2024年高考数学试题分类汇编：计数原理与概率统计

计数原理与概率统计

一、单选题

1.（2024•全国）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块

稻田的亩产量（均在[900,1200）之间，单位：kg）并部分整理下表

亩产量[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1100,1150)[1150,1200)

频数612182410

据表中数据，结论中正确的是（）

A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kg

B.100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%

C.100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间

D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间

2.（2024・全国）甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（）

1112

A-4B-3C-TD-I

3.（2024•北京）（x-4『的二项展开式中Y的系数为（）

A.15B.6C.-4D.-13

4.（2024•天津）下列图中，相关性系数最大的是（）

[・・・・・・、

OX

OxOx

二、多选题

5.（2024•全国）为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，

得到推动出口后亩收入的样本均值元=2.1,样本方差$2=o,oi,已知该种植区以往的亩收入

X服从正态分布N（L8,0T）,假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N（月S?）,贝I］（）

（若随机变量Z服从正态分布N（u,/）,尸（Z<〃+er）*0.8413）

A.P（X>2）>0.2B.P（X>2）<0.5

c.尸（y>2）>0.5D.尸（y>2）<0.8

6.（2024・全国）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标

有数字1，3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮比赛，在每轮比

赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的

人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中

不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为.

7.（2024•全国）在如图的4x4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选

中，则共有种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最

大值是.

11213140

12223342

13223343

15243444

8.（2024•全国）g+xj的展开式中，各项系数的最大值是

9.（2024•全国）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6,从中不放回地随机抽

取3次，每次取1个球.记根为前两次取出的球上数字的平均值，"为取出的三个球上数字

的平均值，则加与〃差的绝对值不超过g的概率是.

10.（2024・天津）48,C,D,E五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.（1）甲选到A的概

率为;已知乙选了A活动，他再选择3活动的概率为.

11.（2024•上海）在（x+l）〃的二项展开式中，若各项系数和为32,则/项的系数为.

12.（2024・上海）某校举办科学竞技比赛，有4B、C3种题库，A题库有5000道题，3题

库有4000道题，C题库有3000道题.小申已完成所有题，他A题库的正确率是0.92,B题

库的正确率是0.86,C题库的正确率是0.72.现他从所有的题中随机选一题，正确率

是.

13.（2024・上海）设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积

皆为偶数，求集合中元素个数的最大值______.

四、解答题

14.（2024•全国）设优为正整数，数列4,电，…,％,“+2是公差不为0的等差数列，若从中删去

两项4和%（z<；）后剩余的4m项可被平均分为加组，且每组的4个数都能构成等差数列,

则称数列4,%。4M+2是。/）-可分数列.

⑴写出所有的亿/）,使数列为，出，…，&是亿力-可分数列；

（2）当加上3时，证明：数列4,外,…,。务,,+2是⑵13）-可分数列；

⑶从1,2,...,4加+2中一次任取两个数i和/«</）,记数列%“+2是亿/）-可分数列的

概率为M，证明：匕>：.

O

15.（2024•全国）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如

下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为

0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得

5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组

成，设甲每次投中的概率为夕，乙每次投中的概率为q,各次投中与否相互独立.

（1）若p=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概

率.

⑵假设o<p<q,

（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

Gi）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

16.（2024•全国）某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车

间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下:

优级品合格品不合格品总计

甲车间2624050

乙车间70282100

总计96522150

⑴填写如下列联表:

优级品非优级品

甲车间

乙车间

能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲,

乙两车间产品的优级品率存在差异？

（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率。=0.5,设万为升级改造后抽取的"件产品的优

级品率.如果万＞0+1.65秒则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150

件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？

(V150®12.247)

n(ad-be)2

(Q+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k]0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

17.（2024•北京）已知某险种的保费为0.4万元，前3次出险每次赔付0.8万元，第4次赔付

0.6万元

赔偿次数01234

单数800100603010

在总体中抽样100单，以频率估计概率：

(1)求随机抽取一单，赔偿不少于2次的概率；

(2)(i)毛利润是保费与赔偿金额之差.设毛利润为X,估计X的数学期望；

(ii)若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降4%,已赔偿过的增加20%.估计保单下一

保险期毛利润的数学期望.

18.(2024・上海)为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名

学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：

时间范围学业成绩[0,0.5)[0,5,1)[1,1.5)[1.5,2)[2,2.5)

优秀5444231

不优秀1341471374027

(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？

(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长(精确到0.1)

(3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有

关？

n(ad-be)?2

(附:力2=，其中”=a+6+c+d，P(z>3.841)^0.05.)

(a+/?)(c+(Z)(a+c)(Z)+£Z)

参考答案:

1.c

【分析】计算出前三段频数即可判断A；计算出低于1100kg的频数，再计算比例即可判断

B；根据极差计算方法即可判断C；根据平均值计算公式即可判断D.

【解析】对于A,根据频数分布表可知，6+12+18=36<50,

所以亩产量的中位数不小于1050kg,故A错误；

对于B,亩产量不低于1100kg的频数为24+10=34,

所以低于1100kg的稻田占比为10气0-3方4=66%,故B错误；

对于C,稻田亩产量的极差最大为1200-900=300,最小为1150-950=200,故C正确；

对于D,由频数分布表可得，亩产量在［1050,1100)的频数为100-(6+12+18+24+10)=30,

所以平均值为击x(6x925+12x975+18xl025+30xl075+24xll25+10xll75)=1067，故D

错误.

故选；C.

2.B

【分析】分类讨论甲乙的位置，得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解.

【解析】当甲排在排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就1种，共2种；

当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1种，共2种；

于是甲排在排尾共4种方法，同理乙排在排尾共4种方法，于是共8种排法符合题意；

基本事件总数显然是A：=24,

Q1

根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为"=不

243

故选：B

3.B

r

【分析】写出二项展开式，令4-：=3,解出，•然后回代入二项展开式系数即可得解.

【解析】卜-6『的二项展开式为=《=0,1,2,3,4)，

令4一；=3,解得r=2,

故所求即为C；(-l)2=6.

故选：B.

4.A

【分析】由点的分布特征可直接判断

【解析】观察4幅图可知，A图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型

拟合效果比较好，呈现明显的正相关，卜值相比于其他3图更接近1.

故选：A

5.BC

【分析】根据正态分布的3b原则以及正态分布的对称性即可解出.

【解析】依题可知，x=2.1,？=0.01,所以

>2)=P(y>2.1-0.1)=P(y<2.1+0.1)-0.8413>0.5,C正确，D错误；

因为,所以尸(X>2)=P(X>1.8+2xO.l),

因为P(X<1.8+01户08413,所以尸(X>1.8+0.1卜1一0.8413=0.1587<0.2,

而尸(X>2)=尸(X>L8+2xO.l)<人X>1.8+0j<0.2,B正确,A错误,

故选：BC.

6.-/0.5

2

【分析】将每局的得分分别作为随机变量，然后分析其和随机变量即可.

【解析】设甲在四轮游戏中的得分分别为工,乙,丫3，丫4,四轮的总得分为X.

对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六

种，从而甲在该轮获胜的概率P(x«=l)=三=],所以£(4)=•!伍=1,2,3,4).

4x4oo

44oo

从而£(用=£区+乙+工+工)=££(£)=^丁亍

k=\k=\32

记“=尸(丫=外住=0,123).

如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1,3,5,7分别对应乙出2,4,6,8,

11

所以同；

如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1,3,5,7分别对应乙出8,2,4,6,

11

所以化彳

,3

而X的所有可能取值是0,1,2,3,故Po+P1+22+,3=1，21+202+3,3=E(X)=a.

所以01+22+777=1，P1+2P2+弓=：，两式相减即得。27，故。2+23=彳.

12oZ24zz

所以甲的总得分不小于2的概率为P2+P3=g.

故答案为：Y-

【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将问题转化为随机变量问题，利用期望的可加性得到

等量关系，从而避免繁琐的列举.

7.24112

【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选；利用列举法写出

所有的可能结果，即可求解.

【解析】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，

则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，

第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，

所以共有4x3x2x1=24种选法；

每种选法可标记为(a,6,c,d),6,c,d分别表示第一、二、三、四列的数字，

则所有的可能结果为：

(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42),

(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44.),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40),

(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40),

(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40),

所以选中的方格中，(15,21,33,43)的4个数之和最大，为15+21+33+43=112.

故答案为：24；112

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方

格可选，利用列举法写出所有的可能结果.

8.5

「代］

C；o^10

【分析】先设展开式中第r+1项系数最大，则根据通项公式有＜进

C；o

而求出r即可求解.

10-r

【解析】由题展开式通项公式为c;。ixrJ0(T<10且rwZ,

设展开式中第一+1项系数最大,

、29

F2---

42933

=><:,BP—<r<—,XreZ,故r=8,

,3344

r<——

4

所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为=5.

故答案为：5.

【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为6,第三个球的号码为

则a+6-342c4a+6+3,就c的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率.

【解析】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有A：=120种，

设前两个球的号码为。力,第三个球的号码为。，则"g-等

故|2c-（a+6）|43,故-342c-（a+6）W3,

故a+6-3V2cVa+6+3,

若c=l,则“+645,则（。,6）为：（2,3）,（3,2）,故有2种,

若c=2,则14a+/7,则(9)为:(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,4),

(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,3),故有10种,

当c=3,则3Va+6W9,则为：

(1,2),(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(4,5),

(2,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,2),(5,2),(6,2),(5,4),

故有16种,

当c=4,则5Va+bVll,同理有16种,

当c=5,则7«a+6«13,同理有10种,

当。=6,贝！同理有2种，

共相与〃的差的绝对值不超过!时不同的抽取方法总数为2（2+10+16）=56,

故所求概率为言=5.

故答案为：看7

10.3；

52

【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求甲选到A的概率；采用列举法或者条件概率

公式可求乙选了A活动，他再选择3活动的概率.

【解析】解法一：列举法

从五个活动中选三个的情况有：

ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE10种情况，

其中甲选到A有6种可能性：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,

则甲选到A得概率为：P=^=|；

乙选A活动有6种可能性：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,

其中再选则B有3种可能性：ABC,ABD,ABE,

31

故乙选了A活动，他再选择3活动的概率为：=不

62

解法二：

设甲、乙选到A为事件乙选到B为事件N,

C23

则甲选到A的概率为尸（M）=m1

乙选了A活动,他再选择B活动的概率为P（N\M）=荔）爷

2

工…心生

故答案为：—3；—1

52

11.10

【分析】令x=l,解出"=5,再利用二项式的展开式的通项合理赋值即可.

【解析】令x=l,,（1+1）"=32,即2"=32,解得〃=5,

所以(X+l)5的展开式通项公式为4+1=G/5-r,令5-r=2,贝壮=3,

7；=Cjx2=]Ox2.

故答案为：10.

12.0.85

【分析】求出各题库所占比，根据全概率公式即可得到答案.

【解析】由题意知,4瓦。题库的比例为:5:4:3,

各占比分别为35=4白3，

121212

543

则根据全概率公式知所求正确率P=五x0.92+—x0.86+—x0.72=0.85.

故答案为：0.85.

13.329

【分析】三位数中的偶数分个位是0和个位不是0讨论即可.

【解析】由题意知集合中且至多只有一个奇数，其余均是偶数.

首先讨论三位数中的偶数，

①当个位为0时，则百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列，则这样的偶数有

P；=72个；

②当个位不为0时，则个位有C；个数字可选，百位有C；=256个数字可选，十位有C；个数

字可选，

根据分步乘法这样的偶数共有C；C；C；=256,

最后再加上单独的奇数，所以集合中元素个数的最大值为72+256+1=329个.

故答案为:329.

14.(1)(1,2),(1,6),(5,6)

(2)证明见解析

⑶证明见解析

【分析】(1)直接根据亿/)-可分数列的定义即可;

(2)根据亿力-可分数列的定义即可验证结论；

(3)证明使得原数列是(，")-可分数列的亿/)至少有(加+1)2-个，再使用概率的定义.

【解析】⑴首先，我们设数列》,出，…,。43的公差为d，则dwO.

由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数

列，

故我们可以对该数列进行适当的变形4=+1(左=1,2,...,4m+2),

得到新数列4=左(左=1,2,...,4加+2),然后对凡员,...,a；、进行相应的讨论即可.

换言之，我们可以不妨设处=左(左=1,2,...,4机+2),此后的讨论均建立在该假设下进行.

回到原题，第1小问相当于从1,2,3,4,5,6中取出两个数i和/1</),使得剩下四个数是等差

数列.

那么剩下四个数只可能是1,2,3,4,或2,3,4,5,或3,4,5,6.

所以所有可能的亿力就是(1,2),(1,6),(5,6).

(2)由于从数列1,2,...,4%+2中取出2和13后，剩余的4根个数可以分为以下两个部分，共

加组，使得每组成等差数列：

®{1,4,7,10},{3,6,9,12},{5,8,11,14},共3组;

②{15,16,17,18},{19,20,21,22},...,{4加-1,4加,4加+1,4加+2},共加-3组.

(如果加-3=0,则忽略②)

故数列1,2,...,4根+2是(2,13)-可分数列.

(3)定义集合/={4左+1］左=0,1,2,…，加}={1,5,9,13,...,4»J+1),

5={"+2%=0,1,2,...,〃“={2,6,10,14,...,4m+2}.

下面证明，对1口</44加+2,如果下面两个命题同时成立，

则数列1,2,...,4皿+2一定是化/)-可分数列：

命题1：或iwB,jeA；

命题2：J*3.

我们分两种情况证明这个结论.

第一种情况：如果延4六8,且/"片3.

此时设i=4匕+1,J=4k2+2,kx,k26(0,l,2,...,m}.

则由i</可知4kl+1<4左2+2,即上2—左>—a,故k22kl.

此时，由于从数列1,2,...,4m+2中取出i=4左+1和J=4左2+2后，

剩余的4加个数可以分为以下三个部分，共加组，使得每组成等差数列：

①{1,2,3,4},{5,6,7,8},...,{4匕一3,4左一2,4/一1,4/},共匕组；

(2){4左］+2,4左1+3,4左1+4,4耳+5},{4左］+6,4kl+7,4左1+8,4左］+9}，…,{4左？一2,4k2—1,4k2,4k?+1},

共七-左组；

③

{4左2+3,4左2+4,4左2+5,4左2+6},{4左2+7,4&+8,4A;2+9,4e+10},...,{4加一1,4九4加+1,4加+2},

共加-左2组.

(如果某一部分的组数为0,则忽略之)

故此时数列1,2,…,4加+2是&))-可分数列.

第二种情况：如果MB,%/,且/-23.

此时设i=4左+2,j=4k［+l,k^k2e{0,l,2,...,w},

则由，</可知4kl+2<4kz+1,即左2-K>a，故上2>匕.

由于故(4左2+1)—(4Al+2)片3,从而色-左।R1,这就意味着无?一《22.

此时，由于从数列1,2,…,4机+2中取出i=4左+2和/=4左2+1后，乘馀的4加个数可以分为以

下四个部分，共机组，使得每组成等差数列：

①{1,2,3,4},{5,6,7,8},...,{鹤一3,4匕一2,44一1,44},共左组;

②{4左］+1,3左1+左2+1,2左1+2左2+1，K+3左2+1},{3左+1左2+2,2左］+2k?+2,左］+3k?+2,4左2+2},

共2组；

③全体{4左］+p,3kl+左2+p,2kl+2k2+p,左］+3k2+2},其中p=3,4,…,左?—后i,共k?—左—2组；

④

{4左2+3,4左2+4,4左2+5,4左2+6},{4右+7,Ak2+8,4e+9,4e+10},...,{4加一1,4九4加+1,4加+2},

共加-左2组.

（如果某一部分的组数为0,则忽略之）

这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含左2-占-2个行,

4个列的数表以后，4个列分别是下面这些数：

{4左］+3,4左］+4,…,3左］+k2}，{3a+后2+3,3左］+k?+4,…,2左］+2左2}，

{2匕+2k2+3,2kl+2k2+3,…,左］+3左2},{a+3k?+3,左］+3k?+4,…,4左2}.

可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍{4左+1,4%+2,…,4伍+2}中

除开五个集合{4斤］+1,4勺+2},{3左।+左2+1,3《+上2+2},{2左］+2左2+1,2%+2依+2},

%+3优+1,%+3优+2},{4e+L4优+2}中的十个元素以外的所有数.

而这十个数中，除开已经去掉的4%+2和4质+1以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八

个数.

这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列1,2,...,4〃?+2是（/.）-可分数列.

至此，我们证明了：对14，＜厂4根+2,如果前述命题1和命题2同时成立，则数列

1,2,...,4m+2一定是亿力-可分数列.

然后我们来考虑这样的亿/）的个数.

首先，由于/CB=0,A和B各有〃?+1个元素，故满足命题1的亿））总共有（洸+1『个；

而如果/-=3,假设ieAjwB,则可设i=4勺+1,/=+2,代入得（4人2+2）-（4勺+1）=3.

但这导致a-左=；,矛盾，所以

设，=4左+2,j=4A;2+1,匕，左2e{0,1,2,…,〃z},贝!］（4优+1）—（4《+2）=3,即&-占=1.

所以可能的瓦伍）恰好就是（0,1）,（1,2）,…对应的化力分别是

（2,5）,（6,9）,...,（477?-2,4m+1），总共m个.

所以这（a+1『个满足命题1的亿/）中，不满足命题2的恰好有加个.

这就得到同时满足命题1和命题2的亿））的个数为（"7+1）2-"7.

当我们从1,2,…,4加+2中一次任取两个数i和/。<力时，总的选取方式的个数等于

C加+2丁加+1)=(2加+1)(4加+1).

而根据之前的结论，使得数列4,%…,%+2是(3)-可分数列的亿/)至少有(m+1『-加个.

所以数列为,a2,...,a.m+2是(/,；)-可分数列的概率只，一定满足

p>(一+1)2一加优，+加+1〉加？+优+：=[加+j=1_.

(2m+l)(4m+1)(2m+1)(4m+1)0俏+1)0〃z+2)2Q机+14〃z+l)8

这就证明了结论.

【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义数列的理解，只有理解了定义，方可使用定

义验证或探究结论.

15.(1)0.686

(2)(i)由甲参加第一阶段比赛；(i)由甲参加第一阶段比赛；

【分析】(1)根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案；

(2)⑴首先各自计算出扁与=口-(1-4〉/,再作差因式分解即可

判断；(ii)首先得到X和Y的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次

作差比较大小即可.

【解析】(1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶

段也至少投中1次，

，比赛成绩不少于5分的概率尸=(1-06乂1-0S)=0.686.

(2)(i)若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为

偏=[1一(1一0)3]八

若乙先参加第一阶段比赛,则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为七=口-(1-"尸｝",

'：0<p<qf

二脩=q3-9-pqY-p3+(p-pqY

=(q-P)(q2+Pq+p2)+(p-q)](p-pq)2+(g-pq)2+(p-pq)(q-pq)]

=(p-q)(3p2q2-3p?q-3*)

=3Pq(p-q)(pq-p-q)=3Pq(p-q)[(l->0,

二编〉号，应该由甲参加第一阶段比赛.

(ii)若甲先参加第一阶段比赛，数学成绩X的所有可能取值为0,5,10,15,

P(X=0)=(1-p)3+[1-(1一p)3].(1-q)3,

尸(丫=5)=[1一(1一力卜0(1-，，

产(X=10)=[l-(l-)3]Cq2(i_g),

P(X=15)=口一(1-0)31/,

E(X)=15[l-(l-p)3]q=15(p3-3/+3M-q

记乙先参加第一阶段比赛，数学成绩丫的所有可能取值为0,5,10,15,

同理E(y)=15(q3-3q2+3g).p

E(X)-E(Y)=15[pq(p+q)(p-q)-3pq(p-q)]

=15(p-q)pq(p+q-3),

因为。<P<q,贝！Jp_q<0,2+q—3<1+1—3<0,

则(p-q)pq(p+q-3)>o,

应该由甲参加第一阶段比赛.

【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分解

从而比较出大小关系，最后得到结论.

16.(1)答案见详解

(2)答案见详解

【分析】(1)根据题中数据完善列联表，计算K2,并与临界值对比分析；

(2)用频率估计概率可得万=0.64,根据题意计算0+1.65秒户，结合题意分析判断.

【解析】(1)根据题意可得列联表：

优级品非优级品

甲车间2624

乙车间7030

可得片=150(26x3。-24x7好)川.，

50x100x96x5416

因为3.841<4.6875<6.635,

所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有99%的把握认为甲,

乙两车间产品的优级品率存在差异.

(2)由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为9需6=0.64,

用频率估计概率可得万=0.64,

又因为升级改造前该工厂产品的优级品率。=0.5,

Ip(l-p)0.5(1-0.5)0.5

Jjp+l,65^__=0.5+1.6515()»0.5+1.65x0.568，

可知万＞p+1.65

所以可以认为生产线智能化升级改造后，