2024-2025学年高中数学第2章推理与证明2.2.2反证法练习新人教A版选修1-2

PAGE2-2反证法[综合提升案·核心素养达成][限时45分钟；满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1．应用反证法推出冲突的推导过程中，要把下列哪些作为条件运用①结论的否定即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原命题的结论A．①②B．①②④C．①②③D．②③解析由反证法的定义知，可把①②③作为条件运用，而④原命题的结论是不行以作为条件运用的．答案C2．用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析“方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”的反面是“方程x2＋ax＋b＝0没有实根”，故选A.答案A3．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为A．a，b，c中至少有两个偶数B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数C．a，b，c都是奇数D．a，b，c都是偶数解析自然数a，b，c中为偶数的状况为：a，b，c全为偶数；a，b，c中有两个数为偶数；a，b，c全为奇数；a，b，c中恰有一个数为偶数，所以反设为：a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数．答案B4．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为A．肯定是异面直线B．肯定是相交直线C．不行能是平行直线D．不行能是相交直线解析假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面冲突，故c与b不行能是平行直线．答案C5．实数a，b，c满意a＋2b＋c＝2，则A．a，b，c都是正数B．a，b，c都大于1C．a，b，c都小于2D．a，b，c中至少有一个不小于eq\f(1,2)解析假设a，b，c均小于eq\f(1,2)，则a＋2·b＋c＜eq\f(1,2)＋1＋eq\f(1,2)＝2，与已知冲突，故假设不成立，所以a，b，c中至少有一个不小于eq\f(1,2).答案D6．设a，b，c是正数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR＞0”是“P，Q，R同时大于零”的A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析必要性明显，充分性：若PQR＞0，则P，Q，R同时大于零或其中两个为负，不妨设P＜0，Q＜0，R＞0，因为P＜0，Q＜0，即a＋b＜c，b＋c＜a，所以a＋b＋b＋c＜c＋a，即b＜0，这与b＞0冲突，所以P，Q，R同时大于零．答案C二、填空题(每小题5分，共15分)7．用反证法证明命题“若实数a，b，c，d满意a＋b＝c＋d＝1，ac＋bc＞1，则a，b，c，d中至少有一个是非负数”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是：________．解析“至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是“a，b，c，d中没有一个是非负数，即a，b，c，d全是负数”．答案a，b，c，d全是负数8．下列表中的对数值有且仅有一个是错误的：x358915lgx2a－ba＋c3－3a－3c4a－2b3a－b＋c＋1请将错误的一个改正为lg________＝________．解析∵lg9＝2lg3，4a－2b＝2(2a－b)，因为表中的对数值有且仅有一个是错误的，而3和9的对数值正确，lg5＝1－lg2，lg8＝3lg2，∴3lg5＋lg8＝3，故5和8的对数值也不能都错，故只有15的对数值错误，应改正为lg15＝lg3＋lg5＝3a－b＋c.答案15；3a－b＋c9．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；④a2＋b2＞2.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________．(填序号)解析若a＝eq\f(1,3)，b＝eq\f(2,3)，则a＋b＝1，但a＜1，b＜1，故①不能推出．若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②不能推出．若a＝－2，b＝1，则a2＋b2＞2，故④不能推出．对于③，即a＋b＞2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b＞2冲突，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.答案③三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．证明假设a，b，c，d都是非负数，因为a＋b＝c＋d＝1，所以(a＋b)(c＋d)＝1，又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，所以ac＋bd≤1，这与已知ac＋bd＞1冲突，所以a，b，c，d中至少有一个是负数．11．(12分)设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明数列{cn}不是等比数列．解析假设数列{cn}是等比数列，则(an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)(an＋1＋bn＋1).①因为{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为p，q，所以aeq\o\al(2,n)＝an－1an＋1，beq\o\al(2,n)＝bn－1bn＋1，代入①并整理，得2anbn＝an＋1bn－1＋an－1bn＋1＝anbneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,q)＋\f(q,p)))，即2＝eq\f(p,q)＋eq\f(q,p).②当p，q异号时，eq\f(p,q)＋eq\f(q,p)＜0，与②相冲突，当p，q同号时，由于p≠q，所以eq\f(p,q)＋eq\f(q,p)＞2，与②相冲突，故数列{cn}不是等比数列．12．(13分)设函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R.(1)若a＋b≥0，是否有f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)?(2)若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，是否有a＋b≥0?以上两结论若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由．解析(1)若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)成立．证明：因为a＋b≥0，所以a≥－b，b≥－a，又f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，两式相加，得f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．(2)若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0成