四川省成都市2024-2025学年高二上学10月月考数学检测试题（含解析）

四川省成都市2024-2025学年高二上学10月月考数学检测试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知与是互斥事件，且，，则等于（

）A． B． C．0.3 D.2．已知直线过点，，且直线的倾斜角为，则（

）A． B． C． D．3．已知直线，，则与的距离为(

)A．1 B．2 C． D．4．设，向量，，，且，，则（

）A．−2 B． C． D．5．设直线l的方程为（），则直线l的倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．6．概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏每局比赛都能分出胜负，没有平局双方约定，各出赌金180枚金币，先赢3局者可获得全部赎金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局.问这360枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案.该分配方案是（

）A．甲180枚，乙180枚B．甲270枚，乙90枚C．甲240枚，乙120枚D．甲288枚，乙72枚7．阅读下面材料：在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为．根据上述材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．8．如图，已知正方体的棱长为3，点在棱上，且，是侧面内一动点，且，则点的轨迹的长度为（

）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分.9．一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中任意摸出两个球．设事件“摸出的两个球的编号之和小于5”，事件“摸出的两个球的编号都大于2”，事件“摸出的两个球中有编号为3的球”，则（

）A．事件与事件是互斥事件 B．事件与事件是对立事件C．事件与事件是相互独立事件 D．事件与事件是互斥事件10．下列说法正确的是（

）A．若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件C．当点到直线的距离最大时，的值为D．已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是11．在棱长为1的正方体中，动点满足，其中，，则（

）A．B．平面平面C．当时，点的轨迹长度为1D．存在点，使得三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.12.某同学进行投篮训练，在甲､乙､丙三个不同的位置投中的概率分别为，该同学站在三个不同的位置各投篮一次，至少投中一次的概率为，则的值是.13.在三棱锥中，，，，则.14．关于直线​，有下列说法:①对任意​，直线​不过定点；②平面内任给一点，总存在​，使得直线​经过该点；③对任意​，且有​，则直线​与​的交点轨迹为一直线；④当​时，点​到直线​的距离最小值为​.其中正确的是.四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知顶点、、．(1)求边的垂直平分线的方程；(2)若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程．16．—只不透明的袋子中装有2个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同.(1)搅匀后从中任意摸出2个球，求这2个都球是白球的概率；(2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率.17．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，是边长为2的等边三角形，.

(1)证明：平面平面.(2)若为的中点，求平面与平面的夹角的余弦值18．如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，，分别为，，的中点．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求三棱锥的体积．19．已知点和非零实数，若两条不同的直线、均过点，且斜率之积为，则称直线、是一组“共轭线对”，如直线和是一组“共轭线对”，其中是坐标原点.（1）已知、是一组“共轭线对”，且知直线，求直线的方程；（2）如图，已知点、点和点分别是三条倾斜角为锐角的直线、、上的点（、、与、、均不重合），且直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，求点的坐标；（3）已知点，直线、是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点到直线、的距离之积的取值范围.四川省成都市2024-2025学年高二上学10月月考数学检测试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知与是互斥事件，且，，则等于（

）A． B． C．0.3 D．【正确答案】A【详解】由可得，由于与是互斥事件，故,2．已知直线过点，，且直线的倾斜角为，则（

）A． B． C． D．【正确答案】C【详解】设直线的斜率为，所以，则4.3．已知直线，，则与的距离为(

)A．1 B．2 C． D．【正确答案】D【详解】由题意得，与的距离.4．设，向量，，，且，，则（

）A．−2 B． C． D．【正确答案】B【详解】由，得，解得，即，由，得，解得，则，所以.故选：B5．设直线l的方程为（），则直线l的倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．【正确答案】C【详解】设直线的斜率为，则，故，而，故，6.概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏每局比赛都能分出胜负，没有平局双方约定，各出赌金180枚金币，先赢3局者可获得全部赎金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局.问这360枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案.该分配方案是（

）A．甲180枚，乙180枚B．甲270枚，乙90枚C．甲240枚，乙120枚D．甲288枚，乙72枚【正确答案】B假设两人继续进行比赛，甲获取360枚金币有：第四局甲赢，或第四局甲输，第五局甲赢，故概率为，乙获取360枚金币有：第四、五局乙都赢，故概率为，则甲应该获得枚金币，乙应该获得枚金币，7．阅读下面材料：在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为．根据上述材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【正确答案】D【详解】因为平面的方程为，所以平面的一个法向量为，同理可得平面与的一个法向量为和，设直线的一个方向向量为，则，不妨取，则，直线与平面所成的角为，则，8．如图，已知正方体的棱长为3，点在棱上，且，是侧面内一动点，且，则点的轨迹的长度为（

）A． B． C． D．【正确答案】A【分析】作交于点，得，进而得点P的轨迹是以G为圆心，半径的圆弧，求出弧长即可.【详解】作交于点，则由正方体性质可知，，因为，所以，所以点P的轨迹是以G为圆心，半径的圆弧，如图，所以，所以，所以，点的轨迹的长度为弧长.故选：C.思路点睛：作交于点，由定值，和求出是一个定值，进而得点P的轨迹是以G为圆心，半径的圆弧，再利用已知条件求出，再结合弧长公式即可求解.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分.9．一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中任意摸出两个球．设事件“摸出的两个球的编号之和小于5”，事件“摸出的两个球的编号都大于2”，事件“摸出的两个球中有编号为3的球”，则（

）A．事件与事件是互斥事件 B．事件与事件是对立事件C．事件与事件是相互独立事件 D．事件与事件是互斥事件【正确答案】ACD【详解】列举各事件如下：，，，A：由互斥事件同时发生的概率为0，即，故A正确；B：由对立事件的概率和为1，，，，故B错误；C：因为，故C正确；D：事件，事件，为互斥事件，不可能同时发生，故D正确；故选：ACD.10．下列说法正确的是（

）A．若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件C．当点到直线的距离最大时，的值为D．已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是【正确答案】ACD【详解】A.由2,3是直线的一个方向向量得也是直线的方向向量，因为是直线的方向向量，所以，选项A正确；B.由两直线互相垂直得，，解得或，可知“”两直线垂直的充分不必要条件，选项B错误；C.将直线方程变形为，由得，直线过定点，斜率为.当直线与垂直时，点到直线的距离最大.因为，所以，选项C正确；D.如图，，由图可知，当或时，直线与线段有交点.故选项D正确.故选：ACD.11．在棱长为1的正方体中，动点满足，其中，，则（

）A．B．平面平面C．当时，点的轨迹长度为1D．存在点，使得【正确答案】AB【详解】建立如图所示的空间直角坐标系.A：，，，因为所以有，所以,正确；B:设平面的法向量为，，取，可得，所以，所以平面平面平面的法向量为，，因为所以有，C：因为，其中，，又，所以三点共线，此时点的轨迹为,长度为，错误；D：因为，所以点在平面上，设到平面的距离为,由可得：，解得，因为到平面的距离为到平面上点距离的最小值，又，故D错误.故选：AB三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.12.某同学进行投篮训练，在甲､乙､丙三个不同的位置投中的概率分别为，该同学站在三个不同的位置各投篮一次，至少投中一次的概率为，则的值是.【正确答案】【详解】由题意，，解得.故13.在三棱锥中，，，，则.【正确答案】/【详解】如图，因，，，则故答案为.14．关于直线​，有下列说法:①对任意​，直线​不过定点；②平面内任给一点，总存在​，使得直线​经过该点；③对任意​，且有​，则直线​与​的交点轨迹为一直线；④当​时，点​到直线​的距离最小值为​.其中正确的是.【正确答案】①④【详解】①对任意，随着的变化，也随之变化，故直线不过定点，①正确；平面内取点，则，即，无解，故②错误；联立直线与，得到，故交点坐标为，又因为，所以交点坐标满足方程，但当时，，不合题意，所以交点取不到，所以交点轨迹为一直线的一部分，③错误.点到直线的距离，令，则，因此，当且仅当，即时，等号成立，④正确；故①④.四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知顶点、、．(1)求边的垂直平分线的方程；(2)若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程．【正确答案】(1)(2)或【详解】（1）由、，可知中点为，且，所以其垂直平分线斜率满足，即，所以边的垂直平分线的方程为，即；（2）当直线过坐标原点时，，此时直线，符合题意；当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为，由过点，则，解得，所以直线方程为，即，综上所述，直线的方程为或.16．—只不透明的袋子中装有2个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同.(1)搅匀后从中任意摸出2个球，求这2个都球是白球的概率；(2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率.【正确答案】(1)；【详解】（1）将3个红球记为红1，红2，红3，2个白球记为白1，白2，则任意摸出2个球的样本空间有：红1红2，红1红3，红1白1，红1白2，红2红3，红2白1，红2白2，红3白1，红3白2，白1白2共10个样本点，其中2球均为白球事件的样本点只有1个，因此2个球都是白球概率为；（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，将3个红球记为红1，红2，红3，2个白球记为白1，白2，列表如图所示：第2次摸球第1次摸球红1红2红3白1白2红1（红1，红1）（红1，红2）（红1，红3）（红1，白1）（红1，白2）红2（红2，红1）（红2，红2）（红2，红3）（红2，白1）（红2，白2）红3（红3，红1）（红3，红2）（红3，红3）（红3，白1）（红3，白2）白1（白1，红1）（白1，红2）（白1，红3）（白1,白1）（白1,白2）白2（白2，红1）（白2，红2）（白2，红3）（白2,白1）（白2,白2）所以搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球事件的样本空间共有25个样本点，它们出现的可能性相同，其中满足事件“2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球”的样本点有12个，所以.17．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，是边长为2的等边三角形，.

(1)证明：平面平面.(2)若为的中点，求平面与平面的夹角的余弦值【正确答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）取的中点，连接，.

因为，，所以为等边三角形.因为为的中点，所以，.因为是边长为2的等边三角形，所以，则，所以.又，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）因为，，两两垂直，所以以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，