重庆市2024-2025学年高二上期第一次月考数学质量检测试题（附解析）

重庆市2024-2025学年高二上期第一次月考数学质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上2．回答选择照时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选除其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1.已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为（

）A. B. C.1 D.【正确答案】C【分析】利用直线的斜率和直线倾斜角的关系进行求解即可.【详解】由直线的倾斜角为，则直线的斜率，故选：C.2.已知空间向量，且，则（）A.10 B.6 C.4 D.【正确答案】C【分析】运用空间向量平行的坐标结论计算.【详解】因为，所以,即，则.故选：C.3.设是直线的方向向量，是平面的法向量，则（）A.或 B.或C. D.【正确答案】A【分析】依题意可得，即可，即可判断.【详解】因为是直线的方向向量，是平面的法向量，所以，所以，所以或.故选：A4.已知，，三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点与，，三点共面，则的值为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】根据点与，，三点共面，可得，从而可得答案.【详解】因为，，三点不共线，点与，，三点共面，又，所以，解得.故选：A.5.已知三点共线，则（）A. B.6 C. D.2【正确答案】B【分析】根据三点共线列方程，从而求得的值.【详解】由题可得，即，解得．故选：B6.如图，在平行六面体中，点E，F分别为AB，的中点，则（

）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的基底表示向量.【详解】在平行六面体中，点E，F分别为AB，的中点，则.故选：A7.已知，，则的最小值为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】利用向量模的计算公式即可得出．【详解】，∴，当且仅当时取等号．∴的最小值为．故选：D.8.如图所示，正方体的棱长为1，点分别为的中点，则下列说法正确的是（）A.直线与直线垂直 B.直线与平面平行C.三棱锥的体积为 D.直线BC与平面所成的角为【正确答案】B【分析】A选项根据正方体的性质判断；对于B，D利用空间向量判断，对于C，利用体积公式求解即可.【详解】A选项：为正方体，所以，直线与直线不垂直，所以直线与直线不垂直，故A错误；如图建立空间直角坐标系，则，对于B，设平面的法向量为，则，令，则，因为，所以，所以，因为在平面外，所以直线与平面平行，所以B正确，对于C，，所以三棱锥的体积为，所以C错误，对于D，，直线BC与平面所成角为，，所以D错误，故选：B.二、多项选择题，本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分部分选对的得2分有选错的得0分．9.如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（）A. B.C. D.【正确答案】AD【分析】利用斜率与倾斜角的定义，结合图象判断即可得.【详解】由图可得，，故A、D正确.故选：AD.10.已知是空间的一组基底，则下列说法正确的是（）A. B.若，则C.在上的投影向量为 D.一定能构成空间的一组基底【正确答案】BCD【分析】A选项，与共线，与共线，根据基底概念得到不共线，故A错误；B选项，假设x，y，z不全为0，推出矛盾，故假设不成立，B正确；C选项，根据投影向量的公式得到C正确；D选项，设，得到方程组，无解，故不共面，一定能构成基底.【详解】A选项，与共线，与共线，为一组基底，故不共线，故不可能成立，故A不正确；B选项，是空间的一组基底，故三个向量不共面且两两共面不共线，假设x，y，z不全为0，不妨设，，此时有，故，矛盾；不妨设，此时，故共线，矛盾；若三者均不为0，即，此时共面，矛盾，综上，假设不成立，故，B正确．C选项，在上的投影向量为，C正确．D选项，设，则，即，无解，故不共面，一定能构成空间的一组基底，D正确．故选：BCD．11.如图，边长为1的正方形所在平面与正方形在平面互相垂直，动点分别在正方形对角线和上移动，且，则下列结论中正确的有（）A.，使B.线段存在最小值，最小值C.直线与平面所成的角恒为45°D.，都存在过且与平面平行的平面【正确答案】AD【分析】利用向量的线性运算可得，结合向量的模的计算可判断B的正误，结合向量夹角的计算可判断C的正误，结合共面向量可判断D的正误.【详解】因为四边形正方形，故，而平面平面，平面平面，平面，故平面，而平面，故.设，则，其中，由题设可得，，对于A，当即时，，故A正确；对于B，，故，当且仅当即时等号成立，故，故B错误；对于C，由B的分析可得，而平面的法向量为且，故，此值不是常数，故直线与平面所成的角不恒为定值，故C错误；对于D，由B的分析可得，故为共面向量，而平面，故平面，故D正确；故选：AD三、填空题．本题共3小题．每小题5分，共15分12.点关于平面对称点是___________.【正确答案】【分析】根据关于什么对称什么不变来得答案.【详解】点关于平面对称点是故13.已知空间直角坐标系中的三点、、，则点A到直线BC的距离为______．【正确答案】##【分析】求出直线的方向向量，再利用点到直线距离公式计算即得.【详解】依题意，，所以点A到直线BC的距离.故答案：14.在正三棱锥中，是的中心，，则______________．【正确答案】16【分析】选择为空间向量的基底，表示向量，再计算数量积即可.【详解】如图：首先：，.又.所以.故16四、解答题本小题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.已知直线l经过两点，同当m取何值时；（1）直线l与x轴平行？（2）直线l斜率不存在；（3）直线的倾斜角为锐角？【正确答案】（1）（2）（3）【分析】根据直线斜率的定义以及公式，解得直线位置关系，可得答案.【小问1详解】若直线l与x轴平行，则直线l的斜率，所以．【小问2详解】若直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在，所以.【小问3详解】由题意可知，直线l的斜率，即，解得．16.如图，在平行六面体中，，.（1）求体对角线的长度；（2）求证：四边形为正方形.【正确答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求出.（2）利用平行六面体的结构特征，结合已知及正方形的判断推理即得.【小问1详解】在平行六面体中，，由，，得，所以.【小问2详解】在平行六面体中，，则四边形为平行四边形，由，，得是等边三角形，即，则为菱形；又，则，即，所以四边形为正方形.17.如图，在多面体中，，，.侧面为矩形，平面，平面ABC，（1）求直线与平面所成角的正弦值（2）求直线到平面的距离.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；（2）利用空间向量点到面距离公式进行求解即可【小问1详解】因为侧面为矩形，所以，因为平面，平面，所以，于是建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，设平面的法向量为，，直线与平面所成角的正弦值为；【小问2详解】因为侧面为矩形，所以，而平面，平面，所以平面，因此直线到平面的距离就是点到平面的距离，设为，即.18.如图，在四棱锥中，，，，三棱锥的体积为.（1）求点到平面的距离；（2）若，平面平面，点在线段上，，求平面与平面夹角的余弦值.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据等体积法求得点到平面的距离；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面与平面夹角的余弦值.【小问1详解】设点到平面距离为，则，由题可知，所以，所以点到平面的距离为.【小问2详解】取的中点，连接，因为，又平面平面且交线为，平面，，所以平面，由（1）知.由题意可得，所以，所以.以点为坐标原点，为轴，为轴，过点作的平行线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，依题意，所以.设平面的法向量为n1=则，故可设，平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.19.如图，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，沿EF将四边形EFCD折起，使二面角的大小为60°，点M在线段AB上.（1）若M为AB的中点，且直线MF与直线EA的交点为O，求OA的长，并证明直线平面EMC；（2）是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°；若存在，求此时二面角的余弦值，若不存在，说明理由.【正确答案】（1）；证明见解析；（2）存在点，使得直线与平面所成的角为；此时二面角的余弦值为.【分析】（1）根据中位线性质可求得，由，结合线面平行判定定理可证得结论；（2）由二面角平面角定义可知，取中点，由线面垂直的判定和勾股定理可知两两互相垂直，则以为坐标原点建立空间直角坐标系；设，利用线面角的向量求法可求得；利用二面角的向量求法可求得结果.【小问1详解】分别为中点，，且，又为中点，且，易得，连接，交于点，连接，由题设，易知四边形为平行四边形，为中点，是的中点，为中点，，又平面，平面，平面；【小问2详解】，，，又平面，平面，即为二面角的平面角，；取中点，连接，如图，，，，，，，，，又平面，，平面，平面，，则以为坐标