2024-2025学年浙教版七年级数学上册复习：一元一次方程知识归纳与题型训练（4类题型）

《一元一次方程》知识归纳与题型训练（4类题型）

01思维导图

方程的定义）

方程的解）

等式的传递性；T如果a=b、b=c,那么a=Q

等式基本性质］,（如果a=6,那么a±c=b土c）

等式的基本性质

等式基本随2，一（^如果a=b,那么ac=bc,或、=，（CH0）

元一次方程去分母〕—I依据：等式基本性质2）

去括号）（依据：去括号法则）

:等式基本酮

:合并同类项、-「依据：合并同类项法则）

，系数化为1%，依据:等式基本随二）

基本步骤：审、设、歹人解、笥

一元一次方程的应用

常见类型：销售问题、存程问题J工程问题

02知识速记

一、认识方程

方程：含有未知数的等式叫作方程.

方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。

二、等式的基本性质

等式的性质1等式的两边都加上（或都减去）同一个数或式，所得结果仍是等式。

字母表达式为：如果Q=b,那么〃土C=6土C.

等式的性质2等式的两边都乘或都除以同一个数或式（除数不能为零），所得结果仍是等式。

字母表达式为：如果Q=b,那么=或@=2（cw0）.

CC

要点诠释：

等式的传递性如果Q=b、b=c,那么Q=C。

三、一元一次方程

一元一次方程定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式的方程叫作一元一

次方程。

一元一次方程的解：能使一元一次方程两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，也叫作方程的

根。

四、一元一次方程的解法

步骤名称方法注意事项

在方程两边同时乘以所有分母的

①不含分母的项也要乘以最小公倍数；

最小公倍数（即把每个含分母的部

1去分母②分子是多项式的一定要先用括号括起

分和不含分母的部分都乘以所有分

来

母的最小公倍数）

2去括号去括号法则（可先分配再去括号）注意正确的去掉括号前带负数的括号

把未知项移到议程的一边（左

3移项移项一定要改变符号

边），常数项移到另一边（右边）

分别将未知项的系数相加、常数

4合并同类项单独的一个未知数的系数为"±1”

项相加

在方程两边同时除以未知数的系

不要颠倒了被除数和除数（未知数的系

5系数化为数（即方程两边同时乘以未知数系

“1”数作除数一一分母）

数的倒数）

要点诠释:

上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤，但并不是说解每一个方程都必须经过五

个步骤；解方程时，一定要先认真观察方程的形式，再根据对应步骤和方法解方程；

五、一元一次方程的应用

一元一次方程应用题解题一般步骤:

步骤具体内容

“审”（审题）“审”题目中的已知量、未知量、基本关系；

“设”（设未知数）一般原则是：问什么就设什么；或未知量较多时，设较小的量，表示较

大的量

“列”【列方程】找准题目中的等量关系，根据等量关系列出方程

“解”【解方程】根据一元一次方程的解法解出方程，注意解方程的过程不需要在解答中

体现

“验”（检验）检验分两步，一是检验方程是否解正确；二是检验方程的解是否符合题

（非必须）

“答”（写出答案）最后的综上所述

要点诠释：

（1）利润型应用题常用等量关系:

利润=售价-进价；售价=标价X折扣；总利润=单件利润X数量；

（2）行程类应用题常用等量关系：

速度X时间=路程；相遇问题：S甲+S『S总；追及问题：S快-5慢=5相距；

（3）工程类应用题常用等量关系：

工作量=工作效率义工作时间；完成某项工作的各工作量的和=总工作量=1;

03题型归纳

题型一等式的基本性质

例题:

1.（2023秋•镇海区校级期中）下列说法正确的是（）

A.如果ac=bc,那么a=b

B.如果q=b,那么〃+2=6-2

C.如果。=力，那么

D.如果/=庐，那么Q=b

2.（2023秋•恩施市期末）根据等式的性质，下列变形不成立的是（）

A.若a=b,则2a=26B.若a=6,则包&

33

C.若°=6,则_LD.若a=b,贝!|a+l=b-l

33

3.（2023秋•员耶日区期末）如图，在天平上放若干苹果和香蕉，其中①②的天平保持平衡，现要使③中的

天平也保持平衡，需要在天平右盘中放入祛码（）

350克产,.一400克上一1）?.克

①②③

A.350克B.300克C.250克D.200克

巩固训练

4.（2023秋•台州期中）下列等式变形中，正确的是（）

A.若3x-2=5,则3x=-7B.若-8x=4,贝ljx=-2

c-若4X=2则2x=6D.若5x+2=-6,贝ij5x=-8

o

5.（2023秋•仙居县校级期中）已知“x=ay,下列等式变形不一定成立的是（）

A.b+ax=b+ayB.x=y

C.x-ax=x-ayD.——=——七—

22

a+la+l

题型二一元一次方程与方程的解

例题：

1.（2023秋•镇海区期末）下列四个方程中，属于一元一次方程的是（）

A.2--1=0B.x-y—12C.x+4=—D.6x=0

x

2.（2023秋•玉环市期末）当关于x的方程2x-1="+3的解为x=l时，°的值是（）

A.-1B.-2C.-3D.4

3.（2023秋•苍南县校级月考）整式加x+〃的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式

的值，则关于x的方程〃?x-〃=8的解为（）

X-1012

mx+n-8-404

A.x=-1B.%=0C.x=lD.x=2

4.（2023秋•椒江区校级期末）关于x的方程2a(x+5)=二3x+l无解，则a=()

A.-5B.0c.3D.3_

2T

巩固训练

5.（2024•东阳市开学）方程（a-3）x同-2+2=0+3是关于x的一元一次方程，则a=.

6.（2022秋•温州月考）已知关于x的一元一次方程2022x-5=3x-a的解为x=2,那么关于》的一元一次

方程2022（7+1）-3（7+1）=5-a的解为（）

A.y=-1B.y=-3C.y=1D.y=3

7.（2022秋•拱墅区校级期末）已知关于x的一元一次方程^^+a=2023x的解是工=2022,关于y的一元

2023

一次方程_^+2（）23c=-a的解是＞=-2021（其中6和c是含有y的代数式），则下列结论符合条件的

2023

是（）

A.b=-y-c=y+\B.b=\-y,c=y-1

C.b=y+\,c=-y­1D.b=y-1,c=l-y

8.（2023秋•婺城区期末）已知eb为实数，且关于％的方程x-办=6的解为x=6,则关于y的方程（丁-

1）-a（y-1）=b的解为y=.

题型三解一元一次方程

例题:

1.（2023秋•余姚市校级月考）已知方程配L_I=_2±2,去分母后正确的结果是（

26

A.3(3x-1)-1=-x+2B.3(3x-1)-1(x+2)

C.3(3x-1)-6=-x+2D.3(3x-1)-6=-(x+2)

2.（2023秋•诸暨市期末）把方程三10.3x+8=16的分母化成整数，结果应为（

0.50.7

A'-I_3x+8Bx-1_3x+8

=16=160

5757

Q10x-10_3x+80D10--10_3x+80

=160=16

5757

3.（2024•江北区校级开学）解方程：则尤=

14X74A=o5_A3X,

4.（2024•西湖区校级模拟）某同学解方程Sx工［x=l-的过程如下框:

0.20.3

解:修x-

两边同时乘以10,得人-^£=1。...①

合并同类项,得*1°……②

系数化1,得％=60③

请写出解答过程中最早出现错误的步骤序号，并写出正确的解答过程.

5.（2023秋•堇B州区期末）解方程:

(1)4x-3=2(x-1)；

（2）解方程：在zL=i上^

32

6.（2024•东阳市开学）解下列方程:

⑴5x-2=7x+8；

(2)2X~3_7X+2

24

巩固训练

7.（2023秋•金东区期末）解方程2-3（2-3%）=2,去括号正确的是（

A.2-6-9x=2B.2-6-3x=2C.2-6+9x=2D.2-6+3x=2

8.（2008秋•台州期末）下面解方程变形正确的是（）

A.方程4x+l=2x+l,移项，得4x+2x=0

B.方程包=3x-l去分母得x+l=3x-1-1

22

C.方程-且x=-5,系数化为1得x=-6

6

D.方程学x+10x=7.5+L合并，得与'x=8.5

9.（2023秋•杭州月考）定义符号“*”表示的运算法则为。*6=丘+3“,若（3*x）+（x*3）=-27,则x

10.(2023秋•东阳市期末)解方程:

(1)6+2(x-4)=x；

(2)2x7一__L.

0.70.37

11.(2023秋•宁波期末)解方程：

(1)3-(4x-3)=7；

(2)主支=I_3X+2

25

题型四一元一次方程的应用

例题:

1.（2023秋•荆门期末）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出

八，盈三；人出七，不足四.问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元,

还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有x人，则可列

方程为（）

A.8x+3=7x-4B.8x-3=7x+4C.=x+4D.x+3=x-4

8787

2.（2024•嘉善县一模）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七

日至长安.今乙发已先二日，甲仍发长安.问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐

国出发，7日到长安.现乙先出发2日，甲才从长安出发.问多久后甲乙相逢？设乙出发x日，甲乙相

逢，则可列方程（）

3.（2022秋•临海市期末）如图，在两个完全相同的大长方形中各放入五个完全一样的白色小长方形，得到

图（1）与图（2）.若AB=m,则图（1）与图（2）阴影部分周长的差是（）

C|ir

D.看

D1r

4.（2023秋•舟山期末）根据如表素材，探索未完成任务.

水费、用水量是多少？

素材1为增强公民节水意识，合理利用水资源，我市2023年采用“阶梯收费”.

素材2第一阶梯（用水量W14吨）：水费为4.3元/吨，其中自来水为3.35元/吨，污水

处理费为0.95元/吨.

第二阶梯（14吨〈用水量W21吨）：水费为5.97元/吨，其中自来水为5.02元/

吨，污水处理费为0.95元/吨.

第三阶梯（用水量＞21吨）：水费为11元/吨，其中自来水为10.05元/吨，污水

处理费为0.95元/吨.

素材3如某用户2023年2月份用水15吨,则各种费用如下：

自来水费14X3.35+（15-14）X5.02=51.92（元）

污水处理费15X0.95=14.25（元）

水费14X4.3+（15-14）X5.97=66.17（元）

问题解决

任务1确定污水处理费已知某用户2023年12月份所缴水费中，自来水费为66.98

元，求该用户12月份需缴污水处理费多少元?

任务2确定水费某用户2023年11月用水。吨，则应缴水费多少元?

任务3确定用水量如果该用户2023年5、6月份共用水42吨（6月份用水量超

过5月份用水量），共缴水费209.01元，则该用户5、6月份

各用水多少吨?

5.（2023秋•东阳市期末）列方程解应用题.

欧尚超市恰好用3200元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的与工少10件，甲、乙

2

两种商品的进价和售价如表：（注：每件商品获利=售价-进价）.

甲乙

进价（元/件）2030

售价（元/件）2540

（1）该商场购进甲、乙两种商品各多少件？

（2）该超市将购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？

巩固训练

6.（2024•拱墅区校级模拟）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位.其中记载了“百

羊问题”：甲赶羊群逐草茂，乙拽一羊随其后，戏问甲及一百否？甲云所说无差谬，所得这般一群凑（再

多这样一群羊），再添半群小半（四分之一）群，得你一只来方凑（正好一百），玄机奥妙谁猜透？设这

群羊共有x只，贝IJ（）

A，x蒋x[x=100B.x蒋x{x+l=100

CX+X+-^-X+TX=100D-X+X+《XCX+1=100

2424

7.（2023秋•沐阳县月考）我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空;

二人共车，九人步.问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无

车坐.问人数和车数各多少？设车x辆，根据题意，可列出的方程是（）

A.3x-2=2x+9B.3（x-2）=2x+9

C.A+9=A_QD.3（x-2）=2（x+9）

32

8.（2023秋•路桥区期末）某种商品的进价为80元，出售时的标价为110元.为了尽快减少库存，商店准

备打折出售，但要使利润率为10