2024年高考数学一轮复习练习题：函数的图象

第7节函数的图象

考试要求1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表

法、解析法）表示函数2会画简单的函数图象.3.会运用函数图象研究函数的性质,

解决方程解的个数与不等式解的问题.

I知识诊断•基础夯实

知识梳理

L利用描点法作函数的图象

步骤：（1）确定函数的定义域；（2）化简函数解析式；（3）讨论函数的性质（奇偶性、

单调性、周期性、对称性等）；（4）列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小

值点、与坐标轴的交点等），描点，连线.

2.利用图象变换法作函数的图象

（1）平移变换

|且%）+可

9做4>0）个单位

左移

[yJ%）I7、，'、■I）子一。）|

a（a>0）1------V-----1a（a>0）

个单位下个单位

移碗>0）个单位

|尸/（%）一回

（2）对称变换

y=/（x）的图象关壬琏幽称y=二^的图象；

y="）的图象关壬由邺寸称v=*—x）的图象:

y=*x）的图象关于原息对称y=—N—x）的图象:

关于直线

x

y=a（a>0,且。关1）的图象---->y—logo%（<7>0,且aWl）的图象.

y=x对称

（3）伸缩变换

纵坐标不变

各点横坐标变为原来的]（。>0）倍

横坐标不变

产危)------------------->y=Afix).

各点纵坐标变为原来的4A>0)倍

(4)翻折变换

x轴下方部分翻折到上方

产危)的图象------------------7=也叁的图象;

x轴及上方部分不变

y轴右侧部分翻折到左侧

y=/(x)的图象--------------------》=曲11的图象.

原y轴左侧部分去掉，右侧不变

常用结论

1.记住几个重要结论

(1)函数y=/(x)与y=/(2a—x)的图象关于直线x=a对称.

(2)函数y=/(x)与y=2。一42a—x)的图象关于点(a,0)中心对称.

(3)若函数y=/(x)对定义域内任意自变量x满足：j1a+x)=j{a—x),则函数y=/(x)

的图象关于直线x=a对称.

2.图象的左右平移仅仅是电对千壬而言，如果x的系数不是1,常需把系数提出

来，再进行变换.

3.图象的上下平移仅仅是电对手\而言的，利用“上加下减”进行.

诊断自测

1.思考辨析(在括号内打“J”或“X”)

(1)当xG(0,+8)时，函数y=忸初与丁=川刈的图象相同.()

⑵函数与y=/(ax)(a>0且aWl)的图象相同.()

(3)函数y=/(x)与y=—_/(%)的图象关于原点对称.()

(4)若函数y=/(x)满足犬l+x)=/(l—x),则函数兀0的图象关于直线x=1对

称.()

答案(1)X(2)X(3)X(4)V

解析(1)令Hx)=—x,当x©(0,+8)时，y=|/(x)|=x,y=f(]x\)=­x,两者图

象不同,(1)错误.

(2)中两函数当aWl时，y=切>)与y=/(ax)是由y=«x)分别进行横坐标与纵坐标

伸缩变换得到，两图象不同，(2)错误.

(3)y=Xx)与y=—_Ax)的图象关于x轴对称，(3)错误.

2.（多选）若函数y=〃+6—l（a>0,且a#l）的图象经过第一、三、四象限，则下

列选项中正确的有（）

A.a>1B.OVaVl

C.b>0D.b<0

答案AD

解析因为函数丁=〃+6—l（a>0,且aWl）的图象经过第一、三、

四象限，所以其大致图象如图所示.由图象可知函数为增函数，所

以a>l,当x=0时，y=l+b-l=b<0,故选AD.

3.函数人沙的图象向右平移1个单位长度，所得到的图象与函数丁=6工的图象关于

y轴对称，则“¥）等于（）

A.ex+1B.ex1C.e-x+1D.ex1

答案D

解析依题意Xx）的图象可由y=ex的图象关于y轴对称后，再向左平移1个单

位长度得到.

关于y轴对称

.".y=ex----------->

向左平移1个单位长度

y=e~x------------------------>y=e-（x+i）=erT,

4.在同一直角坐标系中，函数y=《，y=logQ（x+|^（a>0,且aWl）的图象可能是

（）

cD

答案D

解析若a>l,则尸《单调递减,A,B,D不符合，且y=loga（x+T）过定点g，。），

C不符合，因此

当0<a<l时，函数y=5的图象过定点（0,1）,在R上单调递增，函数y=loga（x+g

的图象过定点g，0），在（一今+8）上单调递减.因此，D中的两个图象符合.

5.已知函数人x）的图象如图所示，则函数g（x）=logV牙G）的定义[三

域是——•

答案（2,8]?/I".

解析当危）>0时，函数g（x）=logV分（x）有意义，由函数於）

的图象知满足於）>0时,x©（2,8].

6.（易错题）若关于x的方程|x|=a—x只有一个实数解，则实数a的取值范围是

答案（0,+8）

解析在同一个坐标系中画出函数丁=|卫与y=a—x的图象，工”尸切

如图所示..

由图象知，当a>0时，y=|x|与y=a-x两图象只有一个交点,|y-a-x

方程|x|=a—x只有一个解.

I考点突破•题型剖析

|考点一作出函数的图象

例1作出下列函数的图象：

⑴产电；（2）y=|log2（x+l）|;

（3）y=N—2|x|一1.

解（1）先作出丁=电的图象，保留y=g）图象中x20的部分，再作出y=||）的

图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得的图象，如图①实线部分.

（2）将函数y=logM的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上

去,即可得到函数y=|log2（x+l）|的图象,如图②.

一二’且函数为偶函数，先用描点法作出［0，+8）上的图

象，再根据对称性作出（一8,0）上的图象，得图象如图③.

感悟提升1.描点法作图：当函数解析式（或变形后的解析式）是熟悉的基本函数

时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.

2.图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，

可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式

的影响.

训练1分别作出下列函数的图象：

2%—1

（l）y=sin|A|；（2）y=——r.

JiJL

解（1）当x20时，丁=5闻可与y=sinx的图象完全相同，又y=sin|x|为偶函数，

图象关于y轴对称，其图象如图①.

图①图②

2Y—111

（2）y=「-=2+士，故函数的图象可由的图象向右平移1个单位，再向

XIXIX

上平移2个单位得到，如图②所示.

|考点二函数图象的识别

角度1函数图象的识别

例2⑴（2020•浙江卷）函数尸xcosx+sinx在区间［―兀，兀］上的图象可能是（）

答案A

解析当X=TI时，y=7rcos兀+sin兀=兀・(-1)+0=—兀；当％=一兀时，y=一

7TCOS(—71)+sin(—71)=—兀，(一1)+0=兀.故函数图象过(兀，-71),(—71,兀)两点.故

选A.

(2)(2021•浙江卷)已知函数人劝=d+：,g(x)=sinx,则图象为如

图的函数可能是()

A.y=/(x)+g(x)—(

B.V=/x)-g(x)-1

C.y=/(x)g(x)

答案D

解析易知函数五是偶函数，g(x)=sinX是奇函数，选项A,y=f(x)+

g(x)—+sinx为非奇非偶函数，排除A；选项B,j=f(.x)—g(x)—^x2—sin

x也为非奇非偶函数，排除B；因为当x©(0,+8)时，人%)单调递增，且兀t)>0,

当x©(0,舒时，g(x)单调递增，且g(x)>0,所以y=/(x)g(x)在(0,舒上单调递增，

由图象可知所求函数在(0,野上不单调，排除C.故选D.

3X,xWl,

(3)已知函数火x)=1i则函数y=/(l—x)的大致图象是()

log-%,X>1,

答案D

xWl,

解析法一先画出函数#x)=1的草图，令函数火助的图象关于y轴

logp；,X>1

对称，得函数五一X)的图象，再把所得的函数五一X)的图象，向右平移1个单位,

得到函数y=/(l—X)的图象(图略)，故选D.

31-\GO,

法二由已知函数人x)的解析式，得y=/(l—x)=I,、故该函数

log-(1—x),x<0,

过点(0,3),排除A；过点(1,1),排除B；在(一8,0)上单调递增，排除C.选

D.

感悟提升1.抓住函数的性质，定性分析：(1)从函数的定义域，判断图象的左右

位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的

变化趋势；(3)从周期性，判断图象的循环往复；(4)从函数的奇偶性，判断图象

的对称性.

2.抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分

析解决问题.

角度2借助动点探究函数图象

例3如图，圆。的半径为1,A是圆上的定点，P是圆上的动

点，角x的始边为射线终边为射线。P,过点P作直线

。4的垂线，垂足为将点M到直线OP的距离表示成x的

函数人x),则y=/(x)在［0,汨的图象大致为()

答案c

7T

解析(排除法)由题图可知：当时，。尸，。4,

此时兀c)=0,排除A,D；

当无£(0,'时,OM=cosx,

设点M到直线OP的距离为d,

则‘in%，即d=OA/sinx=sin»cosx,

••fix)—sinxcosx=^sin2xwg,排除B,故选C.

感悟提升根据实际背景、图形判断函数图象的两种方法

(1)定量计算法：根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象.

(2)定性分析法：采用“以静观动”，即判断动点处于不同的特殊的位置时图象

的变化特征，从而利用排除法做出选择.

注意求解的过程中注意实际问题中的定义域问题.

训练2(1)函数丁=2——心在［―2,2］上的图象大致为()

答案D

解析因为f(,x)=y=2x2—eu,

所以火一无)=2(—力2—=2x2—ew,

故函数为偶函数.

当工=±2时，y=8-e2G（0,1）,故排除A,B.

当龙£［0,2］时,Hx）=2f—e》，

所以/（x）=4x—€工=0有解.

故y=2——e国在［0,2］上不是单调的，故排除C.

（2）如图，长方形ABCD的边AB=2,BC=1,。是A3的中点.点P沿着边3C,

CD与DA运动，记N30P=x.将动点P到A,3两点距离之和表示为x的函数«v）,

则丁=兀0的图象大致为（）

答案B

解析由题易知期）=2,起=1+小，理=2吸<瑞，可排除C,D；

当点P在边3C上时，於）=BP+AB=tanx+W+tai^OW尤W；J,不难发现人劝

的图象是非线性的，排除A,选B.

考点三函数图象的应用

角度1研究函数的性质

例4已知函数兀0=.中1-2x,则下列结论正确的是（）

A<x）是偶函数,单调递增区间是（0,+8）

B<x）是偶函数,单调递减区间是（一8,1）

C次x）是奇函数,单调递减区间是（一1,1）

D<x）是奇函数,单调递增区间是（一8,0）

答案c

解析将函数4x）=x|x|—2x去掉绝对值，|v

x2—2x,x20,小|;/

得危尸..…Gd/一

I—%2-2x,x<0,/-i：Viyx

画出函数兀0的图象，如图所示，’「

观察图象可知，函数五X）的图象关于原点对称，

故函数次X）为奇函数,且在（一1,1）上单调递减.

角度2确定零点个数、解不等式

例5（1）设函数y=/（x+l）是定义在（一8,O）U（0,+8）上的偶函数，在区间（一

8,0）上是减函数，且图象过点（1,0）,则不等式（x—IMXlWO的解集为

答案{x|xW0或1<XW2}

解析画出兀0的大致图象如图所示.

不等式（L1）於）W0可化为0⑴W。，或0⑴部.

由图可知符合条件的解集为{x|xW0或1<XW2}.

|lgx\,x>0,

⑵已知青=2叫在。，则函数I/Q）―3於）+1的零点个数是__.

答案5

解析方程W）-3»+l=0的解为1x）=T或1.

作出y=/U）的图象，由图象知零点的个数为5.

角度3求参数的取值范围

sinTix,OWxWl,

例6⑴已知函数段）=।〜若实数mb,。互不相等，<»=»

JOg2022X,X>L

=〃）,则a-\-b-\-c的取值范围是.

答案（2,2023）

sin7ix,OWxWl,

解析函数应0=<,的图象如图所示,

JOg2022X,X>1

fy

不妨令a<b<c,

由正弦曲线的对称性可知a+b=l,

Wl<c<2022,所以2V<+b+cV2023.

(2)已知函数五x)=+3x|,x©R.若方程火》)一a|x—11=0恰有4个互异的实数根,

则实数a的取值范围为..

答案(0，1)U(9,+8)

解析设yi=/x)=|x2+3x|,yi=a\x-\\.

在同一直角坐标系中作出>1=屠+3卫，

*=a|x—1］的图象如图所示.

由图可知用:)一小一1|=0有4个互异的实数根等价于yi=|f+3x|与yi=a\x-\\

的图象有4个不同的交点，

①，,,1、(一3<%<0)有两组不同解.

y—a(l—x)

消去y得x2+(3—<7)x+tz=0有两个不等实根xi,冗2,

・・・/=(3—a》一4〃>0,即/一10〃+9〉0,

又VXI+X2=6Z—3V0,•%2=〃>0,

AO<^<1.

②V,:、(x>l)有两组不同解.

y—a(%—I)

消去y得/+(3—a)x+〃=O有两不等实根13、X4,

/=〃2—10〃+9〉0,

又,「X3+x4=a—3>2,，a>9.

综上可知，0<。<1或a>9.

感悟提升1.利用函数的图象研究函数的性质

对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期

性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应

关系.

2.利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，如判断方程是否有解，有多

少个解.数形结合是常用的思想方法.不等式的求解可转化为两函数的上下关系问

题.

训练3⑴已知函数於)的定义域为R,且於)=,,」若方程五x)=

jCx1)9

x+a有两个不同实根，则实数。的取值范围为()

A.(—8,1)B.(—8,1]

C.(O,1)D.(—8,+8)

答案A

解析当xWO时，»=2^-1,当0<xWl时，一IVx-IWO,»=/x-l)

=2-(0—i.

类推有1x)=/(x—l)=22r—1,%e(l,2],…，也就是说，x>0的部分是将X©

(-1,0]的部分周期性向右平移1个单位得到的，其部分图象如图所示.

若方程Hx)=x+a有两个不同的实数根，

则函数<%)的图象与直线y=x+a有两个不同交点，

故即a的取值范围是(一8,1).

(2)函数二的图象与函数y=2sin7ix(—2W尤W4)的图象所有交点的横坐标之

L人

和等于()

A.2B.4C.6D.8

答案D

解析令1一%="则—

由一2WxW4,知一2W1—

所以一3W/W3.

又y=2sin兀x=2sin兀(1—，)=2sin兀力

在同一坐标系下作出和y=2sin兀/的图象.

由图可知两函数图象在［—3,3］上共有8个交点,

且这8个交点两两关于原点对称.

因此这8个交点的横坐标的和为0,

即加+/2+…+/8=0.

也就是1—Xl+1—X2H-----Pl—X8=0,

因此％1+%2+…+%8=8.

I分层训练•巩固提升

|A级基础巩固

L下列函数中，其图象与函数y=lnx的图象关于直线x=l对称的是()

A.y=ln(l—x)B.y=ln(2~x)

Cj=ln(l+x)D.y=ln(2+x)

答案B

解析法一设所求函数图象上任一点的坐标为(x,y),则其关于直线x=l的对

称点的坐标为(2—x,y),由对称性知点(2—x,y)在函数<x)=lnx的图象上，所

以y=ln(2—尤).

法二由题意知，对称轴上的点(1,0)在函数y=lnx的图象上也在所求函数的图

象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A,C,D,选B.

2.已知函数火x)=logd(0<a〈l),则函数y=/Ux|+l)的图象大致为()

答案A

解析法一先作出函数«x)=logaX(OVa<l)的图象，

当x>0时，y=^|x|+l)=>+l),其图象由函数人沙的图象向左平移1个单位得

到，

又函数丁=次国+1)为偶函数，所以再将函数y=/(x+l)(x>0)的图象关于y轴对

称翻折到y轴左边.

得到x<0时的图象，故选A.

法二因为国+1N1,0<«<1,

所以加H+l)=log，|x|+l)W0,故选A.

3.函数y=］疝2》的部分图象大致为(

)

1cosX

答案C

sin2x

解析由题意知，函数y=,为奇函数，故排除B；

1—COSX

当尤=兀时，y=0,排除D；

当尸1时,产式%>0,排除A•故选C

4.若函数Hx）=,，：、，的图象如图所示，则五一3）

、ln\xIci）9x1

=（)

1

A.”B-4

C.-lD.-2

答案C

In(a—1)=0,[a—2,

解析由图象知，.得，u

b~a=3,(b=5.

2x+5,x<-1,

•，•＞）=1,＞故4―3）=5—6=—L

[In（x十2）,x三一1.

5.如图，不规则四边形A3CD中，A3和CD是线段，AD和3c

是圆弧，直线/LAB交A3于E,当/从左至右移动（与线段A3

有公共点）时，把四边形ABCD分成两部分，设AE=x,左侧

部分的面积为》则y关于x的图象大致是（）

D

答案c

解析当/从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了。点后面积

保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C点后面积的增加速度又逐渐减慢.故选

C.

6.（多选）（2022•江苏七市调研）已知函数H工）=#产疝＞e11）,则y=/（x）的大致图

象可能为（）

答案ABD

解析当aVO时，y=-\/x2-a,即尸一-a（y》o）,

所以该曲线是焦点在y轴的双曲线的上半支，即为D；

当a=0时，y=d?=|x|,即为A；

当a>0时，若xG[—g,y[a],则丁2+/=々3>0）,

该曲线是圆心在原点，半径为g的圆的上半部分（含端点），

若X@（—8,一,）U（g,+00）,

%2—y2=a（y^0）,

则该曲线是焦点在x轴上的双曲线位于x轴上方的部分，即为B.故选ABD.

7.函数丁=1+尤+*的部分图象大致为（）

答案D

解析当x=l时，_/U）=l+l+sinl=2+sin1>2,故排除A,C,当x-+8时,

y-1+x,故排除B,满足条件的只有D,故选D.

-x^~\~2xxWO

8.已知函数Hx）=（八若段）|三以，则a的取值范围是（）

Jn（尤十1）,x>0.

A.（—8,O]B.（—8,1]

C.[-2,1]D.[-2,0]

答案D

解析由尸阿|的图象（如图所示）知，①当x>0时，只有aWO广

时才能满足施012ax.I

②当xWO时，y=\f（x）\OTF

=\~x1+2x\=x1—2x.

故由次元）|2必得

当冗=0时，不等式为0三0成立；

当xVO时，不等式等价为x—2WQ.

9•x—2V—2,—2.

综上可知，—2,0].

9.已知函数y=/(—x)的图象过点(4,2),则函数y=«x)的图象一定过点.

答案(一4,2)

解析y=/(—x)与y=/(x)的图象关于y轴对称，

故y=/(x)的图象一定过点(一4,2).

ny—2

10.若函数八x)=一二丁的图象关于点(1,1)对称，则实数。=.

答案1

—ct~\~a—2,a—2

解析危尸--+E，

关于点(1,a)对称，故。=1.

由于人乃为奇函数，补齐函数的图象如图.

当x©(—2,-l)U(0,1)U(2,+8)时,

»>0,

当xG(—8,-2)u(-l,0)U(l,2)时，

»<0,

.•.不等式项无)<0的解集为(-2,-1)U(1,2).

12.设函数«x)=|x+a|,g(x)=x-l,对于任意的x©R,不等式火工)三g(尤)恒成立,

则实数a的取值范围是.

答案［—1,+8)

解析如图作出函数<X)=|x+a|与g(X)=X—1的图象，观.f\x)=\x+a\

察图象可知，当且仅当一aWl,即a>-l时，不等式

or%i*

_/(x)》g(x)恒成立，因此a的取值范围是［—1,+°°).

B级能力提升

13.（2021•福建三明三模）若函数y=/（x）的大致图象如图所示,

则人x）的解析式可能是（）

XX

）

A/x=|r|_1B,»=1_|Y|

YY

c»=^q-D<X）=不彳

答案c

解析由题图可知，当x©（0,1）时，於）<0,取x=g,

1

对于B,~^-=1>0,排除B；

-2

1

2-2

-

1

对于D,后-3

-4

YI

当x>0时，对于A,Hx）=­7=1+—7,

X—l