2024-2025学年新教材高中数学第三章函数3.1.2第3课时函数的平均变化率课时作业含解析新人教B版必修第一册

PAGEPAGE1课时作业24函数的平均改变率时间：45分钟分值：100分eq\a\vs4\al(一、选择题每小题6分，共计36分)1．经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的斜率－1，则y等于(B)A．－1 B．－3C．0 D．2解析：由eq\f(2y＋1－－3,4－2)＝eq\f(2y＋4,2)＝y＋2，得y＋2＝－1，∴y＝－3.2．已知三点A(2，－3)，B(4,3)及Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(k,2)))在同一条直线上，则k的值是(D)A．7 B．9C．11 D．12解析：若A，B，C三点在同一条直线上，则直线AB与直线AC斜率相等，即eq\f(3＋3,4－2)＝eq\f(\f(k,2)＋3,5－2)，解得k＝12.3．函数y＝2x2－x－1在(－∞，eq\f(1,4)]上eq\f(Δy,Δx)的符号(B)A．大于0 B．小于0C．等于0 D．不确定解析：eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2x\o\al(2,2)－x2－1－2x\o\al(2,1)－x1－1,x2－x1)＝eq\f(2x\o\al(2,2)－x\o\al(2,1)－x2－x1,x2－x1)＝2(x2＋x1)－1.∵x1，x2∈(－∞，eq\f(1,4)]，∴x1＋x2<eq\f(1,2)，∴2(x1＋x2)－1<0，∴eq\f(Δy,Δx)<0，故选B.4．一名心率过速患者服用某种药物后心率立即明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次渐渐上升，则自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图像是(C)解析：患者服用某种药物后心率立即明显减慢，则函数的图像应呈下降趋势，之后随着药力的减退，心率再次渐渐上升，则函数的图像应呈整体上升趋势，但上升部分的图像比下降部分的图像要缓，解除A、B，依据正常人的心率约为65，可解除D.故选C.5．若函数f(x)＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值之差为2，则实数a＝(C)A．2 B．－2C．2或－2 D．0解析：若a＝0，则f(x)的最大值与最小值之差为0(舍)；若a>0，则f(x)max＝f(2)＝2a＋1，f(x)min＝f(1)＝a＋1，则2a＋1－(a＋1)＝a＝2(符合)；若a<0，则f(x)max＝f(1)＝a＋1，f(x)min＝f(2)＝2a＋1，则a＋1－(2a＋1)＝－a＝2，则a＝－2(符合)．故选C.6．已知函数f(x)＝2x2－kx－3在[1,4]上具有单调性，则实数k的取值范围为(D)A．(－∞，4] B．[16，＋∞)C．[4,16] D．(－∞，4]∪[16，＋∞)解析：eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2x\o\al(2,2)－kx2－3－2x\o\al(2,1)－kx1－3,x2－x1)＝2(x2＋x1)－k，∵x1，x2∈[1,4]，∴2(x1＋x2)∈[4,16]．当k≤4时，2(x1＋x2)－k≥0，即eq\f(Δy,Δx)≥0，∴f(x)＝2x2－kx－3在[1,4]上为增函数；当k≥16时，2(x1＋x2)－16≤0，即eq\f(Δy,Δx)≤0，∴f(x)＝2x2－kx－3在[1,4]上为减函数．故选D.eq\a\vs4\al(二、填空题每小题8分，共计24分)7．过两点A(3－m－m2,2m)，B(m2＋2，m2－3)的直线l的斜率为1，则m＝－2.解析：由题意得eq\f(m2－3－2m,m2＋2－3－m－m2)＝eq\f(m－3m＋1,2m－1m＋1)＝eq\f(m－3,2m－1)＝1，解得m＝－2.8．定义在R上的函数y＝f(x)，若Δy·Δx>0，则f(1)、f(2)、f(3)从大到小的依次为f(3)>f(2)>f(1)．解析：Δy·Δx>0，即eq\f(Δy,Δx)>0，因此y＝f(x)在定义域上为增函数，所以f(3)>f(2)>f(1)．9．下列说法中，正确的有1个．①若对随意x1，x2∈I，当x1<x2时，eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0，则y＝f(x)在I上是增函数；②函数y＝x2在R上是增函数；③函数y＝－eq\f(1,x)在定义域上是增函数；④函数y＝eq\f(1,x)的单调减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．解析：由eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0知eq\f(Δy,Δx)>0，因此y＝f(x)是增函数，故①正确．y＝x2、y＝－eq\f(1,x)都有增区间，但不是增函数，y＝eq\f(1,x)单调减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，故②③④不正确．三、解答题共计40分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤10．(10分)(1)求证：三点A(－2,3)，B(7,6)，C(4,5)在同始终线上．(2)若A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，求eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的值．解：(1)证明：因为直线AB的斜率kAB＝eq\f(6－3,7－－2)＝eq\f(1,3)，直线AC的斜率kAC＝eq\f(5－3,4－－2)＝eq\f(1,3)，所以kAB＝kAC，所以直线AB与直线AC重合，即A，B，C三点共线．(2)由题意可知，直线AB，AC的斜率存在，∴a≠2.由kAB＝kAC得eq\f(2－0,2－a)＝eq\f(2－b,2－0)，即a＋b＝eq\f(1,2)ab，又ab≠0，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,2).11．(15分)推断f(x)＝eq\f(x,x＋2)在区间[2,4]的单调性并求最值．解：设x1≠x2，eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)＝eq\f(\f(x2,x2＋2)－\f(x1,x1＋2),x2－x1)＝eq\f(\f(x2x1＋2－x1x2＋2,x2＋2x1＋2),x2－x1)＝eq\f(2,x1＋2x2＋2).∵x1，x2∈[2,4]，∴eq\f(Δf,Δx)>0，∴f(x)＝eq\f(x,x＋2)在[2,4]上为增函数，当x＝2时，f(x)有最小值f(2)＝eq\f(1,2)，当x＝4时f(x)有最大值f(4)＝eq\f(2,3).12．(15分)已知函数f(x)＝eq\f(1,a)－eq\f(1,x)(a>0，x>0)．(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(2)若f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，4))上取得最大值5，求实数a的值．解：(1)证明：设x1≠x2，eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)＝eq\f(\f(1,a)－\f(1,x2)－\f(1,a)－\f(1,x1),x2－x1)＝eq\f(\f(1,x1)－\f(1,x2),x2－x1)＝eq\f(1,x1x2).∵x1、x2∈(0，＋∞)，∴eq\f(1,x1x2)>0，∴eq\f(Δf,Δx)>0，∴f(x)＝eq\f(1,a)－eq\f(1