2024-2025学年新教材高中数学第五章三角函数5.5.1.3两角和与差的正弦余弦正切公式二课时素养评价含解析新人教A版必修第一册

PAGE9-两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)(15分钟35分)1.(2024·清华附中高一检测)若tanα=3，tanβ=QUOTE，则tan(α-β)等于()A.3 B.-3 C.QUOTE D.-QUOTE【解析】选C.tan(α-β)=QUOTE=QUOTE=QUOTE.2.(2024·玉林高一检测)计算QUOTE等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.1 D.QUOTE【解析】选A.QUOTE=QUOTE=tan30°=QUOTE.【补偿训练】QUOTE=_______.

【解析】QUOTE=QUOTE=QUOTE=tan(15°-45°)=tan(-30°)=-QUOTE.答案：-QUOTE3.在△ABC中，∠C=120°，tanA+tanB=QUOTE，则tanA·tanB的值为()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.因为∠C=120°，所以∠A+∠B=60°，所以tan(A+B)=QUOTE=QUOTE，所以tanA+tanB=QUOTE(1-tanA·tanB)=QUOTE，解得tanA·tanB=QUOTE.4.已知tan(α+β)=3，tanα=QUOTE，那么tanβ=_______.

【解析】因为tanα=QUOTE，又tan(α+β)=QUOTE=3，所以tanβ=QUOTE.答案：QUOTE5.若(tanα-1)(tanβ-1)=2，则α+β=_______.

【解析】(tanα-1)(tanβ-1)=2⇒tanαtanβ-tanα-tanβ+1=2⇒tanα+tanβ=tanαtanβ-1⇒QUOTE=-1，即tan(α+β)=-1，所以α+β=kπ-QUOTE，k∈Z.答案：kπ-QUOTE，k∈Z6.已知tan(α+β)=QUOTE，tanQUOTE=QUOTE，求tanα+QUOTE的值.【解析】因为α+QUOTE=(α+β)-QUOTE，所以tanQUOTE=tanQUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1.QUOTE的值等于 ()A.-1 B.1 C.QUOTE D.-QUOTE【解析】选D.因为tan60°=tan(10°+50°)=QUOTE，所以tan10°+tan50°=tan60°-tan60°tan10°tan50°.所以原式=QUOTE=-QUOTE.【补偿训练】(1+tan17°)(1+tan18°)(1+tan27°)(1+tan28°)的值是()A.2 B.4 C.8 D.16【解析】选B.(1+tan17°)(1+tan28°)=1+tan17°+tan28°+tan17°·tan28°，①又tan45°=tan(17°+28°)=QUOTE，所以①式=1+(1-tan17°tan28°)+tan17°tan28°=2.同理(1+tan18°)(1+tan27°)=2.所以原式=4.2.若QUOTE=QUOTE，则tanQUOTE= ()A.-2 B.2 C.-QUOTE D.QUOTE【解析】选C.因为QUOTE=QUOTE，所以QUOTE=QUOTE，所以tanα=-3.所以tanQUOTE=QUOTE=QUOTE=-QUOTE.3.若sinα=QUOTE，tan(α+β)=1，且α是其次象限角，则tanβ的值为()A.QUOTE B.-QUOTE C.7 D.QUOTE【解析】选C.由sinα=QUOTE，且α是其次象限角，可得cosα=-QUOTE，则tanα=-QUOTE，所以tanβ=tanQUOTE=QUOTE=QUOTE=7.4.已知锐角α，β满意sinα-cosα=QUOTE，tanα+tanβ+QUOTEtanαtanβ=QUOTE，则α，β的大小关系是 ()A.α<QUOTE<β B.β<QUOTE<αC.QUOTE<α<β D.QUOTE<β<α【解析】选B.因为α为锐角，sinα-cosα=QUOTE>0，所以QUOTE<α<QUOTE.又tanα+tanβ+QUOTEtanαtanβ=QUOTE，所以tan(α+β)=QUOTE=QUOTE，所以α+β=QUOTE，又α>QUOTE，所以β<QUOTE<α.二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5.若α+β=QUOTE，且α，β满意QUOTE(tanαtanβ+a)+2tanα+3tanβ=0，则()A.tan(α+β)=QUOTE B.tan(α+β)=-QUOTEC.tanα=QUOTE(1-a) D.tanα=QUOTE(1+a)【解析】选AD.因为QUOTE(tanαtanβ+a)+2tanα+3tanβ=0，所以QUOTEtanαtanβ+3(tanα+tanβ)=tanα-QUOTEa，①因为tan(α+β)=QUOTE=QUOTE，所以3(tanα+tanβ)=QUOTE(1-tanαtanβ)，②把②代入①得QUOTE=tanα-QUOTEa，所以tanα=QUOTE+QUOTEa=QUOTE(1+a).6.已知tanα，tanβ是方程x2+3QUOTEx+4=0的两根，且-QUOTE<α<QUOTE，-QUOTE<β<QUOTE，则 ()A.tanα+tanβ=3QUOTE B.tan(α+β)=QUOTEC.tanα·tanβ=4 D.α+β=-QUOTE【解析】选BCD.由根与系数的关系得：tanα+tanβ=-3QUOTE，tanα·tanβ=4，所以tanα<0，tanβ<0，所以tan(α+β)=QUOTE=QUOTE=QUOTE，又-QUOTE<α<QUOTE，-QUOTE<β<QUOTE，且tanα<0，tanβ<0，所以-π<α+β<0，所以α+β=-QUOTE.三、填空题(每小题5分，共10分)7.QUOTE=_______.

【解析】因为tan18°+tan42°+tan120°=tan60°(1-tan18°tan42°)+tan120°=-tan60°tan18°tan42°，所以原式=-1.答案：-18.已知tanα=2，tanβ=-3，其中0°<α<90°，90°<β<180°，则QUOTE=_______，α-β=_______.

【解析】QUOTE=QUOTE=-7.因为tan(α-β)=QUOTE=-1，又0°<α<90°，90°<β<180°，所以-180°<α-β<0°，所以α-β=-45°.答案：-7-45°四、解答题(每小题10分，共20分)9.已知tan(π+α)=-QUOTE，tan(α+β)=QUOTE.(1)求tan(α+β)的值；(2)求tanβ的值.【解析】(1)因为tan(π+α)=-QUOTE，所以tanα=-QUOTE，因为tan(α+β)=QUOTE=QUOTE，所以tan(α+β)=QUOTE=QUOTE.(2)因为tanβ=tanQUOTE=QUOTE，所以tanβ=QUOTE=QUOTE.10.如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为QUOTE，QUOTE.(1)求tan(α+β)的值；(2)求α+2β的值.【解析】由条件得cosα=QUOTE，cosβ=QUOTE.因为α，β为锐角，所以sinα=QUOTE=QUOTE，sinβ=QUOTE=QUOTE.所以tanα=7，tanβ=QUOTE.(1)tan(α+β)=QUOTE=QUOTE=-3.(2)因为tan(α+2β)=tanQUOTE=QUOTE=QUOTE=-1，又因为α，β为锐角，所以0<α+2β<QUOTE，所以α+2β=QUOTE.1.(1+tan1°)(1+tan2°)·…·(1+tan44°)(1+tan45°)的值为()A.222 B.223 C.224 D.225【解析】选B.(1+tan1°)(1+tan44°)=1+tan44°+tan1°+tan44°tan1°，因为tan45°=tan(1°+44°)=QUOTE=1，所以(1+tan1°)(1+tan44°)=1+1-tan1°tan44°+tan44°tan1°=2，同理，得(1+tan2°)(1+tan43°)=(1+tan3°)(1+tan42°)=…=2，所以原式=222×(1+tan45°)=223.2.A，B，C是△ABC的三个内角，且tanA，tanB是方程3x2-5x+1=0的两个实数根，则△ABC是_______三角形.(填“锐角”“钝角”或“直角”)

【解析】由已知得QUOTE所以tan(A+B)=QUOTE=QUOTE=QUOTE，在△ABC中，tanC=tanQUOTE