2024-2025学年高中数学第二章数列2.2第2课时等差数列的性质学案含解析新人教A版必修5

PAGE第2课时等差数列的性质[目标]1.记住等差数列的一些常见性质；2.会用等差数列的性质解答一些简洁的等差数列问题．[重点]等差数列性质的应用．[难点]等差数列性质的理解．学问点一等差数列的重要性质[填一填]1．an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)．2．若m＋n＝p＋q(m，n，q，p∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.[答一答]1．在等差数列{an}中，若am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)，则m＋n＝p＋q成立吗？提示：不肯定．若数列{an}是常数列，则m＋n＝p＋q不肯定成立．2．在公差为d的等差数列{an}中，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则2ap与am，an有何关系？提示：2ap＝am＋an.3．在等差数列{an}中，若m＋n＝p，则am＋an＝ap成立吗？提示：不成立．学问点二等差数列的其他性质[填一填]1．若{an}是公差为d的等差数列，则下列数列：(1){c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；(2){can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；(3){an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列．2．若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．[答一答]4．在等差数列中，如何推断数列的单调性？提示：在等差数列{an}中，an＝a1＋(n－1)d.当d>0时，{an}是递增数列；当d＝0时，{an}是常数列；当d<0时，{an}是递减数列．5．推断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内画“√”，错误的画“×”．(1)等差数列去掉前面若干项后，剩下的项仍构成等差数列．(√)(2)摇摆数列不行能是等差数列．(√)(3)在等差数列{an}中，若m＋n＋p＝3t，则am＋an＋ap＝3at.(√)类型一等差数列的性质应用[例1](1)已知等差数列{an}，a5＝10，a15＝25，求a25的值；(2)已知等差数列{an}，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝70，求a1＋a9的值；(3)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝2，b1＝－3，a7－b7＝17，求a19－b19的值．[分析]分析题目，可利用等差数列的性质，也可利用通项公式求解．[解](1)方法一：设{an}的公差为d，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝10，,a1＋14d＝25，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝4，,d＝\f(3,2)，))故a25＝a1＋24d＝4＋24×eq\f(3,2)＝40.方法二：因为5＋25＝2×15，所以在等差数列{an}中有a5＋a25＝2a15，从而a25＝2a15－a方法三：因为5,15,25成等差数列，所以a5，a15，a25也成等差数列，因此a25－a15＝a15－a5，即a25－25＝25－10，解得a25＝40.(2)由等差数列的性质，得a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a1＋a9，所以a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝70，于是a5＝14，故a1＋a9＝2(3)令cn＝an－bn，因为{an}，{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列，设其公差为d，由已知，得c1＝a1－b1＝5，c7＝17，则5＋6d＝17，解得d＝2，故a19－b19＝c19＝5＋18×2＝41.在等差数列中，一般存在两种运算方法：一是利用基本量运算，借助于a1，d建立方程组进行运算，这是最基本的方法；二是利用性质运算，运用等差数列的性质可简化计算，往往会有事半功倍的效果.[变式训练1](1)在等差数列{an}中，a2＝－5，a6＝a4＋6，则a1等于(B)A．－9B．－8C．－7D．－4解析：∵{an}是等差数列，∴a6－a4＝6＝2d.∴d＝3.∴a1＋d＝－5.∴a1＝－8.(2)若数列{an}的公差为2，则数列{3an－2}的公差为(D)A．3B．4C．5D．6解析：∵数列{an}的公差为2，∴数列{3an－2}的公差为3×2＝6.(3)设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么由an＋bn所组成的数列的第37项的值为(C)A．0 B．37C．100 D．－37解析：设cn＝an＋bn，则c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100.故d＝c2－c1＝0.故cn＝100(n∈N*)．从而c37＝100.类型二等差数列的实际应用[例2]有一批影碟机原销售价为每台800元，在甲、乙两家商场均有销售．甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，以此类推，每多买一台则所买各台单价均削减20元，但每台最低不低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售．某单位需购买一批此类影碟机，问去哪一家商场购买花费较少？[分析]先求出购买n台时甲商场的售价，再与购买n台时乙商场的售价作差比较．[解]设该单位需购买影碟机n台，在甲商场购买单价为an元，当an不低于440时，a1，a2，…，an构成等差数列，则an＝780＋(n－1)(－20)＝800－20n，解不等式an≥440，即800－20n≥440，得n≤18.当购买台数小于或等于18台时，每台售价为(800－20n)元，当购买台数大于18台时，每台售价为440元．到乙商场购买，每台售价为800×75%＝600(元)．又(800－20n)n－600n＝20n(10－n)，所以，当n<10时，600n<(800－20n)n；当n＝10时，600n＝(800－20n)n；当10<n≤18时，(800－20n)n<600n；当n>18时，440n<600n.所以当购买台数少于10台时，到乙商场购买花费较少；当购买10台时，到两商场购买花费相同；当购买台数多于10台时，到甲商场购买花费较少．1.在实际问题中，若涉及一组与依次有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决，若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决.2.在利用数列方法解决实际问题时，肯定要分清首项、项数等关键问题.[变式训练2]有一个很神奇的地方，那里有许多的雕塑，每个雕塑都是由蝴蝶组成的．第一个雕塑有3只蝴蝶，其次个雕塑有5只蝴蝶，第三个雕塑有7只蝴蝶，第四个雕塑有9只蝴蝶，以后的雕塑根据这样的规律始终延长到很远的地方，学学和思思看不到这排雕塑的终点在哪里，那么，第102个雕塑是由多少只蝴蝶组成的呢？由999只蝴蝶组成的雕塑是第多少个呢？解：由题知：a1＝3，a2＝5，a3＝7，a4＝9，…，可知其是以3为首项，2为公差的等差数列，则an＝2n＋1，当n＝102时，a102＝205，当an＝999时，2n＋1＝999，n＝499.答：第102个雕塑是由205只蝴蝶组成的；由999只蝴蝶组成的雕塑是第499个．类型三等差数列的综合应用[例3]已知两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都是100项，求它们有多少个共同的项．[分析]先写出两数列的通项公式，利用两通项公式找寻共同的项．[解]解法一：设两个数列分别为{an}与{bk}，则a1＝5，d1＝8－5＝3，通项an＝5＋(n－1)·3＝3n＋2；b1＝3，d2＝7－3＝4，通项bk＝3＋(k－1)·4＝4k－1.设数列{an}的第n项与{bk}的第k项相同，即an＝bk，即3n＋2＝4k－1.∵n＝eq\f(4,3)k－1，而n∈N*，k∈N*，∴k必需为3的倍数，设k＝3r(r∈N*)，得n＝4r－1，由条件知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1≤3r≤100，,1≤4r－1≤100，))解得eq\f(1,2)≤r≤eq\f(101,4)，又∵r∈N*，∴1≤r≤25(r∈N*)．∴共有25个共同的项．解法二：由解法一知两数列的通项分别为an＝3n＋2，bk＝4k－1，设共同项构成新数列{cn}，则c1＝11，∵数列{an}，{bn}均为等差数列，∴数列{cn}仍为等差数列，且公差为d＝12.∴cn＝11＋(n－1)·12＝12n－1.又∵a100＝302，b100＝399，∴cn＝12n－1≤302，∴n≤25.25，∴两数列有25个共同项．本题是探求两个数列的公共项问题，解法一是常规解法，解法二利用了最小公倍数．通常是从通项公式入手，建立an＝bm这样的方程，再求其肯定范围内的整数解．本题常见的错误是求得数列an＝3n＋2，bn＝4n－1，即令3n＋2＝4n－1，解得n＝3，所以有一个公共项11，这明显是错误的．[变式训练3]把数列{2n＋1}中的项依次按第一个括号一个数，其次个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，…循环，为：(3)，(5,7)，(9,11,13)，(15,17,19,21)，(23)，(25,27)，(29,31,33)，(35,37,39,41)，(43)，…，则第104个括号内的各数之和为(D)A．2036B．2048C．2060D．2072解析：由视察发觉，每四个括号是一个循环，一个循环由10个数组成，104个括号有26个循环，则第104个括号内有四个数，这四个数为数列3,5,7,9，…的第257项、第258项、第259项、第260项，分别为3＋(257－1)×2,3＋(258－1)×2,3＋(259－1)×2,3＋(260－1)×2，即515,517,519,521，其和为2072.故选D.1．等差数列{an}中，若a2＋a4024＝4，则a2013＝(A)A．2B．4C．6D．－2解析：∵2a2013＝a2＋a4024＝4，∴a20132．已知等差数列{an}中，a7＝eq\f(π,4)，则tan(a6＋a7＋a8)等于(C)A．－eq\f(\r(3),3) B．－eq\r(2)C．－1 D．1解析：∵在等差数列{an}中，a6＋a7＋a8＝3a7＝eq\f(3π,4)，∴tan(a6＋a7＋a8)＝taneq\f(3π,4)＝－1.3．假如等差数列{an}中，a1＝2，a3＝6，则数列{2an－3}是公差为4的等差数列．解析：设数列{an}的公差为d，则a3－a1＝2d＝4，即d＝2.故数列{2an－3}的公差为4.4．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝13.解析：设等差数列{an}的公差为d.∵a5＝a2＋6，∴a5－a2＝6，即3d＝6，d＝2.∴a6＝a3＋3d＝7＋3×2＝13.5．在等差数列{an}中：(1)若a5＝a，a10＝b，求a15；(2)若a3＋a8＝m，求a5＋a6；(3)若a5＝6，a8＝15，求a14.解：(1)∵a5＋a15＝2a10∴a15＝2a10－a5＝2b－a(2)解法一：∵a3＋a8＝(a1＋2d)＋(a1＋7d)＝2a1＋9d＝m∴a5＋a6＝(a1＋4d)＋(a1＋5d)＝2a1＋9d＝m解法二：∵5＋6＝3＋8，∴a5＋a6＝a3＋a8＝m.(3)解法一：∵a8＝a5＋(8－5)d，即15＝6＋3d，∴d＝3.∴a14＝a8＋(14－8)d＝15＋6×3＝33.解法二：∵数列{an}是等差数列，∴数列a5，a8，a11，a1