2024-2025学年高中数学周练卷5课时作业含解析新人教A版选修2-1

周练卷(五)一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)1．抛物线y2＝8x的焦点到直线x－eq\r(3)y＝0的距离是(D)A．2eq\r(3) B．2C.eq\r(3) D．1解析：y2＝8x的焦点为F(2,0)，它到直线x－eq\r(3)y＝0的距离d＝eq\f(2,\r(1＋3))＝1.故选D.2．准线与x轴垂直，且经过点(1，－eq\r(2))的抛物线的标准方程是(B)A．y2＝－2x B．y2＝2xC．x2＝2y D．x2＝－2y解析：本题考查抛物线标准方程的求法．由题意可设抛物线的标准方程为y2＝ax，则(－eq\r(2))2＝a，解得a＝2，因此抛物线的标准方程为y2＝2x，故选B.3．已知点P(6，y)在抛物线y2＝2px(p>0)上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于(C)A．2 B．1C．4 D．8解析：本题主要考查抛物线的定义和抛物线的焦点到准线的距离．抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－eq\f(p,2).因为P(6，y)为抛物线上的点，所以点P到焦点F的距离等于点P到准线的距离，所以6＋eq\f(p,2)＝8，解得p＝4，所以焦点F到抛物线准线的距离等于4，故选C.4．抛物线y2＝12x的准线与双曲线eq\f(y2,3)－eq\f(x2,9)＝－1的两条渐近线所围成的三角形的面积为(A)A．3eq\r(3) B．2eq\r(3)C．2 D.eq\r(3)解析：本题主要考查抛物线和双曲线中的基本量和三角形面积的计算．抛物线y2＝12x的准线为x＝－3，双曲线的两条渐近线为y＝±eq\f(\r(3),3)x，它们所围成的三角形为边长为2eq\r(3)的正三角形，所以所求三角形的面积为3eq\r(3)，故选A.5．过点(0,1)且与抛物线y2＝4x只有一个公共点的直线有(C)A．1条 B．2条C．3条 D．0条解析：本题主要考查直线与抛物线的位置关系．易知过点(0,1)且斜率不存在的直线x＝0，满意与抛物线y2＝4x只有一个公共点．当过点(0,1)的直线的斜率存在时，设直线方程为y＝kx＋1，与y2＝4x联立，整理，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，当k＝0时，方程有一个解，满意直线y＝kx＋1与抛物线y2＝4x只有一个公共点；当k≠0时，由Δ＝0，可得k＝1，满意直线y＝kx＋1与抛物线y2＝4x只有一个公共点．综上，满意题意的直线有3条，故选C.6．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝3p，则|PQ|＝(A)A．4p B．5pC．6p D．8p解析：设焦点为F，则|PQ|＝|PF|＋|QF|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(p,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(p,2)))＝x1＋x2＋p＝4p.7．已知双曲线eq\f(y2,4)－x2＝1的两条渐近线分别与抛物线y2＝2px(p>0)的准线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为1，则p的值为(B)A．1 B.eq\r(2)C．2eq\r(2) D．4解析：双曲线eq\f(y2,4)－x2＝1的两条渐近线方程是y＝±2x.又抛物线y2＝2px(p>0)准线方程是x＝－eq\f(p,2)，故A，B两点的纵坐标分别是y＝±p.∵△AOB的面积为1，∴eq\f(1,2)·eq\f(p,2)·2p＝1.∵p>0，∴p＝eq\r(2).二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)8．若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝2，准线方程为x＝－1.解析：本题主要考查对抛物线标准方程的理解和应用．因为抛物线y2＝2px的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，准线方程为x＝－eq\f(p,2)，所以p＝2，准线方程为x＝－1.9．已知点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))，抛物线y2＝2x的焦点为F，点P在抛物线上，且|AP|＝eq\r(2)|PF|，则|OP|＝eq\f(\r(5),2).解析：过P作抛物线y2＝2x准线的垂线，垂足为B.由|AP|＝eq\r(2)|PF|知△PBA为等腰直角三角形，则四边形PBAF为正方形，故Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).∴|OP|＝eq\f(\r(5),2).10．在平面直角坐标系xOy中，有肯定点A(2,1)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，则该抛物线的准线方程是x＝－eq\f(5,4).解析：线段OA的垂直平分线方程为y＝－2x＋eq\f(5,2)，令y＝0，得x＝eq\f(5,4).于是抛物线的焦点为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，0)).故抛物线方程为y2＝5x，其准线方程为x＝－eq\f(5,4).11．过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A，B两点(点A在y轴左侧)，则eq\f(|AF|,|FB|)＝eq\f(1,3).解析：本题主要考查抛物线定义的应用．如图，过点A，B作准线的垂线，垂足分别为D，E，再过点A作AC垂直BE于点C，设|BC|＝a，由于直线AB的倾斜角为30°，因此|AB|＝2a.由|AD|＝|AF|，|BF|＝|BE|，得|AD|＝eq\f(a,2)，则|AF|＝eq\f(a,2)，|FB|＝eq\f(3a,2)，于是eq\f(|AF|,|FB|)＝eq\f(1,3).三、解答题(本大题共3小题，共45分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．(15分)点M到点F(4,0)的距离比它到直线l：x＋6＝0的距离小2.(1)求点M的轨迹方程；(2)若直线y＝x－5与(1)中的轨迹交于A，B两点，求线段AB的长度．解：(1)解法一：由题意可知：点M到点F(4,0)的距离与它到直线l：x＋4＝0的距离相等，故点M的轨迹是以F为焦点的抛物线．由eq\f(p,2)＝4得p＝8，所以其轨迹方程是y2＝16x.解法二：设M(x，y)，则由题意可得：eq\r(x－42＋y－02)＋2＝|x＋6|，化简得轨迹方程为y2＝16x，(2)解法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝|x1－x2|eq\r(1＋k2)＝eq\r(2)|x1－x2|.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝16x，,y＝x－5，))得x2－26x＋25＝0.所以|x1－x2|＝eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(576)＝24.于是|AB|＝eq\r(2)|x1－x2|＝24eq\r(2).解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝16x，,y＝x－5，))得x2－26x＋25＝0，解得x1＝1，x2＝25.所以A(1，－4)，B(25,20)，从而|AB|＝eq\r(1－252＋－4－202)＝24eq\r(2).13．(15分)已知抛物线C1的焦点与椭圆C2：eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,5)＝1的右焦点重合，抛物线C1的顶点在坐标原点，过点M(4,0)的直线l与抛物线C1交于A，B两点．(1)写出抛物线C1的标准方程；(2)求△ABO面积的最小值．解：(1)椭圆C2：eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,5)＝1的右焦点(1,0)，即为抛物线C1的焦点．又抛物线C1的顶点在坐标原点，所以抛物线的标准方程为y2＝4x.(2)当直线AB的斜率不存在时，直线方程为x＝4，此时|AB|＝8，△ABO的面积S＝eq\f(1,2)×8×4＝16.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－4)(k≠0)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－4，,y2＝4x，))得ky2－4y－16k＝0，Δ＝16＋64k2>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得y1＋y2＝eq\f(4,k)，y1y2＝－16，所以S△ABO＝S△AOM＋S△BOM＝eq\f(1,2)|OM||y1－y2|＝eq\f(1,2)|OM|·eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝2eq\r(\f(16,k2)＋64)>16.综上所述，△ABO面积的最小值为16.14．(15分)已知抛物线x2＝2py(p>0)，F为其焦点，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，过点B作x轴的垂线，交直线OA于点C，如图所示．(1)求点C的轨迹M的方程；(2)直线m是抛物线的不与x轴重合的切线，切点为P，点C的轨迹M与直线m交于点Q，求证：以线段PQ为直径的圆过点F.解：(1)由题意可得，直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx＋eq\f(p,2).设A(x1，y1)，B(x2，y2)，动点C(x，y)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝2py，,y＝kx＋\f(p,2)，))可得x2－2pkx－p2＝0，可得x1x2＝－p2.因为OA：y＝eq\f(y1,x1)x＝eq\f(x1,2p)x，CB：x＝x2，所以由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(x1,2p)x，,x＝x2))可得y＝eq\f(x1,2p)·x2＝－eq\f(p,2)，即点C的轨迹方程为y＝－eq\f(p,2).(2)证明：设直线m的方程为y＝kx＋m，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝2py，,y＝kx＋m))得x2－2pkx－2pm＝0，所以Δ＝4p2k2＋8pm.因为直线m与抛物线相切，所以Δ＝0，即pk2＋2m可得P(pk，－m)．又由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,y＝－\f(p,2)，))可得Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs