北京市石景山区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页北京市石景山区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题第I卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.9的平方根是(

)A.−3 B.3 C.±3 2.下列图书馆标志图形中，是轴对称图形的是(

)A. B. C. D.3.若分式x2−4x+2的值为0，则x的值为A.−2 B.2 C.±2 D.±44.下列事件是随机事件的是(

)A.从分别写有2，4，6的三张卡片中随机抽出一张，卡片上的数字能被2整除

B.用长度分别是2 cm，3 cm，6 cm的细木条首尾相连组成一个三角形

C.投掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上

D.在一个装有2个白球和3个黑球的袋子中摸出红球5.下列各式从左到右变形正确的是(

)A.mamb=ab B.a+bab=6.下列运算正确的是(

)A.3+3=33 B.67.实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简m2−m−n的结果是(

)A.n B.−n C.2m−n D.−2m+n8.如图，在▵ABC中，∠ACB=90∘，CA=CB，CD是∠ACB内部的射线且∠BCD<45∘，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F.给出下面四个结论：①∠EAB=∠FBA；②AB=CF；③EF=AE−BF.上述结论中，所有正确结论的序号是(

)A.①② B.①③ C.②③ D.①②③第II卷（非选择题）二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。9.若x−2在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是

．10.写出一个比2大且比10小的整数为

．11.一个不透明的盒子中装有4个黄球，3个红球和2个绿球，这些球除了颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率是

．12.如图，AB/​/CD，点E，F在BC上且BF=CE.请你只添加一个条件，使得▵AEB≌▵DFC．(1)你添加的条件是

；(要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可)(2)依据所添条件，判定▵AEB与▵DFC全等的理由是

．13.如图，Rt▵ABC中，∠C=90∘，点D在BC上，DE⊥AB于点E.若DE=DC，∠B=40∘，则∠CAD=

∘14.计算25+715.在▵ABC中，AB=AC,∠BAC=100∘，D在BC边上，且▵ABD是等腰三角形，则∠ADB的度数为

．16.如图，▵ABC是等边三角形，D是AC的中点，动点P在BC边的中线AE上．若AB=2，则PC+PD的最小值为

．

三、解答题：本题共12小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

计算：4118.(本小题8分)如图，△ABC是等边三角形，点D在线段BC上，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接CE.求证：BD=CE．

19.(本小题8分)

计算：1+320.(本小题8分)

计算：2x221.(本小题8分)已知：如图，▵ABC中，BC>AB>AC.求作：点P，使得点P在BC边上且∠APC=2∠B.作法：①作线段AB的垂直平分线，交BC于点P，交AB于点Q；②连接AP.点P即为所求作的点．

(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；(2)完成下面的证明．证明：∵PQ是AB的垂直平分线，∴PA=①_____(②__________(填推理的依据)．∴∠B=③_____(④__________)(填推理的依据)．又∵∠APC=∠B+∠PAB，∴∠APC=2∠B．22.(本小题8分)

已知x2−2x−20=0，求代数式x−23.(本小题8分)

解分式方程：xx−3+624.(本小题8分)如图，在▵ABC中，∠ACB=90∘，CA=4，CB=6，D是BC的中点，E是AC边上一点，连接DA，DE.将△DCE沿直线DE翻折，点C恰好落在DA上的点(1)求AD的长；(2)求CE的长．25.(本小题8分)列方程解应用题．某工程队承担了750米长的道路改造任务，工程队在施工完210米道路后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了20％，结果共用22天完成了任务．求引进新设备前工程队每天改造道路多少米？26.(本小题8分)如图，AD是▵ABC的中线，E是AC边上一点，连接BE交AD于F点，EA=EF.求证：FB=AC．

27.(本小题8分)在▵ABC中，∠ACB=90∘，CA=CB，点P是射线BC上的一个动点，过点B作BD⊥AP于点D，射线BD交直线AC于点E，连接(1)如图1，当点P在线段BC上时(不与端点B，C重合)，①求证：∠CBE=∠CAP；②求证：DA=DB+(2)如图2，当点P在线段BC的延长线上时PC<AC，依题意补全图2并用等式表示线段DA，DB，DC之间的数量关系．28.(本小题8分)对于线段AB与点P(点P不在线段AB上)给出如下定义：Q为线段AB上任意一点，如果线段PQ的长度有最小值，那么称这个最小值为点P与线段AB的“近距”，记作d1(点P，线段AB)；如果线段PQ的长度有最大值，那么称这个最大值为点P与线段AB的“远距”，记作d2(点P，线段AB).如图，▵ABC中，∠CAB=30(1)d1(点C，线段AB)=_____，d2((2)点B关于直线AC的对称点为B′，连接AB′.若点P在线段AB′上，且d2(点P，线段AB)是d1(点P，线段AB)的(3)过点C作MN//AB.若点P在直线MN上，d1(点P，线段AB)<2，直接写出d2(点P，线段答案和解析1.D

【解析】∵±3∴9的平方根是±3．故选：D．2.A

【解析】A.是轴对称图形，故A正确；B.不是轴对称图形，故B错误；C.不是轴对称图形，故C错误；D.不是轴对称图形，故D错误．故选：A．3.B

【解析】∵分式x2−4x+2∴∴x=2，故选：B．4.C

【解析】A、从分别写有2，4，6的三张卡片中随机抽出一张，卡片上的数字能被2整除是必然事件，不符合题意；B、∵2+3<6，∴用长度分别是2 cm，3 cm，6 cm的细木条首尾相连组成一个三角形是不可能事件，不符合题意；C、投掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上是随机事件，符合题意；D、在一个装有2个白球和3个黑球的袋子中摸出红球是不可能事件，不符合题意；故选：C．5.A

【解析】A、mambB、a+bab与1+bC、b2D、ab故选：A．6.C

【解析】A、3与3B、6C、3D、5故选：C．7.B

【解析】由数轴可知：m<−1<0<n<1，∴m−n<0，∴故选：B．8.B

【解析】∵AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F，∴AE//BF，∠AEC=∠CFB=90∴∠EAB=∠FBA，故①正确；∵∠ACB=90∴∠CAE=∠BCF=90在▵CAE和▵BCF中，∠CAE=∠BCF∴▵CAE≌▵BCFAAS∴AE=CF，CE=BF，∴EF=CF−CE=AE−BF，∴EF=AE−BF，故③正确，∵AB>BC，BC>CF，∴AB>CF，故②错误；故选：B．9.x≥2

【解析】根据题意得：x−2≥0，

解得：x≥2．

故答案为：x≥2．

10.2答案不唯一

【解析】∵1<2<2∴即比2大且比10小的整数为2或故答案为：2答案不唯一11.13【解析】∵盒子中装有4个黄球，3个红球和2个绿球，共有9个球，

∴从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率是39=13；12.AB=DC(答案不唯一)

/∠A=∠D/∠AEB=∠DFCSAS(答案不唯一)．/AAS/ASA【解析】∵BF=CE，∴BF−EF=CE−EF，即BE=CF，∵AB//CD，∴∠B=∠C，∴添加的条件是AB=DC，根据SAS，▵AEB≌▵DFCSAS添加的条件是∠A=∠D，根据AAS，▵AEB≌▵DFCAAS添加的条件是∠AEB=∠DFC，根据ASA，▵AEB≌▵DFCASA故答案为：AB=DC或∠A=∠D或∠AEB=∠DFC；(2)方法一：添加的条件是AB=DC时，∵BF=CE，∴BF−EF=CE−EF，即BE=CF，∵AB//CD，∴∠B=∠C，在▵AEB和▵DFC中，AB=DC▵AEB≌▵DFCSAS故答案为：SAS．方法二：添加的条件是∠A=∠D，∵BF=CE，∴BF−EF=CE−EF，即BE=CF，∵AB/​/CD，∴∠B=∠C，在▵AEB和▵DFC中，∠A=∠D▵AEB≌▵DFCAAS故答案为：AAS．方法三：添加的条件是∠AEB=∠DFC，∵BF=CE，∴BF−EF=CE−EF，即BE=CF，∵AB/​/CD，∴∠B=∠C，在▵AEB和▵DFC中，∠B=∠C▵AEB≌▵DFCASA故答案为：ASA．13.25

【解析】∵∠C=90∘，∴∠BAC=180∵DE=DC，∠C=90∘，∴AD平分∠BAC，∴∠CAD=1故答案为：25．14.13

【解析】2==20−7=13，故答案为：13．15.70∘或【解析】∵AB=AC,∠BAC=100∴∠B=∠C=180当AD=AB时，∠B=∠DAB=40∴∠ADB=180当AB=BD时，∠BAD=∠ADB=180当AB=AD时，∠B=∠ADB=40则∠BAD=180∴不符合题意，故舍去；综上所述，∠ADB的度数为70∘或故答案为：70∘或16.3【解析】如图，连接BD交AE于点Q，连接BP，∵AE为等边三角形的中线，∴AE⊥BC，∴AE垂直平分BC，∴BQ=CQ，BP=CP∴CP+PD=BP+PD，∵两点之间线段最短，∴B、P、D在同一直线上时，BP+CP最小，即CP+PD最小，∵D是AC的中点，▵ABC为等边三角形，∴CD=12AC=∴BD=∴PC+PD的最小值=BP+PD=BD=故答案为：317.解：4=4×=2=5

18.证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60∘，由旋转的性质可得：∠DAE=60∘，∴∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=AC∴▵ABD≌▵ACE(SAS)，∴BD=CE

19.解：1+=1+3+2=4+2=8．

20.解：2====2=2x+2y．

21.(1)解；如图所示，即为所求；

(2)证明：∵PQ是AB的垂直平分线，∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)．∴∠B=∠BAP(等边对对角)．又∵∠APC=∠B+∠PAB，∴∠APC=2∠B．故答案为：PB；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；∠BAP；等边对等角．

22.解：∵x∴x∴======4．

23.解：x去分母得：x2去括号得：x2移项得：x2合并同类项得：9x=18，系数化为1得：x=2，检验，当x=2时，xx−3∴x=2是原方程的解．

24.(1)解：∵CB=6，D是BC的中点，∴CD=1在Rt▵ADC中，由勾股定理得AD=(2)解：由折叠的性质可得EF=EC,∠EFD=∠C=90∴AF=AD−DF=2,∠AFE=90设CE=EF=x，则AE=AC−CE=4−x，在Rt▵AEF中，由勾股定理得AE∴4−x解得x=3∴CE=325.解：设引进新设备前工程队每天改造道路x米，则引进新设备后工程队每天改造(1+20%)x米．依题意得：．解得：x=30，经检验，x=30是所列方程的解，且符合题意．答：引进新设备前工程队每天建造道路30米．26.证明：如图，延长AD至点G，使DG=DA，连接BG，

∵AD是▵ABC的中线，∴BD=CD，在▵GBD和▵ACD中，BD=CD∴▵GBD≌▵ACD(SAS)，∴GB=AC，∠BGD=∠CAD，∵EA=EF，∴∠AFE=∠CAD，∵∠BFD=∠AFE，∴∠BGD=∠BFD，∴FB=GB，∴FB=AC．

27.(1)①证明：∵BD⊥AP，∴∠ADB=90∴∠CBE+∠BPD=90∵∠ACB=90∴∠CAP+∠APC=90∵∠APC=∠BPD，∴∠CBE=∠CAP；②如图1，作CF⊥CD交AD于F，∴∠DCF=90∘∵∠ACB=90∴∠ACB=∠DCF，∴∠ACB−∠PCF=∠DCF−∠PCF，∴∠ACF=∠PCD，由①知∠CBE=∠CAP，∵AC=BC，∴▵AFC≌▵BDCASA∴CF=CD，AF=BD∴DF=∴AD=AF+DF=DB+(2)解：补全图形如下所示：作CF⊥CD交BD于F，∴∠DCF=90∴∠ACD+∠ACF=90∵∠ACB=90∴∠ACF+∠BCF=90∵∠ACD=∠BCF，∵BD⊥AD，∴∠ADB=90∴∠DAE+∠AED=∠CBE+∠CEB，∵∠AED=∠CEB，，∴∠DAE=∠CBF，∵AC=BC，∴▵ACD≌▵BCFASA∴CD=CF，DA=FB∴DF=∴DB=FB+DF=DA+28.(1)解：如图1，过点C作CD⊥AB于点D，则∠ADC=∠BDC=90∵∠CAB=30∘，∴CD=1∵垂线段最短，∴d1(点C在Rt▵ACD中，AD=∵AB=4∴BD=AB−AD=3在Rt△BCD中，BC=∴d2(点C(2)解：过点P作PD⊥AB于点D，连接PB，BB′，如图2，∵点B关于直线AC的对称点为B′，∴AB′=