高三高考数学复习练习4-7解三角形的综合应用

471．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A．10eq\r(2)海里B．10eq\r(3)海里C．20eq\r(3)海里 D．20eq\r(2)海里【解析】如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(AB,sin45°)，解得BC＝10eq\r(2)(海里)．【答案】A2．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x＋φ))＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()A．5 B．6C．8 D．10【解析】根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.【答案】C3．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时()A．5海里 B．5eq\r(3)海里C．10海里 D．10eq\r(3)海里【解析】如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在Rt△ABC中，得AB＝5，于是这艘船的速度是eq\f(5,0.5)＝10(海里/时)．【答案】C4．如图，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m，50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()A．30° B．45°C．60° D．75°【解析】依题意可得AD＝20eq\r(10)，AC＝30eq\r(5)，又CD＝50，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝eq\f(AC2＋AD2－CD2,2AC·AD)＝eq\f(（30\r(5)）2＋（20\r(10)）2－502,2×30\r(5)×20\r(10))＝eq\f(6000,6000\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.【答案】B5．如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于()A．5eq\r(6) B．15eq\r(3)C．5eq\r(2) D．15eq\r(6)【解析】在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(30,sin135°)，所以BC＝15eq\r(2).在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15eq\r(2)×eq\r(3)＝15eq\r(6).故选D.【答案】D6．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是()A．50m B．100mC．120m D．150m【解析】设水柱高度是hm，水柱底端为C，在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，BC＝eq\r(3)h.在△ABC中，∠A＝60°，AC＝h，AB＝100，根据余弦定理得，(eq\r(3)h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50m.【答案】A7．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.【解析】如图，OM＝AOtan45°＝30(m)，ON＝AOtan30°＝eq\f(\r(3),3)×30＝10eq\r(3)(m)，在△MON中，由余弦定理得，MN＝eq\r(900＋300－2×30×10\r(3)×\f(\r(3),2))＝eq\r(300)＝10eq\r(3)(m)．【答案】10eq\r(3)8．如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8eq\r(2)nmile.此船的航速是________nmile/h.【解析】设航速为vnmile/h，在△ABS中，AB＝eq\f(1,2)v，BS＝8eq\r(2)，∠BSA＝45°，由正弦定理得eq\f(8\r(2),sin30°)＝eq\f(\f(1,2)v,sin45°)，∴v＝32nmile/h.【答案】329．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．【解析】如图，连接OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°.由余弦定理得OC2＝1002＋1502－2×100×150×cos60°＝17500，解得OC＝50eq\r(7).【答案】50eq\r(7)10．在Rt△ABC中，C＝90°，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a＋b＝cx，则实数x的取值范围是________．【解析】x＝eq\f(a＋b,c)＝eq\f(sinA＋sinB,sinC)＝sinA＋cosA＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,4))).又A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴sineq\f(π,4)＜sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,4)))≤sineq\f(π,2)，即x∈(1，eq\r(2)]．【答案】(1，eq\r(2)]11．要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，求电视塔的高度．【解析】如图，设电视塔AB高为xm，则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°，得BC＝x.在Rt△ADB中，∠ADB＝30°，则BD＝eq\r(3)x.在△BDC中，由余弦定理得，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°，即(eq\r(3)x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，解得x＝40，所以电视塔高为40m.12．(2018·呼和浩特一调)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2－bc＝a2.(1)设∠B＝x，△ABC的周长为y，若a＝eq\r(3)，求函数y＝f(x)的解析式和定义域；(2)求证：△ABC为等边三角形时，(1)中的周长y取得最大值．【解析】(1)由余弦定理，知cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2)，因为A∈(0，π)，所以A＝eq\f(π,3).△ABC的内角和A＋B＋C＝π，由A＝eq\f(π,3)，B>0，C>0，得0<B<eq\f(2π,3).由正弦定理知，b＝eq\f(a,sinA)sinB＝2sinx，c＝eq\f(a,sinA)sinC＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－x))，所以y＝f(x)＝a＋b＋c＝2sinx＋2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－x))＋eq\r(3)＝2eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(2π,3))).(2)证明由(1)知y＝2eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(