几种函数增长快慢的比较高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

4.4.3不同函数的增长差异4.5.1几种函数增长快慢的比较

虽然它们都是增函数，但增长方式存在很大差异，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反

虽然它们都是增函数，但增长方式存在很大差异，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映.下面就来研究一次函数f(x)=kx(k>0)，指数函数g(x)=ax(a>1)，对数函数ℎ(𝑥)=loga⁡𝑥(𝑎>1)在定义域内增长方式的差异.我们采用由特殊到一般，由具体到抽象的研究方法.

问题探究1以函数y=2x与y=2x为例研究指数函数、一次函数增长方式的差异.xy=2xy=2x0100.51.41411221.52.82832442.55.6575386·········（1）根据表格在右侧坐标系中作出y=2x与y=2x图像探究活动探究活动

探究指数函数、一次函数增长方式的差异.信息5：请谈谈指数函数y=ax(a>1)与y=kx(k>0)一次函数增长情况？一般地指数函数y=ax(a>1)与一次函数y=kx(k>0)的增长都与上述类似.即使k值远远大于a值，指数函数y=ax(a>1)虽然有一段区间会小于y=kx(k>0)，但总会存在一个x0，当x>x0时，y=ax(a>1)的增长速度会大大超过y=kx(k>0)的增长速度.

问题探究2以函数y=lgx与

为例研究对数函数、一次函数增长方式的差异.xy=lgx

0不存在01011201.3012301.4773401.6024501.6995601.7786·········（1）根据表格在右侧坐标系中作出y=lgx与

图像

思考：将y=lgx放大1000倍，将函数y=1000lgx与比较，仍有上面规律吗？探究对数函数、一次函数增长方式的差异.

y=lgx探究对数函数、一次函数增长方式的差异.信息5：对数函数y=loga⁡𝑥(𝑎>1)与一次函数y=kx(k>0)的增长情况？一般地，虽然对数函数

与一次函数y=kx(k>0)在(0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度不同.随着x的增大，一次函数y=kx(k>0)保持固定的增长速度，而对数函数的增长速度越来越慢.不论a值比k值大多少，在一定范围内，可能会大于kx，但由于的增长会慢于kx的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，恒有.

归纳总结三种函数模型的性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)在(0,＋∞)上的单调性图象的变化增长速度增长结果随x增大逐渐近似与y轴平行随x的增大匀速增大随x增大逐渐近似与x轴平行单调递增单调递增单调递增y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会大于y＝kx(k>0)的增长速度，大于y＝logax(a>1)的增长速度.存在一个x0，当x>x0时有ax>kx>logaxy＝kx(k>0)

例题分析x051015202530y151305051130200531304505y25901620291605248809447840170061120y35305580105130155其中关于x呈指数增长的变量是

.y2（1）三个变量y1，y2，y3随变量x变化的数据如下表：例1：根据你今天所学的知识，结合题目所给信息选择适当的函数模型

例题分析（2）函数f(x)的图像如图所示，则y=f(x)可能是（）A.B.C.y=ln⁡xD.y=x-1,x∈(0,+∞)C

例题分析例2：如图，对数函数y=lgx的图像与一次函数y=f(x)的图像有A,B两个公共点.求一次函数y=f(x)的解析式

例题分析例3：（1）（2）（3）分别是函数和在不同范围的图像，借助计算工具估算出使的x的取值范围（精确到0.01）

（2）根据所作图像，你能获得哪些信息？信息2：在x∈

和

时，函数y=2x的图象位于y=2x图像上方，y=2x

y=2x信息3：在x∈

时，函数y=2x的图象位于y=2x图像下方,y=2x

y=2x虽然函数y=2x与y=2x都是增函数，但是它们的增长速度不同，函数y=2x的增长速度不变，但是y=2x的增长速度改变，先慢后快.信息1：函数y=2x与y=2x在(0,+∞)有

交点，交点为

信息4：两个函数在(0,+∞)上的单调性是什么？增长速度相同吗？如不同，有何不同？请用自己的语言描述。探究指数函数、一次函数增长方式的差异.两个(1,2)、(2,4)(0,1)(2,+∞)><(1,2)尽管在x的一定范围内，2x<2x，但由于y=2x的增长最终会快于y=2x的增长，因此，总会存在一个x0，当x>x0时，恒有2x>2x.

情境导入在前面学习的问题１中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，Ａ地景区的门票价格为150元，比较这15年间Ａ，Ｂ两地旅游收入变化情况．f(x)=1150×(10x+600)g(x)=1000×278×1.11x利用计算工具可得，当x=0时，f(0)－g(0)＝412000．当x≈10.22时，f(10.22)≈g(10.22)．结合图可知：当x＜10.22时，f(x)＞g(x)，当x＞10.22时，f(x)＜g(x)．当x＝14时，g(14)－f(14)≈347303．

信息2：在x∈

时,函数y=lgx的图象位于图像上方,y=lgx

信息3：在x∈

和

,函数y=lgx的图象位于

图像下方,y=lgx

信息1：函数y=lgx与有

交点，交点为

信息4：两个函数在(0,+∞)上的单调性是什么？增长速度相同吗？如不同，有何不同？请用自己的语言描述。探究对数函数、一次函数增长方式的差异.