2025年中考数学二轮复习：图形认识初步 压轴解答题练习题（含答案解析）

第第页2025年中考数学二轮复习：图形认识初步压轴解答题练习题一．解答题（共25小题）1．如图，数轴上线段AB＝2（单位长度），CD＝4（单位长度），点A在数轴上表示的数是﹣10，点C在数轴上表示的数是16．若线段AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．（1）问运动多少时BC＝8（单位长度）？（2）当运动到BC＝8（单位长度）时，点B在数轴上表示的数是；（3）P是线段AB上一点，当B点运动到线段CD上时，是否存在关系式BD−APPC=3，若存在，求线段2．如图所示，在数轴上原点O表示数0，A点在原点的左侧，所表示的数是a；B点在原点的右侧，所表示的数是b，并且a、b满足|a+8|+|b﹣4|＝0（1）点A表示的数为，点B表示的数为（2）若点P从点A出发沿数轴向右运动，速度为每秒3个单位长度；点Q从点B出发沿数轴向左运动，速度为每秒1个单位长度．P、Q两点同时运动，并且在点C处相遇，试求点C所表示的数．（3）在P、Q运动的过程中，当P、Q两点的距离为2个单位长度时，求点Q表示的数．3．如图1，已知∠AOB＝120°，∠COD＝60°，OM在∠AOC内，ON在∠BOD内，∠AOM=13∠AOC，∠BON=1（1）∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，则∠MON＝°；（2）∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60），求∠MON的度数；（3）∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180且n≠60a，其中a为正整数），直接写出所有使∠MON＝2∠BOC的n值．4．点O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）①如图1，若∠DOE＝25°，求∠AOC的度数；②如图2，若∠DOE＝α，直接写出∠AOC的度数（用含α的式子表示）；（2）将图1中的∠COD绕点O按顺时针方向旋转至图2所示位置．探究∠DOE与∠AOC的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．5．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为a+b2【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．【综合运用】（1）填空：①A、B两点间的距离AB＝，线段AB的中点表示的数为；②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为；点Q表示的数为．（2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；（3）求当t为何值时，PQ=12（4）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．6．下列各小题中，都有OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．（1）如图①，若点A、O、B在一条直线上，∠EOF＝；（2）如图②，若点A、O、B不在一条直线上，∠AOB＝140°，则∠EOF＝；（3）由以上两个问题发现：当∠AOC在∠BOC的外部时，∠EOF与∠AOB的数量关系是∠EOF＝；（4）如图③，若OA在∠BOC的内部，∠AOB和∠EOF还存在上述的数量关系吗；请简单说明理由；7．阅读下面材料，回答下列问题：已知点A表示数a，点B表示数b，则A、B两点之间的距离表示为AB＝|a﹣b|．（1）若点A表示数x，点B表示数﹣2，且AB＝4，则x的值是．（2）若|x+5|+|x﹣6|＝14，则x的值是．（3）在数轴上，点D表示的数是最大的负整数，O是原点，E在O的右侧且到O的距离是10，动点P沿数轴从点D开始运动，到达E点后立刻返回，再回到D点时停止运动．在此过程中，点P的运动速度始终保持每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒．在整个运动过程中，请用含t的代数式表示线段DP的长度．（4）在（3）的情况下，当PD＝2PO时，请直接写出运动时间t的值？8．【新知理解】如图①，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．（1）线段的中点这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）；（2）若AB＝12cm，点C是线段AB的巧点，则AC＝cm；【解决问题】（3）如图②，已知AB＝12cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t（s）．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？说明理由9．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若∠COD=12∠AOB，则∠COD是∠（1）如图①所示，已知∠AOB＝70°，∠AOC＝15°，∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD＝．（2）如图②，已知∠AOB＝63°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜63°）至∠COD，当旋转的角度α为何值时，∠COB是∠AOD的内半角？（3）已知∠AOB＝30°，把一块含有30°角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以3°/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线OD始终在∠AOB的外部，射线OA，OB，OC，OD能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由．10．如图①，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，将一直角三角板如图摆放（∠MON＝90°）．（1）将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图②，使边OM恰好平分∠BOC，问：ON是否平分∠AOC？请说明理由；（2）将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图③，使边ON在∠BOC的内部，如果∠BOC＝60°，则∠BOM与∠NOC之间存在怎样的数量关系？请说明理由．11．把两个三角尺按如图所示那样拼在一起（三角尺分别含30°，45°，60°，90°角，点A、C、D在一条直线上）．（1）求∠ACE的度数；（2）若CF是∠BCE的平分线，求∠ECF的度数．12．如图是一个三角形，现分别连接这个三角形三边的中点将这个三角形分割成4个较小的三角形（即分割成四部分）得到图1，再连接中间这个三角形三边的中点继续将它分割得到图2；再继续连接最中心三角形三边的中点将它分割得到图3．（1）图2中大三角形被分割成个三角形；图3中大三角形被分割成个三角形．（2）按上面的方法继续分割下去，第10个图形分割成几个三角形？第n个图形呢（用n的代数式表示结论）？13．如图①，已知线段AB＝20cm，点C为AB上的一个动点，点D，E分别是AC和BC的中点（1）若点C恰好是AB中点，则DE的长是多少？（直接写出结果）（2）若BC＝14cm，求DE的长（3）试说明不论BC取何值（不超过20cm），DE的长不变（4）知识迁移：如图②，已知∠AOB＝130°，过角的内部任一点C画射线OC，若OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC，试求出∠DOE的大小，并说明∠DOE的大小与射线OC的位置是否有关？14．棱长为a的正方体，摆成如图所示的形状．（1）如果这一物体摆放三层，试求该物体的表面积；（2）依图中摆放方法类推，如果该物体摆放了上下20层，求该物体的表面积．（3）依图中摆放方法类推，如果该物体摆放了上下n层，求该物体的表面积．15．已知∠AOB是一个直角，作射线OC，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD、OE．（1）如图①，当∠BOC＝70°时，求∠DOE的度数；（2）如图②，当射线OC在∠AOB内绕O点旋转时，∠DOE的大小是否发生变化．若变化，说明理由；若不变，求∠DOE的度数；（3）如图③，当射线OC在∠AOB外绕O点旋转时，画出图形，判断∠DOE的大小是否发生变化．若变化，说明理由；若不变，求∠DOE的度数．16．如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝110°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处（∠OMN＝30°），一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．求∠BON的度数．（2）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为（直接写出结果）．（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC的数量关系，并说明理由．17．如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．（1）求线段MN的长度；（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC+BC＝a，其他条件不变，求MN的长度；（3）如图2，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿BA向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？18．探究：有一长6cm，宽4cm的矩形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴，旋转180°，得到一个圆柱，现可按照两种方案进行操作：方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图①；方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图②．（1）请通过计算说明哪种方法构造的圆柱体积大；（2）如果该矩形的长宽分别是5cm和3cm呢？请通过计算说明哪种方法构造的圆柱体积大；（3）通过以上探究，你发现对于同一个矩形（不包括正方形），以其一组对边中点所在直线为轴旋转得到一个圆柱，怎样操作所得到的圆柱体积大（不必说明原因）？19．已知O为直线AB上一点，∠EOF为直角，OC平分∠BOE．（1）如图1，若∠AOE＝45°，求∠COF的度数；（2）若∠EOF的位置如图2所示，OD平分∠AOC，且∠AOD＝75°，求∠COF的度数．20．知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情景请你作出评判．情景一：从教室到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题．情景二：A、B是河流l两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出抽水站点P的位置，并说明你的理由：你赞同以上哪种做法？你认为应用数学知识为人类服务时应注意什么？21．已知数轴上有A、B、C三个点对应的数分别是a、b、c，且满足|a+24|+|b+10|+（c﹣10）2＝0；动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．（1）求a、b、c的值；（2）若点P到A点距离是到B点距离的2倍，求点P的对应的数；（3）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A．在点Q开始运动后第几秒时，P、Q两点之间的距离为4？请说明理由．22．如图，已知OA+OB＝20cm，点C、D分别为线段OA、OB上的动点，若点C从点O出发以1cm/s的速度沿OA方向运动，同时点D从点B出发以3cm/s的速度沿BO方向运动．（1）如图1，当运动时间为2s时，求AC+OD的值；（2）如图1，若在运动过程中，始终保持OD＝3AC，求OA的长；（3）如图2，在（2）的条件下，延长BO到点M，使OM＝OA，点P是直线OB上一点，且MP﹣BP＝OP，求OPMB23．如图，将一副三角板按照如图1所示的位置放置在直线EF上，现将含30°角的三角板OCD绕点O逆时针旋转180°，在这个过程中．（1）如图2，当OD平分∠AOB时，试问OC是否也平分∠AOE，请说明理由．（2）当OC所在的直线平分∠AOE时，求∠AOD的度数；（3）试探究∠BOC与∠AOD之间满足怎样的数量关系，并说明理由．24．将一副三角板按图1摆放在直线MN上，AF平分∠BAD，AG平分∠BAE．（1）∠BAD＝；∠FAG＝；（2）如图2，若将三角板ABC绕A点以5°/秒的速度顺时针旋转t秒（t＜21），求∠FAG的度数；（3）如图3，三角板ABC绕A点以m°/秒的速度顺时针旋转，同时，三角板ADE绕A点以n°/秒的速度逆时针旋转，当AD与AB边首次重合时两三角板都停止运动，若运行t秒时，有∠MAD=56∠CAE成立，试求此时m与25．已知∠AOB＝90°，∠COD＝80°，OE是∠AOC的角平分线．（1）如图1，若∠AOD=13∠AOB，则∠DOE＝（2）如图2，若OF是∠AOD的角平分线，求∠AOE﹣∠DOF的值；（3）在（1）的条件下，若射线OP从OE出发绕O点以每秒12°的速度逆时针旋转，射线OQ从OD出发绕O点以每秒8°的速度顺时针旋转，若OP、OQ同时开始旋转t秒（0＜t＜674）后得到∠COP=54∠

参考答案与试题解析一．解答题（共25小题）1．如图，数轴上线段AB＝2（单位长度），CD＝4（单位长度），点A在数轴上表示的数是﹣10，点C在数轴上表示的数是16．若线段AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．（1）问运动多少时BC＝8（单位长度）？（2）当运动到BC＝8（单位长度）时，点B在数轴上表示的数是4或16；（3）P是线段AB上一点，当B点运动到线段CD上时，是否存在关系式BD−APPC=3，若存在，求线段【考点】两点间的距离；比较线段的长短；数轴；一元一次方程的应用．【专题】分类讨论．【答案】见试题解答内容【分析】（1）设运动t秒时，BC＝8（单位长度），然后分点B在点C的左边和右边两种情况，根据题意列出方程求解即可；（2）由（1）中求出的运动时间即可求出点B在数轴上表示的数；（3）随着点B的运动，分别讨论当点B和点C重合、点C在点A和B之间及点A与点C重合时的情况．【解答】解：（1）设运动t秒时，BC＝8单位长度，①当点B在点C的左边时，由题意得：6t+8+2t＝24解得：t＝2；②当点B在点C的右边时，由题意得：6t﹣8+2t＝24解得：t＝4．（2）当运动2秒时，点B在数轴上表示的数是4；当运动4秒时，点B在数轴上表示的数是16．（3）方法一：存在关系式BD−APPC设运动时间为t秒，1）当t＝3时，点B和点C重合，点P在线段AB上，0＜PC≤2，且BD＝CD＝4，AP+3PC＝AB+2PC＝2+2PC，当PC＝1时，BD＝AP+3PC，即BD−APPC2）当3＜t＜134时，点C在点A和点B之间，0＜①点P在线段AC上时，BD＝CD﹣BC＝4﹣BC，AP+3PC＝AC+2PC＝AB﹣BC+2PC＝2﹣BC+2PC，当PC＝1时，有BD＝AP+3PC，即BD−APPC点P在线段BC上时，BD＝CD﹣BC＝4﹣BC，AP+3PC＝AC+4PC＝AB﹣BC+4PC＝2﹣BC+4PC，当PC=12时，有BD＝AP+3PC，即3）当t=134时，点A与点C重合，0＜PC≤2，BD＝CD﹣AB＝2，AP+3PC＝4当PC=12时，有BD＝AP+3PC，即4）当134＜t＜72时，0＜PC＜4，BD＝CD﹣BC＝4﹣BC，AP+3PC＝AB﹣BC+4PC＝2﹣PC=12时，有BD＝AP+3PC，即∵P在C点左侧或右侧，∴PD的长有2种可能，即5或3.5．方法二：设线段AB未运动时点P所表示的数为x，B点运动时间为t，则此时C点表示的数为16﹣2t，D点表示的数为20﹣2t，A点表示的数为﹣10+6t，B点表示的数为﹣8+6t，P点表示的数为x+6t，∴BD＝20﹣2t﹣（﹣8+6t）＝28﹣8t，AP＝x+6t﹣（﹣10+6t）＝10+x，PC＝|16﹣2t﹣（x+6t）|＝|16﹣8t﹣x|，PD＝20﹣2t﹣（x+6t）＝20﹣8t﹣x＝20﹣（8t+x），∵BD−APPC∴BD﹣AP＝3PC，∴28﹣8t﹣（10+x）＝3|16﹣8t﹣x|，即：18﹣8t﹣x＝3|16﹣8t﹣x|，①当C点在P点右侧时，18﹣8t﹣x＝3（16﹣8t﹣x）＝48﹣24t﹣3x，∴x+8t＝15，∴PD＝20﹣（8t+x）＝20﹣15＝5；②当C点在P点左侧时，18﹣8t﹣x＝﹣3（16﹣8t﹣x）＝﹣48+24t+3x，∴x+8t=33∴PD＝20﹣（8t+x）＝20−33∴PD的长有2种可能，即5或3.5．【点评】本题考查两点间的距离，并综合了数轴、一元一次方程和线段长短的比较，难度较大，注意对第三问进行分情况讨论，不要漏解．2．如图所示，在数轴上原点O表示数0，A点在原点的左侧，所表示的数是a；B点在原点的右侧，所表示的数是b，并且a、b满足|a+8|+|b﹣4|＝0（1）点A表示的数为﹣8，点B表示的数为4（2）若点P从点A出发沿数轴向右运动，速度为每秒3个单位长度；点Q从点B出发沿数轴向左运动，速度为每秒1个单位长度．P、Q两点同时运动，并且在点C处相遇，试求点C所表示的数．（3）在P、Q运动的过程中，当P、Q两点的距离为2个单位长度时，求点Q表示的数．【考点】两点间的距离；数轴；非负数的性质：绝对值．【答案】见试题解答内容【分析】（1）直接利用绝对值的性质得出a，b的值，进而得出答案；（2）直接利用两点之间的距离为12，进而得出等式求出答案；（3）直接利用两点相遇前或相遇后分析得出答案．【解答】解：（1）∵在数轴上原点O表示数0，A点在原点的左侧，所表示的数是a；B点在原点的右侧，所表示的数是b，a、b满足|a+8|+|b﹣4|＝0，∴a+8＝0，b﹣4＝0，解得：a＝﹣8，b＝4，则点A表示的数为：﹣8，点B表示的数为：4；（2）设x秒时两点相遇，则3x+x＝4﹣（﹣8），解得：x＝3，即3秒时，两点相遇，此时点C所表示的数为：﹣8+3×3＝1；（3）当两点相遇前的距离为2个单位长度时，3x+x＝10，解得：x=5此时此时点Q所表示的数为：4﹣1×5当两点相遇后的距离为2个单位长度时，3x+x＝14，解得：x=7此时此时点Q所表示的数为：4﹣1×7综上所述：点Q表示的数为：1.5或0.5．【点评】此题主要考查了两点之间距离以及绝对值的性质，正确分类讨论是解题关键．3．如图1，已知∠AOB＝120°，∠COD＝60°，OM在∠AOC内，ON在∠BOD内，∠AOM=13∠AOC，∠BON=1（1）∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，则∠MON＝100°；（2）∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60），求∠MON的度数；（3）∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180且n≠60a，其中a为正整数），直接写出所有使∠MON＝2∠BOC的n值．【考点】角的计算．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】（1）当∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，可得∠MON＝∠MOB+∠BON，再根据已知条件进行计算即可；（2）根据∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60），分两种情况画图：①当0＜n＜60时，如（图1），②当60＜n＜120时，如（图2），结合（1）进行角的和差计算即可；（3）根据∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180且n≠60a，其中a为正整数），∠MON＝2∠BOC，分两种情况画图：①当0＜n＜60时，如图3，②当60＜n＜180时，如图4和5，结合（2）进行角的和差计算即可．【解答】解：（1）∵∠AOM=13∠AOC，∠BON=1∴∠MOC=23∠AOC，∠DON=2当∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，∴∠MON＝∠MOB+∠BON=23∠AOC=23×＝80°+20°＝100°；故答案为：100°；（2）∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60），①当0＜n＜60时，如（图1），∵∠BOC＝n°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝120°﹣n°，∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝60°﹣n°，∴∠MON＝∠MOC+∠BOC+∠BON=23（120°﹣n°）+n°+1＝100°；②当60＜n＜120时，如（图2），∵∠BOC＝n°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝120°﹣n°，∠BOD＝∠BOC﹣∠DOC＝n°﹣60°，∴∠MON＝∠MOC+∠DOC+∠DON=23（120°﹣n°）+60°+2＝100°；综上所述：∠MON的度数为100°；（3）∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180且n≠60a，其中a为正整数），∠MON＝2∠BOC，①当0＜n＜60时，如图3，∵∠BOC＝n°，∴∠MON＝2∠BOC＝2n°，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝120°+n°，∠BOD＝∠BOC+∠DOC＝n°+60°，∴∠MON＝∠MOC+∠DOC﹣∠DON=23（120°+n°）+60°−2＝100°，∴2n°＝100°∴n＝50；②当60＜n＜120时，如图4，∵∠BOC＝n°，∴∠MON＝2∠BOC＝2n°，∴∠AOC＝360°﹣（∠AOB+∠BOC）＝360°﹣（120°+n°）＝240°﹣n°，∠BOD＝∠BOC+∠DOC＝n°+60°，∴∠MON＝360°﹣∠AOM﹣∠AOB﹣∠BON＝360°−13（240°﹣n°）﹣120°−1＝140°，∴2n°＝140°，∴n＝70；当120＜n＜180时，如图5，∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣120°﹣n°﹣60°＝180°﹣n°，∴∠AOC＝∠AOD+∠COD＝180°﹣n°+60°＝240°﹣n°，∠BOD＝∠AOD+∠AOB＝180°﹣n°+120°＝300°﹣n°，∵∠AOM=13∠AOC，∠BON=1∴∠AOM＝80°−13n，∠BON＝100°−∴∠MON＝∠BOM﹣∠BON＝（∠AOB+∠AOM）﹣∠BON＝（120°+80°−13n）﹣（100°−＝100°，∴2n°＝100°，∴n＝50；综上所述：n的值为50或70．【点评】本题考查了角的计算，解决本题的关键是分情况画图讨论．4．点O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）①如图1，若∠DOE＝25°，求∠AOC的度数；②如图2，若∠DOE＝α，直接写出∠AOC的度数（用含α的式子表示）；（2）将图1中的∠COD绕点O按顺时针方向旋转至图2所示位置．探究∠DOE与∠AOC的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．【考点】角平分线的定义．【专题】线段、角、相交线与平行线．【答案】见试题解答内容【分析】（1）①首先求得∠COE的度数，然后根据角平分线的定义求得∠COB的度数，再根据∠AOC＝180°﹣∠BOC即可求解；②解法与①相同，把①中的25°改成α即可；（2）把∠AOC的度数作为已知量，求得∠BOC的度数，然后根据角的平分线的定义求得∠COE的度数，再根据∠DOE＝∠COD﹣∠COE求得∠DOE，即可解决．【解答】解：（1）①∵∠COD＝90°，∠DOE＝25°，∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝90°﹣25°＝65°，又∵OE平分∠BOC，∴∠BOC＝2∠COE＝130°，∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣130°＝50°；②∵∠COD＝90°，∠DOE＝α，∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝90°﹣α，又∵OE平分∠BOC，∴∠BOC＝2∠COE＝180°﹣2α，∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣（180°﹣2α）＝2α；（2）∠DOE=12∠如图2，∵∠BOC＝180°﹣∠AOC，又∵OE平分∠BOC∴∠COE=12∠BOC=12（180°﹣∠AOC）＝90°又∵∠COD＝90°，∴∠DOE＝90°﹣∠COE＝90°﹣（90°−12∠AOC）=1【点评】本题考查了角度的计算，正确理解角平分线的定义，理解角度之间的和差关系是关键．5．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为a+b2【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．【综合运用】（1）填空：①A、B两点间的距离AB＝10，线段AB的中点表示的数为3；②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为﹣2+3t；点Q表示的数为8﹣2t．（2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；（3）求当t为何值时，PQ=12（4）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．【考点】两点间的距离；数轴；绝对值；一元一次方程的应用．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据题意即可得到结论；（2）当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等列方程得到t＝2，于是得到当t＝2时，P、Q相遇，即可得到结论；（3）由t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，于是得到PQ＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10|，列方程即可得到结论；（4）由点M表示的数为−2+(−2+3t)2=3t2−【解答】解：（1）①10，3；②﹣2+3t，8﹣2t；（2）∵当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等∴﹣2+3t＝8﹣2t，解得：t＝2，∴当t＝2时，P、Q相遇，此时，﹣2+3t＝﹣2+3×2＝4，∴相遇点表示的数为4；（3）∵t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，∴PQ＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10|，又PQ=12AB∴|5t﹣10|＝5，解得：t＝1或3，∴当：t＝1或3时，PQ=12（4）不变．∵点M表示的数为−2+(−2+3t)2点N表示的数为8+(−2+3t)2∴MN＝|（3t2−2）﹣（3t2+3）|＝|【点评】本题考查了一元一次方程的应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．6．下列各小题中，都有OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．（1）如图①，若点A、O、B在一条直线上，∠EOF＝90°；（2）如图②，若点A、O、B不在一条直线上，∠AOB＝140°，则∠EOF＝70°；（3）由以上两个问题发现：当∠AOC在∠BOC的外部时，∠EOF与∠AOB的数量关系是∠EOF＝12∠AOB（4）如图③，若OA在∠BOC的内部，∠AOB和∠EOF还存在上述的数量关系吗；请简单说明理由；【考点】角的计算；角平分线的定义．【专题】线段、角、相交线与平行线．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，点A、O、B在一条直线上，即可得到∠EOF的度数；（2）根据OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，∠AOB＝140°，即可得到∠EOF的度数；（3）根据（2）中的方法，即可得到∠EOF与∠AOB的数量关系；（4）若OA在∠BOC的内部，∠AOB和∠EOF还存在上述的数量关系，方法同（3）．【解答】解：（1）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，∴∠COF=12∠COB；∠COE=1又∵∠AOB＝180°，∴∠EOF=12∠COB+12∠AOC=12（∠BOC+∠故答案为：90°；（2）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，∴∠COF=12∠COB；∠COE=1又∵∠AOB＝140°，∴∠EOF=12∠COB+12∠AOC=12（∠BOC+∠故答案为：70°；（3）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，∴∠COF=12∠COB；∠COE=1∴∠EOF=12∠COB+12∠AOC=12（∠BOC+∠故答案为：12∠AOB（4）存在．∵OF平分∠BOC，OE平分∠AOC，∴∠COF=12∠COB；∠COE=1∴∠EOF=12∠COB−12∠AOC=12（∠BOC﹣∠【点评】本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是依据角的和差关系进行计算．7．阅读下面材料，回答下列问题：已知点A表示数a，点B表示数b，则A、B两点之间的距离表示为AB＝|a﹣b|．（1）若点A表示数x，点B表示数﹣2，且AB＝4，则x的值是2或﹣6．（2）若|x+5|+|x﹣6|＝14，则x的值是﹣6.5或7.5．（3）在数轴上，点D表示的数是最大的负整数，O是原点，E在O的右侧且到O的距离是10，动点P沿数轴从点D开始运动，到达E点后立刻返回，再回到D点时停止运动．在此过程中，点P的运动速度始终保持每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒．在整个运动过程中，请用含t的代数式表示线段DP的长度．（4）在（3）的情况下，当PD＝2PO时，请直接写出运动时间t的值？【考点】两点间的距离；绝对值；一元一次方程的应用．【专题】代数几何综合题；运算能力．【答案】（1）2或﹣6；（2）﹣6.5或7.5；（3）见解答；（4）运动时间t的值是13或1或10或32【分析】（1）AB＝4，那么|x+2|＝4，所以x+2＝4或﹣4，解方程即可求得x的值；（2）根据数轴上两点间距离理解|x+5|+|x﹣6|所表示的含义，从而列方程求解；（3）分两种情况：①当0≤t≤5.5时，②当5.5＜t≤11时，根据时间×速度可得点P的路程，从而可得PD的长；（4）分两种情况：①当点P从点D运动到点E时，存在两种情况：点P在OD上或P在OE上，②当点P从点E运动到点D时，存在两种情况：点P在OD上或P在OE上，分别列方程可解答．【解答】解：（1）∵点A表示数x，点B表示数﹣2，且AB＝4，∴|x+2|＝4，∴x＝﹣2+4＝2或﹣2﹣4＝﹣6，即x＝2或﹣6；故答案为：2或﹣6；（2）|x+5|+|x﹣6|＝14，设A表示数﹣5，B表示数6，P表示数x，①当点P位于线段AB上时，|x+5|+|x﹣6|＝x+5+6﹣x＝11（不合题意，舍去）；②当点P位于A点左侧时，|x+5|+|x﹣6|＝﹣x﹣5﹣x+6＝﹣2x+1＝14，解得：x＝﹣6.5；③当点P位于B点右侧时，|x+5|+|x﹣6|＝x+5+x﹣6＝2x﹣1＝14，解得：x＝7.5；综上，x＝﹣6.5或x＝7.5；故答案为：﹣6.5或7.5；（3）∵点D表示的数是最大的负整数，O是原点，E在O的右侧且到O的距离是10，∴点D表示的数为﹣1，点E表示的数为10，分两种情况：①当0≤t≤5.5时，PD＝2t；②当5.5＜t≤11时，PD＝22﹣2t；（4）由（3）知：OD＝1，OE＝10，分两种情况：①当点P从点D运动到点E时，存在两种情况：点P在OD上或P在OE上，当点P在OD上时，∵PD＝2PO，∴2t=2∴t=1当点P在OE上时，∵PD＝2PO，∴OD＝OP，∴2t＝2，∴t＝1；②当点P从点E运动到点D时，存在两种情况：点P在OD上或P在OE上，当点P在OE上时，∵PD＝2PO，∴OD＝OP＝1，∴22﹣2t＝2，∴t＝10；当点P在OD上时，∵PD＝2PO，∴22﹣2t=2∴t=32综上，运动时间t的值是13或1或10或32【点评】本题考查绝对值的应用．理解两点间的距离的意义是解决本题的关键．用到的知识点为：数轴上两点间的距离等于数轴上表示这两个点的数的差的绝对值．8．【新知理解】如图①，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．（1）线段的中点是这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）；（2）若AB＝12cm，点C是线段AB的巧点，则AC＝4或6或8cm；【解决问题】（3）如图②，已知AB＝12cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t（s）．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？说明理由【考点】两点间的距离．【专题】线段、角、相交线与平行线．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据“巧点”的定义即可求解；（2）分点C在中点的左边，点C在中点，点C在中点的右边，进行讨论求解即可；（3）分①由题意可知A不可能为P、Q两点的巧点，此情况排除；②当P为A、Q的巧点时；③当Q为A、P的巧点时；进行讨论求解即可．【解答】解：（1）如图，当C是线段AB的中点，则AB＝2AC，∴线段的中点是这条线段的“巧点”．故答案为：是；（2）∵AB＝12cm，点C是线段AB的巧点，∴AC＝12×13=4cm或AC＝12×12=6cm或故答案为：4或6或8；（3）t秒后，AP＝2t，AQ＝12﹣t（0≤t≤6）①由题意可知A不可能为P、Q两点的巧点，此情况排除．②当P为A、Q的巧点时，Ⅰ．AP=13AQ，即2t=13Ⅱ．AP=12AQ，即2t=12Ⅲ．AP=23AQ，即2t=23(12−t)③当Q为A、P的巧点时，Ⅰ．AQ=13AP，即(12−t)=2t×13Ⅱ．AQ=12AP，即(12−t)=2t×12，解得Ⅲ．AQ=23AP，即(12−t)=2t×23【点评】考查了两点间的距离，一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．9．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若∠COD=12∠AOB，则∠COD是∠（1）如图①所示，已知∠AOB＝70°，∠AOC＝15°，∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD＝20°．（2）如图②，已知∠AOB＝63°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜63°）至∠COD，当旋转的角度α为何值时，∠COB是∠AOD的内半角？（3）已知∠AOB＝30°，把一块含有30°角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以3°/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线OD始终在∠AOB的外部，射线OA，OB，OC，OD能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由．【考点】角的计算．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据“内半角”的定义，可求出∠COD的度数，再根据∠BOD＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD，可得出结论；（2）由旋转可分别求出∠BOC和∠AOD的度数，再根据“内半角”的定义，可列出等式60−α=60+α2，即可求出（3）由旋转可知，分四种情况，分别进行讨论，根据“内半角”的定义，可求出对应的时间．【解答】解：（1）如图1，∵∠AOB＝70°，∠COD是∠AOB的内半角，∴∠COD=12∠∵∠AOC＝15°，∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD＝70°﹣15°﹣35°＝20°；故答案为：20°．（2）如图2，由旋转可知，∠AOC＝∠BOD＝α，∴∠BOC＝63°﹣α，∠AOD＝63°+α，∵∠COB是∠AOD的内半角，∴∠COB=12∠AOD，即63°﹣α解得α＝21°，当旋转的角度α为21°时，∠COB是∠AOD的内半角；（3）能，理由如下，由旋转可知，∠AOC＝∠BOD＝3t°；根据题意可分以下四种情况：①当射线OC在∠AOB内，如图4，此时，∠BOC＝30°﹣3t°，∠AOD＝30°+3t°，则∠COB是∠AOD的内半角，∴∠COB=12∠AOD，即30°﹣3t°=1解得t=10②当射线OC在∠AOB外部，有以下两种情况，如图5，图6，如图5，此时，∠BOC＝3t°﹣30°，∠AOD＝30°+3t°，则∠COB是∠AOD的内半角，∴∠COB=12∠AOD，即3t°﹣30°=1解得t＝30（秒）；如图6，此时，∠BOC＝360°﹣3t°+30°，∠AOD＝360°﹣3t°﹣30°，则∠AOD是∠BOC的内半角，∴∠AOD=12∠BOC，即360°﹣3t°﹣30°=1解得t＝90（秒）；综上，在旋转一周的过程中，射线OA、OB、OC、OD构成内半角时，旋转的时间分别为：103【点评】本题属于新定义类问题，主要考查旋转中角度的表示，及角度的和差运算；由旋转正确表达对应的角是本题解题关键．10．如图①，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，将一直角三角板如图摆放（∠MON＝90°）．（1）将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图②，使边OM恰好平分∠BOC，问：ON是否平分∠AOC？请说明理由；（2）将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图③，使边ON在∠BOC的内部，如果∠BOC＝60°，则∠BOM与∠NOC之间存在怎样的数量关系？请说明理由．【考点】余角和补角；角平分线的定义．【专题】线段、角、相交线与平行线．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由角平分线的定义可知∠BOM＝∠MOC，由∠NOM＝90°，可知∠BOM+∠AON＝90°，∠MOC+∠NOC＝90°，根据等角的余角相等可知∠AON＝∠NOC；（2）根据题意可知∠NOC+∠NOB＝60°，∠BOM+∠NOB＝90°，由∠BOM＝90°﹣∠NOB、∠BON＝60°﹣∠NOC可得到∠BOM＝∠NOC+30°．【解答】解：（1）ON平分∠AOC．理由如下：∵∠MON＝90°，∴∠BOM+∠AON＝90°，∠MOC+∠NOC＝90°．又∵OM平分∠BOC，∴∠BOM＝∠MOC，∴∠AON＝∠NOC．∴ON平分∠AOC．（2）∠BOM＝∠NOC+30°．理由如下：∵∠CON+∠NOB＝60°，∠BOM+∠NOB＝90°，∴∠BOM＝90°﹣∠NOB＝90°﹣（60°﹣∠NOC）＝∠NOC+30°．∴∠BOM与∠NOC之间存在的数量关系是：∠BOM＝∠NOC+30°．【点评】本题主要考查的是角的计算、角平分线的定义，根据等角的余角相等证得∠AON＝∠NOC是解题的关键．11．把两个三角尺按如图所示那样拼在一起（三角尺分别含30°，45°，60°，90°角，点A、C、D在一条直线上）．（1）求∠ACE的度数；（2）若CF是∠BCE的平分线，求∠ECF的度数．【考点】角的计算；角平分线的定义．【答案】见试题解答内容【分析】（1）直接利用直角三角形各内角度数进而得出∠ACE的度数；（2）首先得出∠BCE的度数，再结合角平分线的性质得出答案．【解答】解：（1）∵把两个三角尺按如图所示那样拼在一起（三角尺分别含30°，45°，60°，90°角，点A、C、D在一条直线上），∴∠ACE＝180°﹣∠ECD＝120°；（2）∵∠ACB＝45°，∴∠BCE＝120°﹣45°＝75°，∵CF是∠BCE的平分线，∴∠FCE＝∠BCF＝37.5°．【点评】此题主要考查了角的计算以及角平分线的定义，正确利用直角三角形各内角度数是解题关键．12．如图是一个三角形，现分别连接这个三角形三边的中点将这个三角形分割成4个较小的三角形（即分割成四部分）得到图1，再连接中间这个三角形三边的中点继续将它分割得到图2；再继续连接最中心三角形三边的中点将它分割得到图3．（1）图2中大三角形被分割成7个三角形；图3中大三角形被分割成10个三角形．（2）按上面的方法继续分割下去，第10个图形分割成几个三角形？第n个图形呢（用n的代数式表示结论）？【考点】认识平面图形．【专题】规律型．【答案】见试题解答内容【分析】（1）读图可得：图2中大三角形被分割成7个三角形；图3中大三角形被分割成10个三角形；（2）由图2、图3总结规律，图2是4个，图3是4+3×1个，图4是4+3×2个，…则图10有4+3×9＝31个，第n个图形有4+3（n﹣2）＝（3n﹣2）个．【解答】解：（1）图2中大三角形被分割成4个三角形；图3中大三角形被分割成7个三角形．（2）图10有4+3×9＝31个，第n个图形有4+3（n﹣2）＝（3n﹣2）个．【点评】此题是一个找规律的题目，要认真观察图形，寻找规律，再作答．13．如图①，已知线段AB＝20cm，点C为AB上的一个动点，点D，E分别是AC和BC的中点（1）若点C恰好是AB中点，则DE的长是多少？（直接写出结果）（2）若BC＝14cm，求DE的长（3）试说明不论BC取何值（不超过20cm），DE的长不变（4）知识迁移：如图②，已知∠AOB＝130°，过角的内部任一点C画射线OC，若OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC，试求出∠DOE的大小，并说明∠DOE的大小与射线OC的位置是否有关？【考点】角的计算；两点间的距离；角平分线的定义．【专题】线段、角、相交线与平行线．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据中点的性质求出AC、BC的长，根据线段中点的定义计算即可；（2）根据中点的性质求出AC、BC的长，根据线段中点的定义计算即可；（3）根据中点的性质求出AC、BC的长，根据线段中点的定义计算，即可说明DE的长不变；（4）根据角平分线的定义得到∠DOC=12∠AOC，∠EOC=12【解答】解：（1）∵点C恰为AB的中点，∴AC＝BC=12AB＝10∵点D、E分别是AC和BC的中点，∴DC=12AC＝5cm，CE=12∴DE＝10cm．（2）∵AB＝20cm，BC＝14cm，∴AC＝6cm，∵点D、E分别是AC和BC的中点，∴CD＝3cm，CE＝7cm，∴DE＝CD+CE＝10cm；（3）∵点D、E分别是AC和BC的中点，∴CD=12AC，CE=∴DE＝CD+CE=12（AC+BC）=12∴不论BC取何值（不超过20cm），DE的长不变．（4）∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠DOC=12∠AOC，COE=1∴∠DOE＝∠DOC+∠COE=12（∠AOC+∠COB）=1∵∠AOB＝130°，∴∠DOE＝65°．∴∠DOE的度数与射线OC的位置无关．【点评】本题考查的是两点间的距离的计算和角的计算，掌握线段中点的定义、角平分线的定义、灵活运用数形结合思想是解题的关键．14．棱长为a的正方体，摆成如图所示的形状．（1）如果这一物体摆放三层，试求该物体的表面积；（2）依图中摆放方法类推，如果该物体摆放了上下20层，求该物体的表面积．（3）依图中摆放方法类推，如果该物体摆放了上下n层，求该物体的表面积．【考点】几何体的表面积．【专题】投影与视图．【答案】见试题解答内容【分析】由题中图示，从上、下、左、右、前、后等六个方向直视的平面图相同，即三视图的面积相等，故根据正方形的数量求出主视图的面积，即可得到该物体的表面积．【解答】解：（1）6×（1+2+3）•a2＝36a2．故该物体的表面积为36a2；（2）6×（1+2+3+…+20）•a2＝1260a2．故该物体的表面积为1260a2；（3）6×（1+2+3+…+n）•a2＝3n（1+n）a2．故该物体的表面积为3n（1+n）a2．【点评】本题考查了平面图形的有关知识，关键是要注意立体图形的各个面及每个面的正方形的个数．15．已知∠AOB是一个直角，作射线OC，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD、OE．（1）如图①，当∠BOC＝70°时，求∠DOE的度数；（2）如图②，当射线OC在∠AOB内绕O点旋转时，∠DOE的大小是否发生变化．若变化，说明理由；若不变，求∠DOE的度数；（3）如图③，当射线OC在∠AOB外绕O点旋转时，画出图形，判断∠DOE的大小是否发生变化．若变化，说明理由；若不变，求∠DOE的度数．【考点】角平分线的定义．【专题】计算题．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据角平分线的定义，OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，则可求得∠COE、∠COD的值，∠DOE＝∠COE+∠COD；（2）结合角的特点，∠DOE＝∠DOC+∠COE，求得结果进行判断和计算；（3）正确作出图形，判断大小变化．【解答】解：（1）∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠COE=12∠COB=∴∠DOE＝45°；（2）∠DOE的大小不变等于45°，理由：∠DOE＝∠DOC+∠COE==1=1（3）∠DOE的大小发生变化，∠DOE＝45°或135°．如图①，则为45°；如图②，则为135°．（说明过程同（2））【点评】正确作图，熟记角的特点与角平分线的定义是解决此题的关键．16．如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝110°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处（∠OMN＝30°），一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．求∠BON的度数．（2）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为11或47（直接写出结果）．（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC的数量关系，并说明理由．【考点】余角和补角；角的计算．【专题】综合题；分类讨论．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据角平分线的定义以及直角的定义，即可求得∠BON的度数；（2）分两种情况：ON的反向延长线平分∠AOC或射线ON平分∠AOC，分别根据角平分线的定义以及角的和差关系进行计算即可；（3）根据∠MON＝90°，∠AOC＝70°，分别求得∠AOM＝90°﹣∠AON，∠NOC＝70°﹣∠AON，再根据∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（70°﹣∠AON）进行计算，即可得出∠AOM与∠NOC的数量关系．【解答】解：（1）如图2，∵OM平分∠BOC，∴∠MOC＝∠MOB，又∵∠BOC＝110°，∴∠MOB＝55°，∵∠MON＝90°，∴∠BON＝∠MON﹣∠MOB＝35°；（2）分两种情况：①如图2，∵∠BOC＝110°∴∠AOC＝70°，当直线ON恰好平分锐角∠AOC时，∠AOD＝∠COD＝35°，∴∠BON＝35°，∠BOM＝55°，即逆时针旋转的角度为55°，由题意得，5t＝55°解得t＝11；②如图3，当NO平分∠AOC时，∠NOA＝35°，∴∠AOM＝55°，即逆时针旋转的角度为：180°+55°＝235°，由题意得，5t＝235°，解得t＝47，综上所述，t＝11s或47s时，直线ON恰好平分锐角∠AOC；故答案为：11或47；（3）∠AOM﹣∠NOC＝20°．理由：∵∠MON＝90°，∠AOC＝70°，∴∠AOM＝90°﹣∠AON，∠NOC＝70°﹣∠AON，∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（70°﹣∠AON）＝20°，∴∠AOM与∠NOC的数量关系为：∠AOM﹣∠NOC＝20°．【点评】本题主要考查的是角的计算、角平分线的定义的运用，用含∠AON的式子表示出∠AOM和∠NOC的长是解题的关键．解题时注意分类思想和方程思想的运用．17．如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．（1）求线段MN的长度；（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC+BC＝a，其他条件不变，求MN的长度；（3）如图2，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿BA向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？【考点】两点间的距离．【专题】分类讨论；线段、角、相交线与平行线．【答案】见试题解答内容【分析】（1）（2）根据中点的定义、线段的和差，可得答案；（3）根据线段中点的性质，可得方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：（1）∵线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，∴CM=12AC＝5厘米，CN=∴MN＝CM+CN＝8厘米；（2）∵点M，N分别是AC，BC的中点，∴CM=12AC，CN=∴MN＝CM+CN=12AC+12（3）设运动t秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点．①当0＜t≤5时，C是线段PQ的中点，得10﹣2t＝6﹣t，解得t＝4；②当5＜t≤163时，P为线段CQ的中点，2t﹣10＝16﹣3t，解得t③当163＜t≤6时，Q为线段PC的中点，6﹣t＝3t﹣16，解得t④当6＜t≤8时，C为线段PQ的中点，2t﹣10＝t﹣6，解得t＝4（舍），综上所述：t＝4或265或11【点评】本题考查了两点间的距离，利用线段中点的性质得出关于t的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．18．探究：有一长6cm，宽4cm的矩形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴，旋转180°，得到一个圆柱，现可按照两种方案进行操作：方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图①；方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图②．（1）请通过计算说明哪种方法构造的圆柱体积大；（2）如果该矩形的长宽分别是5cm和3cm呢？请通过计算说明哪种方法构造的圆柱体积大；（3）通过以上探究，你发现对于同一个矩形（不包括正方形），以其一组对边中点所在直线为轴旋转得到一个圆柱，怎样操作所得到的圆柱体积大（不必说明原因）？【考点】点、线、面、体．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据矩形旋转是圆柱，可得几何体，根据圆柱的体积公式，可得答案；（2）根据矩形旋转是圆柱，可得几何体，根据圆柱的体积公式，可得答案；（3）根据矩形旋转所的几何体的大小比较，可得答案．【解答】解：（1）方案一：π×32×4＝36π（cm3），方案二：π×22×6＝24π（cm3），∵36π＞24π，∴方案一构造的圆柱的体积大；（2）方案一：π×（52）2×3=754π（方案二：π×（32）2×5=454π（∵754π＞45∴方案一构造的圆柱的体积大；（3）由（1）、（2），得以较长一组对边中点所在直线为轴旋转得到的圆柱的体积大．【点评】本题考查了点线面体，利用矩形旋转得圆柱是解题关键．19．已知O为直线AB上一点，∠EOF为直角，OC平分∠BOE．（1）如图1，若∠AOE＝45°，求∠COF的度数；（2）若∠EOF的位置如图2所示，OD平分∠AOC，且∠AOD＝75°，求∠COF的度数．【考点】角的计算；角平分线的定义．【专题】线段、角、相交线与平行线．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由∠AOE＝45°，可以求得∠BOE＝135°，再由OC平分∠BOE，可求得∠COE＝67.5°，∠EOF为直角，所以可得∠COF＝∠EOF﹣∠EOC＝22.5°；（2）由OD平分∠AOC，可得∠AOC＝2∠AOD＝150°，∠BOC＝180°﹣∠AOC＝30°，再根据OC平分∠BOE，可得∠EOC＝∠BOC＝30°，进而得出∠COF＝∠EOF﹣∠EOC＝60°．【解答】解：（1）∵∠AOE＝45°，∴∠BOE＝135°，∵OC平分∠BOE，∴∠COE＝67.5°，∵∠EOF为直角，∴∠COF＝∠EOF﹣∠EOC＝22.5°；（2）∵OD平分∠AOC，∴∠AOC＝2∠AOD＝2×75°＝150°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝30°，∵OC平分∠BOE，∴∠EOC＝∠BOC＝30°，∴∠COF＝∠EOF﹣∠EOC＝90°﹣30°＝60°．【点评】本题考查了角平分线定义，邻补角定义，角的和差，准确识图是解题的关键．从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．20．知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情景请你作出评判．情景一：从教室到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题．情景二：A、B是河流l两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出抽水站点P的位置，并说明你的理由：你赞同以上哪种做法？你认为应用数学知识为人类服务时应注意什么？【考点】线段的性质：两点之间线段最短．【专题】作图题；方案型．【答案】见试题解答内容【分析】因为教学楼和图书馆处于同一条直线上，两点之间线段最短；连接AB，使AB两点同在一条直线上，与河流的交点既是最佳位置．【解答】解：情景一：因为教学楼和图书馆处于同一条直线上，两点之间的所有连线中，线段最短；情景二：（需画出图形，并标明P点位置）理由：两点之间的所有连线中，线段最短．赞同情景二中运用知识的做法．应用数学知识为人类服务时应注意应用数学不能以破坏环境为代价．【点评】此题为数学知识的应用，考查知识点两点之间线段最短．21．已知数轴上有A、B、C三个点对应的数分别是a、b、c，且满足|a+24|+|b+10|+（c﹣10）2＝0；动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．（1）求a、b、c的值；（2）若点P到A点距离是到B点距离的2倍，求点P的对应的数；（3）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A．在点Q开始运动后第几秒时，P、Q两点之间的距离为4？请说明理由．【考点】两点间的距离；数轴；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；一元一次方程的应用．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据绝对值和偶次幂具有非负性可得a+24＝0，b+10＝0，c﹣10＝0，解可得a、b、c的值；（2）分两种情况讨论可求点P的对应的数；（3）分类讨论：当P点在Q点的右侧，且Q点还没追上P点时；当P在Q点左侧时，且Q点追上P点后；当Q点到达C点后，当P点在Q点左侧时；当Q点到达C点后，当P点在Q点右侧时，根据两点间的距离是4，可得方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：（1）∵|a+24|+|b+10|+（c﹣10）2＝0，∴a+24＝0，b+10＝0，c﹣10＝0，解得：a＝﹣24，b＝﹣10，c＝10；（2）﹣10﹣（﹣24）＝14，①点P在AB之间，AP＝14×2﹣24+28点P的对应的数是−44②点P在AB的延长线上，AP＝14×2＝28，﹣24+28＝4，点P的对应的数是4；（3）当P点在Q点的右侧，且Q点还没追上P点时，3t+4＝14+t，解得t＝5；当P在Q点左侧时，且Q点追上P点后，3t﹣4＝14+t，解得t＝9；当Q点到达C点后，当P点在Q点左侧时，14+t+4+3t﹣34＝34，t＝12.5；当Q点到达C点后，当P点在Q点右侧时，14+t﹣4+3t﹣34＝34，解得t＝14.5，综上所述：当Q点开始运动后第5、9、12.5、14.5秒时，P、Q两点之间的距离为4．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，掌握非负数的性质，再结合数轴解决问题．22．如图，已知OA+OB＝20cm，点C、D分别为线段OA、OB上的动点，若点C从点O出发以1cm/s的速度沿OA方向运动，同时点D从点B出发以3cm/s的速度沿BO方向运动．（1）如图1，当运动时间为2s时，求AC+OD的值；（2）如图1，若在运动过程中，始终保持OD＝3AC，求OA的长；（3）如图2，在（2）的条件下，延长BO到点M，使OM＝OA，点P是直线OB上一点，且MP﹣BP＝OP，求OPMB【考点】线段的和差．【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】（1）12cm；（2）OA＝5cm；（3）OPMB=1或【分析】（1）先求出OC＝1×2＝2（cm），BD＝3×2＝6（cm），根据OA＝20﹣OB，求出AC＝OA﹣OC＝（20﹣OB）﹣OC＝20﹣OB﹣2＝18﹣OB，OD＝OB﹣BD＝OB﹣6，最后求出结果即可；（2）设运动时间为t，则OC＝t，BD＝3t，求出OD＝OB﹣3t，AC＝OA﹣t，根据OD＝3AC，得出OB﹣3t＝3（OA﹣t），求出OB＝3OA，再根据OA+OB＝20cm求出结果即可；（3）当点P在O、B之间时，根据OA＝5cm，得出MO＝5cm，BO＝15cm，求出BM＝20cm，根据求出OP＝MP﹣BP＝MO+OP﹣BP＝5+OP﹣BP，根据OP＝OB﹣BP＝15﹣BP，得出5+OP﹣BP＝15﹣BP，求出OP＝10cm，最后求出比值即可；当点P在点B右边时，可得OP＝MB，进而可得结果．【解答】解：（1）当运动时间为2s时，如图1，OC＝1×2＝2（cm），BD＝3×2＝6（cm），∵OA+OB＝20cm，∴OA＝20﹣OB，∴AC＝OA﹣OC＝（20﹣OB）﹣OC＝20﹣OB﹣2＝18﹣OB，∵OD＝OB﹣BD＝OB﹣6，∴AC+OD＝18﹣OB+OB﹣6＝12（cm）；（2）设运动时间为t，则OC＝t，BD＝3t，∴OD＝OB﹣3t，AC＝OA﹣t，∵OD＝3AC，∴OB﹣3t＝3（OA﹣t），∴OB＝3OA∵OA+OB＝20cm，∴OA+3OA＝20cm，∴OA＝5cm．（3）∵OA＝5cm，∴MO＝5cm，BO＝15cm，BM＝20cm，∵MP﹣BP＝OP，∴点P在点O右边，当点P在O、B之间时，如图2，∴OP＝MP﹣BP＝MO+OP﹣BP＝5+OP﹣BP，∵OP＝OB﹣BP＝15﹣BP，∴5+OP﹣BP＝15﹣BP，∴OP＝10cm，∴OPMB当点P在点B右边时，∵MP﹣BP＝OP，MP﹣BP＝MB，∴OP＝MB，∴OPMB综上，OPMB=1或【点评】本题主要考查了线段的和差运算，解题的关键是数形结合，根据线段之间的数量关系求出结果．23．如图，将一副三角板按照如图1所示的位置放置在直线EF上，现将含30°角的三角板OCD绕点O逆时针旋转180°，在这个过程中．（1）如图2，当OD平分∠AOB时，试问OC是否也平分∠AOE，请说明理由．（2）当OC所在的直线平分∠AOE时，求∠AOD的度数；（3）试探究∠BOC与∠AOD之间满足怎样的数量关系，并说明理由．【考点】余角和补角；角平分线的定义；角的计算．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据角平分线的定义，平角的定义即可求解；（2）根据角平分线的定义和平角的定义求得∠AOC的度数，再根据角的和差关系即可求解；（3）根据角的和差关系即可求解．【解答】解：（1）当OD平分∠AOB时，OC也平分∠AOE，∵OD平分∠AOB时，∴∠AOD＝∠DOB，∵∠AOC+∠AOD＝90°，∴∠COE+∠DOB＝90°，∴∠AOC＝∠COE，∴OC也平分∠AOE；（2）∵OC所在的直线平分∠AOE，∴∠AOC=1∴∠AOD＝90°﹣67.5°＝22.5°；（3）当∠AOD在∠AOB内部时，∠AOD+∠BOC＝∠AOD+∠BOD+∠COD＝∠AOB+∠COD＝45°+90°＝135°；当∠AOD在∠AOB外部时，①旋转角度大于45度而小于等于90度，∠BOC﹣∠AOD＝∠AOB+∠COD＝45°+90°＝135°；②旋转角度大于90度而小于等于180度，∠BOC+∠AOD＝360°﹣90°﹣45°＝225°．【点评】此题考查了角平分线的定义，角的计算，关键是观察图形得到角与角之间的关系．24．将一副三角板按图1摆放在直线MN上，AF平分∠BAD，AG平分∠BAE．（1）∠BAD＝105°；∠FAG＝15°；（2）如图2，若将三角板ABC绕A点以5°/秒的速度顺时针旋转t秒（t＜21），求∠FAG的度数；（3）如图3，三角板ABC绕A点以m°/秒的速度顺时针旋转，同时，三角板ADE绕A点以n°/秒的速度逆时针旋转，当AD与AB边首次重合时两三角板都停止运动，若运行t秒时，有∠MAD=56∠CAE成立，试求此时m与【考点】角的计算；角平分线的定义．【专题】常规题型．【答案】见试题解答内容【分析】（1）如图1．根据平角的定义可得∠BAD＝180°﹣∠BAC﹣∠DAE＝105°；根据角平分线定义可得∠BAF=12∠BAD＝52.5°，∠BAG=12∠BAE＝67.5°，代入∠FAG＝∠（2）如图2，根据平角的定义可得∠BAD＝180°﹣∠BAC﹣∠DAE﹣∠CAM＝105°﹣5t；∠BAE＝180°﹣∠BAC﹣∠CAM＝135°﹣5t；根据角平分线定义可得∠BAF=12∠BAD=12（105°﹣5t），∠BAG=12∠BAE=12（135°﹣5（3）如图3．根据平角的定义可得∠MAD＝180﹣∠DAE﹣∠EAN＝150°﹣nt，∠CAE＝180°﹣∠MAC﹣∠EAN＝180°﹣mt﹣nt．根据∠MAD=56∠CAE列出方程150°﹣nt=56（180°﹣mt﹣nt），解方程即可得出【解答】解：（1）如图1．∠BAD＝180°﹣∠BAC﹣∠DAE＝180°﹣45°﹣30°＝105°；∵AF平分∠BAD，AG平分∠BAE，∴∠BAF=12∠BAD＝52.5°，∠BAG=12∴∠FAG＝∠BAG﹣∠BAF＝67.5°﹣52.5°＝15°．故答案为105°；15°；（2）如图2，由题意可知：∠BAD＝180°﹣∠BAC﹣∠DAE﹣∠CAM＝180°﹣45°﹣30°﹣5t＝105°﹣5t；∠BAE＝180°﹣∠BAC﹣∠CAM＝180°﹣45°﹣5t＝135°﹣5t；∵AF平分∠BAD，AG平分∠BAE，∴∠BAF=12∠BAD=1∠BAG=12∠BAE=1∴∠FAG＝∠BAG﹣∠BAF=12（135°﹣5t）−1（3）如图3．∠MAD＝180﹣∠DAE﹣∠EAN＝180°﹣30°﹣nt＝150°﹣nt，∠CAE＝180°﹣∠MAC﹣∠EAN＝180°﹣mt﹣nt．当∠MAD=56∠CAE时，有150°﹣nt=56（180°﹣解得n＝5m．即当n＝5m时，有∠MAD=56∠【点评】本题考查了角平分线定义，平角的定义以及角的计算，利用数形结合得出等式是解题关键，注意理清角之间的关系．25．已知∠AOB＝90°，∠COD＝80°，OE是∠AOC的角平分线．（1）如图1，若∠AOD=13∠AOB，则∠DOE＝（2）如图2，若OF是∠AOD的角平分线，求∠AOE﹣∠DOF的值；（3）在（1）的条件下，若射线OP从OE出发绕O点以每秒12°的速度逆时针旋转，射线OQ从OD出发绕O点以每秒8°的速度顺时针旋转，若OP、OQ同时开始旋转t秒（0＜t＜674）后得到∠COP=54∠【考点】角的计算；角平分线的定义．【专题】分类讨论；线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．【答案】（1）25°；（2）40°；（3）t的值为18544秒或35【分析】（1）由题意得∠AOD＝30°，再求出∠AOE＝55°，即可得出答案；（2）先由角平分线定义得∠AOF＝∠DOF=12∠AOD，∠AOE=12∠AOC，再证∠AOE﹣∠AOF（3）分三种情况：①当射线OP、OQ在∠AOC内部时，即0＜t≤3.75时，则∠POE＝（12t）°，∠DOQ＝（8t）°，由角的关系得55﹣12t=54（30﹣8t），解得t②当射线OP在∠AOC内部时，射线OQ在∠AOC外部时，即3.75＜t≤4.5时，由角的关系得55﹣12t=54（8t﹣30），解得：t③当射线OP、OQ在∠AOC外部时，即4.5＜t＜16.75时，由角的关系得12t﹣55=54（8t﹣30），解得：t【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∴∠AOD=13∠∵∠COD＝80°，∴∠AOC＝∠AOD+∠COD＝30°+80°＝110°，∵OE平分∠AOC，∴∠AOE＝∠COE=12∠∴∠DOE＝∠AOE﹣∠AOD＝55°﹣30°＝25°；故答案为：25°；（2）∵OF平分∠AOD，∴∠AOF＝∠DOF=12∠∵OE平分∠AOC，∴∠AOE=12∠∴∠AOE﹣∠AOF=12∠AOC−12∠AOD=12（∠AOC﹣∠∵∠COD＝80°，∴∠AOE﹣∠DOF=1（3）分三种情况：①当射线OP、OQ在∠AOC内部时，∵30﹣8t≥0，∴t≤3.75，即0＜t≤3.75时，由题意得：∠POE＝（12t）°，∠DOQ＝（8t