立体几何常见重要题型归纳

立体几何常见重要题型归纳

题型一点到面的距离

常见技巧：等体积法

例1：如图所示，在直四棱柱A8CO-AiBCid中，底面ABC。为等援梯形，AB//CD,AB

=4,BC=CD=2,AAt=2,E,当分别是棱A。，441的中点.

、D

（1）设F是棱A3的中点，证明：直线EEi〃平面FCG;

（2）证明：平面Oi4C_L平面BBCC；

（3）求点。到平面。1AC的距离.

解析：(1)・・・CO//A8,C£)=-48,A/7=-AB,..C£)//AF,CO=Af'

22

四边形Afro为平行四边形

/.CF//AD又♦.4/)<=面八£>44，。尸二面4£)口入

・•.C尸〃面AO.A2分

在直四棱柱中，CCJ/DQ,又,.•〃£)<=面AOAA，。产0面4OAA

CCJ/面AORA3分

又CC、cCF=C,CC[,CFu而CC[F/.面CC、F〃面ADD^

又EE；u面面CC75分

(2)-BC=CD=-AB=2平行四边形A尸CO是菱形

2

..DF±AC，易知3C//D产:.ACA.BC7分

在直四棱柱中，ABCD

CC(1ffi

又BCcCG=C..AC_L面8CG49分

又ACu面D|AC.•.而RACJ.而BCG41。分

(3)易知力=%-ADCII分

设力到面AAC的距离为d,则

(山.4年久小，又山平・=厉,£皿="。口=214分

.-.J=—,即。到面RAC的距离为2且.16分

515

变式1：如图所示，在四棱锥尸-A8C。中，PCJ_底面48c。，底面A8C。是矩形,

BC=PC,E是PA的中点.

(1)求证：尸3_1平面。。后；

(2)已知点M是A。的中点，点N是AC上一点，且平面PDN〃平面BEM.若

BC=2AB=4,求点N到平面CDE1的距离.

解析：(1)证明：取F6的中点为尸，连接CW和£及，

•••石是24的中点，・・・石/〃阳〃0(3,

:.平面C0E与平面CDE尸为同一平面，

•・・「。_1底面48。力，底面ABCD是矩形，

/.DCLPC.DCA.BC,即OC_L平面尸8C,/.DCLPB.

VBC=PC,:.CF_LPB,・;CDC\CF=C,，_L平面CDE.

(2)过。作。G〃BM交BC于G,连接PG,

是4。的中点，・・・EM〃PD,

•・•PonOG=。，•・平面P£>6〃平面BEM,

・••当N是AC与。G的交点时，平面PDV〃平面BEM,

「NC'Ci1

在矩形A5CD中，求得上L==

ANAD2

**BC=2AB=4,，^ADCE~夜»

/.S30V=-SgcG=§2

E到平面A3CD的距离为2,设点N到平面CDE的距离为d,

由匕得;x20d=；x2xg,解得"=半.

变式2：在直三棱柱ABC—A.4G中，AB=AC=\fNB4C=90°,且异面直线与

用G所成的角等于60°,设44,=〃.

（1）求。的值；

（2）求直线用。1到平面ABC的距离.

解析：（1）VBCIIB.C,,

・•・NABC就是异面直线AB与4G所成的角,

即N4BC=60°,

又连接AC,AB=AC,则=

A为等边三角形，

由AB=AC=1,ZBAC=90°=>BC=V2,

:.AB=V2=J1+储=y/2=4=1.

（2）易知qc〃平面ABC,又。是上的任意一点，所以点。到平面48。的距离

等于点用到平面ABC的距离.

设其为d,连接BC，

则由三棱锥用-A.BC的体积等于三棱锥C-4,34的体积，求d,

的面积S=；,AA8C的面积S'=冬由=冬

又C4_LAA,C4_LAB,・・・CA_L平面4/C，

—,即到平面的距离等于且

所以1•S・AC=』・S・dnd=MG48C

3333

变式3：如图所示，是OO的直径，点。是。O上的动点，小垂直于所在的平面

ABC.

（I）证明：Q4CJ•平面?8C；

（II）设94=6,AC=1,求三棱锥4一mC的高.

解析：证明：（1）・・・4?是0O的直径，点C是。O上的动点，

，NACB=90。，即BC_LAC.

又丁E4垂直于OO所在平面，BCu平面（DO

・•・PA±BC.

・•・PAC\AC^A

：.6CJL平面PAC.

又BCu平面尸C8,

・•・平面以C_L平面PBC.

（2）由⑴的结论平面B4CJ_平面?8C,平面RACn平面尸8C=尸C,

・••过A点作PC的垂线，垂足为0,

在RtZ\A8C中，PA=y13,AC=\,APC=2,

由ADxPC=P4xAC,

・SPAXACixV575

••AD=-----------=---------=——，

PC22

・•・A点到平面PCB的距离为且.

2

变式4：在三棱锥尸一ABC中，底面ABC为直角三角形，AB=BC,Q4J_平面ABC.

c

(1)证明：BC上PB；

(2)若。为AC的中点，且尸A=4,A3=2应，求点O到平面PBC的距离.

解析：(1)•・•A48C为直角三角形，AB=BC,：,ABLBC,

•・・QA_L平面ABC,8。<=平面48。，・・・24,8。，8C_L平面B45,

•・•PBu平面ABCVPB.

(2)由A5=3C,PA=4,AB=2yfi,根据已知易得PB=2遍，

/.S"RC=-2B2C*PB=-x2>/2x2>/6=4>/3,

S&DBC=；S&、BC=$$26x2近=2,

[8

,,Vp_DBC=§S^BCXPN——»

设点。到平面PBC的距离为h，则vD_PBC=gSMSC=，

.._.._2G

,vVP-DBC-vVD-PBC***n——-•

变式5：如图所示，在三棱柱ABC-A4G中，AA_L平面ABC,AB=A\=2,

AC=BBC=3,M,N分别为4G、A4的中点.

(1)求证：平面ABC；_L平面AAQC；

(2)求证：MN〃平面ABC1,并求M到平面的距离.

解析：证明：(1)•：AB2+AC2=BC2,：.ABLAC,

又平面ABC,AAA.LAB,又4。口叫=%，，ABJL平面A4.G。，

・.・4Bu平面ABC-・•・平面43。1，平面44。。.

(2)取BP1中点D,,・・M为qG中点，・・・MD〃5G，

又N为A4中点，四边形为平行四边形，・・・rW//45,又MDp\DN=D,

・•・平面M/V。〃平面ABC一

・・・N到平面ABQ的距离即为M到平面ABC.的距离.

过N作NHJ.AG于“，•・•平面45G_L平面AAG。，・・・M/_L平面A8G，

12x7575

=­x-----

233

・••点M到平面A6G的距离为乎.(或由等体积法可求)

变式6：如图所示6,已知点C是圆心为。半径为1的半圆弧上从点4数起的第一个三等分

点，是直径，。。=1,直线CO_L平面ABC.

D

(1)证明：AC.LBD.

(2)在08上是否存在一点M,使得〃平面DAC,若存在，请确定点M的位置,

并证明之；若不存在，请说明理由；

(3)求点C到平面A3。的距离.

【答案】（1）见解析（2）中点（3）亘

7

【解析】

试题分析：注意空间垂直关系的转化，线线垂直可由线面垂直而得，注意是否存在类问题的

解法，可由先确定点的位置.，之后再证明，对于第三问，可由等级法来确定.

试题解析：（1）证明：平面ABC,ACu平面ABC,

：.CD±AC.（1分）

♦・♦点C在圆。上，A8是直径，

/.ACA.BC.（2分）

又・・・。力口8。=。，.・・4。_1平面5。。.（3分）

又，：BD平面5c£>,：.ACBD.（4分）

（2）当M为棱08中点时，0M〃平面A4C.（5分）

证明：・・・M,O分别为中点，・・・OM〃AO,（6分）

又AZ）u平面D4C,平面D4C,工OM〃平面D4c.（7分）

（3）•・•点。是圆心为。半径为1的半圆弧上从点A数起的第一个三等分点，

・・・ZAOC=60。，而3=00=1,于是，AC=1,（8分）

•・・48是直径，・・・从。_13。，于是，BC=>jAB2-AC2=V22-12=73.

•・•直线CD_L平面ABC,所以，CD_LAC,CDtBC,

AD=ylAC2+CD2=V12+12=V2,BD=dBC?+Clf=历1=2.（9分）

*/AB=2=BD>

设点片是A。的中点，连接8石，则座J.AD

:.BE=\IAB2-AE2=丹-（仞2）2=7772,,（10分）

s卡”哈白久痒日，

（11分）

SMBD=；ADBE=：xyfixG=,.

（12分）

•^C-ABD=^D-ABC'（13分）

设点C到平面A3。的距离为〃，则有』5必9・〃=,5必818,即立/="xl,

M1M1

/.//=—,即点。到平面A8O的距离为二一.（14分）

77

题型二线面角

常见技巧：1、定义法；2、等体积法

例2：如图所示，在四棱维P—A3CD中，底面A3CD是平行四边形，

NAZ)C=45°,AO=AC=1,。为月C的中点，。01_平面43。。，PO=2,M为8。的

中点.

(1)证明：AD_L平面PAC；

(2)求直线40与平面A3C。所成角的正切值.

解析：证明：(1)vAD=AC,:.ZACD=ZADC=45ZD4C=90,

又PO_L平面ABCD,尸O_LAO,又POP)AC=O,/.AD_L平面PAC.

连结。。，取。。中点N,连结MN-PO.L平面ABCD,;.MN上平面

ABCD,NM4N为所求线面角，

•/AN=-D0=—,MN=-P0=l/.tan/MAN=.

222f5

变式1：在四棱锥P—ABC力中，底面ABC。为矩形，丛，面488,PA=AD=4,

AB=2,以AC为直径的球面交尸。于M点.

(1)求证：面旗加工面。。：

(2)求CO与面ACM所成角的正弦值.

解析：(1)证明：•・•PA_L平面48CZ),ABu平面A8CQ,

・•・PA±AB,

又・・・A8J_AD,PAC\AD=A,

・・・48_1_平面抬。，/.AB.LPD,

由题意得N8MD=900,工PD工BM,

又・・・A3nBM=8,・・・2£＞，平面钻”，

又「力u平面PC。，・•・平面48WJ_平面尸CD.

根据题意，

(2)SZV^iMCL=2-AMCM=2y/6,S^DC=-2ADCD=4,

又匕"A8=%fG/，即,x4x2=1x2j^z，人=S=(其中/z为。到面4cM的

33。63

距离），

设CO与面ACM所成的角为a,

25/6

.h干娓

则milsma=——=—^―=——

CD23

变式2：如图所示，在长方体45co—中，已知AQ=4A=1,AB=2,点E是

（1）求证："EJL4。；

（2）求直线8c与平面。所成角的大小.

解析：(1)连结A。，因为4A0R是正方形，所以AA_LA。，

又AE_1_面,4］。＜=面只。。［4，

所以AE_LA。，

又A9nAE=A，AO「4Eu平面ARE,

所以AO_L平面ARE,

而REu平面A£＞］E,

所以0EJL4。.

(2)易证，四边形4。。片是平行四边形，所以4。//用。，

则直线B}C与平面DED1所成角就是直线4。与平面DED、所成角，

平面OER交AM于尸，过A作

易证：4〃_1平面。］。石厂，

幺DH就是直线A。与平面DED1所成角，

包

sinZA］DF=^-=^=~,

A。&2

所以直线3。与平面DED,所成角的大小为30°.

变式3；如下图，已知四棱锥P八6CZ)中，底面八BCD为菱形，P4_L平面八B8,

ZA3c=60°,E,产分别是BC,PC的中点.

(1)证明：4石_1平面~4。；

(//)取AB=2,在线段PO上是否存在点”，使得EH与平面PAO所成最大角的正切

值为空，若存在，请求出“点的位置；若不存在，请说明理由.

2

证明：由四边形ABC。为菱形，ZABC=60,可得AA3C为正三角形,

因为£为3。的中点，所以AE_L6c.

又BCUAD,因此AEJ_AO.

因为PA_L平面A3CD,/1后匚平面48。。，

所以。4_LA£.

而RAu平面PAO,AQu平面PAO,PA[\AD=A.

所以AE,平面PAD.

(〃)解：设线段尸力上存在一点〃，连接AH,EH.

由(/)知，4£，平面24£),

则NEHA为EH与平面尸4。所戌的角.

在孜AE4//中，AE=6

所以当AH最短时，即当AHJLPD时，NE//A最大，

止匕时口11/£：月4=任=3=如，因此=

AHAH2

所以，线段尸。上存在点”，

当OH=应时，使得EH与平面24。所成最大角的正切值为逅.

2

变式4：如图所示，四棱锥P—ABCD,底面ABCD是NABC=60的菱形，侧面PAD是

边长为2的正三角形，。是A。的中点，M为PC的中点.

(1)求证：PC1AD；

(2)若尸。与底面ABC。垂直，求直线DW与平面PAC所成的角的正弦值.

解析：(1)连接OC,AC,

由题意可知APAD,AACD均为正三角形.

所以OC_LAD,OP±AD.

又OCC|OP=O,OCu平面POC,OPu平面POC,

所以ADJ_平面POC,

又PCu平面POC,

所以PC_LAD.

(2)又PO_L平面ABCD.即PO为三棱锥P-ACD的高.

在RtAPOC中，PO=OC=6，PC=#

在APAC中，PA=AC=2,PC=x/6,

x/io

边PC上的高AM二VPA2-PM:

—

所以APAC的面积SAPAC=BPCAM=」XJ^X，^=巫.

设点D到平面PAC的距离为从由VD_PAC=VP_ACD得，

§S&PAC,，=§,^AACD,P。，

又3=扣百=百，

所以_Lx@5x〃=」xGxjj,解得叵.

3235

故点D到平面PAC的距离为之叵.

5

设直线DM与平面PAC所成的角为。

2小

则sinO='-=4^=亚：

DMV105

F

2[7

所以直线DM与平面PAC所成的角的正弦值为詈.

变式5：已知等腰直角三角形RBC,其中/期C=90。，RB=BC=2.点A、。分别

是RB、RC

的中点，现将△RAD沿着边AZ)折起到△PAD位置,使PA_LA8,连结P9、PC.

(I)求证：BCVPB

(II)求PC与平面48co所成角的余弦值

解析：(【)证明：・・・4、。分别是RB、RC的中点;

：,AD//BC.NMD=NRAD=NRBC=90°；

・・・B4_LA£>,PALBC；

又BC上AB,

平面％8；

丁尸6(-平面MB；

：.BCA.PBi

(II)由M±AD,B4_LAB,AD(\AB=Ai

.•・B4_L平面ABC。；

连接AC,则NPC4是直线PC与平面ABC。所成的角；

VAB=1,BC=2,：,AC=yf5；

又用=1,%_LAC,：.PC=\[6；

*»AC加A/30

・・在RiAB4C中，cosZ.PCA=-----=—j==-------；

PC屈6

：.PC与平面ABCD所成角的余弦值为季

6

变式6：如图所示，在三棱锥尸一4BC中，AA3C是等边三角形，。是4c的中点,

PA=PC,二面角尸一AC-8的大小为60'.

(1)求证：平面P8£)_L平面尸AC；

(2)求49与平面R4C所成角的正弦值.

BD±AC

解析：(1)PD1AC，=ACJ.面mo

PBcBD=B

又ACu面上4C,所以面E4CJ■面?由)

即平面平面PAC

(2)方法一：

NPDA就是的平面角，得ZPBD=60

作〃O_LPD于O,连结40,则AC上BO,又ACcPD=D

：.5OJ_nffR!C,，NA4O就是直线AB与平面R4C所成的角

令AB=Za,BD=6a,BO=-BD=-a

22

3

.•BO2a3

・•sinXBAO=-----=-----=—

AB2a4

变式7：如图所示，棱柱ABC-ABG中，四边形44出出是菱形，四边形8CG用是矩

形，AB1BC.CB=1,^=ZZA1AB=60\

（1）求证：平面C418_L平面：

（2）求点G到平面ACS的距离；

（3）求直线AC与平面BCGBI所成角的正切值.

【答案】（1）证明过程详见试题解析；（2）点q到平面4cB的距离为石；（3）直线AC

与平面BCG4所成角的正切值为它.

2

【解析】

试题分析:（1）先证明C8_L面A.ABB,,又C8u面AAB4,・••平面08_L平面与；

（2）先求出匕上年8,即可知点4到面的距离，而点G，片到面的距离相等,

所以点G到平面ACB的距离为有；⑶先找出CA在面RCB耳的射影CE,NCEA1为

直线4。与平面BCCE所成线面角，放在Rt/^CE中即可求出直线A。与平面BCCM

所成角的正切值为手

CBLAB

。8_1.面443片

试题解析：(1)/CB1BB.>=>面CA]B_L面A]ABB14分

CBu面CAjb

,;B、CJ/BC

（2）解：4G0面ABC“ngq//面ABC,所以点G，片到面4cB的距离相等，6

BCu面4田。

分

设点到面的距离相等，则

BI14Ic8VDa|~_/1A|VCOfi=3-5ABC.t/

VNAA8=60。，・・・AA|A8为正三角形，.•.43=2,5%“二g・2・l=1,..=\d7

分

又^Bf-AfCB=匕_4用8=8

・・・亨邛，・・.d=3,点G到平面ACB的距离为行9

分

(3)解：过4作垂足为E10

分

ffiA1ABB11面BB£C'

面A]ABBm面BB£C=BB]=

1111J=AE_L而GCBB112

AE上BB]

4酒(3面44881

分

•••CE为CA在面GC8片的射影，ZCEA,为直线A。与平面BCC4所成线面角，13

分

在RfA4.CE中，tanZ/11cE==W=半,

所以直线Ac与平面BCG四所成角的正切值为二二.

2

题型三锥体体积

常用技巧：选择合适的底面

例3：如图所示，在三棱锥P-A8C中，PA=PB=AB=2,BC=3,Z4BC=90°,

平面平面ABC,D,E分别为AB,AC中点.

(1)求证：D£//平面PDC；

(2)求证：ABLPEx

(3)求三棱锥P—BEC的体积.

解析：(i)・.・。，E分别为AB,AC的中点，.・.OE//3C,

又OEa平面PBC,BCu平面PBC,DE//平面PBC.

(2)连接「。，

,:DEUBC,又ZABC=90。，

又PA=PB,。为A8中点，.・.PDJ_AB,

.♦.48_1平面尸短后，・・.•，依.

(3),・•平面平面ABC,PD.LAB,

ECTBCXXXXX

„„.ARR%-8=；/=；；；23G=W

.・.PD_L平面ABC,.・.22322.

变式1：如图所示,三棱柱48。—ABC中,AB=AC=A4j=BG=2,N44G=60。,平

面ABC】J,平面AAGC，AC；与AC相交于点O.

B

(1)求证：BDA.A}C；

(2)若七在棱BQ上，且满足Z)E〃面ABC,求三棱锥E—ACG的体积

解析：(1)已知侧面A4GC是菱形，。是AC1的中点，-：BA=BC^ABDIAC,

•・•平面ABC；_L平面A41c0,且8£>u平面ABC1，平面ABQfl平面相£。=A£,

ABOJ■平面A41CIC,BD1A。.

(2)TOE〃面ABC,OEu面ABC［，［SiABCiABC=AB,：,DEIIAB

•••点。为AG的中点，，点E为BQ的中点，

AA,=AC=AC1=2,NAA1G=60°,:.AC1=2>,:AB—BC1=2,

・•・为正三角形，BD=6

・•・点E到面ACC,的距离=；,点8到面ACC,的距离=；BD=^,

SMCC=-AC^AC^sin60°=-^2^2^—=y/3

AMVVj2।,2

7T

变式2：如图所示，在平行四边形ABC。中，AB=i,BC=2,NCB4=—，ABEF为

3

直角梯形，BE//AF,NBAF，,BE=2,AF=3,平面A3CD_L平面A3EF.

2

D

(1)求证：AC_L平面AB防；

(2)求三棱锥。—AE产的体积.

jr

解析：(1)证明：在AABC中，AB=1,NCSA=一，BC=2,

3

所以AC?=BA2+BC2-2BAxBCcosZCBA=3,

所以402+84?=8。2,所以ABJLAC,

又因为平面ABCD1平面ABEF,平面ABSD平面ABEF=AB,

4Cu平面ABC。，所以AC_L平面AB斯.

(2)解：如图所示，连结CP.

CD//AB,

'CO〃平面AB£/L

••・点D到平面ABEF的距离等于点C到平面ABEF的距离，并且AC=百.

••^D-AEF=^C-AEF

=gx(gx3xl)xG

=6

~2

变式3：如图所示，在四棱锥P-ABC。中，。。_1平面ABC。，底面ABC。是菱形,

ZBAD=60,AB=2,PD=瓜,。为AC与8。的交点，E为棱PB上一点.

(I)证明：平面E4C_L平面尸83；

(II)若PD〃平面E4C,求三棱锥P—E4力的体积.

解析：(I)证明：•・•f£>_!_平面ABC。，ACu平面ABCD,

••・AC_LPZ).・••四边形A3CD是菱形，/.AC.LBD,

又•：PDp\BD=D,4。_1_平面28。.

而ACu平面E4C,・•・平面E4C_L平面依£>.

(II)解：・・・P。//平面EAC,平面E4CPI平面=

・•・PD//OE,

・・・。是3。中点，・・・E是尸8中点.

取4。中点H,连结34，•・•四边形A8CO是菱形，/84。=60:

：・BHtAD,又BH上PD,4。口产方=。，；♦8。_L平面尸AO,BH=—AB=43.

2

••/_冈)=VE_PAD=；VR_PAD=9gxS"AI)XBH逐乂6=与

变式4：如图所示，在三棱锥S—A3C中，S4_L底面ABC,ZABC=90°,且£4=AB,

点M是S3的中点，AN上SC且交SC于点、N.

(1)求证：SCJL平面AMN；

(2)当人b=3C=l时，求三棱锥A/S4N的体积.

(1)证明：・.・S4J_底面A8C,「.⑶。，夕1,又易知3C_LAB,

.♦.8。_1平面点3,「.8。_1曲，

又・・・S4=AB,"是防的中点，「.AMJLSB,

.•.4加_1平面53。，.・./^_15。，

又已知AN1SC,

:.SC_L平面AMN；

(2)・.・SC_L平面AMN,「.SN，平面4MN,

而&4=AB=3C=1,/.AC=V2,SC=6

又・;ANA.SC,;.AN=^~,

3

又・.・AM_L平面SBC,.•.AM_LA7V,

而AM二也，:.MN=—

26

c_1V2娓

22612

••^S-AMN~TS.MN，SN——,

336

'M-SA1^^S-AMN~石•

题型4二面角

常用技巧：1、定义法；2、垂线法；3、垂面法

例4：四棱锥A—BCD石中，底面BCDE为矩形，侧面A5C_L底面8COE,BC=2,

CD=立,AB=AC.

（1）证明：AD1CE；

（2）设CE与平面ABE所成的角为45、求二面角C-AO-E的余弦值的大小.

解析：（1）取8C中点尸，连接DF交CE于点0.

VAB=AC,AAF±BC,

又平面ABC1平面BCDE，工AF_1_平面BCDE,

・•・AFLCE.

tanNCED=tan4FDC=—,

2

；・/OED+NODE=90,AZDOE=90,BPCE1DF,

・・・。后_1平面4）/，/.CE±AD.

（2）在面4co内过C点作A。的垂线，垂直为G.

CGIAD,CE1AD,二AD_L面CEG,，EG_LAO,

则NCGE即为所求二面角的平面角.

AC・CD2y/3V6I帚屈

CG=------=---,£/G=---,EU—7DmE-DU=------,

AD333

〜/7CG2+GE2-CE2Vio

CE=>j6,则nlcosNCGE=---------------------=--------.

ICG•GE10

变式1：如图所示，三棱柱ABC-ABG的底面是边长为2的正三角形，且侧棱垂直于底

面，侧棱长是小，。是4C的中点。

(1)求证：8c〃平面ABZ)；

(2)求二面角4—B。一A的大小；

(3)求直线与平面ABQ所成的角的正弦值.

解析：解法一:

(1)设AB1与A》相交于点P,连接PD,则P为AB1中点1分

•••£>为AC中点，.•.尸力〃B|C,3分

又,.,POu平面A|B。，B|C〃平面A》。4分

(2)•・•正三棱住ABC-A|B|G，AA]J_底面4BC,又•.•8Q_LAC,/.A【D_L8。,

ZA,DA就是二面角A-BD-A的平面角6分

.-1AAi~

vAA.=V3>AD=—AC=\»tanNA〕DA=—­—=J3

2AD

/.ZA,DA=-,即二面角4—BD—A的大小是工8分

33

(3)由(2)作AM_LA]D,M为垂足9分

vBD1AC,平面A]ACC]1平面4BC,平面A】ACC】C平面ABC二AC

.•.8£>_L平面A]ACC|,•.•4闻<=平面人|人81,.,.8。_1_4知

乂人2八5。=0,「.4知_1,平面从]。8,10分

连接M尸，则NAPM就是直线AB与平面A》/)所成的角11分

vAA.=V3,AD=\,.•.在宠必AA|O中，ZA.DA=—,

3

Fiifny/3

AM=1xsin60'=—，AP=—AB.=—，.AM2V27

乙乙乙APV77

二.直线AB.与平面A.BD所成的角的正弦值为‘V2113分

7

变式2：如图所示，在四棱锥尸—ABC。中，底面A5C。是ND48=600且边长为。的菱

形，侧面PAO是等边三角形，且平面PAO_L底面A3CZ).

(1)若G为AO的中点，求证：3G_L平面PAO；

(2)求证：ADLPB：

(3)求二面角A—8C—P的大小.

证明：(1)为等边三角形且G为AO的中点,

•.BG1AD

又平面PAD1平面ABCD,

..8G_L平面R4O

<2)24。是等边三角形且G为AD的中点，

AD1PG且AD1BG,

又PGcBG=G,

A£)_L平面PBG,P8u平面P3G,

..ADA.PB

(3)由AD_L依，AD//BC,

BC.LPB

又BG上AD,AD//BC,

..BGA.BC

.•・NP8G为二面角4一8C—0的平面角

在RfAPBG中,PG=BG,:./PBG=45°

变式3：如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA±底面ABCD,

ABYAD,ACA.CD,NA8C=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点

(1)证明CD_LAE；

(2)证明PDJ_平面ABE；

(3)求二面角A—PD—C的正弦值的大小

AD

C

B

(I)证明：在四棱锥P—ABC。中，因R4_L底面ABC。，CQu平面A8CQ,故

PA1CD9：AC±CD,E4C|AC=A,・・.Cr>_L平面尸AC

而Afu平面PAC，CD±AE

(2)证明：由%二AB=8C，ZABC=60°,可得AC=P4

YE是尸。的中点，・・・AE_LPC

由(1)知，AE±CD,旦PCn8=C，所以AEJ_平面PC。

而PDu平面尸8，・・・4石_1.尸。

♦・・Q4_L底面A8CDP。在底面A8C。内的射影是A£>,AB±ADf：.ABLPD

又・・・48口4石=4,综上得PD_L平面A5E1

(3)解法一：过点A作AM_LP0，垂足为M,连结EM则(2)知，AE_L平面PCO,

AM在平面PCD内的射影是EM,则HW_LPD

因此NAME是二面角A—尸。一。的平面角

由已知，得NC4O=30°设AC=。，

可得PA=a,A£>=2石PD=^^~a,AE=^-a

332

在RtZXAOP中，9：AM±PD，：.AM*PD=PA-AD

PA^AD2币

则AM=3------a

PD7

3

在RtZ\AEM中，sinAME=—=—

AM4

解法二：由题设尸4_L底面A8CD,PAu平面尸骨力，则平面BAD_L平面ACD,交线

为AD

过点C作C/_LA。，垂足为尸，故CbJ■平面尸40过点尸作垂足为M，

连结CM,故CM_LPQ因此NCMP是二面角A—PD—C的平面角

由已知，可得NC4O=30°,设AC=a,

可得PA=a,A£)=2"a,PD=^^~a,CF=—a,FD=^-a

3326

FMFD

△皿)一・.—=一

PAPD

FD*PAy/1

于是,-----a

PD14

CFQi-

在RtZ^CW"中，tanCMF=—=-^=-=V7

FMx/7

——a

14

变式4：如图所示，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC,

ZBAC=ZACD=900,NE4C=60。，AB=AC=AE.

（I）点尸是直线BC中点，证明。尸〃平面E46；

（II）求平面EB。与平面A8C所成的锐二面角的余弦值.

解析：（I）证明：取A8的中点尸连结OP、PF、EF,则

FP//AC,FP=-AC,取AC的中点M,连结EM、EC,

2

•・・4后=4。且/五4。=60。，，/\£4。是正三角形，・・・胡/_14。.

・・・四边形EMCZ）为矩形，・・・EO=MC=LAC.4分

2

又,：EDI/AC,

:.ED//FP且ED=FP,四边形硒吆）是平行四边形.

:・DP//EF,而所u平面EM,DPZ平面EA5,〃平面EA5.6分

（H）（法1）过B作AC的平行线/,过C作/的垂线交/于G,连结OG,

♦:EDHAC,：,EDHl,

/是平面旗。与平面ABC所成二面角的棱.8分

•・♦平面E4C_L平面ABC,OCJ.AC,・・・OC_L平面ABC,

又・・・/匚平面48。，「.。。_1/,・・・/_1平面£>6。，・・・/_1£>(7,

・•・/OGC是所求二面角的平面角.10分

设勿，则。7)=缶，GC=2af

・•・GD=ylGC2+CD2=41a，

cos0=cosZ.DGC=.12分