2025年岳麓版高二数学下册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年岳麓版高二数学下册月考试卷156考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、过椭圆的右焦点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B椭圆上不同的两点A（x1，y1）B（x2，y2）满足条件：|F2A||F2B||F2C|成等差数列；则弦AC的中垂线在y轴上的截距的范围是（）

A.

B.

C.

D.

2、已知双曲线的离心率为且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程是()A.B.C.D.3、【题文】执行右面的程序框图；如果输入的N是5，那么输出的S是（）

A.-385B.-399C.-45.D.-554、已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn=2an+1，则当n＞1时，Sn=（）A.（）n﹣1B.2n﹣1C.（）n﹣1D.（﹣1）5、a，b∈R，下列命题正确的是（）A.若a＞b，则a2＞b2B.若a＞|b|，则a2＞b2C.若|a|＞b，则a2＞b2D.若|a|≠b，则a2≠b26、若圆台两底面周长的比是1：4，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是（）A.1：16B.39：129C.13：129D.3：27评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)7、中心在原点，长轴长为8，准线方程为x=±8的椭圆标准方程为____．8、已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为____．9、已知函数f（x）的导函数记为f′（x），且满足：f（x）=f′（）sinx+cosx，则f（）的值为____．10、如右图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为()，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，则第8行第4个数（从左往右数）为____．11、【题文】在平面直角坐标系中，点的坐标分别为如果

是围成的区域(含边界)上的点，那么当取到最大值时，点的坐标是____________.12、如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为____米．13、已知双曲线x2a2鈭�y2=1

的一条渐近线为3x+y=0

则a=

______．评卷人得分三、作图题(共9题，共18分)14、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

15、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）16、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）17、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

18、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）19、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）20、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共2题，共4分)21、已知椭圆过右焦点F2的直线l交椭圆于A、B两点，若|AB|=求直线l的方程．

22、由经验得知；在某商场付款处排队等候付款的人数及概率如表：

。排队人数012345

人以上概率0.10.160.30.30.10.04(

Ⅰ)

至多有2

人排队的概率是多少？

(

Ⅱ)

至少有2

人排队的概率是多少．评卷人得分五、计算题(共4题，共24分)23、如图，已知正方形ABCD的边长是8，点E在BC边上，且CE=2，点P是对角线BD上的一个动点，求PE+PC的最小值．24、已知等式在实数范围内成立，那么x的值为____．25、已知z1=5+10i，z2=3﹣4i，求z．26、求证：ac+bd≤•．评卷人得分六、综合题(共4题，共28分)27、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．28、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．29、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S3=0．30、已知f（x）=logax（a＞0，a≠1），设数列f（a1），f（a2），f（a3），，f（an）是首项为4，公差为2的等差数列．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、C【分析】

对|F2A|+|F2C|=

使用焦半径公式得：5-x1+5-x2=⇒x1+x2=8．

此后，可以设AC的中垂线方程，代入椭圆方程，使用韦达定理；也可以用“点差”：记AC中点M（4，y）；将A；C两点的坐标代入椭圆方程后作差得：

⇒

∴kAC=-

于是有：AC的中垂线的方程为：

y-y=（x-4）；

当x=0时：y=-此即AC的中垂线在y轴上的截距；

∵M（4，y）在椭圆“内”；

∴

得-＜y＜

∴-＜-＜．

故选：C．

【解析】【答案】使用焦半径公式求得x1+x2的值，可以设AC的中垂线方程，代入椭圆方程，使用韦达定理；也可以用“点差法”：记AC中点M（4，y），将A、C两点的坐标代入椭圆方程后作差，求得AC的斜率表达式，表示出AC的中垂线方程，把x=0代入求得AC的中垂线在y轴上的截距，根据M在圆内求得y的范围，进而求得的范围即弦AC的中垂线在y轴上的截距的范围．

2、A【分析】【解析】试题分析：双曲线的离心率为所以又抛物线的准线所以双曲线中所以考点：双曲线抛物线性质【解析】【答案】A3、B【分析】【解析】：依题意可知：当N=5时，第一步k=1,s=-1,此时满足k≤5；第二步k=3,s=-9,此时满足k≤5；第三步k=5,s=-55,此时满足k≤5；第四步k=7,s=-399，此时终止循环输出s的值，即s=-399.选B【解析】【答案】B.4、A【分析】【解答】解：∵Sn=2an+1，a1=1；

∴a1=2a2，解得a2=．

当n≥2时，Sn﹣1=2an；

∴an=2an+1﹣2an；

化为=．

∴数列{an}从第二项起为等比数列，公比为．

∴Sn=2an+1=2××=．

故选：A．

【分析】利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出．5、B【分析】【解答】解：A．取a=1，b=﹣2时；不成立；

B．∵a＞|b|，则a2＞b2；成立．

C．取a=1，b=﹣2时；不成立；

D．取a=1，b=﹣1时，a2=b2；因此不成立．

故选：B．

【分析】利用不等式的基本性质即可判断出结论．6、B【分析】解：如图所示，不妨设圆台上底面为1，则下底面半径为4，中截面半径为r．

设半径为1，r，4的3个圆锥的体积分别为V1，V2，V3．

设PO1=h，OO1=OO2=x；

∵O1A1∥OA∥O2A2；

∴

解得x=．

∴V2-V1=π=

V3-V2==

∴圆台被分成两部分的体积比=39：129．

故选：B．

如图所示，不妨设圆台上底面为1，则下底面半径为4，中截面半径为r．设半径为1，r，4的3个圆锥的体积分别为V1，V2，V3．设PO1=h，OO1=OO2=x，由于O1A1∥OA∥O2A2，可得解得r；x．再利用圆台的体积计算公式即可得出．

本题考查了圆台的体积计算公式、平行线分线段成比例定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解析】【答案】B二、填空题(共7题，共14分)7、略

【分析】

设a为半长轴，b为半短轴；c为焦距的一半；

根据题意可知：±=±8即a2=8c①；

2a=8②；

把②代入①解得：c=2，a=4，所以b==

又椭圆的中心在原点，则所求椭圆的方程为：．

故答案为：．

【解析】【答案】设出a，b，c分别为椭圆的半长轴，半短轴及焦距的一半，根据椭圆的准线方程公式列出a与c的方程记作①，根据长轴长为8列出a的方程记作②，联立①②即可求出a与c的值，根据a2=b2+c2即可求出b的值，由椭圆的中心在原点，利用a与b的值写出椭圆的标准方程即可．

8、略

【分析】

设PA与PO的夹角为a，则|PA|=|PB|=

==

=

记cos2a=u．则=

即的最小值为

故答案为：

【解析】【答案】利用圆切线的性质：与圆心切点连线垂直；设出一个角；通过解直角三角形求出PA，PB的长；利用向量的数量积公式表示出。

利用三角函数的二倍角公式化简函数；通过换元，再利用基本不等式求出最值．

9、略

【分析】

∵∴解得．

∴

∴==-1．

故答案为-1．

【解析】【答案】利用导数的运算法则即可得出．

10、略

【分析】【解析】

设第n行第m个数为a（n，m），由题意知a（6，1）=1/6，a(7，1)=1/7，∴a（7，2）=a（6，1）-a（7，1）=1/6-1/7=142，a（6，2）=a（5，1）-a（6，1）=1/5-1/6=130，a（7，3）=a（6，2）-a（7，2）=1/30-1/42=1105，a（6，3）=a（5，2）-a（6，2）=1/20-1/30=1/60，．a（8，3）=a（7，2）-a（7，3）=1/280【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】：∵点A；B，C的坐标分别为（0，1），（4，2），（2，6）．

∴△ABC围成的区域（含边界）如下图示：

由图可知：当ω=xy取到最大值时，点P在线段BC上，由线段BC上的点满足：y=-2x+10，x∈[2，4]，∴ω=xy=x（-2x+10），故当x=y=5时，ω取到最大值．故答案为：【解析】【答案】12、2【分析】【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，将A（2，﹣2）代入x2=my；

得m=﹣2

∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣3）得x0=

故水面宽为2m．

故答案为：2．

【分析】先建立直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y=﹣3代入抛物线方程求得x0进而得到答案．13、略

【分析】解：双曲线x2a2鈭�y2=1

的一条渐近线方程为1ax+y=0

可知1a=3

隆脿a=33

故答案为：33

．

通过双曲线方程求出渐近线方程；与已知方程比较即可求出a

的值．

本题考查双曲线的基本性质的应用，渐近线方程的求法，考查计算能力．【解析】33

三、作图题(共9题，共18分)14、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

15、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．16、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．17、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

18、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．19、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．20、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共2题，共4分)21、略

【分析】

由题可知：通径长是故所求直线斜率存在。

设直线l方程为x=ty+1

由可得（4t2+5）y2+8ty-16=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）

则

∴

∴

解得t=±1

所以所求的直线方程为x-y-1=0或x+y-1=0

【解析】【答案】先根据通径长是故所求直线斜率存在，设出直线方程，再联立直线与椭圆方程，消去x得到关于y的一元二次方程，再结合韦达定理以及两点间的距离公式求出|AB|的长；最后与条件|AB|=联立；即可求直线l的方程．

22、略

【分析】

(

Ⅰ)

“至多2

人排队”是“没有人排队”；“1

人排队”，“2

人排队”三个事件的和事件，三个事件彼此互斥，利用互斥事件的概率公式求出至多2

人排队的概率．

(

Ⅱ)

“至少2

人排队”与“少于2

人排队”是对立事件；“少于2

人排队”是“没有人排队”；“1

人排队”二个事件的和事件，二个事件彼此互斥，利用互斥事件的概率公式求出“少于2

人排队”的概率；再利用对立事件的概率公式求出)

“至少2

人排队”的概率．

本题考查互斥事件的概率公式、考查对立事件的概率公式.

考查计算能力．【解析】解：(

Ⅰ)

记没有人排队为事件A1

人排队为事件B.2

人排队为事件CABC

彼此互斥．

P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56

(

Ⅱ)

记至少2

人排队为事件D

少于2

人排队为事件A+B

那么事件D

与A+B

是对立事件；

则P(D)=P(A+B.)=1鈭�(P(A)+P(B))=1鈭�(0.1+0.16)=0.74

．五、计算题(共4题，共24分)23、略

【分析】【分析】要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解．【解析】【解答】解：如图；连接AE；

因为点C关于BD的对称点为点A；

所以PE+PC=PE+AP；

根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值；

∵正方形ABCD的边长为8cm；CE=2cm；

∴BE=6cm；

∴AE==10cm．

∴PE+PC的最小值是10cm．24、略

【分析】【分析】先移项并整理得到=，然后两边进行6次方，求解即可．【解析】【解答】解：原式可化为=；

6次方得，（x-1）3=（x-1）2；

即（x-1）2（x-2）=0；

∴x-1=0；x-2=0；

解得x=1或x=2．

故答案为：1或2．25、解：∴

又∵z1=5+10i，z2=3﹣4i

∴【分析】【分析】把z1、z2代入关系式，化简即可26、证明：∵（a2+b2）•（c2+d2）﹣（ac+bd）2=（ad﹣bc）2≥0，∴（a2+b2）•（c2+d2）≥（ac+bd）2；

∴|ac+bd|≤•

∴ac+bd≤•【分析】【分析】作差（a2+b2）•（c2+d2）﹣（ac+bd）2=（ad﹣bc）2≥0，即可证明．六、综合题(共4题，共28分)27、略

【分析】【分析】根据OA=OB，得到△AOB是等腰直角三角形，则△NBF也是等腰直角三角形，由于P的纵坐标是b，因而F点的纵坐标是b，即FM=b，则得到AF=b，同理BE=a，根据（a，b）是函数y=的图象上的点，因而b=，ab=，则即可求出AF•BE．【解析】【解答】解：∵P的坐标为（a，）；且PN⊥OB，PM⊥OA；

∴N的坐标为（0，）；M点的坐标为（a，0）；

∴BN=1-；

在直角三角形BNF中；∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形）；

∴NF=BN=1-；

∴F点的坐标为（1-，）；

∵OM=a；

∴AM=1-a；

∴EM=AM=1-a；

∴E点的坐标为（a；1-a）；

∴AF2=（-）2+（）2=，BE2=（a）2+（-a）2=2a2；

∴AF•BE=1．

故答案为：1．28、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）．

（3）①连接