2024-2025学年天津市河东区高三上册第一次月考数学质量检测试卷（含解析）

2024-2025学年天津市河东区高三上学期第一次月考数学质量检测试卷一、单选题1.已知集合，则集合B为（）A. B. C. D.2.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.4.已知数列是等比数列，，数列是等差数列，前项和为，，则的值是（）A. B. C. D.5.已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B.C. D.6.设数列的前n项和，数列的前m项和，则m的值为（）A.8 B.10 C.12 D.207.已知奇函数定义域为，且对任意实数满足，当时，，则（）A. B. C. D.8.已知函数部分图象如图所示，其中，，则以下说法正确的个数为（）①函数的最小正周期是；②函数的图象关于直线对称；③把函数图像上的点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到的图象；④当时，A.0 B.1 C.2 D.39.设函数f（x）是定义在区间上函数，f'（x）是函数f（x）的导函数，且，则不等式的解集是A. B.（1，＋∞） C.（－∞，1） D.（0，1）二、填空题10.的展开式中，常数项为______．11.袋子中有5个大小相同的球，其中红球2个，白球3个，依次从中不放回的取球，则第一次取到白球且第二次取到红球的概率是__________；若在已知第一次取到白球的前提下，第二次取到红球的概率是__________.12.已知等比数列前项和（其中）．则的最小值是__________．13.已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减，若实数满足，则实数的取值范围是______．14.已知函数，（i）若，将函数沿x轴向右平移单位后得到函数图像关于y轴对称，则______；（ii）若在上单调，则ω的最大值为______．15.设，函数与函数在区间内恰有3个零点，则a的取值范围是________．三、解答题16.在中，内角所对的边分别为，已知的面积为．(1)求和的值；(2)求的值．17.如图所示，在三棱柱中，平面，.是棱的中点，为棱中点，是的延长线与的延长线的交点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求平面与平面夹角的余弦值.18.已知等差数列的前n项和为，，，数列满足：，．（1）证明：是等比数列；（2）证明：；（3）设数列满足：，求．19.已知无穷数列中，、、…、构成首项为2，公差为的等差数列，、、…、，构成首项为，公比为的等比数列，其中，．（1）当，时，求数列通项公式；（2）若m是偶数且，求．（3）若对任意的，都有成立，记数列的前n项和为．判断是否存在m，使得成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．20.已知函数，，（）．（1）求函数在处的切线方程；（2）若恒成立，求实数k的取值范围；（3）设，证明：当时，函数f（x）存在唯一极大值点，且．2024-2025学年天津市河东区高三上学期第一次月考数学质量检测试卷一、单选题1.已知集合，则集合B为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】确定全集中的元素，根据补集的含义，即可求得答案.【详解】∵集合，又，∴,故选：D．2.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】必要性：若，则可得，所以可得，必要性成立；若，则，而，故充分性不成立，“”是“”的必要不充分条件.故选：B3.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】判断出的奇偶性，结合的符号可选出答案.【详解】因为的定义域为，所以是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D因为，所以排除A故选：C4.已知数列是等比数列，，数列是等差数列，前项和为，，则的值是（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】利用等比中项的性质可求出的值，利用等差中项的性质可求出的值，再利用等差数列的求和公式以及等比中项的性质可求得的值.【详解】因为数列an是等比数列，则，可得，因为等差数列bn前项和为，，则，可得，所以，因此，.故选：A.5.已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】由指数函数，对数函数单调性可得答案.【详解】因函数在0,+∞上单调递增，则，，则.故选：A6.设数列前n项和，数列的前m项和，则m的值为（）A.8 B.10 C.12 D.20【正确答案】A【分析】由结合题意可得，再由裂项求和法可化简，即可得答案.【详解】由，又，则，又时，，则.则，则.令.故选：A7.已知奇函数的定义域为，且对任意实数满足，当时，，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据函数的奇偶性以及对称性，可得函数的周期性，结合对数的运算性质，可得答案.【详解】由函数为奇函数，则为关于成中心对称；由函数对任意实数满足，则函数关于直线成轴对称；故，则，即函数的最小正周期.，由，则，即.故选：D.8.已知函数的部分图象如图所示，其中，，则以下说法正确的个数为（）①函数的最小正周期是；②函数的图象关于直线对称；③把函数图像上的点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到的图象；④当时，A.0 B.1 C.2 D.3【正确答案】C【分析】根据函数图象求出的解析式，再根据正弦函数的图象性质逐一判断即可.【详解】由图象知：，解得，故①错误；所以，解得.将代入得，所以，即，又因为，所以，.当时，，所以函数的图象关于直线对称，故②正确；把函数图像上的点横坐标缩短为原来的，得到，故③正确；当时，，，，故④错误.所以说法正确的是②③.故选：C.9.设函数f（x）是定义在区间上函数，f'（x）是函数f（x）的导函数，且，则不等式的解集是A. B.（1，＋∞） C.（－∞，1） D.（0，1）【正确答案】D【分析】构造函数，求导，结合，可得在上单调递增，则不等式，可变为，则，结合单调性即可求解．【详解】构造函数，则，由，所以，即在上单调递增．因为，则不等式，可变为，则，所以，所以，故选D本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查学生发散思维和计算能力，属中档题．解题的关键在于根据给出的条件，构造新函数，求导可应用题中条件，得到新函数的单调性，把问题转化为根据单调性解不等式问题，进而得到答案．二、填空题10.的展开式中，常数项为______．【正确答案】3【分析】先求出展开式中的通项公式，然后令的指数为0求解.【详解】由展开式中的通项公式为：，令，则，故展开式中的常数项为：，故3.11.袋子中有5个大小相同的球，其中红球2个，白球3个，依次从中不放回的取球，则第一次取到白球且第二次取到红球的概率是__________；若在已知第一次取到白球的前提下，第二次取到红球的概率是__________.【正确答案】①.##0.3②.12##0.5【分析】由题意设第一次取到白球为事件A，第二次取到红球为事件B，由古典概型概率公式和独立事件的乘法公式分别求出，结合条件概率公式计算即可求解.【详解】由题意，设第一次取到白球为事件A，第二次取到红球为事件B，则，所以.故；.12.已知等比数列前项和（其中）．则的最小值是__________．【正确答案】【分析】由等比数列前n项和可得，再利用基本不等式可得答案.【详解】因为等比数列的前n项和，所以，，，又，即，解得，，，，当且仅当，即，时等号成立.故答案为.13.已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减，若实数满足，则实数的取值范围是______．【正确答案】【分析】分析可知函数在上单调递增，且，由已知条件可得出，结合函数的单调性和奇偶性可得出关于实数的不等式，解之即可.【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减，则函数在上单调递增，且，因为，由，可得，即，即，所以，，即，解得.因此，实数的取值范围是.故答案为.14.已知函数，（i）若，将函数沿x轴向右平移单位后得到函数图像关于y轴对称，则______；（ii）若在上单调，则ω的最大值为______．【正确答案】①.②.【分析】（i）根据辅助角公式化简函数的解析式，结合正弦型函数图像平移的性质，结合正弦型奇偶性进行求解即可；（ii）根据正弦型函数单调性与周期性的关系，结合正弦型函数的单调性分类讨论进行求解即可.【详解】.（i）若，则，函数沿x轴向右平移单位后得到函数图像的解析式为：，由题意可知：函数的图像关于y轴对称，所以函数是偶函数，于是有，因，所以令，得；（ii）因为函数在上单调，所以函数的最小正周期，解得，当函数在上单调递增时，因，所以，则有，即，而，所以令，则有；当函数在上单调递减时，因为，所以，则有，即，而，所以令，则有；综上所述：ω的最大值为，故关键点点睛：本题的关键是根据题意分类讨论.15.设，函数与函数在区间内恰有3个零点，则a的取值范围是________．【正确答案】，．【分析】设，结合题意可知函数在区间，内恰有3个零点，分析时不符合题意，时，结合二次函数的正负及的正负即可求解．【详解】由题意，函数与函数在区间，内恰有3个零点，设，即函数在区间，内恰有3个零点，当时，函数在区间，内最多有2个零点，不符合题意；当时，函数的对称轴为，，所以，函数在，上单调递减，在上单调递增，且，当，即时，函数在区间，上无零点，所以函数在，上有三个零点，不符合题意；当，即时，函数在区间，上只有一个零点，则当，时，，令，解得或，符合题意；当，即时，函数在区间，上有1个零点，则函数在，上有2个零点，则，即，所以；当，即时，函数在区间，上有2个零点，则函数在，上只有1个零点，则或或，即无解．综上所述，的取值范围是，．故，．本题主要考查了函数的零点，函数与方程等知识点，属于较难题判断函数零点个数的常用方法：(1)直接法：令则方程实根的个数就是函数零点的个；(2)零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数；(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题.三、解答题16.在中，内角所对的边分别为，已知的面积为．(1)求和的值；(2)求的值．【正确答案】（1），（2）【分析】（1）由面积公式可得结合可求得解得再由余弦定理求得a=8.最后由正弦定理求sinC的值;（2）直接展开求值.【详解】（1）△ABC中,由得由,得又由解得由,可得a=8.由,得.（2）,本题主要考查三角变换及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查基本运算求解能力.17.如图所示，在三棱柱中，平面，.是棱的中点，为棱中点，是的延长线与的延长线的交点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求平面与平面夹角的余弦值.【正确答案】（1）证明见解析（2）（3）【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，求平面的一个法向量，进而利用向量法即可证明平面；（2）利用向量法求解直线与平面所成的夹角的正弦值即可；（3）利用向量法求解平面与平面所成的夹角的余弦值即可.【小问1详解】在三棱柱中，平面，，则直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图：由，得，，在中，且是棱的中点，则也是的中点，即，，设平面的一个法向量n=x,y,z，则则，令，得，，因为，所以，又因为平面，所以平面．【小问2详解】由（1）知平面的法向量，又，设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.【小问3详解】设平面的一个法向量，则，令，得设平面与平面夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值．18.已知等差数列的前n项和为，，，数列满足：，．（1）证明：是等比数列；（2）证明：；（3）设数列满足：，求．【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【分析】（1）利用构造法，结合等比数列的定义即可证明；（2）由题及（1）可求得与，即可完场证明；（3）由错位相减法可得答案.【小问1详解】因，则，.则是以为首项，公比为的等比数列；【小问2详解】设的公差为，则，则；由（1），，因，则注意到，，则命题得证；【小问3详解】由（1）可得，则，则.得，则，两式相减得：.19.已知无穷数列中，、、…、构成首项为2，公差为的等差数列，、、…、，构成首项为，公比为的等比数列，其中，．（1）当，时，求数列的通项公式；（2）若m是偶数且，求．（3）若对任意的，都有成立，记数列的前n项和为．判断是否存在m，使得成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【正确答案】（1）（2）（3）不存在，理由见解析【分析】（1）根据等差数列，等比数列的通项公式，根据的取值利用分段数列的形式表示通项公式即可；（2）根据题意结合等差数列和等比数列的求和公式即可求解；（3）由题意可知数列的周期，先将数列的前项和求出，然后利用周期性可得，构造函数，利用定义法可求出的最大值，即可判断.【小问1详解】当时，，当时，，所以；【小问2详解】因为m是偶数，所以；【小问3详解】因为对任意的，都有成立，所以数列的周期为，由（1）可得，又，所以，设，则，因为，所以，即，故时，取得最大值，最大值为，从而最大值为，不可能有成立，故不存在满足条件的实数.关键点点睛：解决（3）的关键是利用数列的周期性，结