2024-2025学年湖北省武汉市高二上册10月月考数学检测试题（附解析）

2024-2025学年湖北省武汉市高二上学期10月月考数学检测试题注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将答题卡上交.一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1.已知A，B，C，D，E是空间中的五个点，其中点A，B，C不共线，则“存在实数x，y，使得是“平面ABC”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】利用存在实数x，y，使得平面ABC或平面ABC，结合充分必要条件的定义即可求解.【详解】若平面ABC，则共面，故存在实数x，y，使得，所以必要性成立；若存在实数x，y，使得，则共面，则平面ABC或平面ABC，所以充分性不成立；所以“存在实数x，y，使得是“平面ABC”的必要不充分条件，故选：B关键点点睛：本题考查空间向量共面的问题，理清存在实数x，y，使得平面ABC或平面ABC是解题的关键，属于基础题.2.若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别是k1，k2，k3，则有（）A.k1<k2<k3 B.k3<k1<k2C.k3<k2<k1 D.k2<k3<k1【正确答案】D【分析】根据图像可知，，，再由与倾斜角的大小得到，进而得到结果.【详解】由图可知，，，且直线的倾斜角大于直线的倾斜角，所以.综上可知.故选:D.3.李华家养了白、灰、黑三种颜色的小兔各1只，从兔窝中每次摸取1只，有放回地摸取3次，则3次摸取的颜色不全相同的概率为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】由题意可知：每次摸到白、灰、黑三种颜色的概率均为，根据独立事件概率乘法公式结合对立事件运算求解.【详解】由题意可知：每次摸到白、灰、黑三种颜色的概率均为，记“3次摸取的颜色不全相同”为事件A，则，所以.故选：B.4.已知直线l的方向向量为，为直线l上一点，若点为直线l外一点，则P到直线l上任意一点Q的距离的最小值为（）A.2 B. C. D.1【正确答案】C【分析】根据点到直线距离的空间向量公式求出答案.【详解】，，，点到直线l的距离为.则P到直线l上任意一点Q的距离的最小值为.故选：C5.下列命题：①若向量满足，则向量的夹角是钝角；②若是空间的一组基底，且，则四点共面；③若向量是空间的一个基底，若向量，则也是空间的一个基底；④若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的余弦值为；⑤已知向量，，则向量在向量上的投影向量是；其中正确的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【正确答案】C【分析】根据向量夹角、空间点共面、基底、线面角、投影向量等知识进行分析，从而确定正确答案.【详解】①，若向量满足，可能向量的夹角是，所以①错误.②，对于，由于，所以四点共面，所以②正确.③，设，则共面，这与已知向量是空间的一个基底矛盾，所以也是空间的一个基底，所以③正确.④，设直线与平面所成角为，，则，，所以④错误.⑤，向量在向量上的投影向量是，所以⑤正确.所以一共有个正确.故选：C6.已知某运动员每次射击击中目标的概率为80%.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率.先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：75270293714098570347437386366947761042811417469803716233261680456011366195977424根据以上数据估计该射击运动员射击4次，至少击中3次的概率为（）A.0.852 B.0.8192 C.0.8 D.0.75【正确答案】D【分析】由题设模拟数据确定击中目标至少3次的随机数组，应用古典概型的概率求法求概率.【详解】在20组随机数中含中的数至少3个（含3个或4个），共有15组，即模拟结果中射击4次至少击中3次的频率为.据此估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率为0.75.故选：D.7.如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为A. B. C. D.【正确答案】D【详解】由题意，灯泡不亮包括四个开关都开，后下边的2个都开，上边的2个中有一个开，这三种情况是互斥的，每一种情况的事件都是相互独立的，所以灯泡不亮的概率为，所以灯泡亮的概率为，故选D．8.将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则下列结论不正确的是（）A. B.是等边三角形C.点与平面的距离为 D.与所成的角为【正确答案】C【分析】设的中点为，证明平面，再根据线面垂直的性质即可判断A；根据直二面角可得，利用勾股定理求出即可判断B；以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求点到面的距离即可判断C；利用向量法求线线夹角即可判断D.【详解】对于选项A：设的中点为，则，且，平面，可得平面，又因为平面，所以，故A正确；对于选项B：由A的分析知即为二面角的平面角，故，即，可知，则，所以是等边三角形，故B正确；对于选项CD：以点原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，则，可得，设平面的法向量为，则，令，则，可得，所以点与平面的距离，故C错误；又因为，且与所成的角取值范围为，可知与所成的角的余弦值为，所以与所成的角为，故D正确.故选：C.方法点睛：1．利用空间向量求空间角的一般步骤（1）建立恰当的空间直角坐标系．（2）求出相关点的坐标，写出相关向量的坐标．（3）结合公式进行论证、计算．（4）转化为几何结论．2．利用空间向量求点到平面距离的方法如图，设A为平面内的一点，B为平面外的一点，为平面α的法向量，则B到平面α的距离.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.下列命题：①对立事件一定是互斥事件；②若，为两个随机事件，则；③若事件，满足，，，则，相互独立；④若事件，满足，则与是对立事件．其中错误命题是（）A.① B.② C.③ D.④【正确答案】BD【分析】利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义及概率的基本性质依次判断4个命题作答.【详解】对于①：对立事件一定是互斥事件，①正确；对于②：若，为两个随机事件，则，②错误；对于③：由，得，相互独立，③正确；对于④：记事件为抛一枚硬币正面朝上，事件为掷一枚骰子出现偶数点，则，，满足，显然事件与可以同时发生，它们不是对立事件，④错误.故选：BD10.如图，在直三棱柱中，，，，分别为，和的中点，为棱上的一动点，且，则下列说法正确的是（）A.B.三棱锥的体积为定值C.D.异面直线与所成角的余弦值为【正确答案】ABD【分析】根据图形特点取的中点为，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的线线关系计算可判断A,C,D选项；利用线面关系及三棱锥体积即可判断B选项.【详解】解：直三棱柱中，，，，分别为，和的中点，取的中点为，由于，所以，如图以为原点，为轴建立空间直角坐标系，设,，则，所以则，又，所以，所以，对于A，，设，则，所以，则，故A正确；对于B，因为，分别为，的中点，所以，又，则又平面，平面，所以平面，故到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值，故B正确；对于C，由A选项得，，所以，故C不正确；对于D，由于，所以，所以，故异面直线与所成角的余弦值为，故D正确.故选：ABD.11.如图，四边形是边长为的正方形，半圆面平面，点为半圆弧上一动点（点与点，不重合），下列说法正确的是（）A.三棱锥的四个面都是直角三角形B.三棱锥的体积最大值为C.当时，异面直线与夹角的余弦值为D.当直线与平面所成角最大时，平面截四棱锥外接球的截面面积为【正确答案】ACD【分析】对于A，使用空间中直线、平面垂直有关定理证明；对于B，三棱锥底面积固定，当高最大时，体积最大，可通过计算进行判断；对于C，找到与和所成异面直线夹角，再由余弦定理代入计算，即可判断；对于D，首先利用空间向量解决与平面所成角最大时点的位置，再用的外接圆解决平面的截面圆面积的计算即可.【详解】对于A，四边形为正方形，为直角三角形；为直径，为半圆弧上一动点，，为直角三角形；平面平面，平面平面，平面，，平面，平面，，为直角三角形；平面，平面，，又，，平面，平面，平面，平面，，为直角三角形；因此，三棱锥的四个面都是直角三角形，故A正确；对于B，过点在平面内作于点，平面平面，平面平面，平面，平面，为三棱锥的高，三棱锥的体积的面积为定值，当最大时，三棱锥的体积最大，此时点为半圆弧的中点，，三棱锥体积的最大值为，故B错误；取中点，中点，中点，连接，则，，所以异面直线与的夹角为或其补角，且，又，则，，则，又，则，在中，由余弦定理可得，则异面直线与夹角的余弦值为，故C正确；对于D，由B选项解析知，平面，为在平面内的射影，为直线与平面所成角，当直线与平面所成角最大时，取最小值，以为原点，建立空间直角坐标系如图，设，，，则在直角三角形内，，即，，，，，，cos，.当且仅当，即时，取最小值，直线与平面所成角最大，此时，，，三点均为四棱锥的顶点，平面截四棱锥外接球截面为的外接圆面，直角三角形外接圆半径，截面面积，故D正确.故选：ACD.易错点睛：在判断三棱锥的四个面是否都是直角三角形时，易忽视，需通过证明平面进行判断；在确定直线与平面所成角最大时点的位置时，容易错误的认为当点为半圆弧的中点时，直线与平面所成角最大，需使用空间向量，借助三角函数知识进行判断.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知直线的倾斜角为，直线，若直线过点，则______．【正确答案】6【分析】根据平行直线的斜率的关系列方程，从而求得的值.【详解】因为直线的倾斜角为，所以．又直线，则，解得．故13.如图所示，在平行六面体中，，，，则________．【正确答案】2【分析】据空间向量基本定理把用，，作为基底表示，利用向量数量积运算即可求解.【详解】在平行六面体中,，所以，因为，所以，又，所以，，所以所以.故2.14.甲､乙两队进行答题比赛，每队3名选手，规定两队的每名选手都完成一次答题为一轮比赛，每名选手答对一题得1分，答错一题得0分.已知甲队中每名选手答对题的概率都为，乙队中3名选手答对题的概率分别为.在第一轮比赛中，甲队得分，乙队得分，则在这一轮中，满足且的概率为__________.【正确答案】【分析】首先求出甲在一轮比赛中得分、分的概率，乙在一轮比赛中得分、分的概率，设在这一轮中，满足且为事件，则包含①甲队得分，乙队得分，②甲队得分，乙队得分，③甲队得分，乙队得分，再根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得.【详解】依题意甲队在一轮比赛中得分的概率为，甲队在一轮比赛中得分的概率为，乙队在一轮比赛中得分的概率为：，乙队在一轮比赛中得分的概率为：，设在这一轮中，满足且为事件，则包含①甲队得分，乙队得分，②甲队得分，乙队得分，③甲队得分，乙队得分，所以，即在这一轮中，满足且的概率为.

故关键点点睛：本题解答的关键是分析得到①甲队得分，乙队得分，②甲队得分，乙队得分，③甲队得分，乙队得分，再根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算.四、解答题（本题共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.如图，在正方体中，点E，F，M分别是线段，EC，的中点.设，，.（1）用基底表示向量.（2）棱BC上是否存在一点G，使得？若存在，指出G的位置；若不存在，请说明理由.【正确答案】（1）（2）不存在一点G，理由见解析【分析】（1）结合空间向量的线性运算，由空间向量基本定理求解即可；（2）假设棱BC上存在点G，使得，设，由基底表示出向量，由即可求出.【小问1详解】因为，，所以．【小问2详解】假设棱BC上存在点G，使得，设．因为，所以．因为，所以，化简得，得，所以棱BC上不存在一点G，使得.16.已知不透明的盒子中装有标号为1，2，3的小球各2个（小球除颜色､标号外均相同）.（1）若一次取出3个小球，求取出的3个小球上标号均不相同的概率；（2）若有放回地先后取出2个小球，求取出的2个小球上标号不相同的概率.【正确答案】（1）；（2）.【分析】（1）使用列举法，结合古典概型概率公式可得；（2）先求2个小球上标号相同的概率，然后由对立事件的概率关系可得.【小问1详解】分别记6个小球为，从中任取3个小球有：，共20种.3个小球上标号均不相同的有：共8种，所以取出的3个小球上标号均不相同的概率为.【小问2详解】每次取球都有6种取法，所以总的取法有种取法.2个小球上标号相同的取法有：共12种取法，所以2个小球上标号相同概率为，所以取出的2个小球上标号不相同的概率.17.如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点.（1）证明.（2）求直线与平面所成角的正弦值.（3）设点到直线的距离为，点到平面的距离为，求的值.【正确答案】（1）证明见解析（2）（3）【分析】（1）由题意可知平面平面，根据面面垂直的性质定理可得平面，进而得到，在矩形中，由题意可得，由线面垂直判定定理及性质即可证得；（2）取的中点，连接，建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求线面角的正弦值；（3）利用空间向量求出和，即可求出.【小问1详解】连接，，因为，为的中点，所以，因为棱柱直三棱柱，所以面，平面，所以平面平面，又平面平面，面，则平面，又平面，所以，在矩形中，，为的中点，所以，所以，故，又，面，面，所以平面，又平面，所以.【小问2详解】取的中点，连接，由（1）及题意易知，，两两垂直，则以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示.由，，则，，，，.设平面的法向量为，又，，则即令，则.设直线与平面所成的角为，又，则，故直线与平面所成角的正弦值为.【小问3详解】由（2）知平面的一个法向量为，，，所以点到平面的距离为，又，直线的一个单位方向向量为，则，，所以点到直线的距离为，所以.18.如图，在四棱锥中，，且．（1）若点在上，且平面，证明：为的中点；（2）已知二面角的大小为，求平面与平面夹角的正切值．【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）首先判断底面的几何关系，再结合线面平行的性质定理，构造辅助线，即可证明；（2）首先由几何关系确定为二面角的大小，再根据几何关系确定空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，再利用法向量求二面角的余弦值，即可求正切值.【小问1详解】因为，，所以，，，在直角三角形中，，又因为，为的平分线，延长、交于点，连接，在中