根据双曲线开合程度越大，则离心率越大，故，综上，故选：C.15．D【分析】选项A，根据相关系数的表示意义即可求解；选项B，根据条件，利用二项分布的性质，得到，即可求解；选项C，根据最小二乘法求回归方程，即可判断选项C的正误；选项D，根据条件，利用超几何分布的定义即可判断.【详解】对于选项A，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，故选项A正确；对于选项B，由，，得，解得，故选项B正确；对于选项C，线性回归直线一定经过样本点的中心，故选项C正确；对于选项D，由于是不放回地随机摸出20个球作为样本，由超几何分布的定义知服从的超几何分布，且，故选项D错误.故选：D.16．D【分析】由延展函数的定义分段求出解析式，作出函数图象，数形结合可得.【详解】当时，，则，又，则由延展函数定义可得；同理可得，当，；；任意，当时，.当时，，则，则；同理可得，当时，；；当时，；当，；当，；；则任意时，当.如图，作出与ℎx大致图像，因为，如图可知，不存在直线与图象有无穷个交点，故（1）不成立；又因为当，，故当时，直线与ℎx的图象在区间的函数部分重合，即有无穷个交点，故（2）成立；故选：D.关键点点睛：解决此题目的关键在于理解新定义“延展函数”，能够依次求解出函数在各段的解析式及作出函数图象，数形结合解决函数图象与直线的交点个数问题.17．(1)(2)4，为等边三角形【分析】（1）由正弦定理角化边可得，进而根据余弦定理可求；（2）由三角表面积可求得，根据均值不等式可求得的最小值，根据取得最小值可判断三角形的形状.【详解】（1）由正弦定理得，又由余弦定理得，因为是三角形内角，所以；（2）由三角形面积公式得：，解得，因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为，此时为等边三角形.18．(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接，根据线面垂直的性质证明平面即可；（2）根据线面垂直的性质可得与平面所成角为，再根据等体积法求解点到平面的距离即可【详解】（1）连接，因为，，故，，又，平面，故平面.又平面，故（2）由（1）因为，且平面平面，平面平面于，故平面，故与平面所成角为，故，又点在以点为圆心为直径的半圆上，，，故，，设点到平面的距离为，则因为，即，解得19．(1)没有95%的把握认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关(2)分布列见解析；期望为【分析】（1）根据列联表计算出，再与临界值进行比较，即可得出结论；（2）根据题意分析可能的取值，并依次求得概率，得到X的分布列，进而求得X的数学期望.【详解】（1）由题意，零假设：人们对跑步的喜欢情况与性别无关，则，故不能认为零假设不成立，所以没有95%的把握认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关.（2）由题意，所有可能的取值分别为，，，，，，，，所以X的分布列为：1234所以.20．(1)(2)，(3)直线恒过定点【分析】（1）根据椭圆的焦距可求出，由椭圆的面积等于得，求出，即可求出椭圆的标准方程；（2）设（为参数），根据点到直线的距离公式表示出R到直线PQ的距离为，由正弦函数的性质确定d的最小值，即可求解；（3）设直线，，进而写出为两点坐标，将直线与椭圆的方程联立，根据韦达定理求，，由三点共线可知，将，代入并化简，得到的关系式，分析可知经过的定点坐标.【详解】（1）由题意知，椭圆的面积知，得，又，所以，解得，所以椭圆的方程为；（2）由题意得，直线方程为，即，设（为参数），则点到直线的距离为，当即即时，取得最小值，且最小值为，所以的面积的最小值为，此时.（3）设直线，，则，，三点共线，得，直线与椭圆交于两点，，，，由，得，，，代入中，，，当，直线方程为，则重合，不符合题意；当时，直线，所以直线恒过定点.方法点睛：直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.21．(1)有极小值，无极大值.(2)答案见解析(3)证明见解析【分析】（1）利用极值的定义求解即可；（2）分类讨论求的单调区