2024年高考数学试题和模拟题分类汇编：平面向量（含解析）

专题06平面对量

一、选择题部分

1.(2024•新高考全国I卷叮10)已知O为坐标原点，点《(cos。,sin。)，^(cos/?,-sin/7),

4(cos(a+^),sin(a+^)),A(l,0),则()

A.阿|=|。回B.|叫=|叫

C.OAOP3=OP\OP2D.OAO^=OP,OI^

【答案】AC.

【解析】A项，OP{=(cosa,sina),O?=(cos尸,-sin尸)，所以||=Jcos2a+sin2a=1，

|OP,|=7(cos^)2+(-sin^)2=1-故|O片|=|ORI，正确；C项，由题意得：

OAOP3=1xcos(«+/?)+0xsin(«+J3)=cos(«+/?),

OPXOP2=cos«-cos/?+sintz(-sin/?)=cos(«+/?),正确；故选AC.

2.(2024•浙江卷・T3)已知非零向量a,。,c,贝.c=c”是“a=6”的()

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】B.

【解析】如图所示，04=。,。8=仇OC=c,BA=a—方，当AB_LOC时，。―8与c垂直，

|u-A|-0,所以7；5成立，此时aw"

；・“；/；＜不是。=6的充分条件，

/Tr、rrr

当。=匕时,a—6=0,•.•(a—6),c=0-c=0,；.J.成立，

是。=匕的必要条件，

综上，二心不是"G=歹的必要不充分条件•

A.2MC.近

【答案】D.

【解析】向量之(1,x),b=(°，2),

当兀＞0时，1W=1,当且仅当x=l时，取等号,

—+x

X

德信的最大值为：L

I_I4

4.（2024•河北张家口三模打6）我国东汉末数学家赵爽在《周牌算经》中利用一幅“弦图”给

出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小

正方形拼成的一个大正方形，=XAB+U.AD,则入+P=（）

【答案】D.

【解析】以E为坐标原点，乐所在直线为x轴，建立如图直角坐标系,

设|EF|=1.由E为AF的中点，

可得E(0,8),1),0),-8),2),

所以而=(1,4),AB=(2,-1),AD=(7,2)，

因为而=入族+N标，所以(1,-5)+四(1,

、3

'2入+1=8,入二A

即，、解得，则人+!"!=£.

-X+2P-=1,15

5.(2024•山东聊城三模叮7.)在△力BC中，\AB\=3,|4C|=4,|BC|=5,M为BC中点，O

—>—>—>

为△ABC的内心，且4。=448+4AM,则；I+〃=().

A.—B.—C.-D.1

1246

【答案】A.

【考点】向量的线性运算性质及几何意义，三角形五心

【解析】由题知，/4=泉依据三角形面积与周长和内心的关系求得，内切圆半径。E=OF

三2=1,四边形AEOF为矩形,

3+4+5

则4。=/E+4F=》C+士曲=-AB+-AC

4322

—>—»—>—>T1TlT

则40=AAB+nAM=（A+^）AB+^AC=-AB+^AC

2+-=i

则｛△一则

2-4

【分析】依据勾股定理可知△力BC为直角三角形结合O为内心，可得四边形AEOF为正方形

内切圆半径OE=OF=L再过依据向量线性运算即可求得。

6.（2024•四川内江三模♦理T3.）已知平面对量；,W满意Z+E+W=O；|=|%|=1%则［芯

的值为（）

A1R1「愿nV3

A.——D.C.--------D.------

2222

【答案】A

【解析】：a+b+c=A，a+b=-c，且Ia1=Ib1=Ic1=1，,（Z+芯）3=/，即

”-♦-*.-***5

l+7a・b+l=>••&”=»•

7.（2024•安徽马鞍山三模•文T3.）已知向量Z=（3,1）,b=（2m-l,3），若之与E共线，则

实数m=()

127

A.—B.5C.—D.1

22

【答案】B.

【解析】向量；=（3,1）­b=（2m-l,3），若之与石共线，可得：9=2%-1,解得根=5.

8.（2024•安徽蚌埠三模•文T6.）己知向量彳，%满意，=2,（:+百4=2，12-卞=2«，

则阴=（）

A.1B.近C.2D.4

【答案】C.

【解析】向量2E满意斓=2，。+口吃=2，立小=2«，可得丁+!京=2,

a2-2；-b+b2=12'解得芯2=4,所以后1=2.

9.（2024•贵州毕节三模•文T7.）如图，在△ABC中，。是BC边的中点，E,F是线段4。的两

个三等分点，若道•赢=7，BE-CE=2＞则而•赤=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B.

【解析】是8c的中点，E,F是4。上的两个三等分点，

..>—♦.>...2.9

BA=BD+3DF-CA=-BD+3DF'BA-CA=7-9DF-BD=7,

BE=BD+2DF-CE=-BD+2DF-BE'CE=2>可得4口尸-BD2，

所以DF=「BD2，--BF^BD+DF-CF=DF-BD-BF-CF=DF-BD1-2=-r

10.（2024•辽宁朝阳三模・T2.）在△ABC中，若AB=1,AC=5,sinA="|,则藤•菽=（）

5

A.3B.±3C.4D.±4

【答案】D.

2A

【解析】在△ABC中，若A3=l,AC=5,sinA=—,可得cosA=±w，

55

所以AB'AC=1X5X（±-1）=+4.

11.（2024•四川泸州三模•理T4.）已知平面对量2三满意|口=正，1^1=1-la+bl=la-bl）

则亡2辛=（）

A.泥B.5C.赤D.7

【答案】C.

【解析】平面对量；,E满意图=«，阴=L|；+1=|；-二

可得；2+2；后+芯2=;2刀・方萨，可得;芯=0,

则在2铲4；2_4；++髭2=万由="

12.（2024•江苏常数三模・T3.）设人为实数，已知向量：=（1,入），n=（2，-1）.若

m则向量if-口与门的夹角为（）

【答案】D.

【解析】VmJ_门，「・m・n=2-入=0,解得入=2,,m=（l,2），m-n=（-l,3），

・・（m-n）•n=-2-3=-51|m-n|n|

Acos<m-n,n〉-5dC=八介、/£=且〈孟二序〉€［。，兀］，

lm-nlIniV10xV52

；・m-n与n的夹角为'“•

13.（2024•江西上饶三模•理T6.）已知A、B、C三点共线（该直线不过原点O）,且示=①而+2〃权

（m>0,〃>0）,则■的最小值是（）

mn

A.10B.9C.8D.4

【答案】C.

【解析】由“八、B、C三点共线（该直线不过原点O）,且赢=团神+2"祈”可知m+2〃

=1（m>0,n>0）,；.24=（m+2n）（2二）=4+至+卫24+2、隹■•卫=8,当且仅当

mnmnmnVmn

1

m+2n=l

2时取“.，2二的最小值是8.

<4nm,即，

1mn

mnI

14.（2024•福建宁德三模・T9）已知向量落b,3满意万+B=（1,—1）,a-3b=（-7,-1）,c=

（1,1）,设五了的夹角为仇则（）

A.\a\=\b\B.a//cC.6=135。D.b1c

【答案】BC.

【解析】■.■a+b=(1,-1)-a-3b=(-7,-1).u=(-1,-1),b=(2,0)，得解|=

V(-l)2+(-1)2=V2,\b\=2,故A错误；又3=(1,1),则1=—落则//落故8正

确；cos0=X6G[0°,180°],.1-0=135°,故C正确；

|a|-|D|2V22

31=2x1+0x1=2大0，B与坏垂直，故。错误.故选：BC.

由已知求解方程组可得2与另，求模推断4由五=-不推断B；由数量积求夹角推断C；由

数量积不为0推断。.本题考查向量垂直与数量积的关系，训练了利用数量积求夹角，考查

运算求解实力，是基础题.

15.(2024•宁夏中卫三模•理T3.)若向量而=(5,6),而=(2,3),则前=()

A.(-3,-3)B.(7,9)C.(3,3)D.(-6,-10)

【答案】C.

【解析】♦向量而=(5,6),CA=(2,3),WJBC=BA+AC=BA-CA=(3,3).

16.(2024•江西九江二模•理T7.)如图所示，四边形ABC。是边长为2的菱形，E是边BC上

靠近C的三等分点，尸为C。的中点，则应•而=()

【答案】C.

【解析】屈+|•五，EF=yBCCD=yBC-yAB'

―»—.―»2—.1—«1—»9—*21--.29110

•"­AE•EF=(AB=BC)•(WBC=AB)=^BC万AB=万义4方义4=一..

17.(2024•浙江杭州二模♦理T3.)设Z,E是非零向量，则是“函数/(x)=(xa+b)

•(xE-Z)为一次函数”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B.

【解析】八尤)=(。+百,(元-之)=[育+(|b|2"|a|2)a,b'

若;4则；工=。，假如同时有国=用，则函数恒为。，

不是一次函数，故不充分；假如/(x)是一次函数，则？E=°，故该条件必要.

18.(2024•河北邯郸二模•理T2.)已知向量之=(-2,6),E=(1,x),若Z与E反向，则

a,(3a+b)=()

A.-30B.30C.-100D.100

【答案】D.

【解析】向量1=(-2,6),石=(1，x),:与E反向，可得尤=-3,

所以1(33+^)=(-2,6)•(-5,15)=10+90=100.

19.(2024•江西上饶二模•理T10.)如图，AB是圆。的一条直径且A8=2,EF是圆。的一条

弦，且£F=1,点尸在线段跖上，则位.瓦的最小值是()

【答案】B.

【解析】PA-PB=(P0+0A)•(P0+0B)=：(P0+0A)•(P0-0A)=|P0|-1-

当P为EF中点时|PQ|加评'则FX"瓦的最小值为

20.(2024•河北秦皇岛二模•理T5.)在△ABC中,已知屈+同=|函，|AB|=4,|AC|=3,BD

=2DC,则AC・AD=()

416

A.—B.3C.—D.6

33

【答案】D.

【解析】VIAB+ACl=IBCbIAB+ACl=IAC-ABb

•■•lAB+ACl2=lAC-ABl21AB2+AC2+2AB，AC=AB2+AC2-2AB*AC'

•*-AB,AC=0---•AB±AC-

..._•.....1..1,..、1.2.

•BD=2DC---AD=AC+CD=AC+1CB=AC+y(AB-AC)=§AB+百AC，

・—•—•—♦z1—*2—♦、1—•—*2—»2二

••AC,AD=AC,(yAB+^AC)=yAC,AB+g-AC6-

21.(2024•江西鹰潭二模♦理T4.)已知向量a是单位向量，E=(3,4),且E在a方向上的投

7_

影为-4,贝叨2二芯=()

A.36B.21C.9D.6

【答案】D.

【解析】向量W是单位向量，b=（3,4）,且芯在之方向上的投影为

222=6

可得整la-bl=74l-41-b+b-

IaI"f

22.（2024•辽宁朝阳二模・T5.）已知向量;,1满意|；|=后|=2,；•6.）=-2,则|2；_3

=（）

A.2B.2yC.4D.8

【答案】B.

【解析】向量；,E满意1；1=g=2,1（S；）=-2,可得：[]=2,

2a-H=。47-42・]+]2=5/16-8+4=71^=2«.

23.（2024•广东潮州二模"4.）设;,三均为单位向量，则“1；”3]|=|3；+中”是:工”的

（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C.

【解析】："I；-3卞=|3；+]|".,.平方得|第+90-6；工=9|第+后|2+6；亏，

即1+9-6；工=9+1+6；工,即12；1=0,则；1=0,即；J_],

反之也成立，则“I；-3%|=|3；+力”是“；式”的充要条件*

24.（2024•天津南开二模・T9.）在直角梯形ABC。中，ADLAB,CD//AB,E为BC边上一点,

BC=3EC'F为直线AE上一点,则乐.祚（）

A.—B.C.—D.—

13132020

【答案】c.

【解析】以A为原点，AB、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，

：.A(0,0),7),1),1),

设£(。，b),则前=(-8,1),EC=(l-a,7-b)，

**BC="3EC,,*•(-1，2)=3(l-o,解得现春，E4,马，

oTIoO

.,.直线AE的方程为丫="^*，设F（x,y）,

o

CF=（x-l,y-1）,FB=（4-X,-y），

CF•FB=（x-l）（2-x）-yx（-^-x-l）=得3+^-»

又：F为直线AE上一点，.•.当x=^时，CF・FB有最大值扁.

25.（2024•安徽淮北二模•文T6.）在平行四边形ABC。中，若沃=2正，AE交BD于F点,

则而=（）

A.羯44■屈B.-f-AB^-ADC.-1-AB-1-ADD.yAB-4AD

oOoooOoO

【答案】D.

【解析】如图所示：由玩=2位，则点E为CO的中点，在平行四边形ABC。中，DEHAB,

所以隼噜-斗则踊4标="1"（而+5?）=看（说4瓦）］疝4瓦

ADArZoooZoo

26.（2024•吉林长春一模•文T2.）若平面对a=（2,%）,）=（—1,2）且a〃方，则x的值为

A.-B.-1C.-4D.4

2

【答案】C.

2x

【解析】由。〃瓦可知——=—即％=-4,故选C.

-12

27.（2024•宁夏银川二模•文T3.）已知向量；,磔勺夹角为60。，|n=2,后|=1,则。+2百

<2a卜（）

7

A.--B.2C.1D.0

2

【答案】D.

【解析】•.响量:芯的夹角为60。，|』=2,阴=1,

•••（萨芯）•弓£百得,2,=恭22MX』.

28.（2024•山西调研二模•文T7）平行四边形ABC。中，E为AD边上的中点，连接BE交AC于

点G,若同=；1而+〃而，贝!M+〃=（）

521

A.1B.-C.-D.-

633

【答案】c.

【解析】••,四边形ABC。为平行四边形，.•.40=8C,为AD边上的中点，.•.AE="D,

,:AD"BC,:AAEGSACBG,•••—=—=i,,-.AG=-CG=-AC,AG=-AC=-（AB+

''CGBC22333、

AD）=|AB+|AD,AG=AAB+[J.AD,.,"=〃='；.2+〃=|.故选：C.

先推断△AEGSACBG,求出相像比，得到4G=lAC,再利用平面对量的线性运算即可求解.本

题考查平行四边形的性质和相像三角形的判定和性质，平面对量的线性运算，属于基础题.

二、填空题部分

29.（2024•高考全国甲卷•理T14）已知向量°=G/）力=（L°），c=°+如.若则

k=.

10

【答案】3.

【解析】利用向量的坐标运算法则求得向量e的坐标，利用向量的数量积为零求得女的值

a=（3』）,Z?=（l,0）,;.c=a+劭=（3+左,1）,，aXc,.,.a-c=3（3+Zr）+lxl=O,解得

,1010

k=----，故答案为：----

33

30.（2024•高考全国乙卷•文T13）已知向量。=（2,5））=（44）,若。，则％=

8

【答案】5.

Q

【解析】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2x4—4x5=0,解方程可得：2=-.

Q

故答案为M.

31.（2024•浙江卷叮17）已知平面对量a*,c,（c/0）满意

H=L什=2'8"=°'（"一》）,c=°,记向量”在凡石方向上的投影分别为X，》d-a在Z方

向上的投影为z,则%2+y2+z2的最小值为一

2

【答案】5.

【解析】由题意，设a=（1,0）/=（0,2）,c=（相,及），

则（。一6）・。二加-2〃=0,即加=2〃，

又向量」在方向上的投影分别为x,»所以d=(x,y),

(d-a)-cm(x-l)+ny2x—2+y

所以d—a在c方向上的投影z=<।;=-^^=——丁,

1。1Vm2+n2±依

即2%+y.y/5z=2,

所以％2+y2+z2=j22+12+^±^5^(九2+y2+z?)>j倒x+y.君z)=g,

元二一

x_y_2

当且仅当<2I.75即<y=1时，等号成立,

2%+y,小z=2

V5

2=--

2?

所以Y+V+z?的最小值为二.故答案为：

32.(2024•浙江丽水湖州衢州二模416.)已知平面对量二b-c>7若1口=后1=遮,a•b

=°5।a+cHa-"cl=4,lb+dl=1,则G+力的最大值是

【答案】1+2行.

【解析】不妨令而写，0B=b,0C=c,0D=d-

以点。为坐标原点，。4。8所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，

贝！IO(0,0),A(V3-0)，B(0,愿)，A'(~V3>0)，

因为域+力+或二尸4,所以|CA|+|CA|=4>2次=|AA'I，

故点C在以4为长轴，N(-73.0),A(V3>0)为焦点的椭圆上，

26

则点C的轨迹方程为?+丫2=],又后+9=1,即IQB-OD1=1DBl=b

故点。在以B(0,立)为圆心，1为半径的圆上，又G+?l=|沃-而|=|正|<lBCl+1，

所以转化为求解出C|的最大值，由图易得，当以B为圆心，r为半径的圆乂2+6-a)2=产

2

与椭圆菅+y2=1内切时有最大值，联立方程组消去X可得，3y2+2百y+r2-7=0，

则△=12-12(r2-7)=0,解得r=2亚，

所以R+Nlmaxn+lBClmaxn+Zd^

33.（2024•山东潍坊二模・T16.）已知向量W，,满意|之+4|=3,忆1=1且之4+1=（之+口

•%则q的取值范围是—•

【答案】[1,5].

【解析】：|；+El=3,|a-7[2=|a+bj2_4a*b=9-4a，b-

=

Ia*b+11I（a+b）（a+b）卜1$=3,・•・-4Wa*bW2,

・・・1W9-W・EW25，・・・1W|Z-画2.25,即1m彳.]k5.

34.（2024•江苏盐城三模・T12）将平面对量2=（町，科）称为二维向量，由此可推广至〃维向量

Cl=（X],工2，…，物）.对于〃维向量二，号，其运算与平面对量类似，如数量积二•7=|。||b

|cos8=f七％（6为向量7的夹角），其向量二的模|a|=JZ%：，则下列说法正确的有

i=lYz=l

A.不等式（£＞：）（$＞:）＜（£＞，门可能成立

1=11=11=1

B.不等式（fx；）（f短）,（却/y肯定成立

1=1z=l1=1

C.不等式〃$＞：＜（fx,）2可能成立

i=li=l

D.若,则不等式ZTZ七三/肯定成立

X

i=lii=l

【答案】ABD.

【考点】新情景问题下的数量积与模的应用.

【解析】由题意，可设~?=（%1，%2，…，*，7=（y，＞2，…，m），所以（£为2）（£y2尸

i=li=l

n

22222

I〃Fl。F,（£xiyi产=（|a|-|b\）=\a||b|cos＜a,b＞,由cos＜a,b＞W1,可得

Z=1

nnn、及、]、及，

）（Zy2）》（Zx，»R当且仅当v〃，Z?＞=0或兀时取等号，若的＞0,则Z",

i=li=li=\i=lXiz=l

n]_>nt

一七=",所以选项A、B、D正确；设c=（l,1,…，1）（几个1）,则几乞为2=川〃|2,

i=lXiz=l

~—>~►—>-►——►—►—―►—

（）2—（«•c）2=|a|2|c|2cos2<a,c>=n\a|2cos2<a,c>,由cos2<a,c>Wl,可得

i=l

（之七）2,当且仅当<"，7>=。或无时取等号，所以选项C错误；综上，答案选

1=1J=1

ABD.

35.（2024•江苏盐城三模・T15）若向量了满意|:一了|=3，则I•了的最小值为.

【答案】一点3

【考点】平面对量的综合应用.

【解析】法一：由题意，|〃一。『=〃2+。2—2〃•。》一2〃2〃•。—4q•。，即32

―►—►—►―►3

—4a•b,贝lj〃•。2一不

-*--*-Ia+h2—I/7—|21—►―►Q―►―►a

法二：由题意，ab=-----------------三―木所以。•。的最小值为一不

36.（2024•河南郑州三模♦理T13）在矩形ABCD中，其中AB=3,AD=1,AB上的点E满意应+2强

=a，F为A。上随意一点，则泥•而=.

【答案】-3.

【解析】在矩形ABCO中，其中AB=3,AD=1,项上的点E满意彘+2而=1,E是AB的

一个3等分点，F为AD上随意一点，所以瓦•丽=|Eg||Bp|cos（n-/EBF）=-|gg||^g|

=-3.

B

37.（2024•河南开封三模•理T14）已知向量Z，石满意金工）19若|b1=1，则Z在E方向上

的投影为—.

【答案】1.

【解析】•.,（a-b）J_b，，（a-b）"b=0，，a，bTb|2=0,：|1）|=]，a・b=L

在E方向上的投影为：|a|cos<a，=故答案为：1.

lbI1

38.（2024•河南开封三模•文T14.）已知向量彳二（1,&），b=（t,2&），若之在E方向上的

投影为近，则实数r=2.

【答案】2.

【解析】向量7=（1,我），E=（t,2&），Z在E方向上的投影为遮，

3.卜—.t+4—

L7=«，即：］2解得f=2.

lbIVt2+8

39.（2024•浙江杭州二模•理T16.）已知芯是单位向量，且：，总设示=工，瓦=总0C=

加7+nE（机2">°），若△ABC为等腰直角三角形，则相=.

【答案】2或1.

【解析】依据题意，已知二E是单位向量，且设7=（L0），b=（。，1），

贝晨=（m，H）（m^n>0）,则A（1,0）,B（0,1）,C（m,几），

,_,_,_,_,fm（m-l）+n（n-l）=0

若C为直角，即AC'BC且lAd=lBd，则,,\222Z,、2'

又由m2几>0,解可得m=n=l,

_（n-l）=0

若2为直角，即BA，BC且陶=麻1，则<2,、2，

解可得：m=2,n=l,

同理：若。为直角，可得根=1,n=2,（不合题意，舍去）

综合可得：m=2或1.

40.（2024•上海嘉定三模・T11.）若圆。的半径为2,圆。的一条弦AB长为2,P是圆。上随

意一点，点P满意而［笆，则族.而的最大值为.

【答案】10.

【解析】【法一：建系法】如图以AB中点C为原点建系，则

A(-l,0),B(l,0),0(0,V3)-所以圆。方程为x2+(y-“)2=4,

所以设P(2cos8,，§+2sin8),Q(xo,%),因为昨日笆，

=

BP=(2cos6-1,V3+2sin6)PQ(x0-2cos9,y0-V3-2sin0)，

所以藤•而=12cos8-2，因为cosOe[-1,1],所以屈.市的最大值为:LO.

【法二：投影法】连接。A,0B过点。作OC_LAB,垂足为C,

因为而=yPQ,所以百=4AQ垮超所以与=3AP-2AB=30P-30A-2AB'

ABAQ=AB-（30P-30A-2AB）=3AB0P-3ABOA-2|AB|2

=3|AB||0P|cos<^,0P>+3X2X2cosZ0AB-2X22

1n

<3X2X2Xl+3X2X2Xy-2X2=10-

且仅当了II标且同向时取等号，，亚•乐的最大值为io.

41.（2024•河南济源平顶山许昌三模♦文T14.）已知平面对量:=（1,正），三=（-«,优），

且Ia+U=la-则13；-61=----.

【答案】675.

【解析】：向量7=（1,如）,b=（-正，机），-S-la+bl=la-bl>

-“+«〃2=0,.,.机=1,贝11137-6%=

V（3a-6b）2=79a2+36b2+36a-b=^9x4+36x4+0=^/180=65/5.

42.（2024•上海浦东新区三模・T2.）已知彳=（2,3）,石=（%x）且?力［则x=6.

【答案】6.

【解析】,・.已知■；=（2,3）,石=（%%）且Z//E，则由两个向量共线的性质可得

2x-3X4=0,角尾得％=6.

43.（2024•江西南昌三模•理T13.）已知两个单位向量e1，e2，且|01+62尸1，则lerezl

【答案】V3.

【解析】•••32=£2口，且画+\|=i；

....Q.2...2***♦

Ie{+e2\=+2e1»e2+e2=2+2e1-e2=l；：.2e^e2=-l；

；•Ie[-e2I2=ei-2ej*62+©2=1+l+l=3；%-e?I

44.（2024•上海浦东新区三模・T12.）已知I示|=|瓦|=1,若存在m,neR,使得优标+示与

“标+祈夹角为6。°>且I（疝融+示）-屈+祇）1=2则I标I的最小值为•

【答案】

2

【解析】由题意，AB=0B-0A-^a=0A^=mAB+0A=（l-in）OA+mOB'

b=OB?'=nAB+0B=（1+n）OB-nOA'故有4A'，B,B'共线，

,/|a-b|=|ByA''为定值，在OB1中，由余弦定理可得，

■^=1a|2+|b|2-2|a||b|cos600=|1|2+|b|2-|a||b|>IaIIbb

当且仅当|彳|=后I时，I|bI取最大值],此时△&'OB'面积最大，则O到AB距

离最远，即当且仅当A'、B'关于y轴对称时，|麻|最小，

此时O到AB的距离为«.目।...」察=而桑弓③，即|=^.

45.（2024•湖南三模・T13.）已知单位向量之，石满意域-2中=遮，则W与E的夹角为_丁.

O

【答案】q.

o

【解析】依据题意，设；与E的夹角为。，单位向量7,E满意17-23=“，则有（1-2三）