2024-2025学年沪科版九年级数学上册期末冲刺复习：二次函数的七类实际问题（原卷版）

专题07二次函数的七类实际问题

目录

解题知识必备.....................................................................1

压轴题型讲练.....................................................................2

类型一、围栏问题................................................................2

类型二、图形运动问题............................................................4

类型三、拱桥问题................................................................6

类型四、销售利润问题............................................................8

类型五、投球问题...............................................................10

类型六、喷水问题...............................................................12

类型七、增长率问题.............................................................14

压轴能力测评....................................................................15

♦♦解题知识必备2

1.二次函数y=ax2+bx+c的图像特点

2

用配方法可化成：y=a）+k的形式，其中/=~^,k=用.

\/2a4a

二次函数片"+》什<7（a/0）:

2

顶点坐标是（-也，4a：b）,

2a4a

对称轴直线x=-2，

2a

2.二次函数y=a/+6x+c（awO）的图象具有如下性质：

①当a>0时，抛物线片a^+bx+cka/0）的开口向上,

x<-萼-时，卜随x的增大而减小；

X>一2时，随X的增大而增大；

2

x=一旦时，P取得最小值4ac-旷,即顶点是抛物线的最低点.

2a4a

②当a<0时，抛物线y^ax^+bx+c{/0）的开口向下，

x<一2时，；/随x的增大而增大；

2a

x>-4时，〃随X的增大而减小；

2a

2

x=一2时，JZ取得最大值4a；b,即顶点是抛物线的最高点.

2a4a

③抛物线y=a^+bx+c[awO）的图象可由抛物线p="的图象向右或向左平移|个单位，再向上或

2a

向下平移悭二-b2।个单位得到的

♦♦压轴题型讲练X

类型一、围栏问题

几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的

讨论.面积的最值问题应设图形的一边长为自变量，所求面积为函数，建立二次函数的模型，利用二次函

数有关知识求得最值，要注意函数自变量的取值范围.

一般涉及到矩形等四边形问题，把图形的面积公式掌握，把需要用到的边和高等用未知数

表示，即可表示出面积问题的二次函数的关系式，通过最值问题的解决方法，即可求出最

值等问题，注意自变量的取值范围问题。

例.如图，用长为10米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过10米），围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一

边长为X米，花圃面积为s平方米.

（1）求s关于X的函数解析式;

（2）求S的最大面积.

【变式训练11要建如图所示两个长方形养鸡场，为了节约材料,鸡场的一边靠着原有的一条墙长。=20m,

另外的边用竹篱笆围成，已知篱笆总长为35m,且在BC边上开一扇长为2m的门GH,在EP边上开一扇长

为2m的门肱V,若设鸡场的A3长为疝1.

M

GH

B-।।-----F--------------C

（1）BC的长为（用含x的代数式表示）

⑵若两个鸡场的总面积为Sn?,求S与x的函数关系式

【变式训练2】.教育部颁布的《义务教育劳动课程标准》中，要求以丰富开放的劳动项目为载体，培养学

生正确的劳动价值观和良好的劳动品质.某校为此规划出矩形苗圃ABCD,苗圃的一面靠墙（墙的最大可

用长度为14m）.另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成两个区域，并在如图所示的两处各

留2m宽的门（门不用木栏），修建所用木栏的总长为32m,设苗圃ABC。的一边CD长为刘.

AD

BC

⑴用含x的代数式表示苗圃靠墙一边AD的长是m.

⑵若苗圃ABCD的面积为96m2,求x的值;

⑶苗圃A3CD的面积能否为llOn??若能，请求出x的值；否则请说明理由.

【变式训练3].如图，某校准备利用现成的一堵字形的墙面（粗线ABC表示墙面，已知AB=3

米，BC=1米）和总长为14米的篱笆围建一个"日"字形的小型农场D3EF（细线表示篱笆，小型农场中间G”

也是用篱笆隔开），点。在线段4B上，设口歹的长为x米.

（1）请用含X的代数式表示所的长；

⑵若要求所围成的小型农场DBEF的面积为2亍7平方米，求DF的长;

⑶求小型农场D3EF的最大面积.

类型二、图形运动问题

此类问题一般具体分析动点所在位置，位置不同，所求的结果也不一样，一般把每一段的解析式求出来，

根据解析式判断函数类型，从而判断图像形状。

例.矩形ABCD中，AD=8cm,AB=6cm.动点E从点C开始沿边CB向点8以2cm/s的速度运动，同时

动点P从点C出发沿边CD向点。以lcm/s的速度运动至点D停止.如图可得到矩形设运动时间

为x（单位：s）,此时矩形45co去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为y（单位：cm。），则y与x之间的函

数关系用图象表示大致是下图中的（）

【变式训练1].如图，正方形ABC。的边长为2cm,动点尸，。同时从点A出发，在正方形的边上，分别

按AfD-C,A—3—C的方向，都以lcm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ,设运动时间

为xs,的面积为〉cm，则下列图象中能大致表示丫与尤的函数关系的是（

【变式训练2].如图，VABC中，BC=6,3c边上的高为3,点。，E,厂分别在边3C,AB,AC上,

旦EF"BC。设点E到2C的距离为x,m印的面积为V,则V关于x的函数图象大致是（）

【变式训练3].如图，等腰必AABC（―ACB=90。）的直角边与正方形。瓦G的边长均为2,且AC与DE

在同一条直线上，开始时点C与点D重合，让AABC沿直线向右平移，直到点A与点E重合为止.设CD的

长为x,AABC与正方形。EFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y,则y与x之间的函数的图象大致是

类型三、拱桥问题

♦1、建立二次函数模型解决实际问题

利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到

平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题.

♦2、建立二次函数模型解决实际问题的一般步骤：

(1)根据题意建立适当的平面直角坐标系；

(2)把已知条件转化为点的坐标；

(3)合理设出函数解析式；

(4)利用待定系数法求出函数解析式；

(5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算.

例.如图，一座抛物线型拱桥，桥面CD与水面平行，在正常水位时桥下水面宽为30米，拱桥B处为警

戒水位标识，点2到OC的水平距离和它到水面Q4的距离都为5米.

⑴按如图所示的平面直角坐标系，求该抛物线的函数表达式；

⑵求在正常水位时桥面距离水面的高度；

⑶一货船载长方体货箱高出水面2米(船高不计)，若要使货船在警戒水位时能安全通过该拱桥，则货箱最

宽应为多少米？

【变式训练1].如图①，是我市一条河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端

点与水面的距离都是1米，拱桥的跨度为10米，桥洞与水面的最大距离是5米，桥洞两侧壁上各有一盏距

离水面4米的景观灯.若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中(如图②).

⑴求抛物线的解析式；

⑵求两盏景观灯之间的水平距离;

⑶有一条货船宽6米，货箱高3米，问货船能否安全通过该拱桥?

【变式训练2】.如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同，正常水位时，大

孔水面宽度AB=20米，顶点M距水面6米（即MO=6米），小孔顶点N距水面3.84米（即NC=3.84米），

当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度。.

【变式训练3].如图，一座抛物线形的拱桥，其形状可以用y=来描述.

⑴当水面到拱桥顶部的距离为2m时，水面的宽为多少m?

（2）当水面宽为4m时，则水面到桥拱顶部的距离为多少m?

类型四、销售利润问题

♦1、销售问题中的数量关系：

销售利润=销售收入-成本；

销售总利润=销售量X单价利润

♦2、求解最大利润问题的一般步骤：

（1）建立利润与价格之间的函数关系式：运用"总利润=单件利润x总销量"或"总利润=总售价-

总成本"；

（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；

（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简

图，利用简图和性质求出.

♦3、在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题.解此类题的关键是通过题意，确定出

二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次

函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围.

例.春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量

y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（30WXV80,且x是整数），部分数据如下

表所示：

电影票售价X（元/张）4050

售出电影票数量y（张）164124

（1）请求出y与x之间的函数关系式；

（2）设该影院每天的利润（利润=票房收入-运营成本）为w（单位：元），求w与x之间的函数关系式;

⑶该影院将电影票售价尤定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？

【变式训练1】.某商店销售一种商品，小明经市场调查发现：该商品的周销售量，（件）是售价x（元/件）

的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润W（元）的三组对应值如表：

售价X（元/件）5060

周销售量y（件）200150100

周销售利润W（元）30003500

注：周销售利润=周销售量x（售价-进价）

⑴求，关于X的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围）

⑵表格中，当y=100时，x=,当y=150时，w=

⑶求当售价是多少时，周销售利润最大，最大利润是多少元.

【变式训练2】.某商店经过市场调查，整理出某种商品在第x（lWxW90）天的售价与销量的相关信息如下

表：

时间X（天）1<x<5050<x<90

售价（元/件）x+4090

每天销量（件）200—2%

已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元.

（1）求出y与x的函数关系式；

（2）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？

⑶在前50天销售过程中，为了给顾客发放福利，每售出一件商品就返还2a元给顾客，且要求售价不低于

80元，但是前50天的销售中，仍可以获得最大利润5832元，求出。的值.

【变式训练3】.某超市销售一种商品，每件成本为40元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每

月的销售量为60件，而销售单价每降低3元，则每月可多售出9件，且要求销售单价不得低于成本.

⑴求该商品每月的销售量丁（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（需求自变量取值范围）

⑵若使该商品每月的销售利润为3600元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？

⑶超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每

月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？

类型五、投球问题

此类问题一般需要建立平面直角坐标系，设定好每个点的坐标，分析好题目中的每句话的含义是解决这类

问题的关键，有排球、足球、高尔夫球、篮球等，首先根据已知条件确定设定的解析式形式，求出解析式,

再根据题意了解问题所求的实质是什么求出即可。

例.如图，小贤与小刚在进行篮球的传球训练，小贤在A点处，小刚在8点处，两人相距6米，小贤给小

20

刚传球，篮球的飞行轨迹可看成是抛物线.已知小贤投出球时手离地面亍米，篮球飞行的水平速度为10

米/秒，篮球与小贤的水平距离x（单位：米）与离地高度y（单位：米）的数据如下表所示（水平距离=水

⑴求y关于x的函数解析式.

⑵小刚在小贤传球瞬间就作出接球反应，当小刚位于篮球正下方时，若篮球离地高度不大于小刚的最大接

球高度，则视为接球成功.已知小刚面对篮球后退的过程中的速度为2米/秒，最大接球高度为2三0米.请

问小刚能否成功接球？并说明理由.

【变式训练如图1为弹球游戏示意图，弹力球从桌子左边沿正上方某一高度向右发射后与桌面接触，

连续弹起降落，以。为原点，为x轴，为y轴建立平面直角坐标系如图2,设小球高度为#m,水

平方向的距离为xcm.小球运动轨迹由多个抛物线组成，其中第一段抛物线的解析式为y=后

续抛物线均可由第一段抛物线平移得到.已知桌长为80cm,小球每次撞击桌面后弹跳的最大高度为前

9

一次最大高度的77.（忽略小球体积）

10

图1图2

⑴若第一次落点刚好在桌子正中间，求第一段抛物线的解析式；

（2）在（1）的情况下，判断小球是否会再次接触桌面，并说明理由;

⑶若小球只接触桌面一次，求发射高度的取值范围.

【变式训练2】.鹰眼技术助力杭州亚运，提升球迷观赛体验.如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统

预测画面（如图1）和截面示意图（如图2）,攻球员位于点。，守门员位于点A,的延长线与球门线交

于点3,且点42均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线.水平距离，与离地高度及的鹰眼

数据如表：

⑴根据表中数据预测足球落地时，s=m.

⑵求〃关于S的函数解析式.

【变式训练3].如图，排球运动员站在点。处练习发球，将球从。点正上方2m的A处发出，把球看成点，

其运行的高度，（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y=a（尤-6>+/z,已知球网与。点的水平距离

为9m,球网高度为2.43m,球场另一边的底线距。点的水平距离为18m.

（1）当〃=2.6时，求y与无的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）

(2)当〃=2.6时，球能否越过球网？球会不会出底线？请说明理由;

⑶若球一定能越过球网，且刚好落在底线上，求〃的值.

类型六、喷水问题

此类问题跟投球问题差不多，首先根据坐标系和题意确定点的坐标情况，根据点的坐标求

出解析式。

例.现有一瓶洗手液如图1所示.已知洗手液瓶子的轴截面上部分有两段圆弧CE和。尸，它们的圆心分别

为点。和点C,下部分是矩形CG曲，且CG=6cm,GH=10cm,点E到台面G4的距离为12cm,如图2

所示，若以G/Z所在的直线为x轴，G”的垂直平分线为V轴，建立平面直角坐标系，当手按住顶部A下压

时,洗手液从喷口B流出，其路线呈抛物线形,此时喷口B距台面G4的距离为18cm,且到OA的距离为3cm,

此时该抛物线形的表达式为y+bx+c,且恰好经过点E.

图1图2

⑴请求出点E的坐标，并求出b,c的值.

⑵接洗手液时，当手心R距D”所在直线的水平距离为3cm时，手心R距水平台面G"的高度为多少？

【变式训练1】.小华在走读淮河文化园游玩，发现公园的草地自动浇水装置喷洒出的水流呈抛物线型，小

华通过多次测量数据，在平面直角坐标系中绘制了水流喷出的高度y(m)与距离浇水装置的水平距离x(m)

之间的函数图象，如图所示，已知点4(0,1),抛物线顶点坐标为点3(2,3).

⑴求水流所形成的抛物线的表达式.

⑵小华通过观察发现距离喷水装置5m处的一棵古树未被浇到水,请通过计算说明这个自动浇水装置不能浇

到古树的原因.

⑶通过与园区工作人员交谈，小华发现这个喷水装置还可以上下移动，且移动之后水流的形状、大小保持

不变，若想让（2）中的古树能被此浇水装置浇到，则此喷水装置需要向上移动的最小距离是多少？请直接

写出答案.

【变式训练2】.大自然中有一种神奇的鱼一一射水鱼，它能以极快的速度从口中射出水柱击落昆虫来捕食，

射出的水柱呈抛物线形.如图，以射水鱼所在的位置为原点。建立平面直角坐标系，设水柱距水面的高度

为ydm,与射水鱼的水平距离为xdm,y与x的函数表达式为丫=膜%-2）2+匕水柱的最大高度为6dm.

⑴求，关于x的函数表达式.

⑵一只昆虫位于点与］处，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点。出发，需要水平向右游动多少

距离才能击中昆虫？

【变式训练3】.【项目式学习】

【项目主题】自动旋转式洒水喷头灌溉蔬菜

【项目背景】寻找生活中的数学，九（工）班分四个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享,

对蔬菜喷水管建立数学模型，菜地装有1个自动旋转式洒水喷头，灌溉蔬菜，如图1所示，观察喷头可顺、

逆时针往返喷洒.

【项目素材】

素材一：甲小组在图2中建立合适的直角坐标系，喷水口中心O有一喷水管。4,从A点向外喷水，喷出的

水柱最外层的形状为抛物线.以水平方向为x轴，点。为原点建立平面直角坐标系，点A（喷水口）在y

轴上，X轴上的点。为水柱的最外落水点.

素材二：乙小组测得种植农民的身高为1.75米，他常常往返于菜地之间.

素材三：丙小组了解到需要给蔬菜大鹏里拉一层塑料薄膜用来保温保湿，以便蔬菜更好地生长.

【项目任务】

2

⑴任务一：丁小组测量得喷头的高。4=§米，喷水口中心点。到水柱的最外落水点。水平距离为8米，其

中喷出的水正好经过一个直立木杆所的顶部尸处，木杆高印=3米，距离喷水口OE=4米，求出水柱所在

抛物线的函数解析式.

(2)任务二：乙小组发现这位农民在与喷水口水平距离是0米时，不会被水淋到，求〃的取值范围.

⑶任务三：丙小组测量发现薄膜所在平面和地面的夹角是45。，截面如图3,求薄膜与地面接触点与喷水口

的水平距离是多少米时，喷出的水与薄膜的距离至少是10厘米？(直接写出答案，精确到0.1米).

类型七、增长率问题

例.某商店进购一商品，第一天每件盈利(毛利润)10元，销售500件.

⑴第二、三天该商品十分畅销.销售量持续走高.在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，

求第二、三天的日平均增长率；

(2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件.

①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？

②现需按毛利润的10%交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若

剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？

【变式训练1】.中国新冠疫苗研发成功，举世瞩目，疫情得到有效控制，国内旅游业也逐渐回温，我市某

酒店有4B两种房间，A种房间房价每天200元，B种房间房价每天300元，今年2月，该酒店登记入住

了120间，总营业收入28000元.

（1）求今年2月该酒店A种房间入住了多少间？

（2）该酒店为提高房间入住量，增加营业收入，大力借助网络平台进行宣传，同时将A种房间房价调低2a

元，将2种房间房价下调a％,由此，今年3月，该酒店吸引了大批游客入住，A、3两种房间入住量都比2

月增加了g。％,总营业收入在2月的基础上增加了0％,求”的值.

【变式训练2】.为积极响应国家“旧房改造"工程，该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新

型城镇化建设，改善民生，优化城市建设.

（1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧房

改造户数的平均年增长率；

（2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计

划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？

【变式训练3】.为了打造"清洁能源示范城市"，东营市2016年投入资金2560万元用于充电桩的安装，并

规划投入资金逐年增加，2018年在2016年的基础上增加投入资金3200万元.

（1）从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为多少？

（2）2019年东营市计划再安装A、B两种型号的充电桩共200个.已知安装一个A型充电桩需3.5万元，安

装一个B型充电桩需4万元，且A型充电桩的数量不多于8型充电桩的一半.求A、B两种型号充电桩各安

装多少个时，所需资金最少，最少为多少？

X压轴能力测评♦♦

1.如图，VABC和4）£尸都是边长为2的等边三角形，它们的边2C,跖在同一条直线/上，点C,E重

合.现将VABC沿着直线/向右移动，当点8与尸重合时停止移动.在此过程中，设点C移动的距离为彳,

两个三角形重叠部分的面积为八则y随X变化的函数图象大致为（）

>

A.D.

2.如图，RtZVLBC中，ZC=90°,AB=5cm,AC=4cm,点尸从点A出发，以Icm/s的速度沿AfC向点

C运动，同时点。从点A出发，以2cm/s的速度沿AfC向点C运动，直到它们都到达点C为止.若

△APQ的面积为SSn?）,点尸的运动时间为心），则S与/的函数图象是（）

3.如图，有一块矩形空地ABCD,学校规划在其中间的一块四边形空地EFGH上种花，其余的四块三角形

空地上铺设草坪，其中点E,F,G,H分别在边AD,AB,BC,CD上，^.AE=AF=CG=CH.已知

AD=20m,AB=40m.有下列结论：

①铺设草坪的面积可以是360m2；

②种花的面积的最大值为450疗.

@AF的长有两个不同的值满足种花的面积为432m2.

其中，正确结论的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

4.如图，是抛物线形拱桥，当拱桥顶端C离水面2m时，水面的宽度为4m.

<4mT

有下列结论：

①当水面宽度为5m时，水面下降了1.125m；

②当水面下降1m时，水面宽度为2痴m；

③当水面下降2m时，水面宽度增加了（40-4）m.

其中，正确的是（）

A.0B.1C.2D.3

5.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每

星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，有下列结论：

①设每件涨价x元，则实际卖出（300-10力件；

②在降价的情况下，降价5元，即定价5