2024年高考数学一轮复习：基本不等式专项讲义（原卷版+解析）

第5讲基本不等式

二^知识梳理

知识点1基本不等式

1、如果Q,Z?£R,那么/+/22而(当且仅当a=b时取等号"=”)・

2222

证明：（。一人）220oa-2ab+b>0<^>a+b>2ab

推论：ab<（a.bGR）.

2

2、如果〃>0,b>0^\a-]-b>2y[ab,（当且仅当〃二b时取等号“="）.

a2+b22"）2

推论：ab<(^—)；

22

a2+b2>2ab成立的条件与等》夜成立的条件相同吗？

提示:不同,a2+b2^2ab成立的条件是aCR,beR,而等》成立的条件是a>0,b>0

3、基本不等式相wg"

⑴设a>0,&>0,则处分的算术平均数为『一，几何平均数为痈，基本不等式可叙述为：两个正数的算术

平均数不小于它们的几何平均数.

(2)基本不等式成立的条件：。>0,本>0.

⑶等号成立的条件：当且仅当a=差时取等号.

♦注：在利用基本不等式求最值时，要紧扣“一正、二定、三相等”的条件.“一正”是说每个项都必须为正

值，“二定”是说各个项的和(或积)必须为定值.“三相等”是说各项的值相等时，等号成立.多次使用均值不

等式解决同一问题时，要保持每次等号成立条件的一致性和不等号方向的一致性.

4、几个重要的不等式

la2+Z>2>2flZ>,a,BGR；

2§+号2,aZ»O;

当且仅当a=8时

3ab<,a,万£R；等号成立.

a2+b2僮+。\

4~^rA-rra'feGR

（5）-^-<^<^-<］J?^（a>0,b>0）.

ab

证明：由a+622j茄（a>0,6>0）,可得工+工2211-,即-茄（当且仅当a=人时等号成立）

abVab1.i

—I—

ab

拓展：（6）a>0,b>0,c>0则弓二，正比.

5、利用基本不等式求最值

已知x>0，j>0j则

⑴如果积xy是定值p，那么当且仅当x=y时Jx+y有最小值是2、份.（简记：积定和最小）

⑵如果和x+y是定值s，那么当且仅当x=y时，孙有最大值是］.（简记：和定积最大）

6、基本不等式公式推导图

而工立£（a,beR,当且仅当a=3时等号成立）

a2+b2>2abCa,beR,当且仅当a=6时等号成立）

2

［（用8,、历分别代换a»）

a+b>14ab（.a>0,b>0,当且仅当〃=b时等号成立）

注：为什么不是a120：

若a力至少一个为0时，不等式a+Z>之2J茄显然成立，没有研究的必要,,（"+"）工立£Ca,beR,当且仅当a=3时等号成立）

22

故一般规定a,b>0

苫之疝当且仅当时等号成立）

2（a>0,Z>>0,a=Z>Q64（券）2（a,bcR,当且仅当Q=Z>时等号成立）

第二*

喜高频考点

考点三与基本不等式有关的参数问题考点一利用基本不等式比较大小

厂直接法

考点四基本不等式的实际应用

基本不等式（-凑项

L配凑法一一凑系数

与函数的结合、

J分离

与三角函数、解三角形的结合一

-常数代换法

与平面向量的结合—考点五基本不等式的综合应用考点二利用基本不等式求最值

-消元法

与数列的结合-

一换元法

与解析几何的结合

一重组转化

J利用两次基本不等式求最值

I基本根式与对勾函数

真题热身

1.（2023•乙卷）下列函数中最小值为4的是（）

°404

A.=x*2*45+2x+4B.y=|sinx|H——；-----C.y=2x+22~xD.y=lruc-\------

Isinx|Inx

4.（2023•天津）已知a>0,b>0,贝!|工+二+6的最小值为

5.（2023•上海）已知函数/（幻=3"+1‘3>0）的最小值为5,贝!Ja=^.

2.（2023•上海）下列不等式恒成立的是C）

A.a?+Z?2,,2abB.+Z??...—2abC.Q+Z?..2ab|D.Q?+H,,—2ab

3.【多选】（2023•海南）已知a>0,b>Qf且a+〃=L则（）

A./+Z??..—B.2a-b>-

;22

D.y/u+y/b„yf2

C.log2a+log2b..—2

11Q

6.（2023•天津）已知a>0,Z?>0,且必=1,则一+—+的最小值为

2alba+b

7.（2023•江苏）已知5//+,4=］（%»£B，则<+>2的最小值是

8.（2023•上海）若x,yeR+,且工+2y=3,则上的最大值为

XX

9.（2023•天津）设x>0,y>0,x+2y=4,则色土屿土卫的最小值为

孙

考点精析

考点一利用基本不等式比较大小

解题方略:

画面面耒不辱赢嬴示前厂商福后i［高薪词M函

【例1-11【多选】（2023•湖南•模拟预测）已知。>0,>>0,且。+6=2,贝（J（）

11

A.T-b<4

a2+b2-2

C.lga+lgZ?<0D.-+->4

ab

【例1-2］（2023•全国•高三专题练习）已知3。=5"=岳，则下列选项错误的是（）

A.a+b=2abB.ab>\

C.log2«+log2z?>0

【题组练透】

1、【多选】（2023•江苏无锡•高三期末）已知e,v/vl，则下列结论正确的是（）

A.a2<b2B.-I—>2

ab

C.ab>b2D.1ga2<lg（6iZ?）

2、【多选】（2023•湖北嚼春县第一高级中学模拟预测）若，>。力>。，且a+b=4,则下列不等式恒成立的

是（）

A.0<—<-B.-+->1

ab4ab

1

C.log24z+log2Z?<2D.9<-

a+b8

3、【多选】（2023•广东汕尾•高三期末）已知e）都是不等于1的正实数，且〃>儿0<c<l,则下列不等式一

定成立的是（）

abcc

A.c>cB.a>b

C.loga>logbD.（«+Z?）（-+y）>4

ccab

考点二利用基本不等式求最值

解题方略:

（-）直接法

①利用基本不等式法求最值的最基本类型可以分为两类：和积一定一动型、和与平方和一定一动型.

积ab,和a+匕和平方和片+〃三者之间的不等式关系:

a+b

ab<(与与(aneR)

②需要注意的是验证等号成立的条件，特别地，由基本不等式而W等，求最值时要求”一正、二定、三

相等”.

③转化符号：若含变量的项是负数，则提取负号，将其转化为正数，再利用“公式”求最值.

④乘方：若目标函数带有根号，则先乘方后配凑为和为定值.

【例2-1］（2023•全国•模拟预测（文））若实数a,B满足a+8=l,则而的最大值为（）

A.2B.1C.1D.-

24

【例2-2］（2023•全国•高三专题练习）已知函数a）=4x+?x>0,a>0）在x=3时取得最小值，则a=

4

【例2-3］（2023•全国•高三专题练习）已知函数/（x）=x+—（尤<0）,则下列结论正确的是（）

X

A.有最小值4B.〃x）有最大值4C.有最小值TD.有最大值T

Q

【例2・4】（2023•四川•石室中学模拟预测（文））函数y=1-2炉—卷的最大值是（）

A.7B.-7C.9D.-9

【题组练透】

1、（2023•安徽•高三期末（文））已知%>0,y>0,2x+y=3,则9"+3）的最小值为（）

A.27B.12百C.12D.673

2、（2023•江西•模拟预测（文））函数的最大值为________.

1+2tanxI3）

3、（2023•浙江绍兴•模拟预测）若直线办-勿-3=0（a>0*>0）过点（1,-1）,则而i+^的最大值为

（二）配凑法

将目标函数恒等变形或适当放缩，配凑出两个式子的和或积为定值.

⑴应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.

所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值,

“三相等”是指满足笠号成立的条件.

⑵配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键，利用配凑法求解最值应注意以下几个方

面的问题：

①配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；

②代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；

③拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.

d++「

（3）形如y二-----------的分式函数求最值,通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开

kx+m

A

再利用不等式求最值。即化为y=mg（x）+--------1-B（A>0,B>0）,g（x）恒正或恒负的形式，然后运用基

g（x）

本不等式来求最值。

【例2-4］（2023•全国•高三专题练习（理））函数尸无++（尤>-2）的最小值为（）

A.3B.2C.1D.0

【例2-5］（2023•全国•高三专题练习）已知则/（x）=4x-2+i±的最大值为.

【例2-6］（2023•全国•高三专题练习）已知0<x<l,则x（3—3x）取得最大值时x的值为（）

函数y=*+3x+3Q<T）的最大值为（）

【例2-7］（2023•全国•高三专题练习）

X+1

A.3B.2C.1D.-1

【题组练透】

4

1、（2023•全国•高三专题练习）求函数y=x+—尤>1）的最小值及此时x的值；

x-1

丫2_yI1

2、（2023・上海•高三专题练习）若则函数"十的最小值为.

x-1

3、（2023•全国•高三专题练习）若函数〃耳=匚生土2）在％=。处取最小值，则。=（）

x-2

A.1+5/5B.2C.4D.6

（三）常数代换法

（1）若已知条件中的“1”（常量可化为“1”）与目标函数之间具有某种关系（尤其是整式与分式

相乘模型），则实施“1”代换，配凑和或积为常数.

模型1已知正数羽y满足"+Z?y=1,求一+—的最小值。（〃>0力>0,m>0,〃>0）

xy

ah

模型2已知正数羽y满足一+―=1,求初％+改的最小值。（a>0,b>0,m>0,n>0）

%V

（2）常数代换法适用于求解条件最值问题.应用此种方法求解最值的基本步骤为：

①根据已知条件或其变形确定定值（常数）；

②把确定的定值（常数）变形为1；

③把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；

④利用基本不等式求解最值.

（3）有些问题从形式上看，似乎具备和与倒数和的一些特征，但细究起来，又存在明确的区别，求解此类

问题时，需要对条件和结论中的表达式进行合理、巧妙的配凑与构造;从而变形、构造出和与倒数和的关系.

【例2-8］（2023•全国•高三专题练习）已知必>0,a+b=l,则工+，的最小值为（）

ab

A.0.5B.1C.2D.4

41

【例2-9］（2023•天津红桥•一模）设。>0,b>l,若。+6=2,则一+「■的最小值为（）

ab-1

A.6B.9C.35/2D.18

【例2-10］（2023•全国•模拟预测）已知x，y为正实数，且2x+y=孙，则2x+y的最小值是（）

A.2B.4C.8D.16

【题组练透】

1、（2023•全国•高三专题练习）已知x>0,y>0,K-+-=2,则x+2y的最小值为_________

xy

41

2、（2023•全国•高三专题练习（理））已知乂丁都是正数，且x+y=2,则--+—的最小值为（）

x+2y+1

139

A.—B.2C.-D.3

155

3、（2023•安徽•南陵中学模拟预测（理））若实数6满足24+匕=3卜>:/>[,则4+二的最小值

<2）2a-lb-\

为（）

A.6B.4C.3D.2

4、（2023•全国•高三专题练习）已知实数a>0,b>0,a+b=2,则工+:的最小值为（）

ab

A.—1~25/2B.—Hy/2C.3*^^D.2'Ji

222

I9

5、（2023•四川•广安二中模拟预测（理））已知a"为正实数，且a+b=6+±+J,则。+6的最小值为_______

ab

6、（2023•全国•高三专题练习）若lVa<3,则工+」一的最小值为（）

a4—a

A.4B.3C.2D.1

（四）消元法

消元法，即根据条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一

个变量的函数，然后转化为函数的最值求解.有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式

求解.注意所保留变量的取值范围

【例2-11]（2023•重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知正实数a,b满足ab+2a-2=0,则4a+b的最小值是

（）

A.2B.4亚-2C.473-2D.6

【题组练透】

12b

1、（2023•全国•高三专题练习）已知正实数〃，6满足±+b=l,则名的最大值为.

aa

2、（2023•全国•高三专题练习）已知正实数x,y满足孙+2x+y=4,则x+_y的最小值为

3、（2。23•湖北武汉•模拟预测）已知正实数a,b满足2"人血则―》最小值为（）

A.0B.2C.4D.6

（五）换元法

当条件式中给出了“和“与“积”之间的关系时，可以考虑借助基本不等式进行放缩，由条件式构建得到关于

“和“或“积”的不等式，解此不等式即可求得“和“或“积”的最值.

【例2-12］（2023•辽宁•模拟预测）若a>0,6>0且2必=2a+b+3,则2a+6的最小值为.

【题组练透】

4a+〃

1、（2023•天津南开•一■模）若a>0,b>0,c>0,a+b+c=2,则----+----的最小值为______

a+bc

（六）重组转化

当条件式或目标式较为复杂、不易理清其结构特点与内在联系时，可从拆分、合并等角度尝试进行

重组，注意观察式子的结构特点，寻找条件式与目标式的结构特征及相互联系.

【例2-13】（2023•天津•一模）已知正实数6,满足3a+b=2,贝++力的最小值为.

【题组练透】

1、（2023•全国•高三专题练习（理））已知a,6为非负数，且满足2a+6=6,则（1+4）©+"）的最大值为

（）

167169

A.40B.一C.42D.一

44

2

2、（2023•浙江台州•二模）已知正实数〃/满足2a+b=2,贝!力的最大值为__________；a2+ab+a+b—--

ab

的最大值为.

3、（2023•河北保定•二模）已知a,Z?e（0,+oo）,且〃+3必+仍2=7,贝!|a+2Z»的最大值为（）

A.2B.3C.2A/2D.3亚

（七）利用两次基本不等式求最值

在求解某些复杂一些的最值问题时，可能会需要连续多次使用基本不等式进行放缩.此时，我们需要注

意两点:一是由基本不等式进行放或缩一定要考虑到不等号的方向与不等式传递性相一致，即多次放大或者

多次缩小，一般不可以既放大又缩小;二是多次使用基本不等式后要考虑等号成立的条件，只有多个等号能

够同时成立时方可.

【例2-14】（2023•全国•高三专题练习）已知a>0,b>0,则2疝+2+工的最小值是（）

ab

A.2B.4C.4V2D.6

【题组练透】

12

1、（2023•全国•高三专题练习）函数〃*）=4'+彳+「可的最小值为（）

A.2夜B.2A/3C.4D.3亚

2、（2023•全国•高三专题练习）若a,bcR,ab>0,则斗，的最大值为（）

a+4b+1

A.-B.《C.2D.4

42

7,儿c均为正实数，则2曲誉的最大值为（

3、（2023•全国•高三专题练习（理））若,)

a+2b+c

A—B.：C.—D.立

22

（八）基本不等式与对勾函数

对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双

飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：f（x）=ax+-（aZ?>0）的函数；

X

对勾函数f（x）=ax+—当awO,bw0时，对勾函数f（x）=ar+2是正比例函数/（%）=依与反

x%

比例函数/（%）=-“叠加”而成的函数；

X

（1）当a7同号时，对勾函数/（乃=分+2的图像形状酷似双勾；故称“对勾函数为如下图所示：

（2）当a,6异号时，对勾函数/（x）=ax+2的图像形状发生了变化，如下图所示:

【例2-15】（2023•河南•模拟预测（文））下列函数中最小值为6的是（）

A.y=x2+2x+6B.J=lcosx|+---------

|COSXI

99

C.y=3x+—D.y=lnx+-----

3XInx

【题组练透】

1、（2023•全国•高三专题练习）在下列函数中，最小值是2的函数是（）

/(彳)=尤+工/(x)=e^+4

A.

Xe

r\f+3

C.f(x)=sinxd——--0<x<D.(

sinx

4

2、（2023•全国•高三专题练习）函数y=log2%+-——(xe[2,4])的最大值为

log2x

4、（2023•全国•高三专题练习）方程——依+4=0在区间［0,1］内有解求°的取值范围;

考点三与基本不等式有关的参数问题

解题方略:

H1蔡赢福莉福冠赢面一

观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围.

j2、求不等式恒成立问题常用分离参数法的方法

:若不等式/（%X）NO（xeD）（2是实参数）恒成立，将〃%为20转化为42g（x）或4Wga）（xe0恒成

1立,进而转化为22g⑺1mx或九三8⑺加乂工©。），求g（x）的最值即可.

【例3-1］（2023•浙江•高三专题练习）若关于x的不等式X+3N4-3”对任意实数x>0恒成立，则实数。的

X

取值范围为（）

A.{a\-l<a<4}B.{a\a<-2a>5}C.-1或壮4}D.［a\-2<a<5}

21

【例3-2］（2023•全国•高三专题练习）已知%>0,>0,一+―=1,若x+2y>加之-2加恒成立，则实数相

xy

的取值范围是（）

A,或机工一2B.根22或机K-4

C.—2<m<4D.-4<m<2

【例3・3］（2023•全国•高三专题练习）若对任意x>0,2:।。恒成立，则实数a的取值范围是（)

x+3x+l

【例3-4］（2023•全国•高三专题练习）已知x,yG（0,-Ko）,且x+y=l,若不等式V+V+孙>口产〃恒

成立，则实数加的取值范围是（）

A.f-pl'jB.-1,1C.（-2,1）D.卜巩一T卜（1,+oo）

【例3-5】（2023•全国•高三专题练习）若关于x的方程l°g/a-3，）=尤-2有解，则实数。的取值范围为（）

3

A.⑵+00)B.[4,+oo)C.[6,+oo)D.[8,+“)

【题组练透】

9

1、（2023•全国•高三专题练习）已知x>2,若1+—^>苏-2机恒成立，则实数冽的取值范围是（）

A.根W—2或m三4B.m<-4m>2

C.—2<m<4D.-4<m<2

2、（2023•全国•高三专题练习）对任意的正实数x。，不等式无+4y2加而恒成立，则实数加的取值范围是

A.(0,4]B.(0,2]C.(-8,4]D.(-00,2]

3、（2023•全国•高三专题练习）已知不等式（尤+y）—+—N9对任意正实数x,y恒成立，则正实数。的最

%y

小值为（

考点四基本不等式的实际应用

解题方略：

利用基本不等式求解实际应用题的三个注意点

⑴设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.

⑵根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.

⑶在求函数的最值时，一定要在定义域（使实际问题有意义的自变量的取值范围）内求解.

【例4-1]（2023•湖南•宁乡市教育研究中心模拟预测）小李从甲地到乙地的平均速度为。，从乙地到甲地的

平均速度为优。>6>0）,他往返甲乙两地的平均速度为,，则（）

4Q+Z7I--

A.2B・v=yJab

C.<v<----D.b<v<y[ab

2

【例4-2］（2023•北京4（）1中学高三阶段练习）已知某产品的总成本C（单位：元）与年产量。（单位：件）

之间的关系为。=而。2+3000.设该产品年产量为。时的平均成本为/（。）（单位：元/件），则的

最小值是（）

A.30B.60C.900D.1800

【例4-3］（2023•湖北•一模）某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为32m2的矩形空地，并计

划在该空地上设置三块全等的矩形试验区（如图所示）.要求试验区四周各空0.5m,各试验区之间也空0.5m.

则每块试验区的面积的最大值为m2.

【题组练透】

1、（2023•全国•高三专题练习）某入围一个面积为32mz的矩形院子，一面靠旧墙，其它三面墙要新建（其

平面示意图如下），墙高3m,新墙的造价为1000元/„?,则当X取（）时，总造价最低？（假设旧墙

足够长）

/，//////////////////，，

*------------X------------->

A.9B.8C.16D.64

2、（2023•全国•高三专题练习）自2020新冠疫情爆发以来，直播电商迅猛发展，以信息流为代表的各大社

交平台也相继入场，平台用短视频和直播的形式，激发起用户情感与场景的共鸣，让用户在大脑中不知不

觉间自我说服，然后引起消费行动.某厂家往年不与直播平台合作时，每年都举行多次大型线下促销活动，

经测算,只进行线下促销活动时总促销费用为24万元.为响应当地政府防疫政策，决定采用线上（直播促销）

线下同时进行的促销模式，与某直播平台达成一个为期4年的合作协议，直播费用（单位：万元）只与4

年的总直播时长x（单位：小时）成正比，比例系数为0.12.已知与直播平台合作后该厂家每年所需的线下

促销费C（单位：万元）与总直播时长x（单位：小时）之间的关系为c=（x.O,左为常数）.记该

厂家线上促销费用与4年线下促销费用之和为y（单位：万元）.

（1）写出y关于x的函数关系式；

（2）该厂家直播时长x为多少时，可使y最小？并求出y的最小值.

3、（2023•全国•高三专题练习）近年来，中美贸易摩擦不断，美国对我国华为百般刁难，并拉拢欧美一些国

家抵制华为5G,然而这并没有让华为却步.今年，我国华为某企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020

年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，每生产x千

10X2+100x,0<x<40

部手机，需另投入成本R（x）万元，且R"）=10000，由市场调研知，每部手机的售价

701.X+----------9450,x240

、x

为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.

⑴求2020年的利润W（x）（万元）关于年产量了（千部）的函数关系式（利润=销售额-成本）.

（2）2020年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少.

考点五基本不等式的综合应用

解题方略：

求与其他知识交汇的最值问题的类型及策略

⑴应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式（或式子）变形，然后利用基本不等式求解.

⑵条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解.

【例5-1］（2023•全国•模拟预测）函数》=。修（。>0,。片1）的图象恒过定点A,若点A在直线

mx+ny-l=O（nm>0）上，贝!J'的最小值为_______.

2mn

【题组练透】

1、（2023•内蒙古•满洲里市教研培训中心模拟预测（理））函数〉=1。8“5-3）+1（。>。且。*1）的图象恒过定

点p,若点尸在直线力吠+4-1=。上，其中m〃>0,则’+■'■的最小值为.

mn

2、（2023•天津•二模）已知k>g4（x+4y）=l+log2^/^,贝!|x+2y的最小值为.

3、【多选】（2023•湖北•荆门市龙泉中学二模）已知函数/（x）=|log2x|,且正实数。，6满足/（。）+/（6）=1,

则下列结论可能成立的是（）

3

A.a=2bB.2〜+2修的最大值为5

C.ab=2D.与+』的最小值为2应

ab

（二）与三角函数、解三角形的结合

【例5-2］（2023•安徽•蒙城第一中学高三阶段练习（文））ABC的内角A、B、C的对边分别为。、b、c,

已知6=2,S.2acosB-acosC=ccosA+a-b,贝!|一ABC面积的最大值是（）

A.也B.6C.2D.75

2

【题组练透】

1、（2023•全国•模拟预测）ABC中，ZABC=（内角ABC所对的边分别为"c,线段AC上的点。满

足NABD=q,且怛£>|=2,则2a+c的最小值为.

2、（2023•全国•高三专题练习）在.ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2acos3+c=0,贝!JtanC

的最大值是（）

A.1B.立C.空D.6

32

jr

3、【多选】（2023•全国•高三专题练习）已知ABC三个内角A,B,C的对应边分别为a,b,c,且NC=§,

c=2,则（）

A.bcosA+acosB=^2B.ABC周长的最大值为6

uuuuum匕乙小、,4V3

C.胃的取值范围为D.的最大值为2+」一

cosA、73

（三）与平面向量的结合

【例5-3］（2023•全国•模拟预测）在一ABC中，点F为线段上任一点（不含端点），若

,、12

AF=xAB+2yAC（x>0,y>0）,贝!+’的最小值为（）

A.9B.8C.4D.2

【题组练透】

1、（2023•安徽淮南•二模（理））已知平面向量"涉的夹角为60。，且|°+切=百，贝!J|a|+g|的最大值为

2、（2023•黑龙江•哈九中模拟预测（理））设e?是平面内两个不共线的向量，AB=e2,

21

AC=2bel-e2（a>0,b>0）,若A,B,。三点共线，则‘+g的最小值是（）

A.8B.6C.4D.2

3、（2023•甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知点E是ABC的中线8。上的一点（不包括端点）.若

21

AE=xAB+yAC,则一+一的最小值为()

%y

A.4B.6C.8D.9

（四）与数列的结合

【例皿（2。23•全国•高三专题练习）设2。，2是'与4〃的等比中项'则焉的最大值为，）

A。［B-I

。WD-I

【题组练透】

_,、11

1、（2023•河南•鹤壁高中模拟预测（文））设正项等差数列｛q｝的前几项和为S〃，若邑013=2013,则一+——

“2”2012

的最小值为（）

A.1B.2C.4D.8

2、（2023•四川•模拟预测（理））已知S“为等差数列｛%｝的前"项和，若％+%=6,55=S3+11,则好的

an1

最小值为（）

3、（2023•湖北•荆门市龙泉中学二模）正项等比数列｛4｝中，49,-出成等差数列，且存在两项

*，。"（杨，"eN*）使得〃屋4=4%,则,+*的最小值是（）