2024-2025学年江苏省无锡市高二上册10月月考数学检测试题（附解析）

2024-2025学年江苏省无锡市高二上学期10月月考数学检测试题一、单选题1.的虚部为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】根据复数的运算化简得，再根据虚部的定义即可求解．【详解】，则所求虚部为.故选：A．2.如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（） B. C. D.【正确答案】A【分析】根据直线的倾斜角的大小，即可判断斜率大小.【详解】倾斜角为锐角时，斜率为正，倾斜角越大，倾斜程度越大，斜率越大；倾斜角为钝角时，斜率为负，所以.故选：A3.在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点坐标是（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】利用空间直角坐标系关于坐标轴的对称点，是满足有这个轴的坐标不变号，其它轴的坐标变号，从而即可求解.【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标为.故选：C.4.设复数z在复平面内对应的点为，则的模为（）A.1 B.2 C. D.0【正确答案】A【分析】根据复数对应点得出复数，再应用乘法除法计算即可得出复数，最后计算求模.【详解】因为复数z在复平面内对应的点为,所以,所以.故选：A.5.已知复数满足，则（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】设复数，由共轭复数的性质和复数的意义求出复数，再由复数的乘除计算即可得到结果；【详解】设复数，所以，又因为复数满足，所以，整理可得，解得，所以，所以，故选：A.6.若和都为基底，则不可以为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】假设不能构成一组基底，可知，依次验证各个选项，确定是否有取值即可.【详解】若不是一组基底，则可设，对于A，若，则，方程组无解，为基底，A错误；对于B，若，则，方程组无解，为基底，B错误；对于C，若，则，解得：，不是一组基底，C正确；对于D，若，则，方程组无解，为基底，D错误.故选：C.7.已知直线的方向向量为，点在直线上，若点到直线的距离为，则（）A.0 B.2 C.0或2 D.1或2【正确答案】C【分析】根据题意，由空间中点到直线的距离公式代入计算，即可求解.【详解】由题意得，所以点到直线的距离为，解得或.故选：C8.在棱长为1的正四面体ABCD中，M是BC的中点，且，，则直线AM与CN夹角的余弦值的最大值为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】选取为基底，将进行分解，可表示出：，，，进一步结合向量夹角公式即可求解.【详解】如图所示，延长，使得，由题意点在线段上（不包含端点），选取为基底，由题意，而，从而，，，所以，设，因为，所以，而，因为，设，则，，当且仅当，即，即时，的最小值为，所以当且仅当时，.故选：C.关键点点睛：关键是表示出：，，，进一步得出，由此即可通过换元法得解.二、多选题9.已知向量，，，则下列结论正确的是（）A.向量与向量的夹角为B.C.向量在向量上的投影向量为D.向量与向量，共面【正确答案】ABD【分析】利用向量数量积坐标表示得出向量夹角可判断A；由向量相乘为0可得向量垂直B正确；根据投影向量的定义可计算出投影向量为所以C错误，得出向量共面判断D.【详解】因为，所以，可得，则向量与向量的夹角为，故A正确；因为，所以，即B正确；根据投影向量的定义可知，向量在向量上的投影向量为，所以C错误；由向量，，，可知，向量与向量，共面，所以D正确.故选：ABD10.已知复数，，下列说法正确的有（）A.若，则 B.若，则C. D.若，则【正确答案】AC【分析】设，，根据共轭复数及复数相等充要条件判断A、C，利用特殊值判断B、D.【详解】设，，则，，对于A：因，所以，即，所以，故A正确；对于B：令，，则，但是，所以，故B错误；对于C：因为，，所以，故C正确；对于D：令，，满足，但是，故D错误.故选：AC11.如图，正方体的棱长为1，E为棱的中点，P为底面正方形ABCD内（含边界）的动点，则（）A.三棱锥的体积为定值 B.直线平面C.当时， D.直线与平面所成角的正弦值为【正确答案】AD【分析】对于A，将三棱锥转换成后易得其体积为定值；对于B，建系后，证明与平面的法向量不垂直即可排除B项；对于C，设出，利用证得，再计算，结果不为0，排除C项；对于D，利用空间向量的夹角公式计算即得.【详解】对于A，如图1，因,故A正确；对于B，如图2建立空间直角坐标系，则,于是，，设平面的法向量为，则，故可取，由知与不垂直，故直线与平面不平行，即B错误；对于C，由上图建系，则,,因P为底面正方形ABCD内（含边界）的动点,不妨设，则，，由题意，，即，于是，此时，故与不垂直，即C错误；对于D，由图知平面的法向量可取为，因，设直线与平面所成角为，则，故D正确.故选：AD.三、填空题12.已知平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C分别对应复数3＋3i，－2＋i，－5i，则第四个顶点D的坐标为________．【正确答案】【详解】对应复数为(－5i)－(－2＋i)＝2－6i，对应复数为zD－(3＋3i)，在平行四边形ABCD中，＝，则zD－(3＋3i)＝2－6i，即zD＝5－3i，则点D的坐标为(5，－3).【考查意图】考查复数的运算法则、几何意义、向量的平行四边形法则．13.如图，四边形，都是边长为1的正方形，,则，两点间的距离是______．【正确答案】【分析】由空间向量的线性运算可得出，利用空间向量数量积的运算性质可求得，即为所求．【详解】因为四边形、都是边长为的正方形，则，，又，则，因为，由图易知，，所以，即，两点间的距离是．故．14.某中学组织学生到一工厂开展劳动实习，加工制作帐篷．将一块边长为的正方形材料先按如图①所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形（其中），然后，将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个四棱锥型的帐篷（如图②）．该四棱锥底面是正方形，从顶点P向底面作垂线，垂足恰好是底面的中心，则直线与平面所成角的正弦值为___________．【正确答案】【分析】设与的交点为点O，以O为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及的坐标，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.【详解】设与的交点为点O，以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示．由题意可知，，故．设平面的法向量为，又，则有即令，可得平面的一个法向量为．设与平面的法向量的夹角为，则，则直线与平面所成角的正弦值为．故四、解答题15.已知复数，．（1）若是纯虚数，求的值；（2）若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）由实部为且虚部不为列式求解；（2）由实部小于0与虚部大于得到不等式组，求出的取值范围．【小问1详解】是纯虚数，故，解得.【小问2详解】因为在复平面内对应的点在第二象限，所以，解得，故的取值范围为2,3．16.已知坐标平面内两点.（1）当直线的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围；（2）若直线的方向向量为，求的值.【正确答案】（1）答案见解析．（2）【分析】（1）由斜率为正或为负求解；（2）由坐标得方向向量，然后利用向量共线得结论．【小问1详解】直线的倾斜角为锐角时，，解得，直线的倾斜角为钝角时，，解得或，所以直线的倾斜角为锐角时，，为钝角时，或；【小问2详解】由已知，又直线的方向向量为，所以，解得．17.已知正三棱锥P-ABC的所有棱长均为，点E，F分别为PA，BC的中点，点N在EF上，且EN=3NF，设．（1）用向量表示向量；（2）求PN与EB夹角的余弦值．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据空间向量的线性运算即可结合空间向量基本定理求解，（2）利用基底法表示向量，利用向量的夹角求解线线角即可.【小问1详解】由EN=3NF可得,由F为BC的中点可得,所以【小问2详解】，两两夹角为，模长均为，所以，所以，，，设求PN与EB夹角为，则18.已知复数（a，），存在实数t，使成立.（1）求证：为定值；（2）若，求a的取值范围．【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）对化简整理可得，结合复数的相等分析运算；（2）根据复数模长的定义和公式，结合运算求解.【小问1详解】∵，则，由复数相等，消去t得，故为定值.【小问2详解】∵，且∴，又∵，即，则，整理得，∴原不等式组即为，解得，故a的取值范围为.19.如图，平面，，点分别为的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的正弦值；（3）若为线段上的点，且直线与平面所成的角为，求到平面的距离.【正确答案】（1）证明见解析；（2）（3）【分析】（1）连接，证得，利用用线面判定定理，即可得到平面.（2）以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系.求得平面和平面法向量，利用向量的夹角公式，即可求解．（3）设，则，从而，由（2）知平面的法向量为，利用向量的夹角公式，得到关于的方程，即可求解．【小问1详解】连接，因为，所以，又因为，所以为平行四边形.由点和分别为和的中点，可得且，因为为CD的中点，所以且，可