2024年广东省东莞市高考数学一模试卷（附答案）

2024年广东省东莞市高考数学一模试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.（5分）记复数z的共辗复数为2,若z（1+z）=2-23贝旭=（）

A.1B.V2C.2D.2V2

2.（5分）已知集合4={x|x=竽，kEZ},B-{x\x-^+kn,kEZ],贝U（）

A.A=BB.C.AQBD.

3.（5分）双曲线石—y2=i的顶点到其渐近线的距离为（)

lV3V3

A.遮B.1C.—D.

3

4.（5分）过/（-1,0）,B（0,3）,C（9,0）三点的圆与y轴交于N两点，则|孙=（）

A.3B.4C.8D.6

5.（5分）假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步2%,

而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过（）天，甲的“日能力值”

是乙的20倍.（参考数据：值102仁2.0086,/g99«=1.9956,1g2po.3010）

A.23B.100C.150D.232

22

TTrV3cosa+sina1-,,

6.（5分）a=-r+E（左EZ）"是“-------------=yJ3+1”的（）

4sinacosa

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.（5分）分别以锐角三角形45c的边45,BC,4C为旋转轴旋转一周后得到的几何体体积之比为遍：V6：2,则

cos5=（）

5V35V23V2V6

A.-----B.-----C.-----D.—

1212812

8.（5分）已知集合力={一2,3},若a,b,ce/且互不相等，则使得指数函数夕=优，对数函

数歹=log办，幕函数中至少有两个函数在（0,+8）上单调递增的有序数对（a,b,c）的个数是（）

A.16B.24C.32D.48

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得

6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

（多选）9.（6分）已知向量。=（1,V3）,b=（cosa,sina）,则下列结论正确的是（）

A.若a〃b,贝ijtana=V3

B.若（1_1/?,则tana=一第

TT71TT

C.若a与b的夹角为则|a—b|=3

D.若:与力方向相反，贝日在会上的投影向量的坐标是（―会一学）

第1页（共16页）

己知偶函数（）的定义域为（称）为奇函数，且（）在［］上单调递增，则下列

（多选）10.（6分）/xR,fx+l/x0,1

结论正确的是（)

34

A./(-|)<0B.

2024

C.f(3)<0D.

（多选）11.（6分）已知正方体NBCD-NiSCbDi的各个顶点都在表面积为3n的球面上，点尸为该球面上的任意

一点，则下列结论正确的是（）

A.有无数个点尸，使得AP〃平面BDCi

B.有无数个点尸，使得4PL平面ADCi

V2+1

C.若点尸6平面BCC/i,则四棱锥尸-A8C。的体积的最大值为

6

D.若点PC平面BCCLBI，则4P+PG的最大值为逐

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（5分）随机变量X〜N（^,。2）,若尸（X270）=P（XW90）且P（72WXW80）=0.3,则随机变量X的第

80百分位数是.

13.（5分）已知函数/（x）=sin（3x+（p）（3>0）在区间（看，上单调，且满足/（1）=—1,f（与D=0，则3

XV

14.（5分）已知直线/与椭圆C：百+，=1在第一象限交于尸，。两点，/与x轴，y轴分别交于M,N两点，且

er\PM\\QM\\PN\\QN\,,

）两足----+-----=-----+-----,贝!11的斜率为.

\QM\\PM\\QN\\PN\-----------------------------------

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

npx—a

15.（13分）已知0<a<1,函数/（X）=1^（x=0）.

（1）求/（X）的单调区间.

（2）讨论方程/（x）=。的根的个数.

第2页（共16页）

16.(15分)如图，已知圆柱。。1的轴截面488是边长为2的正方形，点尸是圆。1上异于点C,。的任意一点.

,2V3

(1)若点D到平面NCP的距禺为亍，证明：OiP_LCZ).

(2)求OC与平面NC尸所成角的正弦值的取值范围.

第3页(共16页)

17.(15分)如图，已知抛物线C：x2=4y,其上有定点/(-2,1),B(6,9),动点尸在抛物线上，且点尸位于

点45之间的曲线段上(不与点48重合)，过点8作直线/尸的垂线，垂足为。.

(1)若点尸是4。的中点，求点尸的坐标.

(2)求但。|是否有最大值，若有，求出其最大值；若没有，请说明理由.

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18.(17分)某单位进行招聘面试，已知参加面试的N名学生全都来自4,B,C三所学校，其中来自/校的学生人

数为〃该单位要求所有面试人员面试前到场，并随机给每人安排一个面试号码左1=1,2,3,…，N),

按面试号码改由小到大依次进行面试，每人面试时长5分钟，面试完成后自行离场.

(1)求面试号码为2的学生来自/校的概率.

(2)若N=40,月=10,且比C两所学校参加面试的学生人数比为1：2,求/校参加面试的学生先于其他两校

学生完成面试(/校所有参加面试的学生完成面试后，B,C两校都还有学生未完成面试)的概率.

(3)记随机变量X表示最后一名/校学生完成面试所用的时长(从第1名学生开始面试到最后一名/校学生完

成面试所用的时间)，E(X)是X的数学期望，证明：E(X)=吗尸.

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19.（17分）数值线性代数又称矩阵计算，是计算数学的一个重要分支，其主要研究对象包括向量和矩阵.对于平

/alla12a13

_________a21a22a23

面向量（X,歹），其模定义为|a|=J，+y2.类似地，对于〃行〃列的矩阵4〃=。31。32。33

九1O.n2Q九3

1

其模可由向量模拓展为㈣=（EM£陶陶2）2（其中劭•为矩阵中第2•行第，列的数，£为求和符号），记作//A//

F，我们称这样的矩阵模为弗罗贝尼乌斯范数，例如对于矩阵/22=,；；5）-其矩阵模〃N〃

1_____________________

尸=（EL1岑=1布）2=.22+42+32+52=3近弗罗贝尼乌斯范数在机器学习等前沿领域有重要的应用•

/I00

0V20

(1)VwGN*,心3,矩阵及〃=00V3求使〃5〃尸＞3代的n的最小值.

\000

(2)V/iGN*n2矩阵

(1COS0COS0cos3COS。cosd\

0—sinO—sinOcosO—sinOcosO—sinOcosO—sinOcosO

Cnn=,求〃。〃尸.

0000(-l)n-2smn-20(—l)n-2smn-20cos0

\00000(-1尸-飞讥nT。/

0…0\

n+1

n+lan+l匠

》（陪建》（吟产0.,0

，证明：V/iGN*,3,//D///O3J_

（3）矩阵。加=Q

4Vn-14Vn-14Vn-17571十V

Zn(2)n-1/n(2)n-1Zn(5-)n-1・・0

2VnQVnQVnQVn

\呜)元）（2）五仇(彳)布…仇(彳)方)

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2024年广东省东莞市高考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.(5分)记复数z的共飘复数为2,若z(1+/)=2-23贝旭=()

A.1B.V2C.2D.2V2

解：由z(1+z)=2-2i,得z=jy=(备=-2i.团=2.故选：C.

.1.4III-LIL)I_1.UI乙

2.(5分)已知集合/={%|%=竽，kGZ},B={%|%=5+%兀，fcGZ},贝！J()

A.A=BB.AHB=0C.AQBD.A^B

解：由集合8={%|%=白罗三，kEZ},A={%|%=竽，fcGZ),得/n艮故选：D.

3.(5分)双曲线石-y2=1的顶点到其渐近线的距离为()

lV3V3

A.V3B.1C.—D.—

23

解：双曲线=一步=1的一个顶点坐标为/(V3,0),一条渐近线方程为了=字刈即x—8y=0,

则双曲线上y2=1的顶点到其渐近线的距离为d周=g故选：c.

3

J12+(-V3)2，

4.(5分)过/(-1,0),B(0,3),C(9,0)三点的圆与y轴交于M,N两点，则此W|=()

A.3B.4C.8D.6

解：设圆的方程为«+/+瓜+切+尸=0,代入点/(-1,0),B(0,3),C(9,0),

(1-D+F=0

贝19+3E+F=0,解得。=-8,E=0,F=-9,可得x2+/-8x-9=0,整理得(x-4)2+/=25符合题意,

、81+9。+F=0

所以圆的方程为了+产-网-9=0,令x=0,可得y2-9=0,解得y=±3,所以|ACV|=6.故选：D.

5.(5分)假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步2%,

而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过()天，甲的“日能力值”

是乙的20倍.(参考数据：Zgl02«2.0086,/g99-1.9956,lg2-0.3010)

A.23B.100C.150D.232

解：设甲和乙刚开始的“日能力值”为1,则〃天后，甲、乙的“日能力值”分别(1+2%)",(1-1%)"

依题意，生黑=20,即(挈尸=20,两边取常用对数得〃匈*=匈20,因此九=行篇监砺"

(1—1%)"yyig乙一

1+0,3010

100,所以大约需要经过100天，甲的“日能力值”是乙的20倍.故选：B.

2.0086-1.9956

n.lV3cos2a+sin2a/—,,

6.（5分）a=-7+E（左CZ）是z“z-------------=y/3+1”的（）

4sinacosa

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条伴D.既不充分也不必要条件

第7页(共16页)

解：因为圾竺!竺亚±=W+i,所以遗竺史必=b+1,所以ta/a—（旧+l）tma+百=0,

sinacosatana

BP（tana—V3）（tanacr-1）=0,所以位na=遮，或tana=l,所以a=5+k兀（左EZ）,或0=/+攵兀（左WZ）,

77J5cos2a+sin2ar—

所以“观=3+股（任Z）”是“一：--------------=0+1”的充分不必要条件.故选：A.

qsinacosa

7.（5分）分别以锐角三角形/5C的边BC,/C为旋转轴旋转一周后得到的几何体体积之比为遍：V6：2,则

cosB=()

5V35V23V2V6

A.--B.——C.—D.—

1212812

解：设45边上的高为CZ）：x,以边45,BC,ZC为旋转轴旋转一周后得到的几何体体积分别为匕，Vi，匕,

22z

用—1「/个c•k14n二匚i、iCA'CBsinC—/曰1/i112门“nCA-CB-sinC

则一G4・CBsniC=亍48•%,所以x=7-5，可得匕rz=方兀必2,ZD+小兀％'•8。=-----5TB--------

2ZADDDJAD

22222z

T4H"7iAB-AC'Siri-An:AB'BC'SiriB

同理可得巧------荻-----，匕TZ=--------3IC--------

irCA2,'CB2'SinzCn:AB2'AC2'Siv?ATcAB2'BC2-siTi2,B

由题意可得,=V6：2,

3AB3BCSAC

AB2+BC2-AC23V2

整理得AC=,BC=，所以cosB=~n~*故选：C.

2AB-BCO

8.（5分）已知集合2={-4,2,3）,若a,b,且互不相等，则使得指数函数^=〃，对数函

数y=log施，幕函数中至少有两个函数在（0,+°°）上单调递增的有序数对（a,b,c）的个数是（）

A.16B.24C.32D.48

解：由题意知，满足指数函数y=a]（a>0且QWI）,对数函数y=log胡（6>0且6W1）的a,b取值，且使得它

们在（0,+8）单调递增的a,b都只有2个，分别是2,3.满足募函数的c取值，且使得它在（0,+8）

11

上单调递增的。有4个，分别为5,2,3.

由于〃，6,c互不相等，有三种情况：①指数函数〉=〃，对数函数y=log属在（0,+8）上单调递增，而事函

数不满足，有2X1X2=4种；

②指数函数幕函数y=x。在（0,+°°）上单调递增，而对数函数y=log融不满足，有2X2X2=8种；

③对数函数>=log“基函数在（0,+8）单调递增，而指数函数不满足，有2X2X2=8种（与②

相同）；

④三个函数都在（0,+8）单调递增，有2X2=4种；

由分类加法计数原理，共有4+8+8+4=24种选法，也即满足条件的有序实数对（a,b,c）有24个.

故选：B.

第8页（共16页）

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得

6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

(多选)9.(6分)已知向量。=(1,V3),b=(cosa,sina),则下列结论正确的是()

A.若。〃b,贝！Jtana=遮B.若@_15,则tana=—F~C.若a与b的夹角为二，贝力a—切=3

D.若热与力方向相反，则力在会上的投影向量的坐标是(-±,-日)

解：向量Q=(1,V3),b=(cosa,sina),a//b,则s讥a=J^cosa,解得tana=V5,故Z正确；

T_>TT7f

a±Z),贝!Jcosa+gs讥a=0,解得tana=—斗，故5正确；|a|=2,网=1,若a与b的夹角为4，

$3

则a•b=|a|网cos@=2x1x2=1,故|a—b|=个斜―2a•b+b?=，4—2+1=W,若a与b方向相反，

贝!Jb在；上的投影向量的坐标是：网cos兀•£=1X(-1)(-/,—号)，故。正确.故选：ABD.

(多选)10.(6分)已知偶函数/(x)的定义域为R,f(4x+l)为奇函数，且/(x)在［0,1］上单调递增，则下列

结论正确的是()

3

A./(-|)<0B./(14)>0

C./(3)<0

解：因为/G)为偶函数，所以/(-X)=/(x)；因为f(称x+l)是R上的奇函数，所以/(I)=0,

且f(竽)的图象是由/(*)的图象向左平移2个单位得到的，所以/(*)的图象关于(2,0)点对称，进一步得了

(%)的图象关于点(1,0)中心对称，即/(1+x)

所以f(x+2)—f(1+(1+x))—-f(.1-(1+x))—-fQ-x)--f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)—f(x).所

以函数/(x)是周期函数，且周期为4；又/(x)在［0,1］上单调递增，所以在［0,1］上，有/(x)<0.

所以函数的草图如下：

由图可知：2故4错；/(4J)>0,故8对；〃3)=0,故。错；

=/(674+f)=/(4x168+2+()=/(2+>0,故。对.故选：BD.

(多选)11.(6分)已知正方体/BCD-/151cl。的各个顶点都在表面积为3n的球面上，点尸为该球面上的任意

一点，则下列结论正确的是()

A.有无数个点P,使得AP〃平面3D。B.有无数个点P,使得/尸，平面5DC1

V2+1

C.若点尸6平面8CC181,则四棱锥尸-的体积的最大值为

第9页(共16页)

D.若点PC平面8CC181，则/P+PC1的最大值为逐

解：正方体/BCD-的各个顶点都在表面积为3n的球面上，点尸为该球面上的任意一点,

令正方体48CD-A\B\C\D\的外接球半径为r,则W=3ir,解得r=学

连接481，AD\,B\D\,由四边形48cbDi是该正方体的对角面，得四边形A8C15是矩形，

即有4Di〃3Ci，「BCiu平面ADG，4Di仁平面ADQ,，4Di〃平面BZ）Ci，

同理481〃平面8OC1，"：ABiDADi=A,AB\,4Diu平面48］。］,平面48boi〃平面BDQ,

令平面/皿1截球面所得截面小圆为圆M,对圆M上任意一点（除点/外）均有/尸〃平面ADCi,故/正确;

对于£过/与平面3。。垂直的直线NP仅有一条，这样的尸点至多一个，故8错误；

V2

对于C,平面BCC/i截球面为圆尺，圆R的半径为彳，

则圆R上的点到底面ABCD上的点到底面ABCD的距离的最大值为苦口，

1V2+1V2+1

.••四棱锥P-/BCD的体积的最大值为gx1x——=^―,故C正确；

3z6

对于。，由题意平面5。。1历，在平面5CC151内建立平面直角坐标系，如图，

令(sin0+cosO)=x,AP+PC\=V2+%+y/1—x=J(V2+x+V1—%)2<^2[(V2+x)2+(V1—%)2]=V6,

当且仅当x=—J取等号，此时避(sin0+cos0)=—i,即sin(0+?)=—i,

z2Z4z

••,/P+PC1的最大值为迎，故。正确.故选：ACD.

第10页（共16页）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（5分）随机变量X〜N（|1,。2）,若尸（X>70）=P（XW90）且P（72WXW80）=0.3,则随机变量X的第

80百分位数是88.

解：随机变量X〜NR,。2）,又尸（X270）=P（XW90）,贝以=80,

因此尸（80WXW88）=P（72WXW80）=0.3,则P（XW88）=0.5+尸（80WXW88）=0.8,

所以随机变量X的第80百分位数是88.故答案为：88.

13.（5分）已知函数/（x）=sin（3x+（p）（3>0）在区间（。居）上单调，且满足//）=一1,/■（竽）=0,贝心

_6

~~7~'

解:依题意,f（x）min=f（^）=-l,而函数/G）在弓,碧）上单调,

则函数/（X）的最小正周期722（招—看）=萼，又八苧）=0,

,一'=葛<7，因此彳=窘，解得了=竽，所以3=爷=.故答案为：

1U乙T*.乙/

X2V2

14.（5分）已知直线/与椭圆C：百+，=1在第一象限交于尸，。两点，/与x轴，y轴分别交于M,N两点，且

\PM\\QM\|PN||QN|V6

俩足两+两=两+两'贝」的斜率为一一w一.

解：如图所示，不妨设尸在。的左侧，取P。的中点尺，

设尸Gi,yi）,Q（X2,"），则R（血/，珥及），可得直线/的斜率k=手台，直线07?的斜率k°R=3知,

乙乙Xi—Xo十

左

/光

■+1

I32-2222

贝.

H<,两式相减得曰2+=o,

均

因为尸（XI，yi）,Q（X2,J2）在椭圆C：停+今=1上,JI秃

■+--1

\32

y?-y529IPMI|QN|i

整理得与一孑二—个即岫〃/=一名可知焉，品E（L+8）,因为/（%）=%+白在（1,+8）内单调递

%］一%2§»||\rN|工

由侬+也=股1+咧可得侬=咧，即段3=3电，整理得|叫=|呼，

\QM\\PM\|QN|\PN\\QM\|PN|\QM\\PN\111

可知火为MV的中点，则。寓=1如，可知左OR=-左，结合MR/=—|可得后=多且左<0,则卜=-第，

检验k=-孚符合题意，所以直线的斜率为-卓.故答案为：卷.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

fjpX—CL

15.（13分）已知函数/（x）=竺二（x¥0）.

（1）求/（x）的单调区间.（2）讨论方程/（x）=a的根的个数.

第11页（共16页）

XaXaXa

々刀/1\rmNr、CL6-,八、匕匚[、i/〃、dC~'X-CLC~0/一1)

解：(1)因为/(%)==所z以，/(%)=-----衣-----=——3~~二

由，(x)>0=>%>1,又函数定义域为(-8,o)U(0,+8),

所以函数在(-8,0)和(0,1)上单调递减，在(1,+°°)上单调递增.

(2)因为所以，当x<0时，/(x)=R]V0,方程/(x)=a无解；当x>0,函数在(0,1)上递

减，在(1,+8)递增，所以/(X)仅讥=/(I)=aeJa>ae°=a,所以方程/(x)=a无解.

综上可知，方程/(x)=。的根的个数为0.

16.(15分)如图，已知圆柱。01的轴截面4BCD是边长为2的正方形，点尸是圆。1上异于点C,。的任意一点.

(1)证明：如图，连接。尸，过点。作D〃_L4P,垂足为〃，由CD是圆。1的直径，MCPLDP,

由4D是圆柱侧面的母线，得4D_L平面CDP,而CPu平面CDP,则4D_LCP,又AD,DPu平面4DP,ADH

DP=D,因止匕CP_L平面/。尸，而。〃u平面ADP,贝!]D〃_LCP,又DH上AP,AP,尸Cu平面NCP,APC\PC=P,

所以D8_L平面ACP,则点D到平面ACP的距离为DH,即。"=竽，设DP=a(a>0),则有AP=Va2+4,

由AD*DP=AP,DH,得2-a=Va2+4♦苧,解得a=JL又CD=2,则DP=PC=&,而Oi是CD的中点，

所以OiPLCD；

(2)解：在平面尸CD内，过点。1作OiELOC交圆。1于点E,连接。Q,

由。O1，平面PCD,得直线OiE,OiC,Oi。两两垂直，以。1为原点，直线。加，OiC,OiO分别为x,修z轴

建立空间直角坐标系，则。(0,0,2),C(0,1,0),A(0,-1,2),

设点尸(〃[，n,0),而点尸在圆Oi上，有加2+后=1,且“6(-1,1),

->—»-»—>_,

于是。C=(o，1，一2),4C=(0,2,-2),CP=0n,n-1,0),设平面/C尸的法向量为e=(久，y,z),

.e-AC=2y—2z=0,1,曰一,、

则nL-,取x=〃-l,得e=(n—4L—m,—m),

eCP=mx+(n—l)y=0

―)\m\

设0c与平面ACP所成角为0,则sin0=\cos{OC,

9黑V5-J2m2+(n-l)2

]日脓(nT)2_(律-1)0-1)n—12-2

KL(n-l)2,业1一层(l-n)(l+n)币由任「1，1)，则有一1+中e(。，+8),

V5-——3

第12页(共16页)

于是J2+（；卑=12+（-1+系）e（VL+00）,故sbi°=-1e（0,部），

共+记

所以。C与平面/CP所成角的正弦值的取值范围是（0,需）.

17.（15分）如图，已知抛物线C：x2=4y,其上有定点/（-2,1）,B（6,9）,动点尸在抛物线上，且点P位于

点/,8之间的曲线段上（不与点43重合），过点3作直线/尸的垂线，垂足为。.

（1）若点尸是/。的中点，求点尸的坐标.

（2）求出。是否有最大值，若有，求出其最大值；若没有，请说明理由.

解：⑴由点尸在抛物线上，设点尸的坐标为（如蛾），则-2<xo<6,

由点P是/。的中点，且点N的坐标为（-2,1）,得点。的坐标为（2K0+2,亭T），

故4P=（%o+2,-1）,BQ=（2%o+2-6,-1—9）=（2%0—4,-10）,

—»—»久2久2

因为ZPJLB。,所以ZP,BQ=0,即（%0+2）（2%0-4）+（*-1）（号-10）=0,

]

整理得指。0+2）2（久0—2）2=0,解得XO=2或XO=-2（含），所以点P的坐标为（2,1）；

（2）当直线4P的斜率为0时，直线2。的斜率不存在，此时点尸的坐标为（2,1）,点0的坐标为（6,1）,得

00|=8,显然直线AP的斜率存在，当直线AP的斜率不为0时，

设直线/尸的斜率为人"W0）,则直线时的斜率为一%,则直线乙?：y-\=k（x+2）,lBQ：y-9=—长比—6）,

联立方程,二:二二6y解得交点°的横坐标为和=一含—6,

所以田Q|=5+如Q-%BI=]]+备—署+6—61=J1+备厂吃普I

=貂（上丰°）'因为篇=8平差=小-奇=8卜55

1

由基本不等式得k+五E（—8,—2]U[2/+8）,

所以田Q|=监"^8/，当且仅当k+*=—2,即左=-1时等号成立，

V/CZ+1K

而当左=-1时，点/与点尸重合，与点P位于点A,2之间的曲线段上（不与点4,3重合）矛盾，

故等号不成立，即出。|<8近，

综上，内。不存在最大值.

18.（17分）某单位进行招聘面试，已知参加面试的N名学生全都来自/,B,C三所学校，其中来自N校的学生人

第13页（共16页）

数为该单位要求所有面试人员面试前到场，并随机给每人安排一个面试号码左1=1,2,3,…，N),

按面试号码左由小到大依次进行面试，每人面试时长5分钟，面试完成后自行离场.

(1)求面试号码为2的学生来自/校的概率.

(2)若N=40,〃=10,且8,C两所学校参加面试的学生人数比为1：2,求N校参加面试的学生先于其他两校

学生完成面试(/校所有参加面试的学生完成面试后，B,C两校都还有学生未完成面试)的概率.

(3)记随机变量X表示最后一名N校学生完成面试所用的时长(从第1名学生开始面试到最后一名/校学生完

成面试所用的时间)，E(X)是X的数学期望，证明：E(X)=5嗯,).

解：(1)记“面试号码为2的学生来自/校”为事件4

将/校〃名学生面试号码的安排情况作为样本空间，则样本点总数为C%

事件/表示/校有1名学生的面试号码为2,

其他»-1名学生的面试号码在剩余N-1个面试号码中随机安排，

则事件/包含的样本点数为喘二；加，

故P(A)=铝必=亘警迎=与

Nn!(/V-n)!

X1

(2)设2校参加面试的学生有x名，由题意得，八口=:;，解得x=10,

所以8校参加面试的学生有10名，C校参加面试的学生有20名，

记“最后面试的学生来自2校”为事件3,“最后面试的学生来自。校”为事件C,显然事件£C互斥，

记“/校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试”为事件D,则。=3D+CD,

当事件2发生时，只需考虑N,C两所学校所有参加面试的学生中最后面试的那位来自C校，

1n201

则P(BO)=P(B)P(D|B)=含x患=*

当事件。发生时，只需考虑43两所学校所有参加面试的学生中最后面试的那位来自3校，

201o1

则P(CD)=P(0P(DIC)=瑞X瑞.

11q

所以P(D)=P(BD)+P(CD)=1+1=^;

证明：(3)由题知随机变量X的取值为5(«+1),…，5N,

。八一1

则随机变量X的分布列为P(X=5k)=号，k=n,n+1,N,

LN

rn-1(-

所以随机变量X的期望E(X)=工葭5k匍二高£夕小"建

_5'/V(々-1)!—5」「n

-C飞乙k=n(n—l)!(k—71)!-C为乙上九k

=兽©+=+i+=+