2025年外研版高二数学下册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年外研版高二数学下册阶段测试试卷826考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、已知函数y=tan（2x+φ）的图象过点（0），则φ可以是（）

A.-

B.

C.-

D.

2、过点P（1，1）且与曲线y=x4相切的切线与直线4x-y+1=0的位置关系是（）

A.平行。

B.重合。

C.垂直。

D.斜交。

3、在复平面内，复数(是虚数单位）对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4、函数有大于零的极值点，则（）A.B.C.D.5、【题文】已知向量a＝(2,1)，b＝(－2，k)，且a⊥(2a－b)，则实数k＝()．A.－14B.－6C.6D.146、【题文】NBA篮球总决赛采用7场4胜制，先取胜4场的球队夺冠．若甲、乙两队每场比赛获胜的几率相等，则它们打完5场以后仍不能结束比赛的概率为()A.B.C.D.7、中，A>B是sinA>sinB的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件8、如果命题“p或q”为真，命题“p且q”为假，则（）A.命题p和命题q都是假命题B.命题p和命题q都是真命题C.命题p和命题“非q”真值不同D.命题p和命题“非q”真值相同评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)9、椭圆的离心率为____．10、两条异面直线a，b所成的角为60°，在直线a，b上分别取点A1，E和点A，F使AA1⊥a，且AA1⊥b（称AA1为异面直线a，b的公垂线）．已知A1E=2，AF=3，EF=5，则线段AA1的长为____．11、设直线与圆相交于两点，且弦的长为则____．12、【题文】将函数的图象上每一点向右平移个单位，再将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的倍（纵坐标保持不变），得函数的图象，则的一个解析式为__________________．13、【题文】函数f(x)＝cosx－sinx（x∈[－π,0]）的单调递增区间为_____________14、已知命题p：∀x∈R，x2-a≥0，命题q：∃x∈R，x2+2ax+2-a=0．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为______．15、现要挖一个面积为432m2的矩形鱼池，鱼池周围两侧留出宽分别为3m，4m的路，如图所示，则总占地面积最小值为______m2．16、若abc

为直角三角形的三边，其中c

为斜边，则a2+b2=c2

称这个定理为勾股定理.

现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O鈭�ABC

中，隆脧AOB=隆脧BOC=隆脧COA=90鈭�S

为顶点O

所对面的面积，S1S2S3

分别为侧面鈻�OAB鈻�OAC鈻�OBC

的面积，则SS1S2S3

满足的关系式为______．评卷人得分三、作图题(共5题，共10分)17、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

18、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）19、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）20、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

21、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共3题，共21分)22、已知函数f（x）=2x3-3x2+3

（1）求曲线y=f（x）在点x=2处的切线方程；

（2）求函数f（x）的单调区间．

23、【题文】已知三个内角的对边分别为向量且与的夹角为

（1）求角的值；

（2）已知的面积求的值.24、在直角梯形PBCD中，A为PD的中点，如图．将△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，点E在SD上，且如图．

（Ⅰ）求证：SA⊥平面ABCD；

（Ⅱ）求二面角E﹣AC﹣D的正切值．

评卷人得分五、计算题(共4题，共40分)25、如图，正三角形ABC的边长为2，M是BC边上的中点，P是AC边上的一个动点，求PB+PM的最小值．26、解不等式组．27、解不等式组：．28、已知z1=5+10i，z2=3﹣4i，求z．评卷人得分六、综合题(共3题，共15分)29、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．30、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．31、（2015·安徽）设椭圆E的方程为+=1(ab0),点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足=2直线OM的斜率为参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、A【分析】

依题意可知tan（2+φ）=tan（+φ）=0，解得φ=kπ-

故选A

【解析】【答案】将（0）代入原函数可得，tan（+φ）=0；再将四个选项代入检验即可．

2、A【分析】

切线斜率就是函数y=x4相在x=1处的导数，由于y′=4x3；

故函数y=x4相在x=1处的导数等于4；故切线方程为y-1=4（x-1），即4x-y-3=0．

由于4x-y-3=0和直线4x-y+1=0的斜率相等；但在y轴上的截距不相等；

故两直线平行．

故选A．

【解析】【答案】切线斜率就是函数y=x4在x=1处的导数4；由点斜式求出切线方程，从而得到切线和直线4x-y+1=0的位置关系．

3、A【分析】对应的点在第一象限.【解析】【答案】A4、B【分析】∵由题意方程有大于零的根，∴解得选B【解析】【答案】B5、D【分析】【解析】2a－b＝(6,2－k)，∴a⊥(2a－b)⇔a·(2a－b)＝(2,1)·(6,2－k)＝12＋2－k＝0，∴k＝14.【解析】【答案】D6、B【分析】【解析】略【解析】【答案】B7、C【分析】【解答】在中，i)若时,由函数在上是单调递增，所以可得的显然成立.ii若时.又因为所以由上可得充分性成立；同理可说明必要性也存在.综上选C.8、D【分析】解：若命题“p或q”为真；则p，q至少有一个为真．

若命题“p且q”为假；则p，q至少有一个为假；

所以命题p；q一真，一假．所以命题p和命题“非q”真值相同．

故选D．

利用复合命题与简单命题的真假关系进行判断．

本题主要考查了复合命题与简单命题的真假关系．比较基础．【解析】【答案】D二、填空题(共8题，共16分)9、略

【分析】

椭圆中；

∵a2=16，c2=16-8=8；

∴a=4，c=2

∴椭圆的离心率e===．

故答案为：．

【解析】【答案】在椭圆中；分别求出长半轴a和半焦距c，由此能求出离心率e．

10、略

【分析】

∵两条异面直线a，b所成的角为60°；

AA1⊥a，且AA1⊥b，A1E=2；AF=3，EF=5；

∴

∴=+2+2+2

设线段AA1的长x；

∴25=4+x2+9±2×2×3×3×cos60°；

所以x=或x=3．

故答案为：或3．

【解析】【答案】由两条异面直线a，b所成的角为60°，AA1⊥a，且AA1⊥b，A1E=2，AF=3，EF=5，知故=+2+2+2由此能求出线段AA1的长．

11、略

【分析】【解析】

因为直线与圆相交于两点，且弦的长为圆心坐标为（1,2）半径为2，圆心到直线的距离为【解析】【答案】、012、略

【分析】【解析】

试题分析：函数的图象上每一点向右平移个单位，得到的图象，再将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的倍（纵坐标保持不变），得函数的图象，其解析式为

考点：正弦型函数的图象及其变换。

点评：中档题，三角函数图象的变换注意平移与周期变换顺序不同时存在的差别。平移变换遵循“左加右减，上加下减”。【解析】【答案】13、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】14、略

【分析】解：∀x∈R，x2-a≥0得a≤x2；

则a≤0；即p：a≤0；

若：∃x∈R，x2+2ax+2-a=0为真命题，则判别式△=4a2-4（2-a）≥0；

即a2+a-2≥0；得a≥1或a≤-2，即q：a≥1或a≤-2；

若“p∧q”是真命题；则p，q同时为真命题；

则得a≤-2；

故答案为：（-∞；-2]．

根据条件分别求出命题p；q为真命题的等价条件，然后根据复合命题真假关系进行求解即可．

本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件求出命题p，q的等价关系是解决本题的关键．【解析】（-∞，-2]15、略

【分析】解：设鱼池的两边长分别为xm，m；

∴占地总面积S=（x+6）（+8）=432+48++8x≥480+288=768；

当且仅当8x=即x=18时浴池占地总面积最小．

此时总面积最小为768m2．

故答案为：768

由浴池的面积设出鱼池的两边长分别为xm，m；写出占地面积利用基本不等式求最小值．

本题考查函数模型的选择和应用，本题解题的关键是读懂题意，写出满足条件的面积的表示形式，再利用求最值的方法得到结果．【解析】76816、略

【分析】解：由abc

为直角三角形的三边，其中c

为斜边，则a2+b2=c2

类比到空间中：

在四面体O鈭�ABC

中，隆脧AOB=隆脧BOC=隆脧COA=90鈭�

S

为顶点O

所对面的面积；

S1S2S3

分别为侧面鈻�OAB鈻�OAC鈻�OBC

的面积；

则SS1S2S3

满足的关系式为：S2=S12+S22+S32

．

故答案为：S2=S12+S22+S32

本题考查的知识点是类比推理；在由平面几何的性质类比推理空间立体几何性质时，我们常用的思路是：由平面几何中点的性质，类比推理空间几何中线的性质；由平面几何中线的性质，类比推理空间几何中面的性质；由平面几何中面的性质，类比推理空间几何中体的性质；或是将一个二维平面关系，类比推理为一个三维的立体关系，故类比平面内的勾股定理，我们可以推断四面体的相关性质．

类比推理的一般步骤是：(1)

找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)

用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(

猜想)

．【解析】S2=S12+S22+S32

三、作图题(共5题，共10分)17、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

18、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．19、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．20、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

21、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共3题，共21分)22、略

【分析】

（1）求导函数，可得f′（x）=6x2-6x；

∴f′（2）=12

∵f（2）=7；

∴曲线y=f（x）在点x=2处的切线方程为y-7=12（x-2）；即12x-y-17=0；

（2）f′（x）=6x2-6x=6x（x-1）

令f′（x）＞0；可得x＜0或x＞1；令f′（x）＜0，可得0＜x＜1；

∴f（x）单调递增区间是：（-∞；0），（1，+∞）；单调递减区间是：（0，1）．

【解析】【答案】（1）求导数；确定切线的斜率，求出切点的坐标，即可得到切线方程；

（2）利用导数的正负；即可求函数f（x）的单调区间．

23、略

【分析】【解析】

试题分析：本题主要考查三角函数、平面向量、余弦定理、两角和与差的余弦公式等基础知识，考查分析问题、解决问题的能力.第一问，根据平面向量的数量积列出一个三角函数的等式，通过变换这个等式探究第一问的答案，在求角之前应注意角的取值范围；第二问，利用第一问的结论，有了角的大小，要求三角形面积只需求出的值，利用余弦定理和面积公式联立，解出

试题解析：(1)∵

∴

即

又∵∴(6分)

(2)由得①

由得②

由①②得∵

∴(12分)

考点：1.向量的数量积；2.余弦定理；3.三角形的面积公式；4.两角和与差的余弦定理.【解析】【答案】(1)（2）24、解法一：（Ⅰ）证明：在题平面图形中；由题意可知，BA⊥PD，ABCD为正方形，所以在翻折后的图中，SA⊥AB，SA=2，四边形ABCD是边长为2的正方形；

因为SB⊥BC；AB⊥BC，SB∩AB=B

所以BC⊥平面SAB；

又SA⊂平面SAB；

所以BC⊥SA；

又SA⊥AB；BC∩AB=B

所以SA⊥平面ABCD；

（Ⅱ）在AD上取一点O，使连接EO

因为所以EO∥SA

因为SA⊥平面ABCD；

所以EO⊥平面ABCD；

过O作OH⊥AC交AC于H；连接EH；

则AC⊥平面EOH；

所以AC⊥EH．

所以∠EHO为二面角E﹣AC﹣D的平面角，．

在Rt△AHO中，

∴

即二面角E﹣AC﹣D的正切值为

解法二：（Ⅰ）同方法一。

（Ⅱ）解：如图，以A为原点建立直角坐标系，A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），S（0，0，2），E（0，）

∴平面ACD的法向为

设平面EAC的法向量为=（x，y，z），

由

所以可取

所以=（2；﹣2，1）．

所以

所以

即二面角E﹣AC﹣D的正切值为

【分析】【分析】（法一）（Ⅰ）由题意可知，翻折后的图中SA⊥AB①，易证BC⊥SA②，由①②根据直线与平面垂直的判定定理可得SA⊥平面ABCD；（Ⅱ）（三垂线法）由考虑在AD上取一点O，使得从而可得EO∥SA，所以EO⊥平面ABCD，过O作OH⊥AC交AC于H，连接EH，∠EHO为二面角E﹣AC﹣D的平面角，在Rt△AHO中求解即可（法二：空间向量法）（Ⅰ）同法一（Ⅱ）以A为原点建立直角坐标系，易知平面ACD的法向为求平面EAC的法向量，代入公式求解即可五、计算题(共4题，共40分)25、略

【分析】【分析】作点B关于AC的对称点E，连接EP、EB、EM、EC，则PB+PM=PE+PM，因此EM的长就是PB+PM的最小值．【解析】【解答】解：如图；作点B关于AC的对称点E，连接EP；EB、EM、EC；

则PB+PM=PE+PM；

因此EM的长就是PB+PM的最小值．

从点M作MF⊥BE；垂足为F；

因为BC=2；

所以BM=1，BE=2=2．

因为∠MBF=30°；

所以MF=BM=，BF==，ME==．

所以PB+PM的最小值是．26、解：由{#mathml#}x+3x+1

{#/mathml#}≤2得：{#mathml#}x−1x+1

{#/mathml#}≥0，解得x＜﹣1或x≥1；由x2﹣6x﹣8＜0得：3﹣{#mathml#}17

{#/mathml#}＜x＜3+{#mathml#}17

{#/mathml#}，

∴不等式组得解集为（3﹣{#mathml#}17

{#/mathml#}，﹣1）∪[1，3+{#mathml#}17

{#/mathml#}）【分析】【分析】分别解不等式≤2与x2﹣6x﹣8＜0，最后取其交集即可．27、解：由|x﹣1|＜3解得﹣2＜x＜4；

由＞1得﹣1=＞0；

解得3＜x＜5；

所以，不等式解集为（3，4）．【分析】【分析】根据不等式的解法即可得到结论．28、解：∴

又∵z1=5+10i，z2=3﹣4i

∴【分析】【分析】把z1、z2代入关系式，化简即可六、综合题(共3题，共15分)29、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）．