2020-2022年北京市初三一模数学试题汇编：二次函数与一元二次方程

第1页/共1页2020-2022北京初三一模数学汇编二次函数与一元二次方程一、单选题1．（2022·北京石景山·统考一模）已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：…﹣1013……0﹣1.5﹣20…根据表格中的信息，得到了如下的结论：①二次函数y=ax2+bx+c可改写为y=a(x−1)2−2的形式②二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下③关于x的一元二次方程ax2+bx+c=−1.5的两个根为0或2④若y>0，则x>3其中所有正确的结论为（

）A．①④ B．②③ C．②④ D．①③2．（2021·北京大兴·统考一模）已知二次函数，当和时对应的函数值相等，则下列说法中不正确的是（

）A．抛物线的开口向上 B．抛物线与y轴有交点C．当时，抛物线与x轴有交点 D．若是抛物线上两点，则二、解答题3．（2022·北京海淀·统考一模）数学学习小组的同学共同探究体积为330mL圆柱形有盖容器（如图所示）的设计方案．，他们想探究容器表面积与底面半径的关系．具体研究过程如下，请补充完整：（1）建立模型：设该容器的表面积为S，底面半径为cm，高为cm，则，

①，

②由①式得，代入②式得．

③可知，S是x的函数，自变量x的取值范围是．（2）探究函数：根据函数解析式③，按照下表中自变量x的值计算（精确到个位），得到了S与x的几组对应值：…11.522.533.544.555.56……666454355303277266266274289310336…在下面平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（3）解决问题：根据图表回答，①半径为2.4cm的圆柱形容器比半径为4.4cm的圆柱形容器表面积______．（填“大”或“小”）；②若容器的表面积为300，容器底面半径约为______cm（精确到0.1）．4．（2022·北京门头沟·统考一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（是常数）．(1)求该抛物线的顶点坐标（用含代数式表示）；(2)如果该抛物线上有且只有两个点到直线的距离为1，直接写出的取值范围；(3)如果点，都在该抛物线上，当它的顶点在第四象限运动时，总有，求的取值范围．5．（2022·北京房山·统考一模）已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（1，0）与点C（0，-3），其顶点为P．(1)求二次函数的解析式及P点坐标；(2)当m≤x≤m+1时，y的取值范围是-4≤y≤2m，求m的值．6．（2021·北京东城·统考一模）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a上，其中x1＜x2．(1)求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；(2)①当x＝a时，求y的值；②若y1＝y2＝0，求x1的值（用含a的式子表示）．(3)若对于x1+x2＜﹣4，都有y1＜y2，求a的取值范围．7．（2021·北京大兴·统考一模）已知抛物线经过点(−1，8)．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线与x轴交点的坐标．8．（2020·北京通州·统考一模）在平面直角坐标系中，存在抛物线以及两点．(1)求该抛物线的顶点坐标；(用含的代数式表示)(2)若该抛物线经过点，求此抛物线的表达式；(3)若该抛物线与线段有公共点，结合图象，求的取值范围．9．（2022·北京燕山地区·统考一模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点为点和点B．(1)用含a的式子表示b；(2)求抛物线的对称轴和点B的坐标；(3)分别过点和点作x轴的垂线，交抛物线于点M和点N，记抛物线在M，N之间的部分为图象G（包括M，N两点）．记图形G上任意一点的纵坐标的最大值是m，最小值为n．①当时，求的最小值；②若存在实数t，使得，直接写出a的取值范围．三、填空题10．（2021·北京朝阳·统考一模）如图，直线与抛物线交于点，且点A在y轴上，点B在x轴上，则不等式的解集为_____．

参考答案1．D【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．【详解】解：由表格可得，∵该函数的图象经过（-1，0），（3，0），∴该函数图象的对称轴是直线x==1，∴该函数图象的顶点坐标是（1，-2），有最小值，开口向上，∴二次函数y=ax2+bx+c可改写为y=a(x−1)2−2的形式，故选项①正确，选项②错误；∵该函数的图象经过（0，-1.5），其关于对称轴直线x=1的对称点为（2，-1.5），∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=−1.5的两个根为0或2，故选项③正确；∵该函数的图象经过（-1，0），（3，0），∴若y>0，则x>3或x<-1，故选项④错误；综上，正确的结论为①③，故选：D．【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点所代表的意义、图象上点的坐标特征等．2．C【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称性、与坐标轴交点等性质逐条判断即可．【详解】解：二次函数二次项系数是1，大于0，抛物线开口向上，故A正确，不符合题意；当时，，抛物线与y轴有交点为（0，n），故B正确，不符合题意；二次函数，当和时对应的函数值相等，它的对称轴为，即，，抛物线解析式为，若抛物线与x轴有交点，则，解得，故C错误，符合题意；两点关于抛物线对称轴直线对称，所以，故D正确,不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，解题关键是熟练掌握二次函数性质，根据相关性质准确进行推断．3．①大；②或【分析】①根据（2）中的表格中数据与函数图象分析可得当时，，当时，，进而可比较当与时，的值的大小，②根据函数图象求解即可【详解】解：①（2）中的表格中数据可知，当时，，当时，，根据函数图象可知，当时，随的增大增大，当时，随的增大而减小，时，,时，半径为2.4cm的圆柱形容器比半径为4.4cm的圆柱形容器表面积大故答案为：大②根据函数图象可知，当时，或故答案为：或【点睛】本题考查了函数图象，根据函数图象获取信息是解题的关键．4．(1)抛物线的顶点坐标（m，m-2）；(2)2＜m＜4；(3)a≥1．【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式求解．（2）由抛物线上有且只有两个点到直线的距离为1，及抛物线开口向下可得顶点在直线y=0和直线y=2之间，进而求解．（3）由顶点在第四象限可得m的取值范围，由y1＜y2可得点B到对称轴距离大于点A到对称轴距离，进而求解．（1）∵，∴抛物线的顶点坐标（m，m-2）；（2）∵抛物线开口向下，顶点坐标为（m，m-2），∴0＜m-2＜2，解得2＜m＜4；（3）∵抛物线顶点在第四象限，∴，解得0＜m＜2，∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=m且y1＞y2，∴在对称轴右侧，∴a+2-m＞|a-m|，即a+2-m＞a-m或a+2-m＞m-a，解得a＞m-1，∵0＜m＜2，∴a≥1．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．5．(1)，顶点的坐标为(2)【分析】（1）直接利用待定系数法求二次函数得出答案；（2）分①时，②当时，两种情况分别求解即可．（1）解：解：点、在二次函数的图象上，，解得，二次函数的解析式为：，顶点的坐标为；（2）解：时，的最小值为，，即，①时，，由，解得：（舍去），，②当时，，由，解得：（舍去），（舍去），综上：的值为．【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质等知识，解题的关键是正确分类讨论得出的取值范围．6．(1)对称轴为直线x＝a﹣1(2)①y=0；②x1＝a﹣2(3)a≥﹣1【分析】（1）根据抛物线的对称轴x＝﹣求解即可；（2）①将x＝a代入y＝﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a求解即可；②若y1＝y2＝0，则﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a＝0，解方程并根据x1＜x2，求出x1的值．（3）由题意得出x1＜﹣2，则只需讨论x1＜a﹣1的情况，分两种情况：①当a≥﹣1时，又有两种情况：x1＜x2＜a﹣1，x1＜a﹣1＜x2，分别结合二次函数的性质及x1+x2＜﹣4计算即可；②当a＜﹣1时，令x1＝a﹣1，x2＝﹣2，此时x1+x2＜﹣4，但y1＞y2，不符合题意．【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝a﹣1；（2）解：①当x＝a时，y＝﹣a2+（2a﹣2）a﹣a2+2a＝﹣a2+2a2﹣2a﹣a2+2a＝0；②当y1＝y2＝0时，﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a＝0，∴x2﹣（2a﹣2）x+a2﹣2a＝0，∴（x﹣a+2）（x﹣a）＝0，∵x1＜x2，∴x1＝a﹣2；（3）解：①当a≥﹣1时，∵x1＜x2，x1+x2＜﹣4，∴x1＜﹣2，只需讨论x1＜a﹣1的情况．若x1＜x2＜a﹣1，∵x＜a﹣1时，y随着x的增大而增大，∴y1＜y2，符合题意；若x1＜a﹣1＜x2，∵a﹣1≥﹣2，∴2（a﹣1）≥﹣4，∵x1+x2＜﹣4，∴x1+x2＜2（a﹣1）．∴x1＜2（a﹣1）﹣x2．∵x＝2（a﹣1）﹣x2时，y1＝y2，x＜a﹣1时，y随着x的增大而增大，∴y1＜y2，符合题意．②当a＜﹣1时，令x1＝a﹣1，x2＝﹣2，此时x1+x2＜﹣4，但y1＞y2，不符合题意；综上所述，a的取值范围是a≥﹣1．【点睛】本题属于二次函数的综合题，涉及二次函数的性质、求函数值、运用二次函数求不等式等知识点，灵活运用二次函数的性质成为解答本题的关键．7．（1）抛物线解析式为；（2）抛物线与x轴的交点坐标是（1，0），（3，0）．【分析】（1）把已知点的坐标代入中得到关于c的方程，然后解方程即可；（2）通过解方程可得到抛物线与轴的交点坐标．【详解】解：（1）∵抛物线经过点(−1，8)，∴，解得：，∴抛物线解析式为；（2）当，则．解得，∴抛物线与x轴的交点坐标是（1，0），（3，0）．【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，a≠0）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了待定系数法求抛物线解析式．8．（1）；（2）：或；（3）或.【分析】（1）根据题意将抛物线的一般解析式化为顶点式即可得出抛物线的顶点坐标；（2）根据题意将代入求出m的值即可求得该抛物线的表达式；（3）根据题意分m≥0，m＜0两种情形，分别构建不等式解决问题即可．【详解】解：（1）∵抛物线解析式为：，∴顶点坐标为：.（2）∵抛物线经过点，∴，解得，所以该抛物线的表达式为：或.（3）当m≥0时，如图1中，观察图象可知：，∴且，解得．当m＜0时，如图2中，观察图象可知：，∴m2+2m≥0且m2+2m-2≤0，解得，综上所述，满足条件的m的值为：或．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解决本题的关键是结合图象进行分析解答．9．(1)(2)，(3)①1；②或【分析】（1）把点代入即可得；（2）由对称轴公式可得抛物线的对称轴为直线，由抛物线对称性得点坐标；（3）①当时，，即得抛物线与轴交点坐标为，，与轴交点坐标为，顶点坐标为，当图象为对称图形时有最小值，可得，，即得的最小值为；②由（1）知抛物线为，得，，，顶点坐标为，可分四种情况讨论的取值：（Ⅰ）当，且时，，解得，可得；（Ⅱ）当，且时，，可得，（Ⅲ）当，且时，，可得；（Ⅳ）当，且时，，可得，即知当时，，同理可得：当时，也符合条件．【详解】（1）解：把点代入得：，；（2）解：由（1）知抛物线为，抛物线的对称轴为直线，而关于直线的对称点是，由抛物线对称性得：点坐标；（3）解：①如图：当时，，抛物线与轴交点坐标为，，与轴交点坐标为，顶点坐标为，由图象知：当图象为对称图形时有最小值，又，，，，，过点和点作轴的垂线，交抛物线于点和点，，，顶点坐标为，的最小值为；②点和点作轴的垂线，交抛物线于点和点，由（1）知抛物线为，，，，又抛物线对称轴为直线，顶点坐标为，根据、点的相对位置和抛物线的开口方向可分以下四种情况讨论的取值：（Ⅰ）当，且时，即图象在对称轴左侧时，此时点的纵坐标最大，点的纵坐标最小，，解得，又，，且，；（Ⅱ）当，且时，即图象在对称轴右侧时，此时点的纵坐标最大，点的纵坐标最小，，解得，又，，且，，（Ⅲ）当，且时，即最低点是抛物线顶点且点纵坐标大时，此时，，，解得，又，，，，；（Ⅳ）当，且时，即最低点是抛物线顶点时且点纵坐标大，此时，，，解